4. Działania na potęgach - M_R_W02_M4 Potęgi

RNlr1kEOi2gZ6

4. Prawa działań na potęgach

O potęgowaniu mówili już Platon, Archytas i Eudoksos żyjący na przełomie $V$ i $IV$ wieku przed nasza erą. Opisywali liczby powierzchniowe (kwadratowe) i cielesne (stereometryczne), mając na myśli drugie i trzecie potęgi, które wykorzystywano odpowiednio do obliczania pól i objętości (źródło: O. Spengler, $1917$ , Zmierzch zachodu, Monachium).

Inne potęgi dla matematyków w Starożytnej Grecji były nie do wyobrażenia. Potęgi o wykładniku ujemnym pojawiają się w Chinach w $V$ wieku naszej ery i służą tam do zapisywania liczb w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, zaś oznaczenia $5^{\frac{1}{2}}$ (czyli potęgi o wykładniku wymiernym) używał w wieku $XIV$ Mikołaj Oresme.

Rptm1liPjBzKH1

Ilustracja 1. Zdjęcie pierwsze przedstawia rzeźbę Platona, dojrzałego mężczyzny z długą falowaną brodą, podpis: (424 r. p.n.e. - 347 r. p.n.e) jeden z najsłynniejszych filozofów starożytnej Grecji; uczeń Sokratesa i nauczyciel Arystotelesa, założyciel Akademii Platońskiej, 2. Zdjęcie drugie przedstawia wyrzeźbione popiersie dorosłego mężczyzny z brodą, w dopasowanym nakryciu głowy. Podpis: Archytas z Tarentu (428 r. p.n.e - 347 r. p.n.e.) grecki matematyk, fizyk i filozof, mąż stanu (strateg), przyjaciel Platona i nauczyciel Eudoksosa z Knidos, 3. Rycina z numerem trzy przedstawia siedzącego mężczyznę trzymającego w prawej ręce przyrząd w kształcie krzyża, wskazującego na coś lewą ręką. Mężczyzna ma na sobie dopasowane nakrycie głowy i długie szaty. Podpis: Eudoksos z Knidos (390 r. p.n.e. - 337 r. p.n.e.) grecki matematyk, astronom, geograf i filozof, 4. Rysunek z numerem cztery przedstawia starszego mężczyznę siedzącego przy pulpicie i piszącego piórem. Mężczyzna ma na sobie ubiór duchownego. Podpis: Mikołaj Oresme (1320 r. - 1382 r.) francuski ksiądz, astronom, filozof i matematyk, 5. Obraz z numerem pięć przedstawia popiersie brodatego mężczyzny w lokach do ramion. Elementem jego ubioru jest rozłożysty kołnierz. Podpis: Gerard Desargues {audio} (1591 r. - 1661 r.) francuski matematyk i architekt, 6. Obraz z numerem sześć przedstawia siedzącego wąsatego mężczyznę w lokach za ramiona. Mężczyzna ubrany jest w czarne długie szaty z rozłożystym białym kołnierzem. Podpis: René Descartes (Kartezjusz) (1596 r. - 1650 r.) francuski filozof, fizyk i matematyk, nazywany jest ojcem nowożytnej filozofii, 7. Obraz z numerem siedem przedstawia popiersie starszego siwego łysiejącego mężczyzny. Elementem jego stroju jest kołnierz w kształcie długiego prostokąta zwisający lekko z jego ramion. Podpis: Pierre de Fermat (1607 r.- 1665 r.) francuski matematyk, prawnik i poeta, 8. Rycina z numerem osiem przedstawia popiersie mężczyzny w średnim wieku o długich gęstych lokach. Mężczyzna ma na sobie szatę z błyszczącego materiału. Podpis: Blaise Pascal (1623 r. - 1662 r.) francuski matematyk, fizyk i filozof religii

O potęgowaniu w sposób zbliżony do naszego, zaczęto myśleć dopiero w wieku $XVII$ za sprawą takich matematyków jak Kartezjusz, Pascal, Fermat, Desargues (źródło: Krótka historia matematyki. Ryszard Paweł Kostecki).

W tej lekcji przypomnimy własności działań, które są wspólne dla wszystkich potęg niezależnie od tego, do którego z podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych należą wykładniki. Pokażemy też proste przykłady zastosowania tych własności ze szczególnym akcentem położonym na potęgi o wykładnikach nie będących liczbami naturalnymi.

Twoje cele

Zastosujesz własności potęg dotyczące iloczynu i ilorazu potęg o tych samych podstawach.
Zastosujesz własności potęg dotyczące iloczynu i ilorazu potęg o tych samych wykładnikach.
Zastosujesz własność dotyczącą potęgowania potęgi.

Przypomnijmy, w jaki sposób skonstruowaliśmy potęgę o wykładniku rzeczywistym.

Zaczęliśmy od wykładników będących liczbami naturalnymi. Takie potęgowanie to po prostu uogólnienie mnożenia: iloczyn kilku równych czynników zapisujemy w postaci potęgi, np.: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{4}$ .

Jeżeli wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną, wówczas minus z wykładnika zamienia podstawę potęgi na jej odwrotność, np.: $5^{- 3} = {(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}$ .

Następnie omówiliśmy potęgi o wykładnikach wymiernych. W tym przypadku, po zapisaniu wykładnika w postaci ułamka zwykłego (być może niewłaściwego), jego mianownik można zamienić na stopień pierwiastka, którym należy spierwiastkować podstawę potęgi, np.: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2}$ .

Potęgę o wykładniku niewymiernym moglibyśmy zaś zdefiniować dzięki faktowi, że liczby niewymierne pozwalają się przybliżać liczbami wymiernymi.

Ponieważ $\sqrt{2} = 1,41421356 . . .$ , więc do dokładnej wartości potęgi $3^{\sqrt{2}}$ zbliża nas ciąg potęg o wykładnikach wymiernych:

$3^{1,4}$ , $3^{1,41}$ , $3^{1,414}$ , $3^{1,4142}$ , $3^{1,41421}$ , $3^{1,414213}$ , $3^{1,4142135}$ , $3^{1,41421356}$ , $. . .$

Na każdym etapie konstruowania potęgowania jako działania, niezależnie od tego do jakiego zbioru liczbowego należy wykładnik, zwracaliśmy uwagę, że chcemy zachować własności działań na potęgach, które były prawdziwe dla wykładników naturalnych.

Zatem dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzą następujące własności:

iloczyn potęg o takich samych podstawach: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ,
iloraz potęg o takich samych podstawach: $a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$ ,
potęga potęgi: ${(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}$ ,
iloczyn potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem mnożeniarozdzielność potęgowania względem mnożenia): $a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$ ,
iloraz potęg o takich samych wykładnikach (rozdzielność potęgowania względem dzieleniarozdzielność potęgowania względem dzielenia): $a^{x} : b^{x} = {(a : b)}^{x}$ .

Przykład 1

Rozważmy wyrażenie $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$ . Korzystając z definicji potęgi o wykładniku wymiernym i własności potęgowania mamy:

$\sqrt[3]{\sqrt{5}} = {(5^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{5}$

Powyższy przykład można uogólnić.

Rozważmy $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ , gdzie $a \geq 0$ oraz $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi większymi od $1$ .

Wówczas:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = {(a^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

Przykład 2

Dla $x$ różnego od zera rozważmy wyrażenie $(x^{- 2} - x^{- 1}) (2 x + x^{2})$ :

$(x^{- 2} - x^{- 1}) (2 x + x^{2}) = 2 x (x^{- 2} - x^{- 1}) + x^{2} (x^{- 2} - x^{- 1}) =$

$= 2 x \cdot x^{- 2} - 2 x \cdot x^{- 1} + x^{2} \cdot x^{- 2} - x^{2} \cdot x^{- 1} =$

$= 2 x^{1 - 2} - 2 x^{1 - 1} + x^{2 - 2} - x^{2 - 1} = 2 x^{- 1} - 2 + 1 - x = 2 x^{- 1} - x - 1$

Przykład 3

Uprościmy poniższe wyrażenia korzystając z własności potęgowania:

z własności 1):

$2, 5^{\frac{3}{4}} \cdot 2, 5^{\frac{5}{4}} = 2, 5^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} = 2, 5^{\frac{8}{4}} = 2, 5^{2} = 6,25$

z własności 2):

$81^{0,5} : 81^{0,25} = 81^{0,25} = \sqrt[4]{81} = 3$

z własności 3):

${({(\sqrt{3})}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {(\sqrt{3})}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {(\sqrt{3})}^{2} = 3$

z własności 4):

$1, 2^{1,5} \cdot 0, 3^{1,5} = {(1,2 \cdot 0,3)}^{1,5} = {0,36}^{1,5} = {0,36}^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt{0,36})}^{3} = 0, 6^{3} = 0,216$

z własności 5):

$200^{\frac{2}{3}} : 0, 2^{\frac{2}{3}} = {(200 : 0,2)}^{\frac{2}{3}} = 1000^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{1000})}^{2} = 10^{2} = 100$

Przykład 4

Obliczymy wartości wyrażeń:

a) $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 32^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = {(3 \cdot 3)}^{\frac{1}{2}} + {(32 \cdot 2)}^{\frac{1}{2}} = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + 64^{\frac{1}{2}} = 3 + \sqrt{64} = 3 + 8 = 11$

b) $16^{\frac{1}{3}} \cdot 32^{\frac{1}{3}} + 7^{\frac{1}{3}} \cdot 49^{\frac{1}{3}} = {(16 \cdot 32)}^{\frac{1}{3}} + {(7 \cdot 49)}^{\frac{1}{3}} = 512^{\frac{1}{3}} + {(7^{3})}^{\frac{1}{3}} =$

$= \sqrt[3]{512} + 7^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 8 + 7 = 15$

Zwróćmy uwagę na kolejność wykonywania działań, gdy wykładnik potęgi również ma postać potęgi.
Jeśli liczby $a$ , $b$ i $c$ są dodatnie, wówczas zapis $a^{b^{c}}$ rozumiemy jako $a^{(b^{c})}$ .

Przykład 5

Obliczymy wartości potęg:

a) $2^{{\sqrt{2}}^{2}} = 2^{({\sqrt{2}}^{2})} = 2^{2} = 4$

b) $2^{2^{3}} = 2^{(2^{3})} = 2^{8} = 256$

Dla porównania ${(2^{2})}^{3} = 4^{3} = 64$ .

Przykład 6

Przekształcimy wyrażenie $\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}}$ do najprostszej postaci korzystając z własności działań na potęgach.

$\frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 25 \cdot \sqrt{125} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{625 \cdot \sqrt{\frac{1}{25}} \cdot 125^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 125^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(\frac{1}{25})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{4}}}{5^{4} \cdot {(5^{- 2})}^{\frac{1}{2}} \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{2} \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{5^{4} \cdot 5^{- 1} \cdot 5^{\frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{\frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{5^{4 + (- 1) + \frac{3}{4}}} =$

$= \frac{5^{4 \frac{1}{4}}}{5^{3 \frac{3}{4}}} =$

$= 5^{4 \frac{1}{4} - 3 \frac{3}{4}} =$

$= 5^{\frac{1}{2}} =$

$= \sqrt{5}$

Przykład 7

Uprościmy wyrażenie $\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}}$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

$\frac{3^{n + 3} + 3^{n + 1}}{3^{n + 1} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n} \cdot 3^{3} + 3^{n} \cdot 3}{3^{n - 1} \cdot 3^{2} + 3^{n - 1}} =$

$= \frac{30 \cdot 3^{n}}{10 \cdot 3^{n - 1}} =$

$= \frac{3 \cdot 3^{n}}{3^{n - 1}} =$

$= \frac{3^{n + 1}}{3^{n - 1}} =$

$= 3^{n + 1 - (n - 1)} =$

$= 3^{n + 1 - n + 1} =$

$= 3^{2} =$

$= 9$

Polecenie 1

Analizując zawartość infografiki, przypomnij sobie własności działań na potęgach.

RU6UMANBKHvpe

Na ilustracji przedstawiono tablicę, na której zapisano n:agłówek: Własności działań na potęgach. Poniżej rozpatrzono pięć przypadków. Pierwszy przyadek: Dla a, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste, y, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, plus, y, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

siedem indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, razy, siedem indeks górny, minus, osiem, koniec indeksu górnego, równa się, siedem indeks górny, dziesięć, plus, nawias, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, czterdzieści dziewięć

2.

trzy indeks górny, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, trzy indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć Przypadek drugi: Dla a, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste, y, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, minus, y, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

pięć indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, osiem, minus, pięć, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, sto dwadzieścia pięć

2.

sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, sześć indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Przypadek trzeci: Dla a, większy niż, zero, b, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a, razy, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

trzydzieści dwa indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, trzydzieści dwa, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, cztery indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z cztery koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, osiem

2.

siedem indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, czterdzieści dziewięć indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, siedem, razy, czterdzieści dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, trzysta czterdzieści trzy indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, nawias, pierwiastek sześcienny z trzysta czterdzieści trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, czterdzieści dziewięć Przypadek czwarty: Dla a, większy niż, zero, b, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste mamy: a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a, podzielić na, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

sto dwadzieścia pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, sto dwadzieścia pięć, podzielić na, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, dwadzieścia pięć indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, sto dwadzieścia pięć

2.

nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwa, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka Przypadek piąty: Dla a, większy niż, zero, x, należy do, liczby rzeczywiste, y, należy do, liczby rzeczywiste mamy: nawias, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, razy, y, koniec indeksu górnego.
Przykłady

1.

nawias, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, razy, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z jeden koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, pięć

2.

nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, równa się
równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, trzy

Polecenie 2

R11t32w5byZpG

Korzystając z odpowiednich własności działań na potęgach rozwiąż test. Dla dowolnej liczby dodatniej a prawdą jest, że:
a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego

Dla dowolnej liczby dodatniej a prawdą jest, że:
a indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, jeden a indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdą jest, że:
dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, dwa x, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, x, koniec indeksu górnego dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, sześć indeks górny, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec indeksu górnego

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdą jest, że:
dziesięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, x, koniec indeksu górnego dziesięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, zero, koniec indeksu górnego dziesięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, podzielić na, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, dwa indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdą jest, że:
nawias, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, x, razy, y, koniec indeksu górnego nawias, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, x, plus, y, koniec indeksu górnego nawias, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, y, koniec indeksu górnego, równa się, trzy indeks górny, x indeks górny, y, koniec indeksu górnego, koniec indeksu górnego

Polecenie 3

Przed Tobą gra edukacyjna zawierająca pytania dotyczące potęg i ich własności, do każdego cztery odpowiedzi, ale tylko jedna poprawna. Zagraj w grę.

Rozwiąż poniższy test jednokrotnego wyboru składający się z ośmiu pytań.

R16Rzs7QNshlv

Rvvf7p5MIGZtz

R1Ebv8JmegarQ

RnOkWfIv8Oe3f

R1GB2sONHpT58

R1aAKLI4SS9v3

RZxNK0RB1vSwe

RHTBtO6Zp52Op

RWy9DhHiiy2FY

Polecenie 4

Ułóż test złożony z pięciu pytań, każde z czterema podpowiedziami, z których dokładnie jedna będzie poprawna. Pytania mają dotyczyć potęg i ich własności. Stworzony test daj do rozwiązania koledze/koleżance z ławki.

R1NliVbqRwR2X1

Ćwiczenie 1

RhuHhn0vBghgW1

Ćwiczenie 2

R41l8p9BHpmQr2

Ćwiczenie 3

RaAfwkYduSi6n2

Ćwiczenie 4

RHolMzWIDiRpZ2

Ćwiczenie 5

Dla a, większy niż, zero wyrażeniom w nagłówkach przyporządkuj wyrażenia im równe. Przeciągnij w odpowiednie okienka. a Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a, razy, a indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 5. pierwiastek sześcienny z a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 6. a, razy, a, 7. początek ułamka, a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 8. początek ułamka, a indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 9. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 10. pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 11. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 13. a, razy, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 14. a indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z a koniec pierwiastka, 15. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 16. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 17. początek ułamka, a indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 18. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a, koniec ułamka, 19. początek ułamka, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 20. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a, 21. pierwiastek kwadratowy z a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, razy, a indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, 22. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 23. a, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 24. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, a indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego

RRaPyXN8UTRMo2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Oblicz wartości potęg:

a) $3^{2^{2}}$ oraz ${(3^{2})}^{2}$

b) $2^{3^{2}}$ oraz ${(2^{3})}^{2}$

c) $2^{{\sqrt{2}}^{4}}$ oraz ${\sqrt{2}}^{2^{4}}$

$3^{2^{2}} = 3^{(2^{2})} = 3^{4} = 81$ oraz ${(3^{2})}^{2} = 81$

$2^{3^{2}} = 2^{(3^{2})} = 2^{9} = 512$ oraz ${(2^{3})}^{2} = 8^{2} = 64$

$2^{{\sqrt{2}}^{4}} = 2^{({\sqrt{2}}^{4})} = 2^{4} = 16$ oraz ${\sqrt{2}}^{2^{4}} = {(\sqrt{2})}^{(2^{4})} = {\sqrt{2}}^{16} = 256$

RjE7LVE0cHARO3

Ćwiczenie 8

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Wyrażenie nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, a, plus, b, mianownik, a b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, plus, b, koniec ułamka

Wyrażenie a indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, minus, jeden, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, a, plus, b, mianownik, a b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, a, plus, b, koniec ułamka

Wyrażenie nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, jeden, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Wyrażenie nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, dwa, koniec indeksu górnego jest równe:
początek ułamka, jeden, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

RPXiky5VOZFGf3

Ćwiczenie 9

Potęgowanie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest łącznym, ponieważ istnieją takie liczby dodatnie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest.

Potęgowanie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest działaniem przemiennym, ponieważ istnieją takie liczby dodatnie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest.

Potęgowanie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest rozdzielne względem dodawania, ponieważ takie liczby dodatnie 1. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 2. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 3. nie jest, 4. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego}, 5. jest, 6. nie jest, 7. a, b oraz liczba rzeczywista x, dla których nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nie równa się, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, x, koniec indeksu górnego, 8. a, b, c, dla których a indeks górny, nawias b indeks górny, c, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec indeksu górnego, nie równa się, nawias a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu indeks górny, c, koniec indeksu górnego, 9. nie jest, 10. a, b dla których a indeks górny, b, koniec indeksu górnego, nie równa się, b indeks górny, a, koniec indeksu górnego, 11. jest.

RiJxbiLchWbSj1

Ćwiczenie 10

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach. pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, trzy pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, minus, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego nawias, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, 2. początek ułamka, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, mianownik, sześć indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 3. sześć indeks górny, dwa pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 4. dwa indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, razy, trzy indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, 5. sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 6. sześć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego

RmMBFUSshzA031

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Przedstaw w najprostszej postaci wyrażenie $\frac{5^{n + 1} + 5^{n} + 5^{n - 2}}{5^{n + 3} + 2 \cdot 5^{n + 2} - 24 \cdot 5^{n}}$ dla dowolnej liczby całkowitej $n$ .

$\frac{5^{n + 1} + 5^{n} + 5^{n - 2}}{5^{n + 3} + 2 \cdot 5^{n + 2} - 24 \cdot 5^{n}} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot 5^{3} + 5^{n - 2} \cdot 5^{2} + 5^{n - 2}}{5^{n} \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5^{n} \cdot 5^{2} - 24 \cdot 5^{n}} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot (5^{3} + 5^{2} + 1)}{5^{n} \cdot (5^{3} + 2 \cdot 5^{2} - 24)} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot (125 + 25 + 1)}{5^{n} \cdot (125 + 50 - 24)} =$

$= \frac{5^{n - 2} \cdot 151}{5^{n} \cdot 151} =$

$= \frac{5^{n - 2}}{5^{n}} =$

$= 5^{n - 2 - n} =$

$= 5^{- 2} =$

$= \frac{1}{25}$

RPQYIRVDBU1962

Ćwiczenie 13

Wiadomo, że a, większy niż, zero i b, większy niż, zero. Połącz w pary wyrażenia równe. nawias, początek ułamka, szesnaście a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, sto dwadzieścia pięć b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, sto dwadzieścia pięć b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, sześćdziesiąt cztery a indeks górny, minus, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, trzysta czterdzieści trzy b indeks górny, minus, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden a indeks górny, minus, osiem, koniec indeksu górnego, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć b indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden a indeks górny, minus, osiem, koniec indeksu górnego, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć b indeks górny, minus, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia pięć b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy b, koniec ułamka, 3. początek ułamka, czterdzieści dziewięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, szesnaście b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 4. początek ułamka, cztery a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzy a, mianownik, pięć b, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto dwadzieścia pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dwadzieścia siedem b indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Ćwiczenie 14

Oblicz wartość wyrażenia ${(- 3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 9^{0, 5} \cdot 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{8}{17})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ .

${(- 3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 9^{0, 5} \cdot 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{8}{17})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} =$

$= {(- \frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{2}{3}} + 1 + {(- 2)}^{2} =$

$= {[{(- \frac{3}{2})}^{3}]}^{- \frac{2}{3}} - 3^{- 2} \cdot 3 \cdot 3^{2} + 1 + 4 =$

$= {(- \frac{3}{2})}^{- 2} - 3^{- 2 + 1 + 2} + 5 =$

$= \frac{4}{9} - 3 + 5 =$

$= \frac{4}{9} + 2 =$

$= 2 \frac{4}{9}$

Reiky1e81LMnk2

Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie sześć, razy, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, siedem, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, plus, pięć indeks górny, x, plus, jeden, koniec indeksu górnego. Uporządkuj poniższe równania, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. sześć, razy, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, siedem, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, plus, pięć indeks górny, x, plus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, jeden, 3. dwanaście, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, 4. trzydzieści siedem, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, plus, dwadzieścia pięć, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 5. trzydzieści, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, siedem, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, plus, dwadzieścia pięć, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 6. pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, pięć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, 7. x, równa się, jeden, 8. sześć, razy, pięć, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, plus, siedem, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, plus, pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 9. trzydzieści siedem, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć, razy, pięć indeks górny, x, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście, 10. x, minus, jeden, równa się, zero

R1BLfnxg0QXC73

Ćwiczenie 16

R17EcGpqx34wi3

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

Rozwiąż równanie $4^{x - 1} \cdot 8^{2 x + 1} = 8^{x} \cdot 64$ .

$4^{x - 1} \cdot 8^{2 x + 1} = 8^{x} \cdot 64$

${(2^{2})}^{x - 1} \cdot {(2^{3})}^{2 x + 1} = {(2^{3})}^{x} \cdot 2^{6}$

$2^{2 \cdot (x - 1)} \cdot 2^{3 \cdot (2 x + 1)} = 2^{3 x} \cdot 2^{6}$

$2^{2 x - 2} \cdot 2^{6 x + 3} = 2^{3 x} \cdot 2^{6}$

$2^{2 x - 2 + 6 x + 3} = 2^{3 x + 6}$

$2^{8 x + 1} = 2^{3 x + 6}$

$8 x + 1 = 3 x + 6$

$5 x = 5$

$x = 1$

Słownik

rozdzielność potęgowania względem mnożenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $r$ zachodzi równość

{(a \cdot b)}^{r} = a^{r} \cdot b^{r}

rozdzielność potęgowania względem dzielenia

własność potęgowania, która orzeka, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ oraz dowolnej liczby rzeczywistej $r$ zachodzi równość

{(a : b)}^{r} = a^{r} : b^{r}

3. Potęga o wykładniku wymiernym i rzeczywistym

5. Notacja wykładnicza

4. Prawa działań na potęgach

Słownik