• Odróżnisz notację wykładniczą od zapisu pozycyjnego.

• Wymienisz zalety notacji wykładniczej.

• Przekształcisz zapis pozycyjny liczby na notację wykładniczą i odwrotnie.

• Porównasz ze sobą liczby zapisane za pomocą notacji wykładniczej.

Rozważmy liczbę wyrażającą masę Słońca:

$1,989\cdot {10}^{30}\mathrm{k}\mathrm{g}=1,989\cdot 1000000000000000000000000000000\mathrm{k}\mathrm{g}$=
$=1989000000000000000000000000000\mathrm{k}\mathrm{g}$

Widać, że zapis liczby w notacji wykładniczej zajmuje zdecydowanie mniej miejsca niż zapis pozycyjny.

Drugą po Słońcu najbliższą Ziemi gwiazdą jest Proxima Centauri.
Jej odległość od Ziemi to $40140000000000 \mathrm{km}$.
Aby przedstawić tę liczbę w notacji wykładniczej, możemy postąpić następująco:

1. Z początkowych cyfr podanej wielkości tworzymy liczbę z przedziału $\left.⟨1,10\right)$: $4,014$.

2. Liczymy, ile cyfr, poza pierwszą, ma dana liczba - jest to wykładnik potęgi liczby $10$; w tym przypadku to $13$.

3. Zapisujemy daną liczbę w postaci wykładniczej: $4,014·{10}^{13}$.

Poza bardzo dużymi liczbami w nauce spotyka się również liczby bardzo małe. Jako przykład mogą posłużyć masy atomów pierwiastków chemicznych.

Hel – $6,64·{10}^{-24}\mathrm{g}$
Fosfor – $5,146·{10}^{-23}\mathrm{g}$
Złoto – $3,2702·{10}^{-22}\mathrm{g}$

Masę atomu helu możemy zapisać w postaci:

$6,64·{10}^{-24}=6,64·0,00000000000000000000000001=$
$=0,000000000000000000000000664$

Aby przedstawić liczbę $0,0000000000000159735$ w notacji wykładniczej, możemy postąpić następująco:

1. Z końcowych cyfr podanej wielkości tworzymy liczbę z przedziału $\left.⟨1,10\right)$, czyli mantysęmantysa liczbymantysę: $1,59735$.

2. Liczymy, ile kolejnych zer od lewej strony ma dana liczba – jest to wartość bezwzględna wykładnika potęgi liczby $10$. W tym przypadku to $14$.

3. Zapisujemy daną liczbę w postaci notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej: $1,59735·{10}^{-14}$.

Ułamek $0,00000000000046$ zapisujemy w notacji wykładniczejnotacja wykładniczanotacji wykładniczej:

$0,00000000000046=4,6·0,0000000000001=4,6·{10}^{-13}$.

A zatem rozważany ułamek jest rzędu ${10}^{-13}$.

RSN1NxmJH488m

Ilustracja przedstawia atom wodoru o wielkości $1,2·{10}^{-10}$ metra. W jego środku znajdują się protony o wielkości $1,6·{10}^{-15}$ metra.

Średnica protonu mierzona w metrach wynosi około $1,6·{10}^{-15}$.

Atom ma rozmiary rzędu ${10}^{-10} \mathrm{m}$, zaś jądro atomowe jest od niego $100000={10}^5$ razy mniejsze. A zatem jądro atomowe ma rozmiary około:

$\frac{{10}^{-10}}{{10}^5}=\frac{1}{{10}^{10}}·\frac{1}{{10}^5}=\frac{1}{{10}^{15}}={10}^{-15} \mathrm{m}$.

Obliczymy, ile razy większa jest rozwielitka o długości $3·{10}^{-3} \mathrm{m}$ od bakterii wielkości $2·{10}^{-6} \mathrm{m}$.

Mamy:

$\frac{3·{10}^{-3}}{2·{10}^{-6}}=\frac{3}{2}·\frac{{10}^6}{{10}^3}=1500$.

A zatem rozwielitka jest większa od bakterii $1500$ razy.

Magda tworzy model Układu Słonecznego, z modelem Ziemi wielkości grejpfruta o średnicy $15 \mathrm{cm}$.
Jak duża powinna być w modelu Magdy kulka przedstawiająca Księżyc?

Zauważmy, że ponieważ w zaproponowanym przez Magdę modelu Układu Słonecznego Ziemia ma średnicę $0,15 \mathrm{m}$, a w rzeczywistości jej średnica jest równa około $1,3·{10}^7 \mathrm{m}$, więc Magda wykonuje model Układu Słonecznego w skali $s=\frac{0,15}{1,3·{10}^7}\approx 0,00000001153846154\approx 1,15·{10}^{-8}$.

Posługując się zapisaną w notacji wykładniczej skalą $s$ obliczymy drugim sposobem, że w modelu Magdy:

• średnica Księżyca powinna być równa (w metrach) w przybliżeniu
  $1,15·{10}^{-8}·3,5·{10}^6=\left(1,15·3,5\right)·{10}^{-8+6}=$
  $=4,025·{10}^{-2}=0,04025$,
  czyli około $4 \mathrm{cm}$,

• odległość Księżyca od Ziemi powinna być równa w przybliżeniu $1,15·{10}^{-8}·3,8·{10}^8=\left(1,15·3,8\right)·{10}^{-8+8}=4,37$,
  czyli około $4,5 \mathrm{m}$.

Korzystając ze spostrzeżeń poczynionych powyżej obliczymy ponadto:

• jaką wielkość powinna mieć kula przedstawiająca Słońce w modelu Magdy,

• w jakiej odległości od grejpfruta przedstawiającego Ziemię powinna się ona znajdować.

Ponieważ Słońce ma średnicę około $1,4·{10}^9 \mathrm{m}$ i znajduje się $150$ milionów $\mathrm{km}$ od Ziemi, więc w modelu Magdy:

• kula przedstawiająca Słońce powinna mieć wielkość $1,15·{10}^{-8}·1,4·{10}^9\approx 16,10 \left(\mathrm{m}\right)$

• i powinna się ona znajdować w odległości od modelu Ziemi o $1,15·{10}^{-8}·150·{10}^9\approx 1730 \left(\mathrm{m}\right)$, czyli w odległości prawie dwóch kilometrów!

Wykażemy, że $25\%$ liczby $8^{-7}$ to $2^{-23}$.

Obliczamy:
$25\%·8^{-7}=\frac{1}{4}·{\left(2^3\right)}^{-7}=\frac{2^{-21}}{2^2}=2^{-21-2}=2^{-23}$. Koniec dowodu

Iloraz $\frac{{\left({27}^{-4}+{81}^{-3}+9^{-6}\right)}^5}{9^{22}+18·9^{20}-10·9^{21}}$ zapiszemy w postaci potęgi o podstawie $3$.

Przekształcamy, korzystając z własności działań na potęgach:

$\frac{{\left({27}^{-4}+{81}^{-3}+9^{-6}\right)}^5}{9^{22}+18·9^{20}-10·9^{21}}=\frac{{\left({\left(3^3\right)}^{-4}+{\left(3^4\right)}^{-3}+{\left(3^2\right)}^{-6}\right)}^5}{9^{20}·\left(9^2+18-10·9^1\right)}=$
$=\frac{{\left(3^{3·\left(-4\right)}+3^{4·\left(-3\right)}+3^{2·\left(-6\right)}\right)}^5}{9^{20}·\left(81+18-90\right)}=\frac{{\left(3^{-12}+3^{-12}+3^{-12}\right)}^5}{9^{20}·9}=$
$=\frac{{\left(3·3^{-12}\right)}^5}{9^{20+1}}=\frac{{\left(3^{1+\left(-12\right)}\right)}^5}{9^{21}}=\frac{{\left(3^{-11}\right)}^5}{{\left(3^2\right)}^{21}}=\frac{3^{-11·5}}{3^{2·21}}=\frac{3^{-55}}{3^{42}}=$
$=3^{-55-42}=3^{-97}$.

Rozpatrzmy liczbę $n={32}^{-4}$. Obliczymy ile składników równych $n$ musi mieć suma, która jest równa $4^{-5}$.

Przyjmijmy, że $4^{-5}$ jest sumą $k$ liczb równych $n$, to znaczy że zachodzi równość
$k·n=4^{-5}$.
Wtedy:
$k·{32}^{-4}=4^{-5}$,
skąd
$k=\frac{4^{-5}}{{32}^{-4}}=\frac{{\left(2^2\right)}^{-5}}{{\left(2^5\right)}^{-4}}=\frac{2^{-10}}{2^{-20}}=2^{-10-\left(-20\right)}=2^{-10+20}=2^{10}=1024$.

Zatem rozpatrywana suma musi mieć $2^{10}=1024$ składniki równe $n$.

zapisanie liczby w postaci $a·{10}^n$, gdzie $a\in ⟨1, 10)$, $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

jeden z czynników przy zapisie liczby w notacji wykładniczej, mantysa zawiera się w przedziale $⟨1, 10)$