6. Dowodzenie twierdzeń związanych z potęgowaniem - M_R_W02_M4 Potęgi

R1bRbpEjgeIhk

5. Dowodzenie twierdzeń związanych z potęgowaniem

W tej lekcji szczególną uwagę zwrócimy na dowodzenie własności liczb, ale naszym głównym celem będzie zastosowanie własności potęg. Zasygnalizujemy też inne ważne zagadnienia, np. wzory skróconego mnożenia. W przykładach i zadaniach najważniejsze będzie rozumowanie (często nieschematyczne) i argumentowanie przytaczanych faktów i obserwacji.

Twoje cele

Udowodnisz, że dana liczba jest kwadratem liczby całkowitej.
Udowodnisz podzielność jednej liczby przez inną.
Udowodnisz nierówność między potęgami.

Często popełnianym błędem (również w życiu codziennym) jest mylenie przyczyny ze skutkiem, czyli mówiąc językiem matematyki: odwracanie wynikania.

Jako przykład rozważmy zdania: jeśli wschodzi słońce, to kogut pieje oraz jeśli kogut pieje, to słońce wschodzi. Osoby mieszkające w sąsiedztwie kogutów zauważyły zapewne, że codziennie około wschodu słońca te ptaki dają o sobie znać głośnym “kukuryku”. Pierwsze zdanie możemy empirycznie uznać za prawdziwe. Trudno jednak oczekiwać, że za każdym razem, kiedy kogut zapieje, wzejdzie jakieś słońce. Oba zdania są przykładem implikacjiimplikacjaimplikacji (wynikania). Jeśli pierwsze z nich nazwiemy implikacją prostą (twierdzeniem prostym), to drugie będzie implikacją odwrotnąimplikacja odwrotna do danejimplikacją odwrotną (twierdzeniem odwrotnym). W tym przypadku implikacja prosta jest prawdziwa, ale implikacja odwrotna już nie.

W matematyce jest podobnie. Implikacja jeśli liczba całkowita jest podzielna przez $4$ , to jest podzielna przez $2$ jest prawdziwa, ale implikacja do niej odwrotna (jeśli liczba całkowita jest podzielna przez $2$ , to jest podzielna przez $4$ ) prawdziwa już nie jest (liczba $6$ jest podzielna przez $2$ , ale nie dzieli się przez $4$ ).

W tej lekcji skupimy się na dowodzeniu faktów wykorzystując własności potęg. Przeanalizuj poniższe przykłady. Zwróć szczególną uwagę, co jest założeniem a co tezą w każdym przypadku.

Przykład 1

Wykażemy, że liczba $8^{10} + 4^{16} + 3 \cdot 16^{8}$ jest podzielna przez $17$ .

Rozwiązanie

Aby wykazać, że podana liczba dzieli się przez $17$ , wystarczy przedstawić ją w postaci iloczynu liczby $17$ i liczby całkowitej. Przekształcimy podane wyrażenie korzystając z własności działań na potęgach. Ponieważ każda z liczb $8$ , $4$ i $16$ jest potęgą liczby $2$ , zachodzą następujące równości:

$8^{10} + 4^{16} + 3 \cdot 16^{8} =$

$= {(2^{3})}^{10} + {(2^{2})}^{16} + 3 \cdot {(2^{4})}^{8} =$

$= 2^{3 \cdot 10} + 2^{2 \cdot 16} + 3 \cdot 2^{4 \cdot 8} =$

$= 2^{30} + 2^{32} + 3 \cdot 2^{32} =$

$= 2^{30} + 2^{30} \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{30} \cdot 2^{2} =$

$= 2^{30} (1 + 2^{2} + 3 \cdot 2^{2}) = 2^{30} \cdot 17$ .

Ponieważ $2^{30}$ jest liczbą naturalną, więc $2^{30} \cdot 17$ jest podzielna przez $17$ .

Przykład 2

Wykażemy, że $63^{16} < 18^{24}$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z umiejętności porównywania potęg o takich samych wykładnikach.

I sposób

Zauważmy, że $63^{16} < 64^{16} = {(4^{3})}^{16} = 4^{3 \cdot 16} = 4^{48} = 4^{2 \cdot 24} = {(4^{2})}^{24} = 16^{24} < 18^{24}$ .

II sposób

Zauważmy, że $63^{16} = 63^{2 \cdot 8} = {(63^{2})}^{8} = 3969^{8}$ oraz $18^{24} = 18^{3 \cdot 8} = {(18^{3})}^{8} = 5832^{8}$ .

Ponieważ $3969^{8} < 5832^{8}$ , więc nierówność $63^{16} < 18^{24}$ jest prawdziwa.

Przykład 3

Uzasadnimy, że nie istnieje liczba całkowita $x$ , która spełnia równanie $x (x + 1) = 2021^{2020}$ .

Rozwiązanie

Założenie: $x \in ℤ$ .

Teza: równanie $x (x + 1) = 2021^{2020}$ nie ma rozwiązania.

Zauważmy, że dla liczby całkowitej $x$ wyrażenie $x (x + 1)$ jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich jest parzysta, zatem iloczyn dzieli się przez $2$ .

Liczba $2021$ jest nieparzysta, więc liczba $2021^{2020}$ również jest nieparzysta. Ponieważ nie istnieje liczba, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta, więc wyrażenie $x (x + 1)$ nie równa się $2021^{2020}$ dla żadnej liczby całkowitej $x$ .

Przykład 4

Wykażemy, że liczba $2^{2 n} - 3 \cdot 2^{n + 1} + 9$ jest kwadratem liczby całkowitej dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ .

Rozwiązanie

Założenie: $n \in ℕ$ , $n \neq 0$ .

Teza: $2^{2 n} - 3 \cdot 2^{n + 1} + 9$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Przekształćmy rozważane wyrażenie:

$2^{2 n} - 3 \cdot 2^{n + 1} + 9 =$

$= 2^{2 n} - 2 \cdot 3 \cdot 2^{n} + 9 =$

$= 2^{n} \cdot 2^{n} - 3 \cdot 2^{n} - 3 \cdot 2^{n} + 9 =$

$= 2^{n} (2^{n} - 3) - 3 (2^{n} - 3) =$

$= (2^{n} - 3) (2^{n} - 3) =$

$= {(2^{n} - 3)}^{2}$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $2^{n}$ jest liczbą naturalną, zaś liczba $2^{n} - 3$ jest całkowita.

Przykład 5

Wykażemy, że liczba $3^{n - 5} + 3^{n - 4} + 3^{n - 3}$ jest podzielna przez $13$ dla dowolnej liczby naturalnej $n$ większej od $4$ .

Rozwiązanie

Założenie: $n \in ℕ$ , $n > 4$ .

Teza: $13 ∣ 3^{n - 5} + 3^{n - 4} + 3^{n - 3}$ .

Zauważmy, że

$3^{n - 5} + 3^{n - 4} + 3^{n - 3} =$

$= 3^{n - 5} + 3^{n - 5} \cdot 3 + 3^{n - 5} \cdot 3^{2} =$

$= 3^{n - 5} (1 + 3 + 3^{2}) =$

$= 3^{n - 5} \cdot 13$ .

Ponieważ $n$ jest większe od $4$ , więc liczba $3^{n - 5}$ jest naturalna, co oznacza, że jej iloczyn przez liczbę $13$ jest wielokrotnością liczby $13$ , co dowodzi tezy.

Przykład 6

Wykażemy, że liczba $3^{n + 3} + 2^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2}$ jest podzielna przez $6$ dla dowolnej liczby naturalnej.

Rozwiązanie

Założenie: $n \in ℕ$ .

Teza: $6 ∣ 3^{n + 3} + 2^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2}$ .

Przekształćmy rozważaną sumę:

$3^{n + 3} + 2^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2} =$

$= 3^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 2} + 2^{n + 3} =$

$= 3^{n} \cdot 3^{3} + 3^{n} \cdot 3 + 2^{n + 1} \cdot 2 + 2^{n + 1} \cdot 2^{2} =$

$= 3^{n} (3^{3} + 3) + 2^{n + 1} (2 + 2^{2}) =$

$= 3^{n} \cdot 30 + 2^{n + 1} \cdot 6 =$

$= 6 (3^{n} \cdot 5 + 2^{n + 1})$ .

Ponieważ liczby $3^{n}$ i $2^{n + 1}$ są naturalne oraz iloczyn i suma liczb naturalnych są liczbami naturalnymi, więc liczba $3^{n} \cdot 5 + 2^{n + 1}$ też jest naturalna. Zatem rozważana liczba jest podzielna przez $6$ , co kończy dowód.

Przykład 7

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ prawdziwy jest wzór ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Rozwiązanie

Założenie: $a$ , $b \in ℝ$ .

Teza: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Na mocy definicji potęgowania możemy zauważyć, że

${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b)$ .

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy

$(a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2}$ .

Wystarczy wykonać redukcję wyrazów podobnych, aby otrzymać prawą stronę dowodzonej tożsamości

$a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Przykład 8

Wykażemy, że jeśli $9^{x} + 9^{- x} = 14$ dla pewnej liczby rzeczywistej $x$ , to $3^{x} + 3^{- x} = 4$ .

Rozwiązanie

Założenie: $9^{x} + 9^{- x} = 14$ .

Teza: $3^{x} + 3^{- x} = 4$ .

Przekształcimy najpierw wyrażenie ${(3^{x} + 3^{- x})}^{2}$ korzystając ze wzoru udowodnionego w poprzednim przykładzie:

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = {(3^{x})}^{2} + 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- x} + {(3^{- x})}^{2} = 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{x + (- x)} + 3^{- 2 x} =$

$= 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{0} + 3^{- 2 x} = 9^{x} + 2 + 9^{- x}$ .

Zatem

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 9^{x} + 2 + 9^{- x}$ .

Z założenia wiemy, że $9^{x} + 9^{- x} = 14$ , zatem

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 2 + 14$

${(3^{x} + 3^{- x})}^{2} = 16$ .

Powyższe równanie oznacza, że $3^{x} + 3^{- x} = 4$ lub $3^{x} + 3^{- x} = - 4$ . Zauważmy ponadto, że dowolna potęga liczby dodatniej jest dodatnia, więc liczba $3^{x}$ i liczba $3^{- x}$ są dodatnie, więc i liczba $3^{x} + 3^{- x}$ jest dodatnia. Stąd $3^{x} + 3^{- x} = 4$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj przykłady zawarte w animacji. Na ich podstawie rozwiąż polecenia zamieszczone poniżej.

RYCMU0zAddVY5

Polecenie 2

Udowodnij, że liczba $6^{17} - 6^{18} + 6^{19}$ jest podzielna przez $31$ .

Zauważmy, że $6^{17} - 6^{18} + 6^{19} = 6^{17} - 6^{17} \cdot 6 + 6^{17} \cdot 6^{2} = 6^{17} (1 - 6 + 6^{2}) = 6^{17} \cdot 31$ .

Ponieważ $6^{17}$ jest liczbą naturalną, więc $6^{17} - 6^{18} + 6^{19}$ jest podzielne przez $31$ .

Polecenie 3

Ile dzielników ma liczba $6^{17} - 6^{18} + 6^{19}$ ?

Ponieważ $6^{17} - 6^{18} + 6^{19} = 31 \cdot 6^{17} = 31 \cdot 2^{17} \cdot 3^{17}$ , więc każdy dzielnik liczby $6^{17} - 6^{18} + 6^{19}$ jest postaci $31^{x} \cdot 2^{y} \cdot 3^{z}$ , przy czym liczba $x$ może być każdą spośród liczb ze zbioru $\{0, 1\}$ , zaś liczby $y$ i $z$ mogą być dowolnymi ze zbioru $\{0, 1, 2, 3, \dots 17\}$ . Zatem liczbę $x$ można wybrać na $2$ sposoby, zaś każdą z liczb $y$ i $z$ na $18$ sposobów. Zatem wszystkich dzielników jest $2 \cdot 18 \cdot 18 = 648$ .

Ćwiczenie 1

Wykaż, że liczba $9^{7} + 3^{13} + 5 \cdot 27^{4}$ jest podzielna przez $17$ .

Korzystając z własności potęg, możemy zapisać: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ .
Stąd
$9^{7} + 3^{13} + 5 \cdot 27^{4} = {(3^{2})}^{7} + 3^{13} + 5 \cdot {(3^{3})}^{4} = 3^{14} + 3^{13} + 5 \cdot 3^{12} =$
$= 3^{12} (3^{2} + 3 + 5) = 3^{12} \cdot 17$ .
Ponieważ liczba $3^{12}$ jest całkowita, więc $9^{7} + 3^{13} + 5 \cdot 27^{4}$
dzieli się przez $17$ .

R1M1FwTRrwMhZ1

Ćwiczenie 2

Wykaż, że dwa indeks górny, osiemset sześćdziesiąt jeden, większy niż, pięć indeks górny, trzysta sześćdziesiąt dziewięć. Przeciągnij i upuść podane wyrażenia w odpowiednie miejsca, aby otrzymać dowód powyższego faktu. dwa indeks górny, osiemset sześćdziesiąt jeden, równa się1. pięć indeks górny, trzy, razy, sto dwadzieścia trzy, 2. dwa indeks górny, siedem, razy, sto dwadzieścia trzy, 3. nawias, pięć indeks górny, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 4. sto dwadzieścia pięć indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 5. sto dwadzieścia osiem indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 6. nawias, dwa indeks górny, siedem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy równa się1. pięć indeks górny, trzy, razy, sto dwadzieścia trzy, 2. dwa indeks górny, siedem, razy, sto dwadzieścia trzy, 3. nawias, pięć indeks górny, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 4. sto dwadzieścia pięć indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 5. sto dwadzieścia osiem indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 6. nawias, dwa indeks górny, siedem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy równa się1. pięć indeks górny, trzy, razy, sto dwadzieścia trzy, 2. dwa indeks górny, siedem, razy, sto dwadzieścia trzy, 3. nawias, pięć indeks górny, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 4. sto dwadzieścia pięć indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 5. sto dwadzieścia osiem indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 6. nawias, dwa indeks górny, siedem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy większy niż1. pięć indeks górny, trzy, razy, sto dwadzieścia trzy, 2. dwa indeks górny, siedem, razy, sto dwadzieścia trzy, 3. nawias, pięć indeks górny, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 4. sto dwadzieścia pięć indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 5. sto dwadzieścia osiem indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 6. nawias, dwa indeks górny, siedem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy równa się1. pięć indeks górny, trzy, razy, sto dwadzieścia trzy, 2. dwa indeks górny, siedem, razy, sto dwadzieścia trzy, 3. nawias, pięć indeks górny, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 4. sto dwadzieścia pięć indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 5. sto dwadzieścia osiem indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 6. nawias, dwa indeks górny, siedem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy równa się1. pięć indeks górny, trzy, razy, sto dwadzieścia trzy, 2. dwa indeks górny, siedem, razy, sto dwadzieścia trzy, 3. nawias, pięć indeks górny, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 4. sto dwadzieścia pięć indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 5. sto dwadzieścia osiem indeks górny, sto dwadzieścia trzy, 6. nawias, dwa indeks górny, siedem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto dwadzieścia trzy równa się, pięć indeks górny, trzysta sześćdziesiąt dziewięć

RCOS9JnQEfh6G21

Ćwiczenie 3

RE2Ovl31j6G9T2

Ćwiczenie 4

R1cpZFMkoxjtm21

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ zachodzi wzór ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Zauważmy, że:

${(a - b)}^{2} = (a - b) (a - b) = a (a - b) - b (a - b) = a^{2} - a b - b a + b^{2}$

$= a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

RvQvKrdRK6B0D2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej większej niż $1$ liczba $3^{n - 2} + 3^{n - 1} + 3^{n} + 5^{n} + 5^{n + 2}$ jest podzielna przez $13$ .

Zauważmy, że:

$3^{n - 2} + 3^{n - 1} + 3^{n} + 5^{n} + 5^{n + 2} = 3^{n - 2} + 3^{n - 2} \cdot 3^{1} + 3^{n - 2} \cdot 3^{2} + 5^{n} + 5^{n} \cdot 5^{2} =$

$= 3^{n - 2} (1 + 3 + 3^{2}) + 5^{n} (1 + 5^{2}) = 3^{n - 2} \cdot 13 + 5^{n} \cdot 26 = 13 (3^{n - 2} + 5^{n} \cdot 2)$ .

Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną większą niż $1$ , więc $3^{n - 2}$ i $5^{n}$ również są liczbami naturalnymi. Wynika stąd, że $3^{n - 2} + 5^{n} \cdot 2$ jest liczbą naturalną, więc rozważana liczba jest iloczynem liczb $13$ i liczby naturalnej, więc jest podzielna przez $13$ .

Ćwiczenie 9

Wiadomo, że $4^{x} + 4^{- x} = 2$ . Wykaż, że $2^{x} + 2^{- x} = 2$ .

Zauważmy, że na mocy wzoru ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ zachodzi ${(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = {(2^{x})}^{2} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} + {(2^{- x})}^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ . Zatem ${(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ . Na mocy założenia mamy $4^{x} + 4^{- x} = 2$ , więc ostatnia równość przyjmuje postać ${(2^{x} + 2^{- x})}^{2} = 4$ .

Wynika stąd, że $2^{x} + 2^{- x} = 2$ lub $2^{x} + 2^{- x} = - 2$ . Ponieważ każda potęga liczby dodatniej jest dodatnia, więc $2^{x} + 2^{- x} > 0$ , czyli $2^{x} + 2^{- x} = 2$ . Co było do wykazania.

Słownik

implikacja

zdanie logiczne powstałe przez połączenie dwóch zdań $p$ i $q$ spójnikiem implikacji, czyli $p \Rightarrow q$ , co czytamy jeśli $p$ , to $q$ . Zdanie $p$ nazywamy poprzednikiem implikacji, zaś zdanie $q$ - następnikiem

implikacja odwrotna do danej

implikacja, która powstaje z implikacji danej poprzez zamienienie jej poprzednika i następnika miejscami (poprzednik implikacji prostej staje się następnikiem implikacji odwrotnej, zaś następnik implikacji prostej staje się poprzednikiem implikacji odwrotnej). Implikacją odwrotną do $p \Rightarrow q$ jest $q \Rightarrow p$

5. Notacja wykładnicza

M_R_W02_M4 Potęgi

5. Dowodzenie twierdzeń związanych z potęgowaniem

Słownik