4. Linia środkowa w trójkącie

R1OqPzRlMYpt8

Materiał ten poświęcony jest dość naturalnemu pytaniu o własności linii, nazywanej linią środkową w trójkącie, która w trójkącie łączy środki dwóch boków. Środek odcinka jest to punkt odcinka równo oddalony od jego końców i jednocześnie jest środkiem symetrii tego odcinka.

Zadamy sobie pytanie o długość linii środkowej i wzajemną zależność między liniami środkowymi w trójkącie. Również spytamy na jakie figury linie środkowe dzielą trójkąt, jakie własności mają te figury i jakie są ich pola.

Twoje cele

Poznasz i sformułujesz pojęcie linii środkowej w trójkącie.
Poznasz własności linii środkowych w trójkącie.
Poznasz własności figur na jakie linie środkowe w trójkącie dzielą ten trójkąt.
Zastosujesz własności linii środkowych w trójkącie w problemach praktycznych i zagadnieniach matematycznych.

linia środkowa

Definicja: linia środkowa

Linia środkowa w trójkącie jest to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta.

W każdym trójkącie istnieją trzy różne linie środkowe, każdej z nich odpowiada jeden bok trójkąta – ten, który nie został wybrany do wyznaczenia linii środkowej.

Bok odpowiadający danej linii środkowej będziemy nazywali podstawą.

Trójkąt, którego boki są liniami środkowymi będziemy nazywali trójkątem środkowymtrójkąt środkowy w trójkącie trójkątem środkowym.

Na rysunku różnymi kolorami zaznaczone są pary: linia środkowalinia środkowa w trójkącielinia środkowa i odpowiadająca jej podstawa.

RT1fMDW4EQrOd

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. Zaznaczono punkty D, E, F na środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty połączono ze sobą tworząc kolejny trójkąt.

Trójkąt $D E F$ jest trójkątem środkowym.

o linii środkowej w trójkącie

Twierdzenie: o linii środkowej w trójkącie

Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy.

Zobaczmy film, który pozwoli nam utrwalić twierdzenie o linii środkowej w trójkącie. Poznamy też dowód wykorzystujący wektory.

R1ReBmowvxTbx

Wnioski z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie

Trójkąty wyznaczone przez linie środkowe w trójkącie są podobne do tego trójkąta w skali $\frac{1}{2}$ .
Linie środkowe w trójkącie dzielą ten trójkąt na $4$ trójkąty przystające, czyli trójkąty przystające do trójkąta środkowego.
Pole każdego z czterech przystających trójkątów wyznaczonych przez linie środkowe jest $4$ razy mniejsze od pola trójkąta wyjściowego.

Przykład 1

Obliczymy długości linii środkowych w trójkącie o bokach długości $20$ , $15$ , $10$ .

Rozwiązanie

Bezpośrednio z powyższego twierdzenia wynika, że środkowa odpowiadająca postawie $20$ ma długość $10$ , środkowa linia odpowiadająca podstawie $15$ ma długość $7, 5$ a środkowa linia odpowiadająca podstawie $10$ ma długość $5$ .

Przykład 2

Przy oznaczeniach z poniższego rysunku pokażemy, że:

czworokąt $A B E F$ jest trapezemtrapez trapezem
czworokąt $D B E F$ jest równoległobokiemrównoległobokrównoległobokiem

ReWhLPRApRkjP

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. Zaznaczono punkty D, E, F w środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty połączono ze sobą tworząc kolejny trójkąt. Oznaczono kolorem żółtym powierzchnie pomiędzy punktami A, D, F i kolorem czerwonym powierzchnie między punktami D, B, E, F.

Rozwiązanie

Wprost z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie $F E ∥ A B$ , więc czworokąt $A B E F$ jest trapezem a czworokąt $D B E F$ jest równoległobokiem. Również z tego twierdzenia wynika, że $D F ∥ B E$ i $F E ∥ D B$ .

Jakie jeszcze trapezy i równoległoboki widać na rysunku?

Przykład 3

Załóżmy, że pole trójkąta środkowego w trójkącie $A B C$ jest równe $P$ . Wyznaczymy pole trójkąta $A B C$ oraz pola trapezów i równoległoboków powstałych po narysowaniu linii środkowych w trójkącie $A B C$ .

Rozwiązanie

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A B C$ , trójkąt środkowy i trzy trójkąty przystające do trójkąta środkowego. Obliczymy pola figur.

R1UBF76LSusZD

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. Zaznaczono punkty D, E, F w środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty połączono ze sobą tworząc kolejny trójkąt. W ten sposób wydzielono cztery pola oznaczone jako P.

Ponieważ te trójkąty są przystające, to pole każdego z nich jest równe $P$ .

Pole trójkąta $A B C$ jest równe $4 P$ .

Pola trapezów $A F E B$ , $A D E C$ i $B D F C$ są równe i wynoszą $3 P$ .

Pola równoległoboków $B E F D$ , $A D E F$ i $D F C E$ są równe i wynoszą $2 P$ .

odwrotne do twierdzenia o linii środkowej w trójkącie

Twierdzenie: odwrotne do twierdzenia o linii środkowej w trójkącie

Jeżeli odcinek łączący dwa boki trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego boku, to odcinek ten jest linią środkową w trójkącie.

Dowód

Popatrzmy na rysunek. Załóżmy, że $F E ∥ A B$ i $|F E| = \frac{|A B|}{2}$ .

R1FpwvHOKKJ7u

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. W środkach odcinków AC i CB oznaczono punkty F i E. Utworzono odcinek FE.

Wtedy z wniosków z twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{|C E|}{|C B|} = \frac{|F E|}{|A B|} = \frac{1}{2}$ , a stąd punkt $E$ jest środkiem odcinka $C B$ . Podobnie pokazuje się, że punkt $F$ jest środkiem odcinka $C A$ .

Ważne!

Nie należy mylić linii środkowej w trójkącie z pojęciem środkowej, gdyż środkowa w trójkącieśrodkowa w trójkącieśrodkowa w trójkącie jest to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Aby lepiej zapamiętać tę różnice w definicjach środkowej i linii środkowej udowodnimy następujące twierdzenie:

o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie

Twierdzenie: o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie

Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i punkt ten dzieli środkowe w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołków trójkąta.

Dowód

Na rysunku przedstawiono dwie środkowe $B F$ i $A E$ . Wtedy $E F$ jest linią środkową w trójkącie $A B C$ .

R1AscdCUaZB4V

Ilustracja przedstawia trójkąt A, B, C. W środkach odcinków AC i CB oznaczono punkty F i E. Utworzono odcinek FE. Dodano odcinki AE i FB, które przecinają się w punkcie S.

Z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie wynika, że

$E F ∥ A B$ i $|A B| : |E F| = 2 : 1$ .

Stąd, na mocy uogólnienia twierdzenia Talesa trójkąty $E S F$ i $A S B$ są podobne i

$|S A| : |S E| = |S B| : |S F| = |A B| : |E F| = 2 : 1$

Teraz trzeba pokazać, że trzecia środkowa poprowadzona w wierzchołka $C$ przechodzi przez punkt $S$ oraz, że punkt $S$ dzieli tę środkową w stosunku $2 : 1$ .

Niech punkt $G$ będzie środkiem boku $A B$ i niech $P$ oznacza punkt przecięcia środkowej $C G$ i środkowej $F B$ . Ponieważ argumentacja przedstawiona wyżej nie zależała od wyboru środkowych, to punkt $P$ dzieli środkowe $C G$ i $F B$ w stosunku $2 : 1$ . Stąd zarówno punkt $P$ jak i punkt $S$ dzielą odcinek $F B$ w stosunku $2 : 1$ , a to jest możliwe tylko wtedy, gdy $P = S$ .

Przykład 4

Pokażemy, że wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku $2 : 1$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że w trójkącie równobocznym wysokości są jednocześnie środkowymi trójkąta, więc na mocy twierdzenia o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w stosunku $2 : 1$ .

Przykład 5

Wysokość trójkąta równoramiennego poprowadzona do podstawy i linia środkowa łącząca środek podstawy ze środkiem ramienia mają długość $1$ .

R8IFzTAc0PcuO

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A, B, C. W środkach odcinków BC i AB zaznaczono punkty D i E. Odcinek DA, który jest wysokością trójkąta A, B, C jest równy 1 i równy odcinkowi ED.

Obliczymy długość podstawy tego trójkąta.

Rozwiązanie

Z twierdzenia o linii środkowej w trójkącie $|A C| = 2 |D E| = 2$ . Z twierdzenia Pitagorasa $1 + {|C D|}^{2} = 4$ . Stąd $|C D| = \sqrt{3}$ .

Zatem podstawa ma długość $2 |C D| = 2 \sqrt{3}$ .

Polecenie 1

Za pomocą suwaków możesz wybierać wartości $a$ , $b$ , $c$ na podstawie, których budowany jest trójkąt $D E F$ . Uwaga, jeśli zaznaczysz wartości $a$ , $b$ , $c$ takie, że nie można zbudować trójkąta, to trójkąt nie pojawi się na ekranie.
Bokami trójkąta $D E F$ są odcinki o długościach $a$ , $b$ , $c$ . Wyświetlana jest wartość $P$ pola tego trójkąta.
Na ekranie skonstruowany został też trójkąt $A B C$ , dla którego trójkąt $D E F$ jest trójkątem środkowym.
Wielokrotnie zmieniaj wartości $a$ , $b$ , $c$ i obserwuj trójkąty i czworokąty zawarte w trójkącie $A B C$ , szczególnie jak zmienia się pole trójkąta $D E F$ .

R1b5X0QDJxbhE

Polecenie 2

Oblicz i wstaw poprawne wartości w luki w zdaniach.

R1B13ttWfWg6u

R1bjuIaT3Zvt5

RVROydSRIgSfX

Ćwiczenie 1

W prostokącie $A B C D$ o długościach boków $|A B| = 8$ , $|A D| = 12$ , połączono środki boków $A B$ i $A D$ oraz $D C$ i $B C$ otrzymując w ten sposób sześciokąt $B G H D E F$ . Oblicz pole i obwód tego sześciokąta.

Skorzystajmy z rysunku.

RQ5znvFJCYNOk

Ilustracja przedstawia czworokąt A, B, C, D. W środkach jego boku oznaczono punkty E, F, G, H które wraz z punktami B i D tworzą sześciokąt.

Wtedy $E F$ i $G H$ są liniami środkowymi w trójkątach $A B D$ i $C B D$ .

Pole sześciokąta jest równe polu prostokąta minus pola trójkątów $A F E$ i $C H G$ . Ale pole każdego z tych trójkątów jest równe $\frac{1}{4}$ pola trójkąta $A B D$ , czyli $\frac{1}{8}$ pola prostokąta.

Stąd pole sześciokąta jest równe $12 \cdot 8 - 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 12 \cdot 8 = 72$ .

Aby policzyć obwód wyznaczamy długość odcinka $E F$ z twierdzenia Pitagorasa:

${|F E|}^{2} = 4^{2} + 6^{2} = 52$ . Stąd $|F E| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

Ostatecznie, obwód sześciokąta jest równy:

$2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 2 \sqrt{13} = 20 + 4 \sqrt{13}$ .

Ćwiczenie 2

R13O1THuQc36y

Ilustracja przedstawia czworokąt A, B, C, D. Na kolejnych środkach boków tego czworokąta oznaczono punkty E, F, G, H, tworzą one kolejny czworokąt. Odcinek AE jest równy 3, odcinek EB 3, BF 4, FC 3, GD 4, DH 4, HA 4. Odcinek EF ma wartość 6, a odcinek EH ma wartość 5.

R2fbuc1GUcEjh

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawione są dwa sześciokąty foremne takie, że wierzchołki sześciokąta mniejszego są środkami boków sześciokąta większego.

R1O6I309xb8Lu

Ilustracja przedstawia dwa sześciokąty foremne takie, że wierzchołki sześciokąta mniejszego Q, K, J, N, O, P są środkami boków sześciokąta większego A, B, C, D, E, F. Utworzono odcinki; PK, EB, OJ, FD, QN, AC..

ReIvQnAGHvmKI

RAKvuuwLLqJOq2

Ćwiczenie 4

R18UfI0Lj0wIh2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Uzasadnij, że czworokąt, którego wierzchołkami są środki boków rombu jest prostokątem. Kiedy ten czworokąt będzie kwadratem?

Na rysunku czworokąt $A B C D$ jest rombem. Wtedy czworokąt $E F G H$ jest równoległobokiem, którego boki są równoległe do przekątnych rombu. Ponieważ przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, to sąsiednie boki równoległoboku są też prostopadłe, a to dowodzi, że ten czworokąt jest prostokątem.

RSXTERCdQaQWj

Rysunek przedstawia romb A, B, C, D. W środku jest wpisany prostokąt E, F, G, H tak, że jego wierzchołki znajdują się w środkach boków rombu.

Z faktu, że linie środkowe w trójkącie mają długości równe połowie długości podstaw (w tym przypadku przekątnych rombu) wynika, że omawiany czworokąt będzie kwadratem, jeśli przekątne rombu będą miały równe długości. Stąd czworokąt $E F G H$ jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy romb $A B C D$ jest kwadratem.

Ćwiczenie 7

W trapezie $A B C D$ o polu $P$ , w którym $A B ∥ C D$ i $|A B| = 2 |C D|$ przedłużono ramiona trapezu aż do przecięcia w punkcie $O$ . Wyznacz pole trójkąta $A B O$ .

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o linii środkowej w trójkącie wynika, że $C D$ jest linią środkową trójkąta $A B O$ . Stąd pole trapezu jest równe $\frac{3}{4}$ pola trójkąta $A B O$ . Stąd pole trójkąta $A B O$ jest równe $\frac{4}{3} P$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie $A B C$ punkty $D$ , $E$ , $F$ są środkami boków tego trójkąta. Natomiast punkty $P$ , $Q$ są środkami boków trójkąta $B O C$ , gdzie $O$ jest punktem wspólnym odcinka $D F$ i $A E$ .

RBLILCmMfwS9A

Rysunek przedstawia trójkąt A, B, C. Oznaczono punkt O w połowie wysokości trójkąta. Utworzono odcinki BO, CO. Wpisano prostokąt F, D, P, Q gdzie pierwsze dwa punkty są umieszczone w środkach boków trójkąta A, B, C. Punkty P i Q leżą odpowiednio w środkach odcinków BO i CO.

Udowodnij, że czworokąt $D P Q F$ jest równoległobokiem.

$D F ∥ B C$ , bo $D F$ jest linią środkową w trójkącie $A B C$ . Również $P Q ∥ B C$ , bo $P Q$ jest linią środkową w trójkącie $B O C$ . Stąd $D F ∥ P Q$ .

Z drugiej strony $D P ∥ A O$ , bo $D P$ jest linią środkową w trójkącie $A B O$ . Również $F Q ∥ A O$ , bo $F Q$ jest linią środkową w trójkącie $A C O$ . Stąd $D P ∥ F Q$ .

Zatem czworokąt $D P Q F$ jest równoległobokiem, bo ma dwie pary boków równoległych.

Ćwiczenie 9

Jagoda mieszka w pobliżu ogrodzonego parku w kształcie trójkąta o bokach $60$ , $80$ , $100$ (niebieski znak x). Do parku można wejść przez trzy bramy umieszczone na środkach boków tego trójkąta. Miejsce przystanku autobusowego oznaczone jest czerwonym znakiem x. Wyznacz długość najkrótszej drogi z przystanku do domu.

Rf3t4BPNlmHUf

Rysunek przedstawia trójkąt A, B, C. Oznaczono środkowe E, F, D które tworzą mniejszy trójkąt. Na boku AE zaznaczono czerwony x tak, że jego odległość od wierzchołka A wynosi 20. Na boku BF zaznaczono niebiski x tak, że jego odległość od wierzchołku B wynosi 10.

Najkrótsza trasa to: z przystanku idziemy do bramy $E$ , potem przez park do bramy $F$ i wzdłuż ogrodzenia do domu.

Długość drogi jest sumą następujących wartości:

$10 = \frac{60}{2} - 20$ – odległość od przystanku do bramy $E$ .

$50 = \frac{100}{2}$ – $E F$ jest linią środkową w trójkącie $A B C$

$30 = \frac{80}{2} - 10$ – odległość od bramy $F$ do domu

Suma ta jest równa $90$ .

Ćwiczenie 10

Wykaż, że pole czworokąta powstałego z połączenia środków boków trapezu jest równe połowie pola tego trapezu.

Na rysunku przedstawiliśmy trapez i odcinki łączące środki boków trapezu. Wtedy $E F$ jest linią środkową trójkąta $A C D$ i pozostałe boki czworokąta $E F G H$ są liniami środkowymi w odpowiednich trójkątach.

R1VGWi4zw663g

Ilustracja przedstawia trapez A, B, C, D i odcinki łączące środki boków tego trapezu, które tworzą czworokąt E, F, G, H. Dodatkowo zaznaczone są przekątne tego trapezu AD oraz BC.

Z własności linii środkowych

$P_{E C F} = \frac{1}{4} P_{A C D}$ , $P_{A E H} = \frac{1}{4} P_{A C B}$ , $P_{D G F} = \frac{1}{4} P_{B C D}$ , $P_{B G H} = \frac{1}{4} P_{A B D}$

Ponadto,

$2 P_{A B C D} = (P_{A C D} + P_{A B D}) + (P_{A B C} + P_{B C D}) = 4 P_{E C F} + 4 P_{B G H} + 4 P_{A E H} +$ $+ 4 P_{D G F}$

Stąd $P_{E C F} + P_{B G H} + P_{A E H} + P_{D G F} = \frac{1}{2} P_{A B C D}$ i wtedy pole czworokąta $E F G H$ jest równe $\frac{1}{2} P_{A B C D}$ .

Słownik

środkowa w trójkącie

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

trójkąt środkowy w trójkącie

trójkąt, którego boki są liniami środkowymi w danym trójkącie

linia środkowa w trójkącie

odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta

trapez

czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych

równoległobok

czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych

3. Zastosowanie Twierdzenia Talesa

5. Cechy podobieństwa trójkątów

4. Linia środkowa w trójkącie

Słownik