4. Nierówności kwadratowe

R9VAM98VFLP8T

Obliczanie „delty” – czyli wyróżnika trójmianu kwadratowego to bardzo ważne i powszechnie używane narzędzie pracy matematyków. Znak delty mówi o liczbie rozwiązań równania kwadratowego. Podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych zupełnych również obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i pierwiastki równania (jeżeli istnieją). Następnie, na podstawie rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

Twoje cele

Rozwiążesz nierówność kwadratową.

Nierówności, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Nierówności, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnymi.

Nierówności kwadratowe niezupełne

W tego typu nierównościach, wykorzystując wzory skróconego mnożenia lub wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, możemy doprowadzić np. lewą stronę nierówności do postaci iloczynowej. Następnie, na podstawie odpowiedniego rysunku odczytamy zbiór rozwiązań nierówności.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełną $x^{2} - 16 \leq 0$ .

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$(x - 4) (x + 4) \leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = (x - 4) (x + 4)$ .

$x - 4 = 0$ lub $x + 4 = 0$

$x = 4$ lub $x = - 4$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$ . Parabola ma ramiona skierowane „do góry”, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni i wykres przechodzi przez wyznaczone punkty.

R1QUEDAD9F8FJ

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: minus, cztery, średnik, cztery. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus czterech wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus cztery przechodzi pod oś i biegnie pod osią do czwórki. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od czwórki do plus nieskończoności wykres przebiega nad osią.

Zbiór rozwiązań: $x \in ⟨- 4, 4⟩$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $x^{2} + 1 < 0$ .

Lewa strona nierówności jest liczbą dodatnią, a prawa strona jest równa zero. Zatem nierówność jest sprzeczna. Nie posiada rozwiązań.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratową niezupełną $- 3 x^{2} + 6 x < 0$ .

Wyłączymy $3 x$ przed nawias.

$3 x (- x + 2) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = 3 x (- x + 2)$ .

$3 x (- x + 2) = 0$

$x = 0$ lub $x = 2$

Szkicujemy parabolę, która ma ramiona skierowane „do dołu” i przechodzi na osi $X$ przez punkty o współrzędnej odpowiednio $(0)$ i $(2)$ .

R1U75TKS6B9BL

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: zero, średnik, dwa. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. W zerze przechodzi nad oś i biegnie nad nią do dwójki. W dwójce wykres znowu przechodzi pod oś, co podkreślono minusami.

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ .

Rozwiązaniem nierówności jest $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność kwadratową $- x^{2} \leq - \sqrt{3} x$ .

Przenosimy niewiadome na lewą stronę nierówności.

$- x^{2} + \sqrt{3} x \leq 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias.

$x (- x + \sqrt{3}) \leq 0$

Aby wyznaczyć miejsca zerowe funkcji $f (x) = x (- x + \sqrt{3})$ rozwiązujemy równanie $x (- x + \sqrt{3}) = 0$ .

$x = 0$ lub $- x + \sqrt{3} = 0$

$x = 0$ lub $x = \sqrt{3}$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest ujemny.

RP7XLX88KODEV

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0 i pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, w zerze przechodzi nad oś i wraca pod oś w punkcie pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

x \in (- \infty, 0 > \cup < \sqrt{3}, \infty)

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $(- \infty, 0 > \cup < \sqrt{3}, \infty)$ .

Przykład 5

Wyznaczymy sumę i iloczyn całkowitych rozwiązań nierówności

$(5 - x) (5 + x) \geq 0$ i $x (5 - x) > 0$ .

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem nierówności $(5 - x) (5 + x) \geq 0$ .

$x = 5 \lor x = - 5$

R12DEOVFGBHD6

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: minus, pięć, średnik, pięć. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus pięciu wykres znajduje się pod osią. W minus piątce wykres przebija nad oś i biegnie nad nią do piątki, co oznaczono plusami między osią a wykresem. W piątce wykres przechodzi pod oś i biegnie pod nią do plus nieskończoności.

x \in ⟨- 5, 5⟩

Zbiór całkowitych rozwiązań nierówności to $\{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Rozwiążemy nierówność $x (5 - x) > 0$ .

$x = 0 \lor x = 5$

RVULEDD4JMRLG

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: zero, średnik, pięć. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią. W zerze wykres przebija nad oś i biegnie nad nią do piątki, co oznaczono plusami między osią a wykresem. W piątce wykres przechodzi pod oś i biegnie pod nią do plus nieskończoności.

x \in (0, 5)

Całkowite rozwiązania tej nierówności to $\{1, 2, 3, 4\}$ .

Wyznaczymy teraz sumę i iloczyn całkowitych rozwiązań nierówności.

$\{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}$

$\{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 4\} =$

$= \{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Przykład 6

Obliczymy, dla jakich $x$ funkcja $f (x) = 2 x^{2} + 1$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

Warunki zadania będą spełnione dla $x$ należących do zbioru rozwiązań nierówności $f (x) > g (x)$ .

$2 x^{2} + 1 > {(x - 1)}^{2}$

$2 x^{2} + 1 > x^{2} - 2 x + 1$

$x^{2} + 2 x > 0$

$x (x + 2) > 0$

$x = 0$ lub $x = - 2$

R7XVOK47FU5ZQ

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: minus, dwa, średnik, zero. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, co oznaczono plusami. W minus dwójce wykres przebija pod oś i biegnie pod nią do zera. W zerze wykres przebija nad oś, co również oznaczono plusami.

x \in (- \infty, - 2) \cup (0, \infty)

Funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $g$ dla $x \in (- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$ .

Przykład 7

Rozwiążemy nierówność kwadratową zupełnąnierówność kwadratowa zupełnanierówność kwadratową zupełną $x^{2} - x - 2 > 0$ .

Skorzystamy z własności odpowiedniej funkcji kwadratowej. W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji $f (x) = x^{2} - x - 2$ rozwiążemy najpierw równanie $x^{2} - x - 2 = 0$ .

$∆ = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9$

$\sqrt{∆} = 3$

$x_{1} = \frac{1 - 3}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

Następnie na osi liczbowej zaznaczymy miejsca zerowe utworzonej funkcji oraz szkicujemy parabolę, będącą wykresem tej funkcji, przechodzącą przez wyznaczone punkty. Ramiona paraboli skierowane są do góry, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni.

RB9844Z52MCCH

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych: 1 oraz 2. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Po lewej stronie od punktu 1. Nad osią x, a pod parabolą znajdują się dwa znaki plus. Po prawej stronie od punktu 2, nad osią x, a pod parabolą również znajdują się dwa znaki plus.

Z wykresu odczytujemy, że $x \in (- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$ .

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x \in (- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 8

Rozwiążemy nierówność kwadratową z niewiadomąnierówność kwadratową z niewiadomą $x$ :

$- x^{2} - 6 x - 9 < 0$ .

Obliczamy miejsce zerowe odpowiedniej funkcji $f (x) = - x^{2} - 6 x - 9$ .

$- {(x + 3)}^{2} = 0$

$x = - 3$

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe, a ramiona paraboli będącej wykresem funkcji skierowane są do dołu, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest liczbą ujemną.

R1ERX69MBNCCQ

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczony jest jeden punkt o współrzędnej minus 3. Punkt ten jest wierzchołkiem paraboli, której ramiona są skierowane do dołu. Po lewej stronie od punktu minus 3, pod osią x, a nad parabolą znajdują się dwa znaki minus. Po prawej stronie od punktu minus 3, pod osią x, a nad parabolą również znajdują się dwa znaki minus.

x \in ℝ ∖ \{- 3\}

Przykład 9

Obliczymy zbiór rozwiązań nierówności $x^{2} - 2 x + 5 \leq 0$ .

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16 < 0$ .

Rozpatrzymy najpierw równanie $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ . Równanie nie ma pierwiastków. Współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni, zatem parabola, będąca interpretacją geometryczną równania, znajduje się nad osią $X$ .

RN39AC5VPX75X

Ilustracja przedstawia oś x. Nad osią znajduje się parabola o ramionach skierowanych w górę. Po lewej stronie od paraboli nad osią x znajdują się dwa znaki plus. Po prawej stronie od paraboli, nad osią x również znajdują się dwa znaki plus.

Nierówność jest sprzeczna.

Przykład 10

Rozwiążemy nierówność $- 2 x^{2} + x - 7 < 0$ .

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7) = 1 - 56 = - 55 < 0$ .

Równanie $- 2 x^{2} + x - 7 = 0$ nie posiada rzeczywistych rozwiązań.

Ramiona paraboli, bedącej interpretacją geometryczną równania, skierowane są do dołu, zatem parabola znajduje się pod osią $X$ .

R1MCG736DUZT5

Ilustracja przedstawia oś x. Pod osią znajduje się parabola z ramionami skierowanymi do dołu. Po lewej stronie od paraboli pod osią x znajdują się dwa znaki minus. Po prawej stronie od paraboli, pod osią również znajdują się dwa znaki minus.

Oznacza to, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnego $x \in ℝ$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją oraz ze sposobami rozwiązywania nierówności kwadratowych niezupełnych.

RGBTXBQNAR1TH

Polecenie 1

RQEZ2EV2PBO18

Połącz w pary każdą z nierówności ze zbiorem jej rozwiązań. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek pięć x, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, szesnaście x, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, osiem, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

Aplet

Polecenie 2

Otwórz Aplet geogebry pokazujący sposób rozwiązywania nierówności kwadratowych niezupełnych. Przeanalizuj etapy rozwiązania nierówności i odczytania z rysunku zbioru rozwiązań nierówności.

Zapoznaj się z opisem apletu geogebry pokazującym sposób rozwiązywania nierówności kwadratowych niezupełnych. Przeanalizuj etapy rozwiązania nierówności i odczytania z rysunku zbioru rozwiązań nierówności.

RK7S73KB8G7EP

W aplecie zamieszczono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola, której równanie możemy zmieniać. Poniżej układu współrzędnych znajdują się pola wyboru nierówności: znak mniejszości, mniejszości lub równości, większości i większości lub równości. Można wybrać jedno pole naraz. Pod polami wyświetla się wzór paraboli. Poniżej znajduje się przycisk „Pokaż odpowiedź”. Po kliknięciu przycisku pokazuje się zbiór rozwiązań nierówności. Poniżej znajdują się dwa suwaki, czyli dwa poziome odcinki, a na każdym z nich znajduje się punkt. Punktem można manewrować po całej długości odcinka, zmieniając wartość danego parametru przypisanego do suwaka. Suwak po lewo dotyczy wartości wyrazu a, a przedział, z jakiego można wybrać wartość dla a to od minus pięciu do pięciu co jedną dziesiątą. Prawym suwakiem można wybrać wartość wyrazu b dla takiego samego przedziału od minus pięciu do pięciu.

Podamy kilka przykładów możliwych nierówności.

Przykład pierwszy. Wybieramy znak mniejszości i parametry a równa się minus 5, b równa się 5. Wzór równania będzie więc postaci: $- 5 x^{2} + 5 x < 0$ . Zbiór rozwiązań dla tej nierówności to $x \in (- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ . Graficznym rozwiązaniem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół. Ramiona paraboli przecinają oś X w niezamalowanych punktach $x = 0, x = 1$ . Kolorem wyróżniono część poniżej osi X.

Przykład drugi. Wybieramy znak mniejszy równy i parametry a równa się minus 3, b równa się minus trzy. Wzór równania będzie więc postaci: $- 3 x^{2} - 3 x \leq 0$ . Zbiór rozwiązań dla tej nierówności to $x \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 0, + \infty)$ . Graficznym rozwiązaniem jest parabola z ramionami skierowanymi w dół. Ramiona paraboli przecinają oś X w zamalowanych punktach $x = - 1, x = 0$ . Kolorem wyróżniono część poniżej osi X.

Przykład trzeci. Wybieramy znak większości i parametry a równa się 1, b równa się 2. Wzór równania będzie więc postaci: $x^{2} + 2 x > 0$ . Zbiór rozwiązań dla tej nierówności to $x \in (- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ . Graficznym rozwiązaniem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę. Ramiona paraboli przecinają oś X w niezamalowanych punktach $x = - 2, x = 0$ . Kolorem wyróżniono część powyżej osi X.

Przykład czwarty. Wybieramy znak większy lub równy i parametry a równa się dwa i jedna druga, b równa się minus 1 i osiem dziesiątych. Wzór równania będzie więc postaci: $2, 5 x^{2} - 1, 8 x \geq 0$ . Zbiór rozwiązań dla tej nierówności to $x \in (- \infty, 0 ⟩ \cup ⟨ 0, 72, + \infty)$ . Graficznym rozwiązaniem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę. Ramiona paraboli przecinają oś X w zamalowanych punktach $x = 0, x = 0, 72$ . Kolorem wyróżniono część powyżej osi X.

Polecenie 3

Rozwiąż nierówności:

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x \leq 0$ ,
$4 x^{2} - 3 x < 0$ ,
$0, 2 x - x^{2} > 0$ ,
$- 0, 3 x - 3 x^{2} > 0$ .

$x \in ⟨0; 8⟩$ ,
$x \in (0; 0, 75)$ ,
$x \in (0; 0, 2)$ ,
$x \in (- 0, 1; 0)$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją pokazującą różne sposoby rozwiązywania nierówności kwadratowych zupełnych.

RECNLO6KS1MNB

Polecenie 4

Rozwiąż nierówność. Zastosuj sposoby rozwiązania nierówności pokazane w animacji.

$2 x^{2} + 7 x - 4 < 0$ ,
${(x + 2)}^{2} > 9$ ,
$3 {(x - 1)}^{2} < x (x - 1)$ .

$x \in (- 4, \frac{1}{2})$ ,
$x \in (- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$ ,
$x \in (1, \frac{3}{2})$ .

Aplet

Otwórz Aplet pokazujący sposób rozwiązywania nierówności $(x - 1) (x + 3) > 0$ oraz nierówności $(x - 1) (x + 3) < 0$ .

Przeanalizuj etapy rozwiązania i odczytania z rysunku zbioru rozwiązań.

RQFLa68Y2kN0U1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RJ1BZ53UZJZ7X1

Ćwiczenie 1

R125OMCAKTOXR1

Ćwiczenie 2

RM3V18LAJKT8R2

Ćwiczenie 3

RBJZ33NE6DSDL2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary każdą nierówność ze zbiorem rozwiązań tej nierówności. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, trzy, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, zero, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu

RK5P5QDVCVFNF31

Ćwiczenie 5

R6GU677L7RU7V3

Ćwiczenie 6

REG5BAC3SD9CP1

Ćwiczenie 7

R1XH2SFFNPOXZ2

Ćwiczenie 8

RVUZZC3DR2SFD2

Ćwiczenie 9

Połącz w pary nierówności ze zbiorem rozwiązań nierówności. minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu minus, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. nawias, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu

R4PL6ZGTLLBXF2

Ćwiczenie 10

R1HVLJTU6VOT22

Ćwiczenie 11

Połącz w pary nierówność z odpowiadającym jej zbiorem rozwiązań. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dziewięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dziewięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu trzy x, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dziewięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, dziewięć, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, zero, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

R1KKZFQKRS9T52

Ćwiczenie 12

R19CT8PGMS48V2

Ćwiczenie 13

RLKV23MFHG6EJ3

Ćwiczenie 14

R16ZX15VP86AP1

Ćwiczenie 15

R12FBJL7F1COZ1

Ćwiczenie 16

R82QAMO5SPDDS2

Ćwiczenie 17

Połącz nierówność kwadratową ze zbiorem rozwiązań nierówności. x indeks górny, dwa, plus, trzy x, minus, cztery, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu x indeks górny, dwa, minus, trzy x, minus, cztery, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu minus, x indeks górny, dwa, minus, trzy x, plus, cztery, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu minus, x indeks górny, dwa, plus, trzy x, plus, cztery, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, minus, cztery, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu

R17F6GPBJN42S3

Ćwiczenie 18

Słownik

nierówność kwadratowa

każda nierówność postaci

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$

nierówność kwadratowa niezupełna

nierówność, w której współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$

nierówność kwadratowa z niewiadomą

x

nierówność kwadratowa z niewiadomą

x

jest to każda nierówność postaci:

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$

nierówność kwadratowa zupełna

nierówność, w której wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$

3. Nierówności kwadratowe - wprowadzenie

5. Zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych