• Zapiszesz i rozwiążesz równanie kwadratowe opisujące zależności między danymi.

• Ustalisz współczynniki równania kwadratowego tak, aby opisywały sytuację przedstawioną w zadaniu.

• Dobierzesz równanie do treści zadania.

Obliczymy, ile metrów kwadratowych siatki potrzeba na ogrodzenie prostokątnej działki o polu równym $384 {\mathrm{m}}^2$, której jeden bok jest o $8 \mathrm{m}$ dłuższy od drugiego.

Niech:

$x$ - oznacza długość krótszego boku prostokątnej działki,

$x+8$ – długość dłuższego boku prostokątnej działki,

$384 {\mathrm{m}}^2$ - pole działki.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację w zadaniu:

$x\left(x+8\right)=384$

$x^2+8x-384=0$

$\mathrm{\Delta }=64-4·1·\left(-384\right)=64+1536=1600$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=40$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{-8-40}{2}$

$x_1=-24$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_2=\frac{-8+40}{2}$

$x_2=16$

Czyli krótszy bok działki ma długość $16 \mathrm{m}$.

Obwód działki jest równy $2\cdot 16+2\cdot 24=32+48=80$metrów.

Wokół trawnika o wymiarach $5 \mathrm{m} \times 8 \mathrm{m}$ zbudowano chodnik o szerokości $x\mathrm{m}$. Jaka jest szerokość chodnika, jeżeli jego pole powierzchni jest równe $30{\mathrm{m}}^2$?

Niech:

$5\mathrm{m}\cdot 8\mathrm{m}$ – pole powierzchni trawnika,

$x$ – szerokość chodnika,

$30{\mathrm{m}}^2$ – pole powierzchni chodnika,

$\left(5+2x\right)\cdot \left(8+2x\right)$ – pole powierzchni prostokąta, ograniczającego trawnik wraz z chodnikiem.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną  w zadaniu:

$\left(5+2x\right)·\left(8+2x\right)-5·8=30$.

$40+10x+16x+4x^2-40=30$

$4x^2+26x-30=0$

$2x^2+13x-15=0$

$\mathrm{\Delta }={13}^2-4·2·\left(-15\right)=169+120=289$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=17$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{-13-17}{2·2}$

$x_1=-\frac{15}{2}$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_2=\frac{-13+17}{2·2}$

$x_2=1$

Szerokość chodnika to $1 \mathrm{m}$.

Znajdziemy dwie liczby, których iloczyn jest równy $6$, a suma jest równa $3\sqrt{3}$.

Niech:

$x$ - oznacza pierwszą liczbę,

$3\sqrt{3}-x$ - drugą liczbę.

Zapiszemy równanie kwadratowe opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu:

$x\left(3\sqrt{3}-x\right)=6$.

$3\sqrt{3}x-x^2=6$

$-x^2+3\sqrt{3}x-6=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(3\sqrt{3}\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)=27-24=3$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_1=\frac{-3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{-2}$

$x_1=2\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x_2=\frac{-3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{-2}$

$x_2=\sqrt{3}$

$y_1=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, $y_2=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

Liczby spełniające warunki zadania to $\sqrt{3}$ i $2\sqrt{3}$.

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystychliczba nieparzystaliczb nieparzystych naturalnych jest równa $515$. Wyznaczymy te liczby.

Zapiszemy i rozwiążemy równanie opisujące powyższą sytuację.

${\left(2n+1\right)}^2+{\left(2n+3\right)}^2+{\left(2n+5\right)}^2=515$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$4n^2+4n+1+4n^2+12n+9+4n^2+20n+25=515$

$12n^2+36n=480$

$n^2+3n-40=0$

$∆=3^2+40·4=169\Rightarrow \sqrt{∆}=13$

$n_1=\frac{-3-13}{2}=-8\notin \mathrm{\mathbb{N}}$

$n_2=\frac{-3+13}{2}=5\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$2n+1=11$

$2n+3=13$

$2n+5=15$

Szukane liczby to $11$, $13$, $15$.

Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa $10$. Jeżeli tę liczbę pomnożymy przez liczbę dwucyfrową, która powstała z tych samych cyfr co pierwsza liczba, ale zapisanych w odwrotnej kolejności to otrzymamy $2701$. Wyznaczymy tę liczbę.

Niech:
$x$ – cyfra jedności początkowej liczby, $x\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ $10-x$ – cyfra dziesiątek początkowej liczby,
$\left(10-x\right)·10+x$ – początkowa liczba,
$10x+\left(10-x\right)$ – liczba o cyfrach zapisanych w odwrotnej kolejności.

Zapiszemy równanie:

$\left[\left(10-x\right)·10+x\right]·\left[10x+\left(10-x\right)\right]=2701$.

$\left(100-10x+x\right)\left(10x+10-x\right)=2701$

$\left(100-9x\right)\left(9x+10\right)=2701$

$900x+1000-81x^2-90x-2701=0$

$-81x^2+810x-1701=0$

$x^2-10x+21=0$

$∆=100-84=16\Rightarrow \sqrt{∆}=4$

$x_1=\frac{10-4}{2}=3$

$x_2=\frac{10+4}{2}=7$

$y_1=10-x_1$

$y_1=10-3$

$y_1=7$

$y_2=10-x_2$

$y_2=10-7$

$y_2=3$

Liczby dwucyfrowe spełniające warunki zadania to $37$ i $73$.

Obliczymy ile boków ma wielokąt wypukły, który ma $90$ przekątnych. Liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie wypukłym obliczamy ze wzoru $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$, gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta wypukłego, przy czym $n\in \mathrm{N}$ i $n>3$.

Możemy zapisać równanie: $\frac{n\left(n-3\right)}{2}=90$.

$n\left(n-3\right)=180$

$n^2-3n-180=0$

$\mathrm{\Delta }=3^2-4·\left(-180\right)=9+720=729$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=27$

$n_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$n_1=\frac{3-27}{2}$

$n_1=-12$

Rozwiązanie ujemne nie spełnia warunków zadania.

$n_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$n_2=\frac{3+37}{2}$

$n_2=15$

Piętnastokąt wypukły ma $90$ przekątnych.

Obliczymy, ile boków ma wielokąt wypukły w którym liczba przekątnych jest o $75$ większa od liczby jego boków.

Niech:
$n$ – liczba boków wielokąta,
$\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ – liczba przekątnych wielokąta.

Zapiszemy równanie:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}-75=n$

$n^2-3n-150=2n$

$n^2-5n-150=0$

$∆=25+4·150=25+600=625\Rightarrow \sqrt{∆}=25$

$n_1=\frac{5-25}{2}=-10<0$ – nie spełnia warunków zadania

$n_2=\frac{5+25}{2}=15$

Wielokąt ma $15$ boków.

Obwód rombu jest równy $60 \mathrm{cm}$, a różnica długości jego przekątnych $6 \mathrm{cm}$. Oblicz długości przekątnych tego rombu.

W rombie:

• przekątne dzielą się na połowy i są wzajemnie prostopadłe,

• przekątne są dwusiecznymi kątów.

R196PPIqDuQyj

Ilustracja przedstawia romb A B C D z zaznaczonymi przekątnymi A C i B D przecinającymi się w punkcie O. Boki rombu mają długość a.

Rozwiązanie:

Z rysunku mamy poniższe zależności:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|DA\right|=a$

$\left|AC\right|-\left|DB\right|=6$

$\left|DB\right|=\left|AC\right|-6$

$\left|AC\right|=x$

$\left|DB\right|=x-6$, $x>6$,

gdzie $\left|AC\right|$ to dłuższa przekątna rombu, natomiast $\left|DB\right|$ to krótsza przekątna rombu.

Trójkąt $AOB$ jest trójkątem prostokątnym. Zapiszmy zatem długości przyprostokątnych tego trójkąta.

$\left|AO\right|=\frac{1}{2}x$

$\left|BO\right|=\frac{1}{2}\left(x-6\right)$

Wzór na obwód rombu: $L=4a$ i $L=60 \mathrm{cm}$.

$4a=60$

$a=15\Rightarrow x>15$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $AOB$:

${\left(\frac{1}{2}x\right)}^2+{\left[\frac{1}{2}\left(x-6\right)\right]}^2={15}^2$

$\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}{\left(x-6\right)}^2=225$.

Mnożymy stronami przez $4$ i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$.

$x^2+{\left(x-6\right)}^2=900$

$x^2+x^2-12x+36=900$

$2x^2-12x-864=0$

$∆=b^2-4ac=144-4·2·\left(-864\right)=144+6912=7056$

$\sqrt{∆}=\sqrt{7056}=84$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{7056}}{2·2}=\frac{12+84}{4}=\frac{96}{4}=24$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{7056}}{2·2}=\frac{12-84}{4}=\frac{-72}{4}=-18<0$

Długość przekątnej nie może być ujemna, zatem z powyższych obliczeń mamy, że $x=24$, a więc $\left|AC\right|=24$ oraz $\left|DB\right|=x-6=24-6=18$.

Odp.: Dłuższa przekątna ma długość $24 \mathrm{cm}$, a krótsza $18 \mathrm{cm}$.

W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnych wynosi $4:3$. Znaleźć długości przyprostokątnych, jeżeli przeciwprostokątna ma długość $20 \mathrm{cm}$.

R1OripqafcQAd

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długości b oraz x oraz z przeciwprostokątną o długości dwadzieścia.

Rozwiązanie:

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku mamy: $x^2+b^2={20}^2$.

Z treści zadania mamy, że $\frac{b}{x}=\frac{4}{3}$.

$b=\frac{4}{3}x$, $0<x<20$

$x^2+{\left(\frac{4}{3}x\right)}^2={20}^2$

$x^2+\frac{16}{9}{x}^2={20}^2$

$\frac{25}{9}{x}^2={20}^2$

$\frac{25}{9}{x}^2-{20}^2=0$

$\left(\frac{5}{3}x-20\right)\left(\frac{5}{3}x+20\right)=0$

Skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę kwadratów: $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero.

$\frac{5}{3}x-20=0$ lub $\frac{5}{3}x+20=0$

$\frac{5}{3}x=20$ lub $\frac{5}{3}x=-20$

$x=12$ lub $x=-12<0$

Długość boku nie może być ujemna,i musi spełniać zakładane wcześniej warunki, więc $x=12$.

$b=\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}·12=16$

Odp.: Przyprostokątne mają długości $12 \mathrm{cm}$ i $16 \mathrm{cm}$.

Środki boków prostokąta o obwodzie równym $28 \mathrm{cm}$ są wierzchołkami rombu o boku $5 \mathrm{cm}$. Wyznacz długości boków tego prostokąta.

R1cqzvmZnpuyY

Ilustracja przedstawia prostokąt o wymiarach b na a oraz romb wpisany w prostokąt. Wierzchołek rombu A znajduje się na środku krótszego boku b prostokąta i tworzy odcinek A B, gdzie b to wierzchołek prostokąta, o długości x. Na środku dłuższego odcinka prostokąta o długości a, znajduje się wierzchołek rombu C.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

Z treści zadania: $2a+2b=28$.

$a+b=14$

$a=14-b$

$b=2x$, $0<x<7$

$a=14-2x$

Ponieważ środki boków prostokąta są wierzchołkami rombu, to powstały trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości $\frac{1}{2}b$, $\frac{1}{2}a$ i przeciwprostokątnej o długości równej $5$.

Możemy dla tego trójkąta zastosować twierdzenie Pitagorasa.

${\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=5^2$

${\left(\frac{2x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{14-2x}{2}\right)}^2=25$

$x^2+{\left(7-x\right)}^2=25$

$x^2+49-14x+x^2=25$

$2x^2-14x+24=0|:2$

$x^2-7x+12=0$

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego, aby znaleźć miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej.

$∆=b^2-4ac=7^2-4·1·12=49-48=1$

$\sqrt{∆}=1$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{1}}{2·1}=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{1}}{2·1}=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3$

Dla $x_1$ mamy następujące rozwiązania:

$b_1=2x_1=2·4=8$

oraz

$a_1=14-b_1=14-8=6$.

Dla $x_2$ mamy następujące rozwiązania:

$b_2=2x_2=2·3=6$

oraz

$a_2=14-b_2=14-6=8$.

Odp.: Prostokąt ma boki o długościach $6 \mathrm{cm}$ i $8 \mathrm{cm}$.

Prostokątny obraz bez ramy ma wymiary $75 \mathrm{cm}\times 35 \mathrm{cm}$, natomiast wraz z ramą powierzchnia obrazu jest równa $3444 {\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy szerokość ramy obrazu.

Niech:
$\frac{1}{2}x$ – szerokość ramy.

Wówczas: $\left(x+75\right)\left(x+35\right)=3444$.

$x^2+35x+75x+2625=3444$

$x^2+110x-819=0$

$∆=12100-4\left(-819\right)-15376\Rightarrow \sqrt{∆}=124$

$x_1=\frac{-110-124}{2}=\frac{-234}{2}=-117<0$

$x_2=\frac{-110+124}{2}=\frac{14}{2}=7$

Rama ma szerokość $3,5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Długości boków trójkąta są kolejnymi dwucyfrowymi liczbami naturalnymi niepodzielnymi przez $4$. Obliczymy te liczby, jeżeli wiadomo że suma ich kwadratów jest nie większa od $590$.

Kolejne liczby naturalne niepodzielne przez $4$ to $4n+1$, $4n+2$, $4n+3$ dla $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Zapiszemy i rozwiążemy nierówność opisującą sytuację przedstawioną w zadaniu.

${\left(4n+1\right)}^2+{\left(4n+2\right)}^2+{\left(4n+3\right)}^2\le 590$

$16n^2+8n+1+16n^2+16n+4+16n^2+24n+9\le 590$

$48n^2+48n-576\le 0|:48$

$n^2+n-12\le 0$

$\left(n+4\right)\left(n-3\right)\le 0$

$n\in ⟨-4,3⟩$ i $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$n\in \left\{0,1,2,3\right\}$

Dla $n=0$ otrzymujemy liczby $1$, $2$, $3$.

Dla $n=1$ otrzymujemy liczby $5$, $6$, $7$.

Dla $n=2$ otrzymujemy liczby $9$, $10$, $11$.

Liczby nie spełniają warunków zadania, bo nie są dwucyfrowe.

Dla $n=3$ otrzymujemy liczby $13$, $14$, $15$.

Długości boków trójkąta to $13$, $14$, $15$.

liczba postaci $2n+1$ dla dowolnego $n\in \mathrm{Z}$