4. Własności wykresu funkcji f(x)=a/x - Funkcje wymierne

R1WQrRYAiisvh

4. Własności wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$

Poznając funkcję $f (x) = \frac{a}{x}$ uczyliśmy się na podstawie wzoru rysować wykres oraz opisywać jej własności.

W tym materiale nauczymy się na podstawie znanych własności funkcji wyznaczać wzór funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ . Nauczymy się jak właściwie interpretować określone własności funkcji.

Twoje cele

Wyznaczysz wartość współczynnika $a$ znając współrzędne punktu, przez który przechodzi wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ .
Wyznaczysz punkty kratowe, przez które przechodzi wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ .
Wyznaczysz współczynnik $a$ znając pewne własności

Wzór funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ można wyznaczyć znając dowolny jeden punkt, który należy do jej wykresu.

Przykład 1

Wyznaczymy wzór funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , której wykres przedstawia rysunek.

RmhEQszH3H27Y

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 6 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y, równa się, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Ma on kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych, jej ramiona znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce. Ramię znajdujące się w drugiej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu oraz nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu. Ramię znajdujące się w czwartej ćwiartce przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć wzór, należy wyznaczyć współczynnik proporcjonalności odwrotnej $a$ .

Zależność pomiędzy dwiema wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi opisuje wzór $x \cdot y = a$ .

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu, który należy do wykresu np. $(- 2, 1)$ . Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru:

$- 2 \cdot 1 = a$

$a = - 2$

$x \cdot y = - 2$

Odpowiedź:

Wzór proporcjonalności odwrotnej: $y = \frac{- 2}{x}$ .

Przykład 2

Punkt $P = (3, - 2)$ leży na wykresie funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ . Wyznacz wartość współczynnika $a$ .

Z tego, że punkt $P = (3, - 2)$ leży na wykresie $f (x) = \frac{a}{x}$ , wynika, że $- 2 = \frac{a}{3}$ , czyli $a = - 6$ .

Przykład 3

Na podstawie fragmentu wykresu proporcjonalności odwrotnej wyznaczymy wszystkie punkty o obu współrzędnych naturalnych należące do wykresu tej funkcji.

RhFdWipyg0nG6

Rozwiązanie

Iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały i wyraża wzorem:

$x \cdot y = a$

Należy wyznaczyć współczynnik proporcjonalności $a$ . W tym celu, do wzoru funkcji, podstawiamy współrzędne dowolnego punktu należącego do wykresu, np. $(4, 2)$ .

$4 \cdot 2 = a$

$a = 8$

Zatem wzór funkcji można zapisać jako:

$y = \frac{8}{x}$

Aby liczba $y = \frac{8}{x}$ była liczbą naturalną, to $x$ musi być naturalnym dzielnikiem liczby $8$ , zatem

$x \in \{1, 2, 4, 8\}$

Odpowiedź:

Punkty o obu współrzędnych naturalnych należące do wykresu funkcji to: $(1, 8)$ , $(2, 4)$ , $(4, 2)$ , $(8, 1)$

Przykład 4

Narysujemy wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ wiedząc, że do jej wykresu należy punkt $C = (- \sqrt{3}; \sqrt{3})$ .

Rozwiązanie

Podobnie jak w przykładzie 2 zauważamy, że wzór funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ można zapisać również w postaci $y = \frac{a}{x}$ .

Mnożąc obustronnie przez $x$ :

$y = \frac{a}{x}$
$x y = a$

czyli w naszym przypadku:

$(- \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = (- 3)$

Aby wyznaczyć inne punkty kratowe należące do wykresu funkcji, należy wyznaczyć pary liczb całkowitych, dla których $x \cdot y = (- 3)$ . Są to punkty $(1; - 3)$ , $(- 1; 3)$ , $(- 3; 1)$ , $(3; - 1)$ . Teraz sporządzamy wykres funkcji.

R1ZDeIjvR0mBJ

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Gałęzie hiperboli leżą w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Czerwonymi kropkami zaznaczono należące do wykresu punkty A=-1;3, B=-3;1, C=3;-1 oraz D=1;-3.

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z poniższą animacją, wykonaj zadania w niej zawarte oraz na ich podstawie wykonaj polecenia zawarte pod nią.

R4nf5qc4kspg6

Polecenie 1

RDFhCLYgdl2HT

Wyznacz $a$ podstawiając współrzędne podanego punktu do wzoru funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$

$a = 18$ , czyli wszystkie punkty, dla których $x \cdot y = 18$ należą do wykresu tej funkcji.

Polecenie 2

RF6nytz3ucr4j

Wyznacz $a$ podstawiając współrzędne punktu do wzoru funkcji.

Wyznaczamy $a$ :

$a = x y$

$a = (\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1$

$x y = (\sqrt{7} - \sqrt{6}) (\sqrt{7} + \sqrt{6}) = 7 - 6 = 1$

$x y = (2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

Punkty, dla których $x \cdot y = 1$ należą do wykresu tej funkcji.

Aplet

Wykorzystując poniższy aplet sprawdź:

w jaki sposób wartość współczynnika $a$ wpływa na położenie wykresu,
jaki związek zachodzi pomiędzy polem prostokąta wyznaczonego przez punkt wykresu a współczynnikiem $a$ .

Analizując opis poniższego apletu, dowiesz się:

w jaki sposób wartość współczynnika $a$ wpływa na położenie wykresu,
jaki związek zachodzi pomiędzy polem prostokąta wyznaczonego przez punkt wykresu a współczynnikiem $a$ .

RStyFtLuXmERd11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

R1ZPVnbxKf95V

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RPNDO421OFbmI1

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wzory funkcji z punktami, które należą do ich wykresu f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, pięć, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, dwadzieścia cztery, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, dwadzieścia cztery, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, dwadzieścia cztery, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, x, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, dwadzieścia cztery, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, średnik, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z osiem koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 2

R29LhFsnLgh6m

R1MSaaB0ND9gX1

Ćwiczenie 3

R1Cnudw1vIxWZ1

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R1YSfngGMHBmo

Argument funkcji to $x$ , wartość funkcji to $y$ lub $f (x)$ . Ułóż równanie, w którym pod $x$ oraz $f (x)$ podstaw odpowiednie liczby.

$2 \sqrt{2} + 1 = \frac{a}{2 \sqrt{2} - 1}$

$(2 \sqrt{2} + 1) (2 \sqrt{2} - 1) = a$

$a = 8 - 1 = 7$

Ćwiczenie 6

Rje4hobngzdcp

Zacznij od ustalenia $a$ . Wykorzystaj fakt, że współrzędne punktu leżącego na wykresie funkcji spełniają równanie tej funkcji.

$1 + \sqrt{7} = \frac{a}{1 - \sqrt{7}}$

$a = - 6$

Punkty kratowe należące do wykresu funkcji:

$(- 2, 3)$ , $(- 3, 2)$ , $(- 6, 1)$ , $(- 1, 6)$ oraz $(2, - 3)$ , $(3, - 2)$ , $(6, - 1)$ , $(1, - 6)$

Odpowiedź: Punktów kratowych jest $8$ .

Ćwiczenie 7

RP9pc1c7GqdMj

Ponieważ $f (x) = \frac{a}{x}$ , to $f (2) = \frac{2}{x}$ i $f (3) = \frac{3}{x}$ .

Ułóż odpowiednie równanie.

$\frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{3}$

$\frac{3 a - 2 a}{6} = \frac{a^{2}}{6}$

$a = a^{2}$

$a - a^{2} = 0$
$a (1 - a) = 0$
$a = 0 \lor a = 1$

ponieważ $a \neq 0$ , czyli równość zachodzi dla $a = 1$ .

Słownik

proporcjonalność odwrotna

wielkości $x$ oraz $y$ są odwrotnie proporcjonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest wielkością stałą i różną od zera

punkt kratowy

punkt, którego współrzędne w układzie kartezjańskim (prostokątnym) są liczbami całkowitymi

3. Własności funkcji f(x)= a/x

5. Przesuwanie wykresu funkcji f(x)=a/x wzdłuż osi układu współrzędnych

4. Własności wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Animacja multimedialna

Aplet

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik

3. Własności funkcji f(x)= a/x

5. Przesuwanie wykresu funkcji f(x)=a/x wzdłuż osi układu współrzędnych

Funkcje wymierne