5. Przesuwanie wykresu funkcji f(x)=a/x wzdłuż osi układu współrzędnych - Funkcje wymierne

RcidHC5A7MMDo

5. Przesuwanie wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ wzdłuż osi układu współrzędnych

Wiadomo, że wykres funkcji można przesuwać wzdłuż osi układu współrzędnych. Teraz będziemy dokonywać tego przekształcenia na wykresie funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ , czyli hiperboli.

Twoje cele

Przesuniesz równolegle wykres funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ wzdłuż osi $Y$ i $X$ .
Zapiszesz wzór funkcji otrzymanej w wyniku przesunięcia.
Podasz związek pomiędzy wektorem przesunięcia a własnościami powstałej funkcji.

Już wiesz

Wykres funkcji $y = f (x) + q$ dla $q > 0$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y = f (x)$ o $q$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$ .

Wykres funkcji $y = f (x) - q$ dla $q > 0$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y = f (x)$ o $q$ jednostek w dół wzdłuż osi $Y$ .

Wykres funkcji $y = f (x - p)$ dla $p > 0$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y = f (x)$ o $p$ jednostek w prawo wzdłuż osi $X$ .

Wykres funkcji $y = f (x + p)$ dla $p > 0$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y = f (x)$ o $p$ jednostek w lewo wzdłuż osi $X$ .

Przykład 1

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x} + 2$ . Określimy własności tej funkcji.

Rozwiązanie

Zauważmy, że do narysowania wykresu funkcji $f$ możemy wykorzystać hiperbolę $g (x) = \frac{3}{x}$ . Jeśli przesuniemy ją o $2$ jednostki w górę wzdłuż osi $Y$ , to otrzymamy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x} + 2$ .

R2VRqjyg2Hhsr1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji $f (x) = \frac{3}{x} + 2$ .

Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich $x \neq 0$ (wykres funkcji nie przecina osi $Y$ ).
Zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ .
Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = - \frac{3}{2}$ .
Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 0)$ oraz $(0, + \infty)$ .
Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów ze zbioru $(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (0, + \infty)$ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału $(- \frac{3}{2}, 0)$ .

Przykład 2

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ . Określimy własności funkcji.

Rozwiązanie

Podobnie jak poprzednio do narysowania wykresu funkcji $f$ wykorzystamy hiperbolę $g (x) = \frac{3}{x}$ . Jeśli przesuniemy ją o $4$ jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ , to otrzymamy wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ .

RjSGoZTR9TuW91

Na podstawie wykresu omówmy własności funkcji $f (x) = \frac{3}{x - 4}$ .

Funkcja $f$ jest określona dla argumentów z przedziału $(- \infty, 4) \cup (4, + \infty)$ .
Zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .
Funkcja nie ma miejsca zerowego.
Funkcja $f$ jest malejąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 4)$ oraz $(4, + \infty)$ .
Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $(4, + \infty)$ oraz wartości ujemne dla argumentów z przedziału $(- \infty, 4)$ .

Przykład 3

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = - \frac{3}{x - 5} - 3$ .

Rozwiązanie

Do narysowania tego wykresu wykorzystamy wykres funkcji $g (x) = - \frac{3}{x}$ i jego przesunięcie o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $X$ i o $3$ jednostki w dół wzdłuż
osi $Y$ .

R1e4dzkYIIRrS

Na ilustracji znajduje się układ współrzędnych z zaznaczonymi dwoma wykresami funkcji. Pierwszy wykres to wykres funkcji g od x równa się początek ułamka minus trzy, mianownik x koniec ułamka. Jest to hiperbola, znajdująca się w drugiej i czwartej ćwiartce układu, która posiada asymptotę pionową o równaniu x jest równe zero oraz asymptotę poziomą o równaniu igrek równa się zero. Drugi wykres, to wykres funkcji fx=-3x-5-3. Jest to hiperbola o takim samym kształcie, która posiada asymptotę pionową o równaniu x równa się pięć oraz asymptotę poziomą o równaniu igrek równa się minus trzy. Wykres funkcji f jest przesunięty względem wykresu funkcji g o pięć jednostek w prawo i o trzy jednostki w dół. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z wykresu możemy odczytać własności funkcji $f (x) = - \frac{3}{x - 5} - 3$ .

Funkcja $f$ jest określona dla argumentów z przedziału $(- \infty, 5) \cup (5, + \infty)$ .
Zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, - 3) \cup (- 3, + \infty)$ .
Miejscem zerowym funkcji jest $x_{0} = 4$ .
Funkcja $f$ jest rosnąca w każdym z przedziałów $(- \infty, 5)$ oraz $(5, + \infty)$ .
Funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów z przedziału $(4,5)$ oraz wartości ujemne dla argumentów ze zbioru $(- \infty, 4) \cup (5, + \infty)$ .

Przykład 4

Określimy, w jaki sposób został przesunięty równolegle wzdłuż osi $Y$ , wykres funkcji $f (x) = - \frac{4}{x}$ , jeśli w wyniku przesunięcia wykresu funkcji powstał wykres funkcji, którego zbiór wartości to ${ZW}_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ .

Rozwiązanie

Jeśli ${ZW}_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ , to wzór funkcji $g$ ma postać $g (x) = - \frac{4}{x} - 3$ , czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o trzy jednostki w dół.

Przykład 5

Określimy, w jaki sposób został przesunięty wzdłuż osi $X$ , wykres funkcji $f (x) = - \frac{3}{x}$ , jeśli w wyniku przesunięcia powstał wykres funkcji g, której dziedzina to $D_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ .

Rozwiązanie

Jeśli $D_{g} = ℝ ∖ \{- 3\}$ , to wzór funkcji $g$ ma postać $g (x) = - \frac{3}{x + 3}$ , czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o trzy jednostki w lewo.

Przykład 6

Określimy, w jaki sposób został przesunięty wzdłuż osi $X$ , wykres funkcji $f (x) = \frac{6}{x}$ , jeśli w wyniku przesunięcia powstał wykres funkcji $g$ , która jest malejąca w każdym z przedziałów: $(- \infty; 5)$ , $(5; \infty)$ .

Rozwiązanie

Jeśli funkcja $g$ jest malejąca w podanych przedziałach, to wzór funkcji $g$ ma postać $g (x) = \frac{6}{x - 5}$ , czyli wykres funkcji $f$ został przesunięty o pięć jednostek w prawo.

Aplet

Polecenie 1

Uruchom aplet i wykonaj polecenia w nim zawarte. Przesuwaj zielony punkt tak, aby otrzymać żądane wykresy funkcji o określonych dziedzinach i zbiorach wartości. Zwróć uwagę, że zarówno dziedzina, jak i zbiór wartości funkcji wyznaczą asymptoty nowej funkcji.

Rpdkg2zIF0BKA1

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

R14fs8ew2ZgjG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZHEt5ysKVgjZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3jcq7ZJdVfZ8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

R1VOPMZ3YLCHF

R1TThhyE3Zhrz

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Naszkicuj wykresy funkcji:

Opisz wykres funkcji:

a) $g (x) = \frac{3}{x} + 2$

b) $h (x) = - \frac{2}{x} - 1$

a) Aby naszkicować wykres funkcji $g (x) = \frac{3}{x} + 2$ , należy naszkicować wykres funkcji $f (x) = \frac{3}{x}$ , a następnie przesunąć go o dwie jednostki w górę.

RUV7k5HfGCXTc

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wykres funkcji fx stanowi hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja przechodzi przez punkt 1;3. Wykres funkcji gx, stanowi przesunięcie wykresu fx o wektor 0;2, czyli dwie jednostki w górę, względem osi Y . Wykres przechodzi przez punkt 1;-5. Asymptotę poziomą opisuje równanie y=2.

b) Aby naszkicować wykres funkcji $h (x) = - \frac{2}{x} - 1$ , należy naszkicować wykres funkcji $f (x) = - \frac{2}{x}$ , a następnie przesunąć go o jedną jednostkę w dół.

RL32ztL9hm7rL

Ćwiczenie 2

Naszkicuj wykresy funkcji:

a) $g (x) = - \frac{1}{x - 5}$

b) $h (x) = \frac{4}{x + 1}$

Aby naszkicować wykres funkcji $g (x) = - \frac{1}{x - 5}$ należy naszkicować wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{x}$ a następnie przesunąć go o 5 jednostek w prawo.

R1eHFV6qghs4Q

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do ośmiu, oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech.W układzie współrzednych narysowano wykres funkcji gx, który powstał po przesunięciu wykresu funckji fx=-1x o zadany wektor. Wykres funkcji fx stanowi hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres gx stanowi przesunięcie wykresu fx o wektor 5,0, czyli pięć jednostek w prawo. Wykres przebiega przez punkty 4,1 oraz 6,-1. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową x=5.

Aby naszkicować wykres funkcji $h (x) = \frac{4}{x + 1}$ należy naszkicować wykres funkcji $f (x) = \frac{4}{x}$ a następnie przesunąć go o jedną jednostkę w lewo.

Rgz0TibaQG2eA

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześć do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji hx, który powstał po przesunięciu wykresu funckji fx=4x o zadany wektor. Wykres funkcji fx stanowi hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres gx stanowi przesunięcie wykresu fx o wektor -1,0, czyli jedną jednostkę w lewo. Wykres przebiega przez punkty 0,4 oraz -3,-2. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową x=-1.

Ćwiczenie 3

Naszkicuj wykres funkcji $f (x) = \frac{6}{x} + 3$ . Określ jej dziedzinę i zbiór wartości. Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $6$ ?

R14EEQ1vIWHiA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz wygląd wykresu funkcji $f (x) = \frac{6}{x} + 3$ . Określ jej dziedzinę i zbiór wartości.

Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $6$ ?

R1ly8UiVznPVI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = \frac{6}{x}$ .

RViLQQyJk5iYr

$D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$

$ZW = (- \infty, 3) \cup (3, + \infty)$

$f (x) < 6$ dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ .

Ćwiczenie 4

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$ opisanej wzorem

$f (x) = \frac{- 2}{x + 12} - 1$
$f (x) = \frac{41}{x - 5} + 23$
$f (x) = \frac{- 7}{x - 8} - 15$
$f (x) = \frac{- 25}{x + 2} + 18$
$f (x) = \frac{5}{x - \sqrt{2}} - \sqrt{5}$

R1QeK5y0gtvK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$D = (- \infty, - 12) \cup (- 12, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, - 1) \cup (- 1, + \infty)$
$D = (- \infty, 5) \cup (5, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, 23) \cup (23, + \infty)$
$D = (- \infty, 8) \cup (8, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, - 15) \cup (- 15, + \infty)$
$D = (- \infty, - 2) \cup (- 2, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, 18) \cup (18, + \infty)$
$D = (- \infty, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ , $ZW = (- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, + \infty)$

Ćwiczenie 5

Naszkicuj wykres funkcji $f (x) = \frac{- 5}{x + 3} - 5$ . Określ, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne.

RLKBDCeoq3pbR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz wygląd wykresu funkcji $f (x) = \frac{- 5}{x + 3} - 5$ . Określ, dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne.

R1RkrOtgS7K59

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = \frac{- 5}{x}$ .

R9oTwWxzlxSiY

Funkcja przyjmuje wartości nieujemne dla argumentów z przedziału $⟨- 4, - 3)$ .

R1cFhVvaLZra11

Ćwiczenie 6

Pogrupuj własności podanych funkcji. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, x, plus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. punkt przecięcia z osią Y:nawias, zero, średnik, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. funkcja jest rosnąca w przedziałach: nawias, minus, nieskończoność, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, równa się, R \ nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. punkt przecięcia z osią Y:nawias, zero, średnik, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. funkcja jest malejąca w przedziałach: nawias, minus, nieskończoność, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. asymptota pionowa: x, równa się, trzy, 7. asymptota pionowa: x, równa się, minus, trzy, 8. D indeks dolny, f, równa się, R \ nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, x, minus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. punkt przecięcia z osią Y:nawias, zero, średnik, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. funkcja jest rosnąca w przedziałach: nawias, minus, nieskończoność, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. D indeks dolny, f, równa się, R \ nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. punkt przecięcia z osią Y:nawias, zero, średnik, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 5. funkcja jest malejąca w przedziałach: nawias, minus, nieskończoność, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 6. asymptota pionowa: x, równa się, trzy, 7. asymptota pionowa: x, równa się, minus, trzy, 8. D indeks dolny, f, równa się, R \ nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego

RMAstkeVkjfD02

Ćwiczenie 7

R1dIOBYNCqweo3

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVXhBN9hteD9P1

Ćwiczenie 9

Rn8RDtgY0Xkxd2

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

R1PGxW3vvb3Jj3

W wyniku przesunięcia wykresu funkcji $y = f (x)$ o wektor $\vec{v} = [0; q]$ powstaje wykres funkcji o wzorze $g (x) = f (x) + q$ .

Czyli

$g (x) = - \frac{4}{x} + 2 + 3 = - \frac{4}{x} + 5$

Słownik

asymptota

prosta (pionowa, pozioma), do której wykres funkcji „zbliża się” w nieskończoności lub w pobliżu punktu spoza dziedziny, ale nigdy jej nie dotyka. Odległość między wykresem funkcji a prostą dąży do zera, gdy argument funkcji zmierza do nieskończoności lub do pewnej wartości granicznej.

4. Własności wykresu funkcji f(x)=a/x

6. Funkcja homograficzna

5. Przesuwanie wykresu funkcji $f (x) = \frac{a}{x}$ wzdłuż osi układu współrzędnych

Aplet

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Słownik

4. Własności wykresu funkcji f(x)=a/x

6. Funkcja homograficzna

Funkcje wymierne