5. Dzielenie wielomianu przez wielomian

R3ls8NewvUVVU

Wyznaczanie pierwiastków wielomianów jest ważnym zagadnieniem matematycznym od czasów starożytnych Greków. Jedną z metod, którą można do tego wykorzystać, jest zapisanie wielomianu w postaci iloczynu. Pomocna w tym będzie trudna umiejętność – dzielenie wielomianów.

Dzielenie wielomianów jest podobne do dzielenia liczb naturalnych – z resztą i bez reszty.

W tym materiale będziemy wykonywać dzielenie wielomianów bazując właśnie na wiadomościach dotyczących podzielności liczb.

Twoje cele

Poznasz określenie reszty z dzielenia wielomianu przez wielomian.
Podzielisz wielomian przez wielomian.
Poznasz twierdzenie o reszcie i jego dowód.
Zapoznasz się z podstawowymi własnościami rozkładu wielomianu na czynniki.

W zbiorze liczb całkowitych mamy zdefiniowane dzielenie z resztą.
Wiemy, że przy dzieleniu liczby $a$ przez liczbę $b$ możemy uzyskać całkowity iloraz $c$ oraz resztę $r$ , przy czym reszta jest liczbą całkowitą taką, że $0 \leq r < |b|$ .
Zachodzi wtedy równość $a = b \cdot c + r$ .

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ .

Przykład 1

Obliczymy sposobem pisemnym iloraz wielomianów $W (x) = 2 x^{6} + x^{5} - x^{3} - 40 x^{2} + 24 x + 40$ oraz $P (x) = 2 x^{2} + x + 10$ .

R1WjhM0qutvfs

Etapy dzielenia.

Zastosowany zapis przypomina dzielenie pisemne liczb naturalnych. Zapiszmy oba wielomiany i narysujmy poziomą linię nad pierwszym z nich.
Podzielmy pierwsze wyrazy obu wielomianów: $2 x^{6} : 2 x^{2}$ . Uzyskany wynik $x^{4}$ zapiszmy nad pierwszym wyrazem pierwszego wielomianu.
Obliczmy iloczyn zapisanego wyrażenia przez drugi wielomian:
$x^{4} \cdot (2 x^{2} + x + 10)$ . Uzyskany wynik zapiszmy pod pierwszym wielomianem dopisując znak odejmowania, czyli $-2x^6-x^5-10x^4$ .
Wykonajmy odejmowanie. Wynik zapiszmy pod kreską. Wynosi on $-10x^4$ . Nie trzeba zapisywać wszystkich wyrazów różnicy, wystarczy o jeden więcej niż stopień wielomianu, przez który dzielimy. Otrzymujemy więc wielomian: $-10x^4-x^3-40x^2$ .
Podzielmy pierwszy wyraz uzyskanej różnicy przez pierwszy wyraz wielomianu, przez który dzielimy: $- 10 x^{4} : 2 x^{2}$ . Dodajemy uzyskany wynik $- 5 x^{2}$ do zapisu nad kreską.
Teraz podobnie jak poprzednio obliczymy iloczyn wyniku ostatniego dzielenia przez drugi wielomian: $- 5 x^{2} \cdot (2 x^{2} + x + 10)$ . Uzyskany wynik analogicznie dopisujemy ze znakiem minus.
Podobnie jak wcześniej wykonujemy odejmowanie, uzupełniając wynik składnikami pierwszego wielomianu. Mamy więc odejmowanie pisemne. Od wielomianu $-10x^4-x^3-40x^2$ odejmujemy wielomian $10x^4+5x^3+50x^2$ . Wynikiem odejmowania wielomianów jest $4x^3+10x^2$ . Następnie dopisujemy do tego wielomianu $+24x$ .
Powtarzamy cały schemat, dopóki stopień wielomianu uzyskanego po odejmowaniu nie jest mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy.
Jeżeli uzyskana różnica będzie stopnia mniejszego niż wielomian, przez który dzielimy lub będzie wielomianem zerowym, kończymy wykonywanie algorytmu.
Jednomian $4x^3$ dzielimy przez pierwszy jednomian dzielnika, czyli przez $2x^2$ . Otrzymujemy $2x$ , zatem dopisujemy w wierszu wynikowym $+2x$ i mnożymy jednomian $2x$ przez wielomian będący dzielnikiem. Poniżej zapisujemy iloczyn ze zmienionym znakiem, czyli $-4x^3-2x^2-20x$ .
Dodajemy do siebie te wielomiany. Pod kreską zapisujemy wynik: $8x^2+4x$ . Dopisujemy do niego ostatni jednomian wielomianu $W$ , czyli $+40$ .
Jednomian $8x^2$ dzielimy przez pierwszy jednomian dzielnika $P$ , czyli $2x^2$ . Otrzymany wynik $4$ zapisujemy w wierszu wynikowym jako $+4$ i mnożymy przez ten jednomian dzielnik $P$ . Poniżej w wierszu zapisujemy iloczyn ze zmienionym znakiem, czyli $-8x^2-4x-40$ .
Dodajemy do siebie dwa otrzymane wielomiany i pod kreską zapisujemy wynik, który wynosi $0$ .
Wielomian zapisany u góry nad kreską jest ilorazem. Wynosi on $x^4-5x^2+2x+4$ .
Uwaga! Jeśli ostatnia uzyskana różnica jest wielomianem zerowym (jak w podanym przykładzie), to pierwszy wielomian jest podzielny przez drugi wielomian. W przeciwnym wypadku uzyskana różnica jest resztą z dzielenia.

A co w sytuacji, gdy dla danego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ nie istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ ?

Dzielenie wielomianów z resztą

Twierdzenie: Dzielenie wielomianów z resztą

Dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ , nazywany resztą z dzielenia, jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym.

Przykład 2

Wykonamy dzielenie: $(2 x^{4} - 12 x^{3} + 8 x^{2} - 21 x + 7) : (2 x^{2} + 4)$ .

Rozwiązanie

R1ThrXYyz93iX

Ilustracja przedstawia dzielenie pisemne wielomianów 8x3-22x2+36x-24 oraz 4x-5, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważmy pierwszy składnik dzielnej, czyli 8x3 i podzielmy go przez pierwszy składnik dzielnika, czyli 4x. Wynik 2x2 zapisujemy nad linią wyniku nad 8x3, następnie mnożymy 2x2 razy 4x i wynik 8x3 zapisujemy z przeciwnym znakiem pod 8x3, dalej mnożymy 2x2 razy minus pięć i otrzymujemy wynik -10x2, który zapisujemy z przeciwnym znakiem pod drugim składnikiem dzielnej. Kreślimy pionową linię Dokonujemy odejmowania między 8x3,a 8x3 , otrzymujemy zero, którego nie zapisujemy pod kreską, następnie dodajemy -22x2 oraz 10x2 i dostajemy -12x2, dalej przepisujemy dwa ostatnie składniki dzielnej czyli 36x-24. Otrzymujemy -12x2+36x-24, dzielimy pierwszy składnik tej sumy przez 4x i wynik -3x zapisujemy nad linią wyniku nad -22x2, następnie mnożymy -3x razy 4x i wynik -12x2 zapisujemy z przeciwnym znakiem pod -12x2, dalej mnożymy -3x razy minus pięć i wynik 15x zapisujemy z przeciwnym znakiem pod 36x. Kreślimy pionową kreskę. Dokonujemy dodawania między -12x2 , a 12x2, wynik zero nie zapisujemy pod kreską, dalej odejmujemy od 36x 15x i otrzymujemy 21x, co zapisujemy pod kreską oraz przepisujemy ostatni składnik dzielnej minus dwadzieścia cztery. Otrzymujemy 21x-24, dzielimy 21x przez 4x, wynik 5 zapisujemy nad linią wyniku nad 36x. Mnożymy pięć razy 4x i wynik 20x zapisujemy z przeciwnym znakiem pod 21x, dalej mnożymy pięć razy minus pięć i wynik minus 25 zapisujemy pod minus 24. Kreślimy pionową kreskę. Dokonujemy odejmowania 21x odjąć 20x, wynik x zapisujemy pod pionową kreską, dalej dodajemy minus 24 dodać 25 i otrzymujemy jeden co zapisujemy również pod pionową kreską. Zatem dzielenie zakończyło się z resztą równą x+1.

Wielomian $W (x) = 2 x^{4} - 12 x^{3} + 8 x^{2} - 21 x + 7$ zapiszemy zatem w postaci:

$W (x) = (x^{2} - 6 x + 2) (2 x^{2} + 4) + 3 x - 1$

Dwumian $R (x) = 3 x - 1$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez trójmian $P (x) = 2 x^{2} + 4$ .

Przykład 3

Resztą z dzielenia pewnego wielomianu $W (x)$ przez wielomian $P_{1} (x) = x + 2$ jest wielomian stopnia zerowego $R_{1} (x) = - 67$ , a resztą z dzielenia $W (x)$ przez $P_{2} (x) = x - 2$ jest $R_{2} (x) = 65$ .
Wyznaczymy wielomian, który jest resztą z dzielenia $W (x)$ przez $P (x) = x^{2} - 4$ .

Rozwiązanie

Wiadomo, że $\{\begin{cases} W (x) = P_{1} (x) \cdot Q_{1} (x) + R_{1} (x) \\ W (x) = P_{2} (x) \cdot Q_{2} (x) + R_{2} (x) \end{cases}$ .

Ponadto reszta z dzieleniadzielenie wielomianów z resztądzielenia $W (x)$ przez wielomian stopnia drugiego $P (x) = x^{2} - 4$ jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego lub wielomianem zerowym, czyli można ją zapisać w postaci $R (x) = a x + b$ .

Zatem $\{\begin{cases} W (x) = (x + 2) \cdot Q_{1} (x) - 67 \\ W (x) = (x - 2) \cdot Q_{2} (x) + 65 \\ W (x) = (x^{2} - 4) \cdot Q (x) + (a x + b) \end{cases}$

Zauważmy, że z pierwszej równości wiadomo, że
$W (- 2) = (- 2 + 2) \cdot Q_{1} (- 2) - 67 = - 67$
zaś z drugiej
$W (2) = (2 - 2) \cdot Q_{2} (2) + 65 = 65$ .

Wykorzystajmy to w trzeciej równości:
$\{\begin{cases} W (- 2) = (4 - 4) \cdot Q (- 2) + (- 2 a + b) = - 67 \\ W (2) = (4 - 4) \cdot Q (2) + (2 a + b) = 65 \end{cases}$ ,
czyli $\{\begin{cases} - 2 a + b = - 67 \\ 2 a + b = 65 \end{cases}$ .

Rozwiązując ten układ równań uzyskujemy $a = 33$ i $b = - 1$ , czyli $R (x) = 33 x - 1$ .

Przykład 4

Wyznaczymy takie wartości parametrów $a$ i $b$ , dla których reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = 2 x^{5} - x^{4} + a x^{2} + b x + 1$ przez wielomian $P (x) = x^{2} + 3 x + 1$ jest równa $R (x) = 144 x + 54$ .

R1eVkQUYPP32O

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją pokazującą przykłady pisemnego dzielenia wielomianów.

Ri4QbP6ln2QG5

Polecenie 2

Dane są wielomiany

$W (x) = 2 x^{8} + 3 x^{7} - 4 x^{5} - 6 x^{4} + 10 x + 15$ ,

$P (x) = 2 x + 3$ .

Wyznacz iloraz $V (x)$ i resztę $R (x)$ z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $P (x)$ .

$V (x) = x^{7} - 2 x^{4} + 5$

$R (x)$ jest wielomianem zerowym

Polecenie 3

Dane są wielomiany

$W (x) = 9 x^{4} + 18 x^{3} + 47 x^{2} + 114 x - 84$ ,

$P (x) = 3 x - 1$ .

Wyznacz iloraz $V (x)$ i resztę $R (x)$ z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $P (x)$ .

$V (x) = 3 x^{3} + 7 x^{2} + 18 x + 44$

$R (x) = - 40$

Bezpośrednio z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztądzielenie wielomianów z resztądzieleniu wielomianów z resztą (nazywanego też twierdzeniem o rozkładzie wielomianu) wynika kolejne bardzo często stosowane w rozwiązaniach niektórych zadań twierdzenie o reszcietwierdzenie o reszcietwierdzenie o reszcie.

o reszcie

Twierdzenie: o reszcie

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez dwumian postaci $x - a$ wynosi $W (a)$ (czyli jest stałą równą wartości wielomianu $W (x)$ dla argumentu $a$ ).

Twierdzenie o reszcie bardzo łatwo udowodnić korzystając z twierdzenia o dzieleniu wielomianów z resztą. Wiadomo, że reszta z dzielenia $W (x)$ przez wielomian pierwszego stopnia jest stałą, oznaczmy ją jako $R$ .
Zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu z resztą możemy zapisać, że

W (x) = (x - a) \cdot Q (x) + R

czyli

W (a) = (a - a) \cdot Q (a) + R = R

a to właśnie chcieliśmy wykazać.

Przykład 5

Wyznaczymy resztę z dzielenia wielomianu $W (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 17 x + 15$ .

Możemy wykonać pisemne dzielenie wielomianów, ale dużo prościej będzie skorzystać z twierdzenia o reszcie. Szukana reszta wynosi:

$W (3) = 3^{4} - 3 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} - 17 \cdot 3 + 15 = 0$ ,

czyli wielomian $W (x)$ jest podzielny przez dwumian $x - 3$ .

Przykład 6

Ustalmy, jaka jest reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = 3 x^{7} - 5 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x - 11$ przez dwumian $x + 1$ .

Korzystając z twierdzenia o reszcie wiemy, że reszta ta wynosi $W (- 1) = - 32$ .

Wielomian definiujemy jako sumę jednomianów. Ale w wielu sytuacjach wygodniejsze jest przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu - czyli rozłożenie wielomianu na czynniki.

Wielomian rozkładalny

Definicja: Wielomian rozkładalny

Wielomian rozkładalnywielomian rozkładalnyWielomian rozkładalny to wielomian stopnia dodatniego, który można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego. Wielomian, który nie spełnia tych warunków, to wielomian nierozkładalny.

Z tej definicji wynika, że nierozkładalne są na pewno wszystkie wielomiany stopnia pierwszego oraz nierozkładalne wielomiany stopnia drugiego (czyli takie, dla których wyróżnik $Δ$ przyjmuje wartości ujemne).
Okazuje się, że są to jedyne wielomiany nierozkładalnewielomian nierozkładalnywielomiany nierozkładalne.

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Twierdzenie: Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki

Jedyne wielomiany nierozkładalne stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych to wszystkie wielomiany pierwszego stopnia oraz wielomiany drugiego stopnia z ujemnym wyróżnikiem $Δ$ .
Każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych i niezerowej stałej.
Zapis w postaci iloczynu jest jednoznaczny z dokładnością do przemnożenia czynników przez stałą niezerową.

Wyjaśnijmy, jak rozumieć zapis o jednoznaczności rozkładu.

Przykład 7

Rozważmy wielomian $W (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} + 22 x + 12$ .

Można go rozłożyć do postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych.

$W (x) = 2 (x + 2) (x + 3) (x + 1)$

$W (x) = (2 x + 4) (x + 3) (x + 1)$

$W (x) = (x + 2) (x + 3) (2 x + 2)$

$W (x) = (3 x + 6) (\frac{1}{3} x + 1) (2 x + 2)$

Odpowiednie wielomiany pierwszego stopnia w każdym z tych czterech przykładowych zapisów można uzyskać stosując tylko mnożenie przez stałą. Na przykład czynnik $(2 x + 2)$ w trzecim podpunkcie to $2 (x + 1)$ z pierwszego podpunktu, a $(\frac{1}{3} x + 1)$ można uzyskać jako $\frac{1}{3} (x + 3)$ .

Przykład 8

Wielomian

$W (x) = 3 x^{4} + 5 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 2$

można rozłożyć do postaci

$W (x) = (3 x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 2)$

i czynnik $(x^{2} + x + 2)$ jest już nierozkładalny, $(Δ = - 7)$ .

Na koniec odnotujmy zastosowanie twierdzenia o reszcie.

Przykład 9

Rozważmy wielomian $W (x) = x^{4} + 2 x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ . Wyznaczymy współczynniki $a$ i $b$ wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x - 1)$ wynosi $7$ a reszta z dzielenia wielomianu $W$ przez dwumian $(x + 1)$ wynosi $1$ .

Z Twierdzenia o reszcie wiemy, że $W (1) = 7$ oraz $W (- 1) = 1$ . Budujemy więc układ równań

$\{\begin{array}{l} 1^{4} + 2 \cdot 1^{3} + a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 1 = 7 \\ {(- 1)}^{4} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} + a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + 1 = 1 \end{array}$ ,

który po uproszczeniu przyjmuje postać:

$\{\begin{array}{l} a + b + 4 = 7 \\ a - b = 1 . \end{array}$

Dodając równania stronami otrzymujemy, że $2 a = 4$ , więc $a = 2$ . Wstawiając uzyskaną wielkość do drugiego równania mamy, że $2 - b = 1$ , więc $b = 1$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją poświęconą dzieleniu wielomianu $W (x)$ przez dwumian pierwszego stopnia postaci $x - a$ .

R15k7aQ7F9mRY

Polecenie 5

Korzystając z twierdzenia o reszcie, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez podany dwumian $P (x)$ .

$W (x) = x^{3} - x^{2} - 13 x - 1$ , $P (x) = x - 3$
$W (x) = x^{6} - 2 x^{5} + x - 6$ , $P (x) = x - 2$
$W (x) = x^{6} + x^{5} - x^{4} + x^{2} - 7 x - 7, P (x) = x + 1$

Reszta to $W (3) = - 22$ .
Reszta to $W (2) = - 4$ .
Reszta to $W (- 1) = 0$ , czyli wielomian $W (x)$ jest podzielny przez $P (x)$ .

Polecenie 6

Wyznacz wyraz wolny następujących wielomianów:

$W (x) = (x - 1) (x + 3) (x + 5) + 3$ ,
$W (x) = 2 (x - 2) (x + 1) - 8$ ,
$W (x) = - 2 {(x - 3)}^{3} - 20$ .

$(- 1) \cdot 3 \cdot 5 + 3 = - 12$
$2 \cdot (- 2) \cdot 1 - 8 = - 12$
$- 2 \cdot {(- 3)}^{3} - 20 = 34$

Przykład 10

Wiemy, że reszta z dzielenia pewnego wielomianu $W (x)$ przez wielomian $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 8$ jest wielomianem $x^{2} + 6 x + 5$ .
Jak wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez dwumian $x + 4$ ?

Rozwiązanie

Wiemy, że istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = Q (x) \cdot (x^{3} + 4 x^{2} - 2 x - 8) + (x^{2} + 6 x + 5)$ .

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 4$ to $W (- 4)$ .

Obliczmy
$W (- 4) = Q (- 4) \cdot ({(- 4)}^{3} + 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 2 \cdot (- 4) - 8) + ({(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) + 5)$ ,
czyli
$W (- 4) = Q (- 4) \cdot 0 - 3$ .

Zatem szukana resztatwierdzenie o reszciereszta wynosi $W (- 4) = - 3$ .

Przykład 11

Wiemy, że reszta z dzielenia pewnego wielomianu $W (x)$ przez dwumian $x - 3$ wynosi $- 5$ , zaś reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 4$ to $9$ .
Jak wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez wielomian $x^{2} + x - 12$ ?

Rozwiązanie

Wiemy, że istnieją wielomiany $Q (x)$ oraz $R (x)$ takie, że $W (x) = Q (x) \cdot (x^{2} + x - 12) + R (x)$ .

Zauważmy, że $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ .

Z twierdzenia o dzieleniu z resztą wiemy, że $R (x)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego. Zatem istnieją liczby $a$ i $b$ takie, że $R (x) = a x + b$ .

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że $W (3) = - 5$ oraz $W (- 4) = 9$ .

Zatem
$W (3) = Q (3) \cdot (3 + 4) \cdot (3 - 3) + 3 a + b$ , a ponieważ $3 - 3 = 0$ , mamy
$3 a + b = - 5$ .

Analogicznie
$W (- 4) = Q (- 4) \cdot (- 4 + 4) \cdot (- 4 - 3) - 4 a + b$ , więc
$- 4 a + b = 9$ .

Wystarczy teraz rozwiązać układ równań
$\{\begin{cases} 3 a + b = - 5 \\ - 4 a + b = 9 \end{cases}$ .
Rozwiązaniem jest para liczb $\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 1 \end{cases}$ .

Zatem szukana reszta to $R (x) = - 2 x + 1$ .

Kolejne przykłady pokazują, jak zastosować twierdzenie o dzieleniu z resztądzielenie wielomianu z resztątwierdzenie o dzieleniu z resztą w zadaniach z parametrami.

Przykład 12

Dany jest wielomian $W (x) = x^{3} + p x^{2} + q x - 1$ . Dla jakich wartości parametrów $p$ i $q$ reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $P (x) = x^{2} + 4 x + 3$ jest równa $R (x) = 7 x - 13$ ?

Rozwiązanie

Zauważmy na początek, że $P (x) = (x + 1) (x + 3)$ .

Zatem istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że
$W (x) = Q (x) \cdot (x + 3) \cdot (x + 1) + 7 x - 13$ .

Obliczmy wartość wielomianu $W (x)$ dla argumentów $- 3$ oraz $- 1$ :
$W (- 3) = 0 + 7 \cdot (- 3) - 13 = - 34$ ,
$W (- 1) = 0 + 7 \cdot (- 1) - 13 = - 20$ .

Wykorzystajmy teraz wzór wielomianu $W (x)$ z parametrami:
$W (- 3) = {(- 3)}^{3} + p \cdot {(- 3)}^{2} + q \cdot (- 3) - 1$ ,
co daje nam równanie
$- 27 + 9 p - 3 q - 1 = - 34$ .

$W (- 1) = {(- 1)}^{3} + p \cdot {(- 1)}^{2} + q \cdot (- 1) - 1$ ,
czyli
$- 1 + p - q - 1 = - 20$ .

Po uproszczeniu uzyskujemy układ równań z niewiadomymi $p$ , $q$ :
$\{\begin{cases} 9 p - 3 q = - 6 \\ p - q = - 18 \end{cases}$ ,
którego rozwiązaniem jest para liczb $\{\begin{cases} p = 8 \\ q = 26 \end{cases}$ .

Przykład 13

Dany jest wielomian $W (x) = 2 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + 5$ . Wiadomo, że reszta z dzielenia $W (x)$ przez wielomian $P (x) = (x^{2} - 1) (x + 2)$ wynosi $R (x) = 8 x^{2} + x - 1$ . Wyznaczmy wartości parametrów $a$ , $b$ i $c$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia o dzieleniu z resztą wiemy, że istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że
$W (x) = Q (x) \cdot (x - 1) (x + 1) (x + 2) + 8 x^{2} + x - 1$ .

Zatem
$W (1) = Q (1) \cdot 0 + 8 + 1 - 1 = 8$ ,
$W (- 1) = Q (- 1) \cdot 0 + 8 - 1 - 1 = 6$ ,
$W (- 2) = Q (- 2) \cdot 0 + 32 - 2 - 1 = 29$ .

Podstawmy liczby $W (1) = 8$ , $W (- 1) = 6$ oraz $W (- 2) = 29$ do wzoru wielomianu $W (x)$ :

$W (1) = 2 + a + b + c + 5 = 8$ , więc
$a + b + c = 1$ .

$W (- 1) = 2 - a + b - c + 5 = 6$ , więc
$- a + b - c = - 1$ .

$W (- 2) = 32 - 8 a + 4 b - 2 c + 5 = 29$ , więc
$- 8 a + 4 b - 2 c = - 8$ .

Wystarczy więc rozwiązać układ równań
$\{\begin{cases} a + b + c = 1 \\ - a + b - c = - 1 \\ - 8 a + 4 x - 2 c = - 8 \end{cases}$ .

Szukane wartości parametrów to $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \end{cases}$ .

Polecenie 7

Przeanalizuj zaprezentowaną poniżej metodę wyznaczenia reszty z dzielenia dwóch wielomianów.

RFeB883owuu8B1

Dany jest wielomian $W (x)$ . Wiadomo, że $W (x)$ jest podzielny przez x plus 2, reszta z dzielenia $W (x)$ przez x odjąć 5 wynosi 105, reszta z dzielenia $W (x)$ przez x odjąć 4 wynosi 60. Jaka jest reszta z dzielenia $W (x)$ przez $P (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 40 = (x + 2) (x - 5) (x - 4)$ ? Wykonaj samodzielnie następny krok.

RIPVclCJnOA41

Ćwiczenie 1

Wykonaj samodzielnie kolejny krok.

R14SmfewbUev7

Ćwiczenie 2

Wykonaj samodzielnie kolejny krok.

R1YtJBW5SIxKT

Ćwiczenie 3

Jaka jest reszta z dzielenia $W (x)$ przez $P (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 40 = (x + 2) (x - 5) (x - 4)$ ?

Wiemy, że wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ są takie, że

R1EsiWNw3EDg7

Ćwiczenie 4

przy czym $R (x)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego.

Resztę wielomianu możemy zapisać jako $R (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Wykorzystajmy zebrane wiadomości.

Wiemy, ze $W (- 2) = 0$ .

Zapiszemy teraz wielomian, podstawiając wzór na resztę wielomianu. Zatem wielomian jest postaci:

$W (x) = Q (x) \cdot (x + 2) (x - 5) (x - 4) + a x^{2} + b x + c$

Podstawmy do tej postaci wielomianu $x = - 2$ .

$W (- 2) = Q (- 2) \cdot (- 2 + 2) (- 2 - 5) (- 2 - 4) + a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$0 = 0 + 4 a - 2 b + c$

Stąd otrzymujemy

$4 a - 2 b + c = 0$ .

Wykonamy to samo rozumowanie dla argumentu $x = 5$ .

Wiemy, ze $W (5) = 105$ .

Zapiszemy teraz wielomian, podstawiając wzór na resztę wielomianu. Zatem wielomian jest postaci:

$W (x) = Q (x) \cdot (x + 2) (x - 5) (x - 4) + a x^{2} + b x + c$

Podstawmy do tej postaci wielomianu $x = 5$ .

$W (5) = Q (5) \cdot (5 + 2) (5 - 5) (5 - 4) + a {(5)}^{2} + b (5) + c$

$105 = 0 + 25 a + 5 b + c$

Stąd otrzymujemy

$25 a + 5 b + c = 105$ .

Wykonamy to samo rozumowanie dla argumentu $x = 4$ .

Wiemy, ze $W (4) = 60$ .

Zapiszemy teraz wielomian, podstawiając wzór na resztę wielomianu. Zatem wielomian jest postaci:

$W (x) = Q (x) \cdot (x + 2) (x - 5) (x - 4) + a x^{2} + b x + c$

Podstawmy do tej postaci wielomianu $x = 4$ .

$W (4) = Q (4) \cdot (4 + 2) (4 - 4) (4 - 4) + a {(4)}^{2} + b (4) + c$

$60 = 0 + 16 a + 4 b + c$

Stąd otrzymujemy

$16 a + 4 b + c = 60$ .

Dany jest wielomian $W (x)$ . Wiadmo, że

$\{\begin{cases} 4 a - 2 b + c = 0 \\ 25 a + 5 b + c = 105 \\ 16 a + 4 b + c = 60 \end{cases}$

Rozwiązujemy układ trzech równań i otrzymujemy, że

$\{\begin{cases} a = 5 \\ b = 0 \\ c = - 20 \end{cases} .$

Istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = Q (x) \cdot (x + 2) (x - 5) (x - 4) + R (x)$ , przy czym $R (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Więc szukana reszta wynosi $R (x) = 5 x^{2} - 20$ .

Polecenie 8

Dany jest wielomian $W (x)$ .
Wiadomo, że

reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x - 1$ wynosi $(- 1)$ ,
reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x - 2$ wynosi $1$ ,
reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x - 3$ wynosi $5$ .

Wyznacz resztę z dzielenia $W (x)$ przez $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ .

Użyj twierdzenia o dzieleniu z resztą.
Poszukujesz wielomianu $R (x)$ takiego, że dla pewnego wielomianu $Q (x)$ zachodzi równość $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ .
Wiadomo, że reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego, czyli należy wyznaczyć $a$ , $b$ i $c$ takie, że $R (x) = a x^{2} + b x + c$ .

$R (x) = x^{2} - x - 1$ .

R818U6fz3C5G11

Ćwiczenie 1

RzHGVGNVr1q1Y1

Ćwiczenie 2

Uzupełnij odpowiednimi wielomianami: 1. nawias pięć x, minus, dwadzieścia siedem zamknięcie nawiasu, 2. nawias pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, siedemnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, siedemnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 4. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery zamknięcie nawiasu równa się, nawias pięć x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, siedem zamknięcie nawiasu, razy 1. nawias pięć x, minus, dwadzieścia siedem zamknięcie nawiasu, 2. nawias pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, siedemnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, siedemnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 4. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery zamknięcie nawiasu plus 1. nawias pięć x, minus, dwadzieścia siedem zamknięcie nawiasu, 2. nawias pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, siedemnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, 3. nawias pięć x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, plus, siedemnaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden zamknięcie nawiasu, 4. nawias x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery zamknięcie nawiasu

R13bvHFxwYvfR2

Ćwiczenie 3

R103S27Pf4AAI2

Ćwiczenie 4

RUScj0ilC6D4T2

Ćwiczenie 5

Re6HXYmdesdAo2

Ćwiczenie 6

Ilorazem wielomianu W nawias x zamknięcie nawiasu, równa się sześć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia jeden x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego plus, piętnaście pierwiastek kwadratowy z nawias koniec pierwiastka trzy zamknięcie nawiasu x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego plus, pięć pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, trzy i wielomianu P nawias x zamknięcie nawiasu, równa się trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, trzy jest wielomian trzeciego stopnia Q nawias x zamknięcie nawiasu. Wstaw brakujące współczynniki. Q nawias x zamknięcie nawiasu, równa się 1. trzy, 2. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, trzy, 6. dwa, 7. minus, jeden, 8. minus, dwa, 9. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 11. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 12. jeden x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus 1. trzy, 2. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, trzy, 6. dwa, 7. minus, jeden, 8. minus, dwa, 9. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 11. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 12. jeden x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus 1. trzy, 2. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, trzy, 6. dwa, 7. minus, jeden, 8. minus, dwa, 9. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 11. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 12. jeden x, plus 1. trzy, 2. minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 3. trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 4. minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 5. minus, trzy, 6. dwa, 7. minus, jeden, 8. minus, dwa, 9. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 10. dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 11. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 12. jeden

R2CA6G1fel6PU3

Ćwiczenie 7

Rbqz1P545f2cI3

Ćwiczenie 8

RPU7RneSFhdYx1

Ćwiczenie 9

RKIVcXsBrStbq1

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

R1MPCRAeajN20

RfIeVYoc0fRIu

RDwgjSmjNCllh1

Ćwiczenie 12

R12ftVpI2gYiF2

Ćwiczenie 13

R1JEYyegDVrYR2

Ćwiczenie 14

R5ZJLzs2og14B2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

R1AsaqzcSLeuu

Poniżej wypisanych jest kilka rozkładów wielomianu
W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sześć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, osiemnaście x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześćdziesiąt x, plus, siedemdziesiąt dwa.
Zaznacz kolorem pomarańczowym wszystkie wielomiany nierozkładalne, pojawiające się w tych rozkładach oraz kolorem niebieskim te, które można jeszcze rozłożyć.

W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, sześć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu
W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu nawias, dwa x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć, zamknięcie nawiasu
W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu nawias, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, dwanaście, zamknięcie nawiasu
W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, trzy x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasu nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu nawias, dwa x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu
W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu nawias, dwanaście x, minus, dwanaście, zamknięcie nawiasu

Rntv2ZyTjMON3

W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, sześć x, minus, sześć, zamknięcie nawiasunawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasunawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasunawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu

W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, trzy, zamknięcie nawiasunawias, dwa x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć, zamknięcie nawiasu

W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, sześć, zamknięcie nawiasunawias, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, dwanaście, zamknięcie nawiasu

W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, trzy x, minus, trzy, zamknięcie nawiasunawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, zamknięcie nawiasunawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasunawias, dwa x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu

W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasunawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, sześć, zamknięcie nawiasunawias, dwanaście x, minus, dwanaście, zamknięcie nawiasu

RRxhCjCjMuP1A1

Ćwiczenie 17

RQTG33I7fJJqI1

Ćwiczenie 18

R1AlJWhoe8GyZ1

Ćwiczenie 19

RgvToJiHzdEkp2

Ćwiczenie 20

R5HXnVNxvrMc32

Ćwiczenie 21

R1RIX4bVCvUOv2

Ćwiczenie 22

R15eibwJ901FG3

Ćwiczenie 23

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, jedenaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c jest podzielny przez wielomian x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, trzy, a z dzielenia przez dwumian x, plus, jeden daje resztę minus, dwanaście. Wskaż, jak poprawnie uzupełnić rozumowanie prowadzące do wyznaczenia parametrów a, b, c. Zauważmy, że x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, trzy, równa się nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu/nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu.
Zatem W nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, W nawias, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero/W nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, W nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero.
Ponadto W nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwanaście/W nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwanaście.
Zatem

a, minus, cztery, plus, jedenaście, plus, b, plus, c, równa się, zero/a, minus, cztery, minus, jedenaście, minus, b, plus, c, równa się, zero,
a, plus, cztery, plus, jedenaście, minus, b, plus, c, równa się, minus, dwanaście/a, plus, cztery, plus, jedenaście, plus, b, plus, c, równa się, minus, dwanaście,
osiemdziesiąt jeden a, plus, sto osiem, plus, dziewięćdziesiąt dziewięć, minus, trzy b, plus, c, równa się, zero/osiemdziesiąt jeden a, minus, sto osiem, plus, dziewięćdziesiąt dziewięć, plus, trzy b, plus, c, równa się, zero.

Po obliczeniach uzyskujemy

a, równa się dwa/ minus, dwa/ minus, zero przecinek cztery,
b, równa się dziesięć/ minus, dwadzieścia dwa/dwadzieścia dwa,
c, równa się minus, trzydzieści sześć/ minus, piętnaście/ minus, osiemnaście przecinek sześć.

R14zY0GZ26HLy3

Ćwiczenie 24

Dany jest wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wiadomo, że:

reszta z dzielenia W nawias, x, zamknięcie nawiasu przez x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden to x, plus, dwanaście.
reszta z dzielenia W nawias, x, zamknięcie nawiasu przez x, plus, pięć to trzydzieści jeden.

Jaka jest reszta z dzielenia W nawias, x, zamknięcie nawiasu przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, zamknięcie nawiasu?
Uzupełnij kolejne kroki rozumowania. Istnieje wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu oraz reszta będąca wielomianem R nawias, x, zamknięcie nawiasu stopnia 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c takie, że
1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c równa się, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, P nawias, x, zamknięcie nawiasu, plus, R nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c plus 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c.
Zatem

W nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c
W nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c
W nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, równa się 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że

W nawias 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, czamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści jeden
W nawias1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, czamknięcie nawiasu, równa się, jeden, plus, dwanaście, równa się, trzynaście
W nawias1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, czamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden, plus, dwanaście, równa się, jedenaście

Otrzymujemy układ trzech równań:
1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c.
Po jego rozwiązaniu wyznaczamy resztę.
R nawias, x, zamknięcie nawiasu 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c.

Dany jest wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu. Wiadomo, że:

reszta z dzielenia W nawias, x, zamknięcie nawiasu przez x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden to x, plus, dwanaście.
reszta z dzielenia W nawias, x, zamknięcie nawiasu przez x, plus, pięć to trzydzieści jeden.

W nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c
W nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c
W nawias, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, równa się 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że

W nawias 1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, czamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści jeden
W nawias1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, czamknięcie nawiasu, równa się, jeden, plus, dwanaście, równa się, trzynaście
W nawias1. a, minus, b, plus, c, 2. jeden, 3. co najwyżej drugiego, 4. dwa x, minus, trzy, 5. a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, 6. a, plus, b, plus, c, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, plus, b, plus, c, równa się, trzynaście, koniec równania, drugie równanie, a, minus, b, plus, c, równa się, jedenaście, koniec równania, trzecie równanie, dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, c, równa się, trzydzieści jeden, koniec równania, koniec układu równań, 8. minus, pięć, 9. nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. minus, jeden, 11. W nawias, x, zamknięcie nawiasu, 12. pięć, 13. a x, plus, b, 14. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jedenaście, 15. pierwszego, 16. dwadzieścia pięć a, minus, pięć b, plus, czamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden, plus, dwanaście, równa się, jedenaście

Słownik

dzielenie wielomianów z resztą

dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ nazywany resztą z dzielenia jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym

podzielność wielomianów

wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$

twierdzenie o reszcie

reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez dwumian postaci $x - a$ wynosi $W (a)$ (czyli jest stałą równą wartości wielomianu $W (x)$ dla argumentu $a$ )

wielomian rozkładalny

wielomian stopnia dodatniego, który można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego

wielomian nierozkładalny

jednomian stopnia zero lub wielomian stopnia dodatniego, którego nie można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego

dzielenie wielomianu z resztą

dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ , nazywany resztą z dzielenia, jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym

4. Podzielność wielomianów

6. Dzielenie wielomianu przez dwumian. Schemat Hornera.