5. Objętość ostrosłupa - M_R_W23_M3 Pole powierzchni i objętość brył

R1QXLXMwZ1C2R

Czy wiesz, co to jest sympleks? Słowo sympleks oznacza prosty. Nazwę sympleks noszą pewne obiekty matematyczne. Rozważa się je w przestrzeniach o różnych wymiarach. Na prostej sympleksem jest odcinek, na płaszczyźnie trójkąt, a w przestrzeni czworościan.

Rzit3xve9jTl1

Na ilustracji przedstawiono pomarańczowy ostrosłup trójkątny. Ustawiony jest z takiej perspektywy, że widoczne są dwie ściany boczne.

RdlMnS0DAq4vg

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup trójkątny ułożony wierzchołkiem do dołu.

Wyobraźmy sobie wazon w kształcie ostrosłupa trójkątnego. Ile litrów wodny należy wlać do takiego wazonu, aby zapełnić go w całości? Na pytanie to uzyskamy odpowiedź, gdy znając wymiary wazonu obliczymy jego objętość.

Twoje cele

Obliczysz objętość ostrosłupa.
Wykonasz obliczenia geometryczne z wykorzystaniem trygonometrii i znanych twierdzeń.

W pierwszej części materiału skupimy się na obliczaniu objętości ostrosłupa trójkątnego.

Ostrosłup trójkątny, to taki ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt. Ściany boczne ostrosłupa są trójkątami o wspólnym wierzchołku zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.
Ostrosłup trójkątny jest inaczej nazywany czworościanem.

Wśród ostrosłupów trójkątnych możemy wyróżnić ostrosłupy:

proste,
pochyłe.

Ostrosłup trójkątnyostrosłup prawidłowy trójkątnyOstrosłup trójkątny nazywamy ostrosłupemostrosłup prawidłowyostrosłupem prostym, jeśli spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Ostrosłup prosty ma wszystkie krawędzie boczne równej długości.

Ostrosłup trójkątny pochyły nie spełnia opisanej powyżej własności.

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z podstawą kąty równej miary, to spodek wysokości jest jednakowo oddalony od wierzchołków podstawy jest, więc środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Jeśli wszystkie ściany boczne tworzą z podstawą kąty równej miary, to spodek wysokościspodek wysokości bryłyspodek wysokości jest jednakowo oddalony od krawędzi podstawy. Jest więc środkiem okręgu wpisanego w podstawę.

Objętość ostrosłupa wyraża się za pomocą wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

gdzie:
$P_{p}$ – oznacza pole podstawy ostrosłupa,
$H$ – wysokość bryły.

Dla czworościanu foremnegoczworościan foremnyczworościanu foremnego o krawędzi $a$ :

Objętość:

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Zapoznaj się z poniższym apletem. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa trójkątnego względem objętości graniastosłupa (sześcianu). Przesuwając punkt $A$ lub $B$ zmieniasz długość krawędzi podstawy, gdy przesuniesz punkt $G$ zmieniasz wysokość ostrosłupa oraz graniastosłupa. Czy zauważasz związek miedzy objętościami tych brył?

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu. Na podstawie opisanych przykładów przeanalizuj jak zmienia się objętość ostrosłupa trójkątnego względem objętości graniastosłupa (sześcianu). Czy zauważasz związek miedzy objętościami tych brył?

RooXxLsGSNyEM

Ważne!

Pamiętaj, że objętość ostrosłupa jest jedną trzecią objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy oraz wysokości.

Przykład 1

Obliczymy objętość ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych długości 8, a krawędzie boczne są równe i tworzą z podstawą kąt o mierze $60 °$ .

Rozwiązanie

Zasadniczym elementem zadania jest ustalenie, gdzie znajduje się spodek wysokości ostrosłupa.

Wiemy, że ostrosłup ma krawędzie boczne równej długości, więc spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.

W tym przypadku jest to środek przeciwprostokątnej, bo podstawą jest trójkąt prostokątny.

Wykonujemy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R1RNiMNHewfWc

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Podstawę ostrosłupa stanowi trójkąt z kątem prostym przy wierzchołku C. Krawędzie boczne oznaczono literą d. Z wierzchołka D opuszczono wysokość, której spodek znajduje się w punkcie S, na krawędzi AB podstawy. Kąty DAB, ABD, oraz DCS oznaczono alfa.

Wiemy, że $|A C| = |B C| = 8$ są długościami ramion trójkąta prostokątnego w podstawie, więc $|A B| = 8 \sqrt{2}$ .

Oznaczamy $|A D| = |B D| = |C D| = d$ , bo z treści zadania wynika, że w ostrosłupie prostym krawędzie boczne są równej długości, miara kąta $α = 60 °$ .

Wysokość ostrosłupa to odcinek $D S$ , oznaczamy $|D S| = H$ .

Krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ , stad wniosek, że trójkąt $A B D$ jest równoboczny i $d = |A D| = |B D| = |A B| = 8 \sqrt{2}$ .

Wysokość ostrosłupa jest wysokością ściany bocznej $A B D$ , zatem:

$H = \frac{d \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{6}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 8^{2} = 32$

Mamy już pole podstawy, możemy obliczyć objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 4 \sqrt{6} = \frac{128 \sqrt{6}}{3}$

$V = \frac{128 \sqrt{6}}{3}$ .

Przykład 2

Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt $A B C$ , a krawędź $A D$ jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa $A B C D$ , jeśli wiadomo, że $|B C| = 6$ , $|B D| = |C D| = 13$ i pole jednej ściany bocznej prostopadłej do podstawy wynosi $30$ . Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

Rozwiązanie

Wykonujemy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R7fj3fT57gy1n

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD z wierzchołkiem D oraz obok przedstawiono jego podstawę ABC. Krawędź AD oznaczono H, natomiast długość krawędzi BD oraz CD wynosi trzynaście. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ściany bocznej ostrosłupa, której spodek leży w punkcie E na krawędzi BC. Odległość punktu E od wierzchołka B i od wierzchołka C jest równa trzy. Linią przerywaną połączono wierzchołek A podstawy z punktem E. Odcinek AE stanowi wysokość podstawy ostrosłupa.

Oznaczymy długość wysokości ostrosłupa przez $H$ , z przystających trójkątów prostokątnych $A B D$ i $A C D$ na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|A B|}^{2} + {|A D|}^{2} = {|B D|}^{2}$

${|A B|}^{2} + H^{2} = 13^{2}$

$|A B| = |A C| = \sqrt{13^{2} - H^{2}} = \sqrt{169 - H^{2}}$

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest równoramienny i oznaczamy długość jego wysokości $|A E| = h$ .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A B E$ mamy:

${|A B|}^{2} = h^{2} + 3^{2}$

$h = \sqrt{{|A B|}^{2} - 9} = \sqrt{169 - H^{2} - 9} = \sqrt{160 - H^{2}}$

Możemy teraz wykorzystać podane pole ściany bocznej ostrosłupa.

$P = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot H = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{169 - H^{2}} \cdot H$

$30 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{169 - H^{2}} \cdot H$

$60 = \sqrt{169 - H^{2}} \cdot H$

Podnosząc obie strony do kwadratu mamy:

$3600 = 169 H^{2} - H^{4}$

$H^{4} - 169 H^{2} + 3600 = 0$

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, więc podstawmy $H^{2} = t$ , gdzie $t \geq 0$

$t^{2} - 169 t + 3600 = 0$

$∆ = 169^{2} - 4 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$

$\sqrt{∆} = 119$

$t = \frac{169 - 119}{2} = 25$ lub $t = \frac{169 + 119}{2} = 144$

Stąd wyznaczamy $H = 5$ lub $H = 12$ bo $H > 0$ , mamy więc dwa rozwiązania.

Należy teraz obliczyć pole podstawy i objętość ostrosłupa w każdym z przypadków.

Przypadek dla $H = 5$ .
Obliczamy pole podstawy:
$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3 \cdot \sqrt{160 - H^{2}} = 3 \cdot \sqrt{160 - 25} = 3 \sqrt{135} = 9 \sqrt{15}$
Obliczamy objętość ostrosłupa:
$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \sqrt{15} \cdot 5 = 15 \sqrt{15}$

Przypadek dla $H = 12$ .
Obliczamy pole podstawy:
$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3 \cdot \sqrt{160 - H^{2}} = 3 \cdot \sqrt{160 - 144} = 12$
Obliczamy objętość ostrosłupa:
$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$
$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 12 = 48$

Odpowiedź:

$V = 15 \sqrt{15} [j^{3}]$ lub $V = 48 [j^{3}]$ .

Przykład 3

W ostrosłupie trójkątnym wszystkie krawędzie boczne i dwie krawędzie podstawy mają długość $b$ , a kąt nachylenia krawędzi bocznej, przechodzącej przez wierzchołek wspólny równych krawędzi podstawy, do płaszczyzny podstawy ma miarę $α$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Wykonujemy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R14bmXvKzTXZR

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Na boku AC zaznaczono punkt F. Punkt F połączono linią przerywaną z wierzchołkiem podstawy B, oraz z punktem G znajdującym się na krawędzi bocznej BD. Z wierzchołka D poprowadzono wysokość, której spodek znajduje się w punkcie E na odcinku FB. ∠DFC wynosi 90 stopni, natomiast ∠FBD oznaczono alfa. Kolorem czerwonym zacieniowano trójkąt FBD.

Korzystając z trójkąta $D E B$ możemy obliczyć wysokość ostrosłupa

$\frac{|D E|}{|D B|} = \sin α$ to $|D E| = b \cdot \sin α$

Zauważmy, że trójkąty $A F D$ i $A F B$ są przystające.

Zatem $|F D| = |F B|$ i trójkąt $B F D$ jest równoramienny, stąd punkt $G$ jest środkiem odcinka $D B$ .

Z trójkąta $F B G$ mamy:

$\frac{|G B|}{|F B|} = \cos α$ to $|F B| = \frac{b}{2 \cos α}$

Teraz z trójkąta prostokątnego $A B F$ obliczamy długość odcinka $A F$ .

${|A F|}^{2} + {|F B|}^{2} = {|A B|}^{2}$

${|A F|}^{2} = b^{2} - {(\frac{b}{2 \cos α})}^{2} = b^{2} - \frac{b^{2}}{4 \cos^{2} α}$

$|A F| = \sqrt{b^{2} - \frac{b^{2}}{4 \cos^{2} α}} = b \sqrt{\frac{4 \cos^{2} α - 1}{4 \cos^{2} α}} = b \sqrt{\frac{4 \cos^{2} α - \sin^{2} α - \cos^{2} α}{4 \cos^{2} α}}$

$|A F| = \frac{b}{2} \sqrt{3 - {tg}^{2} α}$

Zatem objętość jest równa

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 |A F| \cdot |F B| \cdot |D E|$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{b}{2} \sqrt{3 - {tg}^{2} α} \cdot \frac{b}{2 \cos α} \cdot b \sin α$

$V = \frac{b^{3}}{12} \cdot tg α \cdot \sqrt{3 - {tg}^{2} α}$

Odpowiedź:

$V = \frac{b^{3}}{12} \cdot tg α \cdot \sqrt{3 - {tg}^{2} α} [j^{3}]$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą symulacją interaktywną. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa. Użyj suwaków, by zmienić długość krawędzi podstawy $a$ i wysokość $H$ ostrosłupa.

Zapoznaj się z opisem poniższej symulacji interaktywnej. Na podstawie opisanych przykładów zastanów się jak zmienia się objętość ostrosłupa trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa.

R1Eiss6pSzF23

Polecenie 2

Oblicz objętość ostrosłupa z rysunku, gdy $|A B| = 4$ , wysokość $|A D| = 5$ . Wiedząc, że w podstawie jest trójkąt prostokątny równoramienny.

Rzn5F7C0uBUJW

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. W podstawie ostrosłupa znajduje się trójkąt prostokątny równoramienny. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ściany bocznej, której spodek leży w punkcie E na krawędzi BC. Linią przerywaną połączono wierzchołek A z punktem E. Ściany boczne ABD oraz ACD stanowią trójkąty prostokątne.

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {|A B|}^{2} \cdot H$

$V = \frac{1}{6} \cdot 16 \cdot 5 = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3} [j^{3}]$ .

Polecenie 3

Ustaw w symulacji punkt $D$ tak, aby odcinek $H$ zwiększył się dwukrotnie oraz punkt $A$ tak, aby krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie. Oblicz, jaką częścią objętości pierwotnej jest objętość ostrosłupa po zmianie.

Jak zmieni się objętość ostrosłupa trójkątnego, który w podstawie ma trójkąt prostokątny równoramienny, jeżeli zwiększymy długość tego ramienia i wysokość bryły dwukrotnie?

Pierwotna objętość ostrosłupa to $V$ dla krawędzi podstawy $a$ i wysokości $H$ . Po zmianie wysokości wynosi $2 H$ krawędź podstawy wynosi $2 a$ .

Pierwotna objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot H = \frac{1}{6} \cdot a^{2} \cdot H$

Nowa objętość po dwukrotnym zwiększeniu długości krawędzi podstawy i wysokości wynosi:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot {(2 a)}^{2} \cdot 2 H = \frac{1}{6} \cdot 4 a^{2} \cdot 2 H = 8 \cdot \frac{1}{6} \cdot a^{2} \cdot H = 8 V$

Stąd wniosek, że $V_{1} = 8 V$ , więc $\frac{V_{1}}{V} = 8 = 2^{3}$ .

Zatem objętość ostrosłupa wzrosła ośmiokrotnie, po dwukrotnym zwiększeniu długości krawędzi podstawy i wysokości.

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny np. trójkąt równoboczny a spodek wysokości ostrosłupaspodek wysokości bryłyspodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie, to mówimy, że taki ostrosłup jest prawidłowy.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, to taki ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt foremny, czyli trójkąt równoboczny. Spodek wysokości jest punktem przecięcia się środkowych, które są zarazem wysokościami i dwusiecznymi. Ściany boczne ostrosłupa są przystającymi trójkątami równoramiennymi o wspólnym wierzchołku zwanym wierzchołkiem ostrosłupa.

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wyraża się za pomocą wzoru:

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H

czyli

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} \cdot H

po podstawieniu za $P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , gdzie:
$P_{p}$ – oznacza pole podstawy ostrosłupa, czyli trójkąta równobocznego,
$H$ – wysokość bryły.

Dla czworościanu foremnegoczworościan foremnyczworościanu foremnego o krawędzi $a$ objętość

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Ważne twierdzenia

Jeżeli ostrosłup jest prawidłowy, to:
- wszystkie jego krawędzie boczne są równe i nachylone pod tym samym kątem do podstawy,
- jego ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi,
- kąty dwuścienne nachylenia jego ścian bocznych do podstawy są równe,
- kąty dwuścienne między jego sąsiednimi ścianami są równe.

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny i wszystkie krawędzie boczne są równe, to ostrosłup ten jest prawidłowy.

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny i wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to ostrosłup ten jest prawidłowy.

Przykład 4

Obliczmy objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wysokość jest równa $8 cm$ , a krawędź boczna $10 cm$ .

Rozwiązanie

RLEPPS6Pvawcw

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS. O krawędzi bocznej równej 10 centymetrów i o wysokości długości 8 centymetrów. Zaznaczono wysokość podstawy CD.

Przyjmujemy, że $|A B| = a$ oraz $|O S| = 8$ , wówczas: $|D C| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, zatem:

$|O C| = \frac{2}{3} |D C| = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $C O S$ , na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|O C|}^{2} + {|O S|}^{2} = {|C S|}^{2}$

${(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} + 8^{2} = 10^{2}$

$\frac{a^{2}}{3} = 100 - 64$

$a^{2} = 36 \cdot 3 = 108$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{108 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3} [{cm}^{2}]$ .

Zatem objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 27 \sqrt{3} \cdot 8 = 72 \sqrt{3} [{cm}^{3}]$ .

Przykład 5

Obliczmy objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego wysokość jest równa $16 cm$ i tworzy:
a) z krawędzią boczną kąt $α$ taki, że $tg α = 0, 5$ ,
b) z wysokością ściany bocznej kąt $β$ taki, że $\cos β = 0, 8$ .

Rozwiązanie

a) Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami, zaznaczamy kąt $α$ miedzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną.

RUJv0sFoDEzDD

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS o wysokości o długości 16 centymetrów. Zaznaczono wysokość podstawy CD. Kąt między wysokością ostrosłupa, a krawędzią boczną to alfa

Przyjmujemy, że $|A B| = a$ oraz $|O S| = 16$ , wówczas: $|D C| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, zatem:

$|O C| = \frac{2}{3} |D C| = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

W trójkącie $C S O$ mamy: $tg α = \frac{|O C|}{|O S|}$ , więc $\frac{1}{2} = \frac{|O C|}{|O S|}$ , stąd $|O S| = 2 |O C|$ , to $16 = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

$48 = 2 a \sqrt{3}$
$48 \sqrt{3} = 6 a$
$8 \sqrt{3} = a$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(8 \sqrt{3})}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = 48 \sqrt{3} [{cm}^{2}]$ .

Zatem objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 48 \sqrt{3} \cdot 16 = 256 \sqrt{3} [{cm}^{3}]$ .

b) Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami, zaznaczamy kąt $β$ między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej.

R1ZXRxnfqMU80

Przyjmujemy, że $|A B| = a$ oraz $|O S| = 16$ , wówczas: $|D C| = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, zatem:

$|D O| = \frac{1}{3} |D C| = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

W trójkącie $D O S$ mamy: $\cos β = \frac{|O S|}{|D S|}$ , więc $\frac{8}{10} = \frac{|O S|}{|D S|}$ , stąd $|D S| = \frac{10}{8} |O S| = \frac{10}{8} \cdot 16 = 20$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D O|}^{2} + {|O S|}^{2} = {|D S|}^{2}$

${(\frac{a \sqrt{3}}{6})}^{2} + 16^{2} = 20^{2}$

$\frac{3 a^{2}}{36} = 400 - 256$

$\frac{a^{2}}{12} = 144$

$a^{2} = 1728$ .

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{1728 \cdot \sqrt{3}}{4} = 432 \sqrt{3} [{cm}^{2}]$ .

Zatem objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \sqrt{3} \cdot 16 = 2304 \sqrt{3} [{cm}^{3}]$ .

Przykład 6

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $A B C D$ płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $D$ i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ . Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

R1N8KbGIJt1Ir

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCD. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość 433. Płaszczyzna w kształcie trójkąta równobocznego przechodzi przez wierzchołek D i wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych.

Oznaczamy $|B C| = |A B| = 2 a$ , wtedy $|F J| = |F D| = |D J| = a$ , bo przekrój jest trójkątem równobocznym oraz $|D S| = H$ .

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $D J C$ , na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D J|}^{2} + {|J C|}^{2} = {|C D|}^{2}$

$a^{2} + a^{2} = {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

$2 a^{2} = {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

$a \sqrt{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

$a = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

$|S C| = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ .

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $D S C$ , na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D S|}^{2} + {|S C|}^{2} = {|D C|}^{2}$

$H^{2} + {(\frac{4 \sqrt{2}}{3})}^{2} = {(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2}$

$H^{2} + \frac{32}{9} = \frac{48}{9}$

$H^{2} = \frac{16}{9}$

$H = \frac{4}{3}$ .

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(\frac{4 \sqrt{6}}{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

Zatem objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32 \sqrt{3}}{27}$ .

Przykład 7

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a$ . Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa $2 α$ . Wyznaczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Zaczynamy od rysunku:

R1318zP1qWHhR

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCD. Krawędź podstawy ma długość a, ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Na krawędzi bocznej A D zaznaczono punkt E w taki sposób, że odcinek E F jest prostopadły do tej krawędzi. Zaznaczono odcinki E B i E C, które tworzą kąt dwa alfa. Zaznaczono wysokość ostrosłupa DK, wysokość ściany bocznej DF oraz wysokość podstawy AF. Obok znajduję się trójkąt ADF. Zaznaczono na nim dwie wysokości FE oraz DK.

Z trójkąta $B F E$ mamy: $tg α = \frac{|B F|}{|E F|}$ , stąd $|E F| = \frac{|B F|}{tg α} = \frac{a}{2 tg α}$ .

Odcinek $|A K| = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ wyznaczamy jako $\frac{2}{3}$ wysokości podstawy.

Wiemy z określenia kąta dwuściennego, że płaszczyzna w której zawiera się trójkąt $B C E$ jest prostopadła do krawędzi bocznej $A D$ , odcinek $E F$ jest prostopadły do krawędzi bocznej $A D$ .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A F E$ mamy:

${|A E|}^{2} + {|E F|}^{2} = {|A F|}^{2}$

${|A E|}^{2} + {(\frac{a}{2 tg α})}^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}$

${|A E|}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{4 {tg}^{2} α} = \frac{a^{2} (3 {tg}^{2} α - 1)}{4 {tg}^{2} α}$

$|A E| = \frac{a}{2 tg α} \sqrt{3 {tg}^{2} α - 1}$ .

Zauważmy, że trójkąty $A F E$ i $A D K$ są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt $A$ ). Korzystamy z proporcji:

$\frac{|E F|}{|A E|} = \frac{|D K|}{|A K|}$ , stąd

$|D K| = \frac{|E F|}{|A E|} \cdot |A K| = \frac{\frac{a}{2 tg α}}{\frac{a}{2 tg α} \sqrt{3 {tg}^{2} α - 1}} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{a \sqrt{3}}{3 \sqrt{3 {tg}^{2} α - 1}}$ .

Obliczamy objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3 \sqrt{3 {tg}^{2} α - 1}} = \frac{a^{3}}{12 \sqrt{3 {tg}^{2} α - 1}}$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z poniższym apletem GeoGebry. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa. Przesuwając punkt $A$ lub $B$ zmieniasz długość $a$ krawędzi podstawy, gdy przesuniesz punkt $D$ zmieniasz wysokość $H$ ostrosłupa.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa.

RzhGG3wIMaLsM

Polecenie 5

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $6$ , a wysokość równą $5$ . Korzystając z powyższego apletu ustaw punkt $A$ tak, aby krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie, ale wysokość pozostaw bez zmiany. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $6$ , a wysokość równą $5$ . W podanym ostrosłupie krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie, ale jego wysokość pozostała bez zmian. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Pierwotna objętość ostrosłupa to $V$ dla krawędzi podstawy $a = 6$ i wysokości $H = 5$ .

Pierwotna objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{36 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = 15 \sqrt{3}$ .

Po zmianie krawędź podstawy wzrosła do $12$ , a wysokość $H$ pozostała bez zmian.

Nowa objętość wynosi:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{144 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = 60 \sqrt{3} = 4 V$ .

Stąd wniosek, że $V_{1} = 4 V$ .

Zatem objętość ostrosłupa wzrosła czterokrotnie, gdy krawędź podstawy wzrosła dwukrotnie.

Polecenie 6

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $2$ , a wysokość równą $3$ . Korzystając z powyższego apletu, ustaw punkt $D$ tak, aby odcinek $H$ zwiększył się dwukrotnie, ale krawędź podstawy pozostaw bez zmiany. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $2$ , a wysokość równą $3$ . W podanym ostrosłupie jego wysokość zwiększyła się dwukrotnie, ale krawędź podstawy pozostała bez zmian. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Pierwotna objętość ostrosłupa to $V$ dla krawędzi podstawy $a = 2$ i wysokości $H = 3$ .

Pierwotna objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \sqrt{3}$ .

Po zmianie $2 H = 6$ .

Nowa objętość wynosi: $V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 6 = 2 \sqrt{3}$ .

Stąd wniosek, że $V_{1} = 2 V$ .

Zatem objętość ostrosłupa wzrosła dwukrotnie, gdy wysokość wzrosła dwukrotnie.

Skupimy się teraz na objętości ostrosłupów czworokątnych.

Ostrosłup czworokątny to ostrosłup, który ma w podstawie czworokąt. Ostrosłup czworokątny prostyOstrosłup czworokątny prosty to ostrosłup czworokątny, w którym spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa. Ostrosłup prawidłowy czworokątnyOstrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup prosty, którego podstawą jest kwadrat. Możemy podać również równoważną definicję ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, nie odwołując się do pojęcia ostrosłupa prostego: ,,ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup, w którego podstawie jest kwadrat, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi”.

Przykład 8

Podstawą ostrosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach $a$ i $3 a$ oraz kącie ostrym $α$ . Krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem $α$ . Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy dodatkowe oznaczenia. Niech $b$ – długość ramion trapezu, $h$ – wysokość trapezu, $d$ – długość przekątnej trapezu, $H$ – wysokość ostrosłupa.

Rlaok2jDAdOrs

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny o wierzchołkach A B C D. Ramiona są nachylone pod kątem alfa do dłuższej podstawy A B o długości 3 a. Ramiona trapezu A D oraz B C mają długość b. Krótsza podstawa C D ma długość a. W trapezie upuszczono wysokość D E oznaczoną literą h. Koniec E wysokości podzielił dolną podstawę na dwa odcinki: A E o długości a oraz E B o długości 2 a. W trapezie wykreślono trójkąt prostokątny E B D, którego przyprostokątne to D E, czyli wysokość h oraz E B o długości 2 a i przeciwprostokątnej B D oznaczonej literą d, która jest jednocześnie przekątną trapezu. W ostrosłupie upuszczono wysokość wielka litera H, która jest odcinkiem S O, gdzie S to górny wierzchołek bryły oraz O to środek trapezu będącego podstawą bryły. Z punktu O poprowadzono odcinek do wierzchołka podstawy B. W ten sposób utworzono trójkąt prostokątny S O B, gdzie przy wierzchołku O znajduje się kąt prosty, przy wierzchołku B znajduje się kąt ostry alfa. Przyprostokątne tego trójkąta to wysokość bryły wielka litera H i odcinek O B, a przeciwprostokątna B S to krawędź ściany bocznej ostrosłupa.

Trójkąt $A E D$ jest prostokątny, więc wykorzystując funkcje trygonometryczne mamy:

$\frac{h}{a} = tg α$ , więc $h = a \cdot tg α$ .

Mamy już wszystkie informacje, by policzyć pole podstawy ostrosłupa. Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, musimy mieć długość odcinka $O B$ . Ostrosłup jest prostyostrosłup czworokątny prostyOstrosłup jest prosty, zatem jest to promień okręgu opisanego na jego podstawie. Obliczmy więc jego długość. Wystarczy obliczyć długość promienia okręgu opisanego na trójkącie $A B D$ . W tym celu wyznaczymy pole trójkąta $A B D$ korzystając z dwóch różnych wzorów.

Wzór wykrzystujący promień okręgu opisanego na trójkącie wymaga znajomości długości wszystkich boków trójkąta. Musimy więc wyznaczyć wielkości $b$ i $d$ .

Ponieważ $\frac{a}{b} = \cos α$ , więc $b = \frac{a}{\cos α}$ ,

Trójkąt $D E B$ jest także prostokątny, co pozwoli nam na obliczenie przekątnej trapezu:

$d^{2} = h^{2} + {(2 a)}^{2}$

$d^{2} = {(a \cdot tg α)}^{2} + {(2 a)}^{2}$

$d^{2} = a^{2} \cdot {tg}^{2} α + 4 a^{2}$

$d^{2} = a^{2} ({tg}^{2} α + 4)$

$d = a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}$ .

Policzmy pole trójkąta:

$P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot 3 a \cdot a \cdot tg α = \frac{3}{2} a^{2} \cdot tg α$ .

Zatem obliczmy promień. Oznaczmy go jako $R$ :

$\frac{3}{2} a^{2} \cdot tg α = \frac{3 a \cdot \frac{a}{\cos α} \cdot a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{4 R}$

$R = \frac{3 a \cdot \frac{a}{\cos α} \cdot a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{4 \cdot \frac{3}{2} a^{2} \cdot tg α} = \frac{a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{2 \sin α}$ .

Trójkąt $S O B$ jest prostokątny. Zatem:

$\frac{H}{|O B|} = tg α$ oraz $|O B| = R$ , więc

$H$ $= \frac{a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{2 \sin α} \cdot tg α = \frac{a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{2 \cos α}$ .

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{(a + 3 a) \cdot a \cdot tg α}{2} = 2 a^{2} \cdot tg α$ .

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V = \frac{1}{3} \cdot 2 a^{2} \cdot tg α \cdot \frac{a \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{2 \cos α} = \frac{a^{3} \cdot tg α \sqrt{{tg}^{2} α + 4}}{3 \cos α}$ .

Przykład 9

Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątneostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa $24$ . Wyznaczymy promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Obliczymy tę objętość.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jest to zadanie optymalizacyjne.

Oznaczmy bok kwadratu jako $a$ , wysokość ostrosłupa – $H$ .

Promień okręgu opisanego na podstawie ma wzór $R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Z treści zadania wiemy, że

$H + R = 24$

$H = 24 - R$

$H = 24 - \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{48 - a \sqrt{2}}{2}$

$48 - a \sqrt{2} > 0$ , czyli $a < 24 \sqrt{2}$ . Zatem $a \in (0, 24 \sqrt{2})$ .

Wyznaczmy wzór na objętość ostrosłupa.

$V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot H$

$V (a) = \frac{1}{3} a^{2} \cdot \frac{48 - a \sqrt{2}}{2} = \frac{48 a^{2} - a^{3} \sqrt{2}}{6} = 8 a^{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} a^{3}$ .

Obliczmy pochodną naszej funkcji $V$ .

$V' (a) = 16 a - \frac{\sqrt{2}}{2} a^{2}$

Znajdźmy ekstrema funkcji $V$ .

$V' (a) = 0$

$16 a - \frac{\sqrt{2}}{2} a^{2} = 0$

$a (16 - \frac{\sqrt{2}}{2} a) = 0$

Zatem

$a = 0$ – nie spełnia warunków zadania

lub

$a = 16 \sqrt{2}$ .

$V' (a) > 0$ dla $a \in (0, 16 \sqrt{2})$ oraz $V' (a) < 0$ dla $a > 16 \sqrt{2}$ , więc $a = 16 \sqrt{2}$ jest maksimum lokalnym

Największa objętość ostrosłupa będzie więc dla $a = 16 \sqrt{2}$ . Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa to $R = 16$

Największa objętość ostrosłupa to:

$V (16 \sqrt{2}) = 8 \cdot {(16 \sqrt{2})}^{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot {(16 \sqrt{2})}^{3} =$
$= 4096 - \frac{16384}{6} = \frac{8192}{6} = 1365 \frac{1}{3}$ .

Przykład 10

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku $8$ i kącie ostrym $60 °$ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30 °$ . Obliczymy objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RQAi3jLYCSe1M

Ilustracja przedstawia ostrosłup A B C D S, którego podstawą jest romb A B C D o boku o długości osiem. Wysokość rombu upuszczoną z wierzchołka D oznaczono literą h. Kąt ostry w rombie wynosi 60 stopni. W rombie poprowadzono dłuższą przekątną A C, której środek oznaczono punktem E. Z tego punktu poprowadzono odcinek E F, gdzie punkt F leży na boku A B. Odcinek S E zawarty między górnym wierzchołkiem bryły a środkiem podstawy E jest wysokością bryły. Kolorem wyróżniono trójkąt prostokątny F E S. Przyprostokątne tego trójkąta to F E oraz S E, a przeciwprostokątna to F S. W trójkącie zaznaczono kąt o mierze 30 stopni przy wierzchołku S oraz kąt prosty przy wierzchołku E.

Skoro kąt ostry naszego rombu ma miarę $60 °$ to znaczy, że wysokość rombu ma długość $4 \sqrt{3}$ .

Zatem $P_{p} = 8 \cdot 4 \sqrt{3} = 32 \sqrt{3} [j^{2}]$ .

R1JSDrFcaRtJ5

Ilustracja przedstawia romb o wierzchołkach A B C D. Liniami przerywanymi zaznaczono przekątne A C oraz B D. W romb wpisano okrąg, w którym zaznaczono średnicę prostopadłą do boków A B oraz C D. Średnica ma długość 2 r. Środek okręgu znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych rombu.

Promień okręgu wpisanego w romb jest równy połowie jego wysokości, zatem $r = 2 \sqrt{3}$ .

Ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $30 °$ .

Trójkąt $S E F$ jest prostokątny, co w łatwy sposób pozwoli nam policzyć wysokość ostrosłupa.

$\frac{H}{2 \sqrt{3}} = tg 30 °$

$H = 2$ .

Możemy już liczyć objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot 32 \sqrt{3} \cdot 2 = \frac{64 \sqrt{3}}{3} [j^{3}]$ .

Przykład 11

Na rysunku przedstawiono siatkę ostrosłupa, w którego podstawie jest kwadrat. Wysokością ostrosłupa jest jedna z jego krawędzi bocznych. Objętość ostrosłupa wynosi $\frac{a^{3}}{3}$ .

RC8SryI3vzH1P

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat o boku a. Siatka składa się z kwadratu o długości boku a, oraz z czterech trójkątów prostokątnych. Każdy trójkąt przylega jedną ze swoich przyprostokątnych do boku kwadratu.

Obliczymy miarę kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.

Rozwiązanie:

Oznaczmy wysokość ostrosłupa jako $H$ . Wówczas mamy równanie:

$\frac{a^{3}}{3} = \frac{1}{3} a^{2} \cdot H$

$H = a$ .

Narysujmy bryłę naszego ostrosłupa. Oznaczmy kąt nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do krawędzi podstawy jako $α$ .

R2mIXvkiYuHss

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat A B C D. Bok kwadratu podpisano literą a. W podstawie linią przerywaną zaznaczono jej przekątną BD. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Krawędź boczna SD została podpisana literą a, krawędź ta jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Kąt pomiędzy krawędzią podstawy AB i krawędzią boczną BS podpisano literą alfa.

Trójkąt $S D A$ jest prostokątnym trójkątem równoramiennym. Zatem $|A S| = a \sqrt{2}$ .

Trójkąt $S D B$ także jest prostokątny. $|D B| = a \sqrt{2}$ , zatem

$a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} = {|S B|}^{2}$

$|S B| = a \sqrt{3}$ .

Rozważmy trójkąt $S A B$ . Zauważmy, że

${|A S|}^{2} + {|A B|}^{2} = {|S B|}^{2}$ .

Trójkąt jest więc prostokątny, więc:

$\sin α = \frac{|A S|}{|B S|} = \frac{a \sqrt{2}}{a \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Z tablic wartości trygonometrycznych odczytujemy wartość kąta:

$α \approx 56 °$ .

Przykład 12

Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest prostokąt $A B C D$ , którego boki mają długość $|A B| = 32$ i $|B C| = 18$ . Ściany boczne $A B S$ i $C D S$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ . Ściany boczne $B C S$ i $A D S$ są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $β$ . Miary kątów $α$ i $β$ spełniają warunek $α + β = 90 °$ . Obliczymy objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RYisMZ972lWEv

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt A B C D. Bok AB ma długość 32, a bok AD ma długość osiemnaście. Wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość, której spodek podpisano literą O. Na krawędzi BC zaznaczono punkt F, który jest spodkiem wysokości trójkąta BCS opuszczoną z wierzchołka S na krawędź BC. Na krawędzi DC zaznaczono punkt E, który jest spodkiem wysokości trójkąta CDS opuszczoną z wierzchołka S na krawędź DC. W ostrosłupie liniami przerywanymi zaznaczono dwa trójkąty prostokątne. W trójkącie FOS, odcinek FS jest przeciwprostokątną, a kąt OFS podpisano literą beta. W trójkącie EOS odcinek ES jest przeciwprostokątną, a kąt OES podpisano literą alfa.

Trójkąty $S O E$ i $S O F$ są prostokątne.

$|O E| = 9$ , $|O F| = 16$ .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych mamy więc:

$tg α = \frac{|S O|}{9}$ i $tg β = \frac{|S O|}{16}$ .

Z treści zadania wiemy, że $α + β = 90 °$ , więc $tg β = tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}$ .

Zatem mamy, że

$tg α \cdot tg β = 1$

$\frac{|S O|}{9} \cdot \frac{|S O|}{16} = 1$

${|S O|}^{2} = 144$

$|S O| = 12$ .

Możemy więc obliczyć objętość naszego ostrosłupa.

$P_{p} = 32 \cdot 18 = 576$

$V = \frac{1}{3} \cdot 576 \cdot 12 = 2304$ .

Polecenie 7

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Zwróć uwagę na to, jaką figurą jest podstawa ostrosłupa.

R18kdhMLLveqn

Polecenie 8

Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest trapez prostokątny $A B C D$ , w którym podstawy mają długość $|A B| = 12$ i $|C D| = 8$ , a dłuższe ramię $B C$ ma długość $5$ . Oblicz objętość tej bryły wiedząc, że najdłuższa krawędź boczna ma długość $15$ , a krawędź $D S$ jest jednocześnie wysokością ostrosłupa.

Narysujmy rysunek pomocniczy:

RcdJTnhZ23Y9f

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trapezu prostokątnego. Wierzchołki trapezu to A B C D , przy czym kąt DAB jest kątem prostym, a kąt ADC również jest kątem prostym. Dłuższa podstawa AB ma długość 12, krótsza podstawa ma długość 8, a ukośne ramię na długość pięć. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Krawędź SD jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Krawędź BS ma długość piętnaście.

Do obliczenia objętości potrzebujemy pole podstawy. Narysujmy podstawę ostrosłupa:

R1QLkXbdHOd2Z

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A B C D przy czym kąt D A B jest kątem prostym, a kąt A D C również jest kątem prostym. Dłuższa podstawa A B ma długość 12, krótsza podstawa ma długość 8, a ukośne ramię na długość pięć. W trapezie zaznaczono wysokość h, którą opuszczono z wierzchołka C na podstawę AB. Odcinek AB, znajdujący się pomiędzy wysokością a wierzchołkiem B ma długość cztery.

Wysokość trapezu $h$ ma długość $3$ (trójkąt egipski).

Zatem

$P_{p} = \frac{(12 + 8) \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30 [j^{2}]$ .

Obliczmy wysokość ostrosłupa. Trójkąt $S D B$ jest prostokątny, $|S B| = 15$ , $D B$ - przekątna trapezu.

Obliczmy $D B$ wykorzystując twierdzenie Pitagorasa:

${|D B|}^{2} = 3^{2} + 12^{2}$
${|D B|}^{2} = 153$
$|D B| = \sqrt{153}$ .

Zatem wysokość ostrosłupa wynosi:

${|S D|}^{2} = {|S B|}^{2} - {|D B|}^{2}$
${|S D|}^{2} = 15^{2} - {(\sqrt{153})}^{2}$
${|S D|}^{2} = 225 - 153 = 72$
$|S D| = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ .

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 6 \sqrt{2} = 60 \sqrt{2} [j^{3}]$ .

Ostrosłup prawidłowy czworokątny to ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są identycznymi trójkątami równoramiennymi.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat, zatem wzór na jego objętość możemy przedstawić następująco:

V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot H

R1VgXXADUJCcn

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wierzchołki podstawy to A B C D. Krawędzie podstawy są podpisane literą a. W podstawie zaznaczono jej obie przekątne. Wierzchołek górny podstawy opisano literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość H. Spodek wysokości O leży na przecięciu przekątnych podstawy. Pomiędzy wysokością ostrosłupa a jedną z przekątnych zaznaczono kąt prosty.

Przykład 13

Jaką wysokość powinien mieć ostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $10 cm$ , aby miał tę samą objętość co ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $12 cm$ i wysokości $9 cm$ ?

Rozwiązanie

Zacznijmy od policzenia objętości drugiego ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot 9 = 432$ ,

Niech $H$ – wysokość pierwszego ostrosłupa. Wtedy:

$432 = \frac{1}{3} \cdot 10^{2} \cdot H$ ,

$H = 12, 96 [cm]$ .

Przykład 14

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoostrosłup prawidłowy czworokątnyostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równoramiennym, w którym kąt pomiędzy ramionami ma miarę $α$ . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że $\cos \frac{α}{2} = \frac{12}{15}$ , a krawędź podstawy ma długość $18 cm$ .

Rozwiązanie

Przeanalizujmy rysunek i ścianę boczną trójkąta.

RmbOjD2j0SjBR

Ilustracja przedstawia trójkąt. Podstawa trójkąta ma długość 18, prawe ramię trójkąta ma długość 15x. W trójkącie zaznaczono jego wysokość, ma ona długość 12x i dzieli podstawę na dwie równe części. Pomiędzy wysokością a prawym ramieniem trójkąta zaznaczono kąt i podpisano go α2.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy, że $x = 1$ , czyli krawędź boczna ma długość $15 cm$ , a wysokość ściany bocznej $12 cm$ .

Policzmy teraz wysokość ostrosłupa.

R1e2NbsRzTSTg

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa oznaczonej literą H, wysokości ściany bocznej o długości 12 oraz odcinka łączącego spodki obu wysokości o długości dziewięć.

$H = \sqrt{12^{2} - 9^{2}} = \sqrt{63} = 3 \sqrt{7}$

$V = \frac{1}{3} \cdot 18^{2} \cdot 3 \sqrt{7} = 324 \sqrt{7}$

Przykład 15

Objętość ostrosłupa wyrażona jest za pomocą wyrażenia algebraicznego $27 a^{3} b$ . Ile wynosi wysokość ostrosłupa, jeśli jego przekątna podstawy ma długość $b$ ?

Rozwiązanie

Zacznijmy od przyjęcia założeń: $a > 0$ i $b > 0$ .

Niech $H$ oznacza wysokość ostrosłupa.

$P_{p} = \frac{b \cdot b}{2} = \frac{b^{2}}{2}$

$V = \frac{1}{3} P_{p} \cdot H$

Mamy więc równanie:

$27 a^{3} b = \frac{1}{3} \cdot \frac{b^{2}}{2} \cdot H$ ,

$162 a^{3} b = b^{2} H$ .

Stąd wysokość ostrosłupa wynosi:

$H = \frac{162 a^{3}}{b}$ .

Przykład 16

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości równej $8$ , jeśli cosinus kąta między wysokością tego ostrosłupa a krawędzią boczną jest równy $\frac{4}{5}$ .

Rozwiązanie

RDfU92xG9lSLy

Z definicji cosinusa mamy $\frac{4}{5} = \frac{8}{x}$ ,

$x = 10$ , więc $y = 6$ .

$P_{p} = \frac{12 \cdot 12}{2} = 72$

$V = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 192$

Przykład 17

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $2 P$ , a wysokość jego ściany bocznej jest równa $h$ . Wyznacz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie

Skoro pole podstawy wynosi $2 P$ , to krawędź podstawy ma długość $\sqrt{2 P}$ . Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1CiMf8hfApPp

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$H^{2} + {(\frac{\sqrt{2 P}}{2})}^{2} = h^{2}$ ,

$H^{2} = h^{2} - \frac{2 P}{4}$ ,

$H^{2} = \frac{4 h^{2} - 2 P}{4}$ ,

$H = \frac{\sqrt{4 h^{2} - 2 P}}{2}$ .

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V = \frac{1}{3} \cdot 2 P \cdot \frac{\sqrt{4 h^{2} - 2 P}}{2} = \frac{p}{3} \sqrt{4 h^{2} - 2 P}$ .

Zauważmy, że kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zależy od długości krawędzi podstawy oraz od długości jego wysokości.

Zwróćmy uwagę, co się dzieje, gdy zwiększamy tylko wysokość ostrosłupa (np. dwukrotnie), albo tylko długość krawędzi podstawy (również dwukrotnie). Wyciągnij wnioski.

Jaki ma to wpływ na objętość naszej bryły?

R1e76RNe40jiC

Przykład 18

Jak zwiększy się objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy jego wysokość zwiększymy $3$ razy a krawędź podstawy $2$ razy?

Rozwiązanie

Niech $H$ – wysokość ostrosłupa,

$a$ – długość krawędzi podstawy.

Objętość wynosi $V = \frac{1}{3} a^{2} \cdot H$ .

Jeśli wysokość zwiększymy $3$ razy, a krawędź podstawy $2$ razy, to otrzymamy:

$V^{'} = \frac{1}{3} (2 a)^{2} \cdot 3 H = \frac{1}{3} \cdot 4 a^{2} \cdot 3 H = \frac{1}{3} \cdot 12 a^{2} H = 12 V$ ,

co oznacza, że objętość zwiększyła się $12$ razy.

Polecenie 9

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Zwróć uwagę na wykorzystanie trójkątów prostokątnych w ostrosłupach, twierdzenie Pitagorasa i trygonometrię. Pomagają one w obliczeniu objętości omawianych ostrosłupów.

RYmPvBb0RvrJC

Polecenie 10

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości $2 \sqrt{3}$ i krawędzi bocznej długości $5$ .

Obliczmy pole podstawy:

$P_{p} = {(2 \sqrt{3})}^{2} = 12$

Do obliczenia objętości brakuje nam wysokości ostrosłupa. Oznaczmy ją na rysunku jako $H$ .

R15cIZ60jUsYI

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wierzchołki podstawy to A B C D. Długość krawędzi podstawy wynosi 23. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Wierzchołek górny ostrosłupa oznaczono literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość, spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy i jest podpisany literą O. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy oznaczono jako kąt prosty. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość pięć.

Trójkąt $S O C$ jest prostokątny. Odcinek $O C$ jest połową przekątnej kwadratu.

$|O C| = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

$H^{2} = 5^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}$

$H = \sqrt{25 - 6} = \sqrt{19}$

Objętość ostrosłupa wynosi więc:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{19} = 4 \sqrt{19}$

Przykład 19

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $2 \sqrt{3}$ , a wysokość bryły jest równa $6$ . Obliczymy długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Mamy $V = 2 \sqrt{3}$ .

Podstawiając do wzoru na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego otrzymujemy $\frac{\sqrt{3}}{12} a^{2} \cdot 6 = 2 \sqrt{3}$ .

Czyli $a^{2} = 4$ .

A zatem krawędź podstawy ma długość $2$ .

Przykład 20

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 °$ i ma długość $4$ . Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1NkkXhZ8BLkT

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Zaznaczono jego wysokość oraz jedną z krawędzi ściany bocznej o długości 4, nachylony pod kątem 45 stopni do podstawy, a także połowę przekątnej podstawy domykającej trójkąt prostokątny zawarty między wysokością a wyróżnioną krawędzią.

Ze wzoru na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym równoramiennym mamy, że wysokość ostrosłupa i długość połowy dłuższej przekątnej podstawy wynosi $2 \sqrt{2}$ .

Czyli $H = 2 \sqrt{2}$ i $a = 2 \sqrt{2}$ .

Podstawiamy do wzoru na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego:

$V = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{2} = 8 \sqrt{6}$

Przykład 21

Wyprowadzimy wzór na pole podstawy oraz objętość ostrosłupa prawidłowego ośmiokątnego o krawędzi podstawy $a$ i wysokości ostrosłupa $H$ .

Rozwiązanie

Ośmiokąt foremny o boku $a$ można podzielić najdłuższymi przekątnymi na osiem przystających trójkątów równoramiennych o podstawie $a$ , ramionach $R$ (gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego na ośmiokącie) i kącie między ramionami o mierze $360 ° : 8 = 45 °$ .

R2KOvuDgAk0mS

Ilustracja przedstawia ośmiokąt foremny wpisany w okrąg. Ośmiokąt został podzielony na osiem takich samych trójkątów. Środek ośmiokąta zaznaczono punktem. Odległość od środka ośmiokąta do wierzchołka ośmiokąta, będąca ramieniem trójkąta, jest równa R. Bok ośmiokąta, będący podstawą trójkąta ma długość a. Kąt w trójkącie, leżący przy środku ośmiokąta wynosi 45 stopni.

Obliczmy długość $R$ z twierdzenia cosinusów dla pojedynczego trójkąta:

a^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 45 °

Mamy zatem $2 \cdot R^{2} - \sqrt{2} R^{2} = a^{2}$ .

Czyli $R^{2} = \frac{a^{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{a^{2}}{2} (2 + \sqrt{2})$ .

Pole ośmiokąta to

$P = 8 \cdot P_{△} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot \sin 45 ° = 4 \cdot \frac{a^{2}}{2} (2 + \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$

$= a^{2} \sqrt{2} (2 + \sqrt{2}) = 2 a^{2} (\sqrt{2} + 1)$

A zatem $P_{p} = 2 a^{2} (\sqrt{2} + 1)$ .

Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego ośmiokątnego będzie więc mieć postać

$V = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{3} \cdot a^{2} \cdot H$

Ważne!

Dla każdego wielokąta foremnego o danym boku możemy postępować w podobny sposób: wyznaczyć $R$ z twierdzenia cosinusów i obliczyć pole ze wzoru:

P = n \cdot \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot \sin \frac{360 °}{n}

Przykład 22

Obliczymy objętość ostrosłupa prawidłowego $12$ –kątnego o krawędzi podstawy równej $4$ i wysokości $6$ .

Rozwiązanie

Obliczmy miarę kąta środkowego $360 ° : 12 = 30 °$ . Wyznaczamy długość $R$ z twierdzenia cosinusów:

$16 = 2 \cdot R^{2} - 2 \cdot R^{2} \cdot \cos 30 °$

Mamy $16 = (2 - \sqrt{3}) R^{2}$ , czyli $R^{2} = \frac{16}{2 - \sqrt{3}} = 16 (2 + \sqrt{3})$ .

Podstawiając do wzoru na pole wielokąta foremnego mamy

$P_{p} = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 (2 + \sqrt{3}) \cdot \sin 30 ° = 48 (2 + \sqrt{3})$ .

Zatem objętość wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 48 (2 + \sqrt{3}) \cdot 6 = 96 (2 + \sqrt{3})$ .

Uwaga!

Powyższe rozumowanie sprawdza się dla każdego ostrosłupa, którego podstawą jest wielokąt foremny – nie musi to być ostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowyostrosłup prawidłowy.

Przykład 23

Podstawą ostrosłupa na rysunku jest wielokąt foremny, a wysokością odcinek zaznaczony na granatowo.

R19grmed0RlFq

Ilustracja przedstawia ostrosłup pochyły o podstawie ośmiokąta. Krawędź ośmiokąta ma długość trzy. Wysokość, tego ostrosłupa, której spodek leży poza płaszczyzną podstawy ma długość sześć.

Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Liczymy objętość ze wzoru

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$ ,

gdzie:
$P_{p} = 2 a^{2} (\sqrt{2} + 1)$ , ponieważ w podstawie jest ośmiokąt foremny.

Mamy wtedy $V = \frac{1}{3} \cdot 18 (\sqrt{2} + 1) \cdot 6 = 36 (\sqrt{2} + 1)$ .

Przykład 24

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratu, jak na rysunku.

RoIuanF6bq75i

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat B D E F. W podstawie zaznaczono przekątną BE. Wierzchołek górny podpisano literą G, krawędź boczna BG jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy oraz do przekątnej podstawy.

Krawędź $F B$ ma długość $6$ , krawędź $B G$ jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma długość $8$ . Obliczymy objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Krawędź $B G$ jest wysokością tego ostrosłupa.

Obliczamy objętość ze wzoru $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$ .

Mamy zatem $V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 8 = 96$ .

Wiecie już, że podstawa ostrosłupa może być dowolnym wielokątem. Obliczaliście już objętość ostrosłupów trójkątnych i czworokątnych. Jesteśmy w stanie policzyć objętość ostrosłupa, pod warunkiem, że możemy wyznaczyć jego pole podstawy i wysokość.

Przykład 25

Obliczymy objętość ostrosłupa, w którego podstawie znajduje się romb o boku długości $5$ i krótszej przekątnej $6$ , jeżeli wiemy, że spodkiem wysokości ostrosłupaspodek wysokości ostrosłupaspodkiem wysokości ostrosłupa jest środek ciężkości podstawyśrodek ciężkości rombuśrodek ciężkości podstawy, a dłuższa krawędź boczna ma długość $4 \sqrt{5}$ .

Rozwiązanie

Obliczamy długość drugiej przekątnej rombu z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 3^{2} = 5^{2}$ , stąd oczywiście $x = 4$ .

Cała przekątna ma więc długość $8$ .

Dłuższa krawędź boczna, połowa dłuższej przekątnej podstawy i wysokość ostrosłupa są bokami tego samego trójkąta prostokątnego. Obliczymy wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa.

R2CxwYyEXHy6S

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest romb B D E F. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Wierzchołek górny podpisano literą I, W ostrosłupie zaznaczono wysokość, spodek wysokości leży na przecięciu się przekątnych podstawy i jest podpisany literą G. W ostrosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny E G I. Przeciwprostokątna EI ma długość 45, a przyprostokątna EG ma długość cztery.

Mamy zatem $4^{2} + H^{2} = {(4 \sqrt{5})}^{2}$ , a stąd $H = 8$ .

Obliczamy objętość ostrosłupa

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{e \cdot f}{2} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{6 \cdot 8}{2} \cdot 8 = 64$ .

Przykład 26

Obliczymy objętość ostrosłupa o wysokości $H = 6$ , jeżeli jego podstawą jest wielokąt jak na rysunku (przyjmujemy, że jedna kratka to jedna jednostka).

Rv9HP3I9zooQZ

Ilustracja przedstawia kartkę w kratkę, na której narysowano pięciokąt o wierzchołkach A B C D, przy czym krawędź AB jest pionowa i ma długość czterech kratek, krawędź AE jest pozioma, biegnie w prawą stronę i ma długość pięciu kratek. Krawędź BC jest równoległa do krawędzi AE i również ma długość pięciu kratek. Odcinek ED biegnie ukośnie, po przekątnej kratek przesuwając się od punktu e dwie kratki w dół i dwie kratki w prawo, natomiast krawędź CD biegnie ukośnie po przekątnych kratek przesuwając się o dwie kratki do góry i dwie kratki w prawo.

Rozwiązanie

Pięciokąt na rysunku można podzielić na dwa trapezy prostokątne o podstawach $5$ i $7$ oraz wysokości $2$ .

A zatem $P_{p} = \frac{(5 + 7) \cdot 2}{2} \cdot 2 = 24$ .

Stąd objętość $V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 48$ .

Polecenie 11

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Przypomnij sobie wzór na objętość ostrosłupa oraz wzory na pola wielokątów.

RQCpbMi3REXGp

Polecenie 12

W zadaniu w animacji 3D pojawia się ostrosłup o podstawie prostokąta. Jego pole zostało obliczone za pomocą wzoru na pole równoległoboku. Zauważ, że trójkąt $A O D$ jest równoboczny. Jak inaczej można było obliczyć to pole?

Dany jest ostrosłup o podstawie prostokąta, którego przekątne o długości + przecinają się pod kątem 60 stopni. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa nachylone są do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem 60 stopni. Jeśli wierzchołki podstawy oznaczymy jako A B C D, wierzchołek górny jako S, a spodek wysokości ostrosłupa leżący na przecięciu przekątnych podstawy oznaczymy literą O, to możemy zauważyć, że trójkąt AOD jest trójkątem równobocznym. Jak obliczyć pole powierzchni podstawy tego ostrosłupa wykorzystując ten fakt?

Bok trójkąta $A O D$ ma długość $3$ , a zatem jego pole wynosi $P = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ (ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

Każdy z trójkątów, na które został podzielony prostokąt ma takie samo pole.

Czyli pole całego prostokąta wynosi $9 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 1

Dwie sąsiednie ściany ostrosłupa trójkątnego są prostopadłe. Ich wspólna krawędź ma długość $b$ , zaś wysokości tych ścian opuszczone na wspólną krawędź są równe $a$ oraz $c$ , jak na rysunku.

RxLU7CFax4NFN

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Z wierzchołka D opuszczono wysokość ściany bocznej, oznaczoną literą c. Wysokość ta jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Krawędź BC trójkąta w podstawie oznaczono literą b. Linią przerywaną zaznaczono wysokość podstawy poprowadzoną z wierzchołka A na bok B C i oznaczono ją literą a.

RDI3JjAz8iFsB

RCEG6dAJUyabL1

Ćwiczenie 2

R1XCy4cWikDv72

Ćwiczenie 3

R15hZ92KwuknC2

Ćwiczenie 4

R1Won02nPwqtv2

Ćwiczenie 5

R1971zYAxcX992

Ćwiczenie 6

Rejva0xoQztwb2

Ćwiczenie 7

R1PUHUrtyfpyw3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt równoramienny o podstawie $|A B| = b$ i kącie $α$ pomiędzy ramionami. Krawędź $C D$ jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany $A B D$ do podstawy ostrosłupa jest równy $β$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

REGq27qfVVgbq

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup ABCD. Krawędź boczna CD stanowi wysokość ostrosłupa i oznaczono ją literą H. Na krawędzi AB podstawy zaznaczono punkt E, który stanowi spodek wysokości podstawy opuszczonej z wierzchołka C. Linią przerywaną zaznaczono wysokość DE ściany bocznej i oznaczono literą h. ∢CED oznaczono beta, natomiast ∢BCA oznaczono alfa. ∢DCB jest kątem prostym.

W trójkącie prostokątnym $A C E$ mamy:

$\frac{|A E|}{|C E|} = tg \frac{α}{2}$ stąd $|C E| = \frac{\frac{b}{2}}{tg \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}}$ oraz

$\frac{|A E|}{|C A|} = \sin \frac{α}{2}$ stąd $|C A| = \frac{\frac{b}{2}}{\sin \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 \sin \frac{α}{2}}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |C E| = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}}$

Z trójkąta prostokątnego $D C E$ mamy:

$\frac{|D C|}{|C E|} = tg β$ stąd $|D C| = |C E| \cdot tg β = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} \cdot tg β = \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}}$

Możemy obliczyć objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} \cdot \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{3} tg β}{24 {tg}^{2} \frac{α}{2}}$

$V = \frac{b^{3} tg β}{24 {tg}^{2} \frac{α}{2}}$ .

R1UHkK2AoC0mA1

Ćwiczenie 10

RIl57MiIeJsOl1

Ćwiczenie 11

R14sj8YJtPnYa2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $A B C S$ (tak jak na rysunku) promień okręgu wpisanego w podstawę $A B C$ tego ostrosłupa jest równy $2$ .

RjYjCcgIqhB28

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny A B C S. W podstawę wpisano okrąg o promieniu r. Kąt między wysokością, a wysokością ściany bocznej wynosi α.

R1abMnKVsreGt

R1CtwepTqfYC02

Ćwiczenie 14

RPESRbvOszLBj2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Trójkąt równoboczny $A B C$ jest podstawą ostrosłupa prawidłowego $A B C S$ , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ , a krawędź boczna ma długość $7$ . Obliczając objętość tego ostrosłupa uzupełnij puste miejsca właściwymi zapisami, Przeciągnij odpowiednie pola.

RXth5jNL4paRf

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C S. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Krawędź boczna ma długość 7, a krawędź podstawy ma długość a. Na podstawie zaznaczono wysokości, w miejscu ich przecięcia utworzono punkt O. Odległość od punktu O do krawędzi podstawy wynosi r. Wysokość ostrosłupa ma długość H.

R3Izsu9Lf8BEE

Odcinek DC, jako wysokość podstawy wyznaczamy ze wzoru 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka , odcinek D O, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka .
W trójkącie D O S mamy:
1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka , więc kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, razy, D S, koniec ułamka, stąd 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka
sinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, O S, mianownik, D S, koniec ułamka, więc początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, O S, mianownik, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec ułamka, stąd 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka i oznaczamy O S, równa się, H

Korzystając z twierdzenia pitagorasa dla trójkąta A D S mamy:
siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, D S indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, to 1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka
czterdzieści dziewięć, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, czterdzieści dziewięć, równa się, początek ułamka, siedem a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, dwanaście, koniec ułamka
1. kosinus sześćdziesiąt stopni, równa się, początek ułamka, D O, mianownik, D S, koniec ułamka, 2. początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. siedem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. D S, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, osiemdziesiąt cztery, 6. D C, równa się, początek ułamka, a pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. O S, równa się, początek ułamka, a, mianownik, dwa, koniec ułamka

Ćwiczenie 17

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $b$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $α$ . Jaką objętość ma ten ostrosłup?

Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R1C2K7TxhspG3

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny A B C D. Krawędź podstawy ma długość a, a krawędź boczna długość b. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alfa. Zaznaczono wysokość ostrosłupa D E.

Z trójkąta prostokątnego $E D B$ obliczamy wysokość ostrosłupa.

$\sin α = \frac{|E D|}{|B D|}$ , stąd $|E D| = b \sin α$ .

Z tego samego trójkąta obliczamy długość odcinka $E B$ .

$\cos α = \frac{|E B|}{|B D|}$ , stąd $|E B| = b \cos α$ .

Wiemy, że $|E B|$ to $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta $A B C$ . Oznaczając krawędź podstawy jako $a$ mamy:

$|E B| = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ ,

biorąc pod uwagę, że $|E B| = b \cos α$ :

$\frac{a \sqrt{3}}{3} = b \cos α$ , to $a = \frac{3 b \cos α}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} b \cos α$ .

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(\sqrt{3} b \cos α)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} b^{2} \cos^{2} α}{4}$ .

Liczymy teraz objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3} b^{2} \cos^{2} α}{4} \cdot b \sin α = \frac{b^{3} \sqrt{3} \cos^{2} α \sin α}{4}$

$V = \frac{b^{3} \sqrt{3} \cos^{2} α \sin α}{4}$ .

R1O9ftwaIWYMI1

Ćwiczenie 18

R1TUlXQIUzZfb1

Ćwiczenie 19

Podstawą ostrosłupa jest romb, w którym kąt ostry ma miarę alfa, większy równy, sześćdziesiąt stopni. Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa wychodząca z wierzchołka przy kącie rozwartym rombu jednocześnie jest jego wysokością i jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy. Połącz w pary wyniki z opisami, wiedząc, że pole rombu wynosi S indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, sinus alfa. wysokość rombu Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu długość krawędzi podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu długość najdłuższej krawędzi bocznej ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu długość krótszej przekątnej podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu objętość ostrosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. S, 2. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, S indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, sinus alfa, 3. S sinus alfa, 4. S pierwiastek kwadratowy z sześć, minus, dwa kosinus alfa, 5. S pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias, jeden, minus, kosinus alfa, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 20

Na rysunku przedstawiono ostrosłup o podstawie trapezu równoramiennego. Zależności pomiędzy poszczególnymi odcinkami zaznaczono na rysunku poniżej. Objętość ostrosłupa wynosi $250 \sqrt{3}$ . Oblicz, jaką długość ma wysokość tego ostrosłupa.

R1JwJUeybd0ZP

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny A B C D. Podstawa A została podpisana 2a, podstawę AC podpisano a, ramię AD podpisano a. w podstawie zaznaczono jej przekątną BD. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Krawędź SD jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy i jest podpisana literą a.

R1MoIkB2jPbGo

R15QjW833O28G2

Ćwiczenie 21

RJHCrMIrB08mx2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono ostrosłup o podstawie prostokąta. Pole przekroju ostrosłupa wyznaczonego przez wysokości przeciwległych ścian bocznych i wierzchołek ostrosłupa wynosi $P$ . Ściana boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ a kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi ma miarę 120°.

R1CBo9OlNFrJs

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie będącej prostokątem A B C D, na której wykreślono przekątne A C oraz B D. Na boku BC znajduje się punkt E, na boku AD znajduje się punkt F. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S, z wierzchołka tego na podstawę opuszczono wysokość ostrosłupa, spodek tej wysokości znajduje się w miejscu przecięcia się przekątnych podstawy. Punkty EFS wyznaczają trójkąt wewnątrz ostrosłupa. Kąt FES podpisano literą alfa.

RdtNI1wGXtf6M

Ćwiczenie 24

Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o kącie ostrym $α$ , w którym ramię i krótsza podstawa mają długość $a$ . Każda krawędź boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną kąt $β$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Zajmijmy się na początek samą podstawą naszego ostrosłupa:

RXXzzJVedSXYV

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny. Górna podstawa oraz ramiona trapezu podpisano literą a. W trapezie narysowano jego wysokość i podpisano ją literą h. Wysokość dzieli trapez na trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny. Fragment dłuższej podstawy należący do trójkąta podpisano literą x. Kąt ostry pomiędzy dłuższą podstawą a ramieniem podpisano literą alfa.

Zatem

$\frac{h}{a} = \sin α$ , czyli $h = a \cdot \sin α$ ,

$\frac{x}{a} = \cos α$ , czyli $x = a \cdot \cos α$ .

Dolna podstawa trapezu ma więc długość $a + 2 a \cdot \cos α$ .

Możemy więc policzyć pole trapezu:

$P_{p} = \frac{a + a + 2 a \cdot \cos α}{2} \cdot a \cdot \sin α = a^{2} \cdot \sin α (1 + \cos α)$ .

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, potrzebujemy długość promienia okręgu opisanego na trapezie.

R16vvv7TXULvN

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D wpisany w okrąg. Górna podstawa D C oraz ramiona trapezu podpisano literą a. W trapezie narysowano jego wysokość i podpisano ją literą h. Wysokość podzieliła dolną podstawę A B na dłuższy odcinek o początku w punkcie A o długości y oraz krótszy odcinek o końcu B i o długości x. Ramiona trapezu nachylone są do dolnej podstawy pod ostrym kątem alfa.

Zauważmy, że promień okręgu opisanego na trapezie pokrywa się z promieniem okręgu opisanym na trójkącie $A B C$ :

$y = a + a \cdot \cos α$ .

Zatem

${|A C|}^{2} = y^{2} + h^{2}$

${|A C|}^{2} = {(a + a \cdot \cos α)}^{2} + {(a \cdot \sin α)}^{2}$

${|A C|}^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos α$

$|A C| = a \sqrt{2 + 2 \cos α}$ .

Z twierdzenia sinusów mamy więc równość:

R1QhV260HXDvi

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny A B C D. Górny wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S. Z tego wierzchołka na podstawę opuszczono wysokość H, jej spodek podpisano literą O. Odcinek O A podpisano literą R, kąt pomiędzy odcinkiem O A i krawędzią boczną A S podpisano literą beta.

$2 R = \frac{|A C|}{\sin α}$

$R = \frac{a \sqrt{2 + 2 \cos α}}{2 \sin α}$

$\frac{H}{R} = tg β$

$H = \frac{a \cdot tg β \sqrt{2 + 2 \cos α}}{2 \sin α}$ .

A więc objętość ostrosłupa wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \sin α (1 + \cos α) \cdot \frac{a \cdot tg β \sqrt{2 + 2 \cos α}}{2 \sin α}$

$V = \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot a^{3} \cdot \sqrt{{(1 + \cos α)}^{3}} \cdot tg β$ .

Ćwiczenie 25

Jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt ma długość $b$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze $α$ , a z jedną z sąsiednich krawędzi bocznych kąt $β$ . Wyznacz objętość ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RpJBnwZPdVIeK

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt A B C D. W podstawie zaznaczono jej przekątną BD. Wierzchołek ostrosłupa podpisano literą S, krawędź DS jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy i jest podpisana literą b. Kąt DBS podpisano literą alfa, kąt BSC podpisano literą beta.

Trójkąty $S D C$ , $S D B$ , $D C B$ są prostokątne.

Prosta $D C$ jest rzutem prostokątnym prostej $S C$ na płaszczyznę podstawy. Kat $D C B$ jest prosty, więc na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych również kąt $S C B$ jest prosty. Oznacz to, że trójkąt $S C B$ jest prostokątny.

Zatem wykorzystując funkcje trygonometryczne mamy:

$\frac{|B C|}{|S B|} = \sin β$

$|B C| = |S B| \cdot \sin β$ .

Ponadto:

$\frac{b}{|D B|} = tg α$ , co daje, że $|D B| = \frac{b}{tg α}$

$\frac{b}{|S B|} = \sin α$ , czyli $|S B| = \frac{b}{\sin α}$ .

Policzmy więc długości boków prostokąta:

$|B C| = \frac{b}{\sin α} \cdot \sin β = \frac{b \cdot \sin β}{\sin α}$

${|B C|}^{2} + {|D C|}^{2} = {|D B|}^{2}$

${|D C|}^{2} = {(\frac{b}{tg α})}^{2} - {(\frac{b \cdot \sin β}{\sin α})}^{2}$

${|D C|}^{2} = \frac{b^{2} \cdot \cos^{2} α}{\sin^{2} α} - \frac{b^{2} \cdot \sin^{2} β}{\sin^{2} α}$

$|D C| = \frac{b \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin α}$ .

Obliczmy pole podstawy i objętość ostrosłupa:

$P_{p} = |B C| \cdot |D C| = \frac{b \cdot \sin β}{\sin α} \cdot \frac{b \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin α} = \frac{b^{2} \cdot \sin β \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin^{2} α}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{b^{2} \cdot \sin β \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{\sin^{2} α} \cdot b = \frac{b^{3} \cdot \sin β \sqrt{\cos^{2} α - \sin^{2} β}}{3 \sin^{2} α}$ .

RXlJhJWwjnLx01

Ćwiczenie 26

R148dmpe7pyiX1

Ćwiczenie 27

Ćwiczenie 28

RMtaa2ufAD5Sr

R1eo9DkIV83vP

RfntqSLb5BXDP

Ćwiczenie 29

Ćwiczenie 30

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $4 cm$ i objętość $\frac{128}{3} {cm}^{3}$ .

R15Ww07rok45t

RfMImuwIqeZxM

R1GLHm7yae8Ol

Rw00lL34y0TTR

R15Ww07rok45t

RfMImuwIqeZxM

R1GLHm7yae8Ol

Rw00lL34y0TTR

Ćwiczenie 31

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny.

R1HvORi89BGZV

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa H, krawędzi ściany bocznej oraz odcinka łączącego spodek wysokości ostrosłupa z dolnym wierzchołkiem krawędzi bocznej. Kąt pomiędzy tym odcinkiem a ścianą boczną podpisano literą alfa.

R1Vw814YDusGd

Ćwiczenie 32

Wyznacz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole podstawy jest równe $P$ , a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $γ$ .

Skoro pole kwadratu wynosi $P$ , więc jego krawędź $\sqrt{P}$ .

Wykonajmy rysunek.

RCcVihMWB4Na1

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej oraz odcinka łączącego spodki tych wysokości. Odcinek ten ma długość P2, a kąt pomiędzy tym odcinkiem a wysokością ściany bocznej podpisano literą gamma.

$tg γ = \frac{H}{\frac{\sqrt{P}}{2}}$

$H = \frac{\sqrt{P} tg γ}{2}$

$V = \frac{1}{3} \cdot P \cdot \frac{\sqrt{P} tg γ}{2} = \frac{P \sqrt{P} tg γ}{6}$

Ćwiczenie 33

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę $α$ . Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że krawędź podstawy ma miarę $6$ , a $\cos α = \frac{41}{50}$ .

Wykonajmy rysunek.

RoKQ8PtaQlcxB

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Długość krawędzi podstawy wynosi sześć. W podstawie zaznaczono jej przekątne. Z wierzchołka górnego ostrosłupa na podstawę opuszczono wysokość, spodek wysokości leży na przecięciu przekątnych podstawy, wysokość podpisano literą x. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy oznaczono jako kąt prosty. Krawędzie boczne ostrosłupa również podpisano literą x. Kąt pomiędzy krawędziami bocznymi ostrosłupa podpisano literą alfa.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

$6^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 \cdot x \cdot x \cdot \frac{41}{50}$ ,

$36 = 2 x^{2} - 2 x^{2} \cdot \frac{41}{50}$ ,

$1800 = 100 x^{2} - 82 x^{2}$ ,

$1800 = 18 x^{2}$ .

Krawędzie boczne mają więc długość:

$10 = x$ .

RwxLrHQVa5pXD

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$H^{2} = 10^{2} - {(3 \sqrt{2})}^{2}$ ,

$H^{2} = 82$ ,

$H = \sqrt{82}$ .

Co daje nam:

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{82} = 12 \sqrt{82} j^{3}$ .

Ćwiczenie 34

Rhtkpi9tl9dKY

RkCsZgmL5cD37

R1XbEQFEDzBkw1

Ćwiczenie 35

R115afI2GTTZm2

Ćwiczenie 36

Ćwiczenie 37

RkGXRzqyrLAD2

RSMVoNKtMvNFz

Ostrosłupy na rysunku mają tę samą długość wysokości H. Ich podstawy zostały podzielone na kwadraty i trójkąty równoboczne o krawędzi a. Dobierz do każdej z brył wzór na jej objętość. Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawa jest ośmiokątna i składa się z kwadratu i czterech trójkątów przylegających do boków kwadratu w taki sposób, że podstawa przypomina kształtem czteroramienną gwiazdę. Możliwe odpowiedzi: 1. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H nawias, osiem, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwanaście, koniec ułamka Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawa jest sześciokątna i składa się z sześciu trójkątów przylegających ułożonych w taki sposób, że dwa środkowe trójkąty przylegają do siebie podstawami a do ich ramion swoimi ramionami przylegają po dwa trójkąty. Możliwe odpowiedzi: 1. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H nawias, osiem, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwanaście, koniec ułamka Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawa jest sześciokątna i składa się z dwóch kwadratów i trzech trójkątów przylegających ułożonych w taki sposób, że jeden kwadraty przylegają do siebie jedną ścianą, tak że jeden znajduje się nad drugim, a do ich prawych boków podstawami przylegają trójkąty, trzeci trójkąt ułożono pomiędzy pozostałymi dwoma trójkątami tak, że jednym z wierzchołków styka się z wierzchołkami kwadratów. Możliwe odpowiedzi: 1. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H nawias, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. V, równa się, początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, razy, H nawias, osiem, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwanaście, koniec ułamka

Ćwiczenie 38

Podstawą ostrosłupa, którego siatkę widzimy na rysunku, jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej $2$ i przeciwprostokątnej $2 \sqrt{5}$ . Krawędź ostrosłupa zaznaczona na różowo jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

R4fMjg31PAKls

Ilustracja przedstawia siatkę ostrosłupa, którego podstawą jest trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych ma długość dwa, natomiast przeciwprostokątna ma długość 25. Do każdego boku podstawy przylega jeden trójkąt. W trójkątach przylegających do przyprostokątnych podstawy, boki tych trójkątów wychodzące z wierzchołka przy kącie prostokątnym zaznaczono kolorem różowym.

Ponieważ krawędź, której długość wynosi $6$ , jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to $H = 6$ .

Obliczymy długość drugiej przyprostokątnej trójkąta, który jest podstawą tego ostrosłupa, z twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + 2^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ , czyli $a = 4$ .

Mamy zatem $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 2}{2} \cdot 6 = 8$ .

Ćwiczenie 39

W podstawie ostrosłupa znajduje się dwunastokąt gwiaździsty foremny o boku $2$ . Spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku ciężkości. Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeżeli wiemy, że wysokość ostrosłupa wynosi $6$ .

R1FY6VYGYrUtW

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest sześcioramienna gwiazda. Ostrosłup ten posiada 12 krawędzi bocznych. W ostrosłupie linią przerywaną zaznaczono jego wysokość, spodek wysokości znajduje się w obrębie podstawy.

Pole podstawy takiego dwunastokąta jest równe polu dwunastu trójkątów równobocznych o boku długości $2$ .

Mamy zatem $P_{p} = 12 \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} = 12 \sqrt{3}$ .

Czyli objętość wynosi $V = \frac{1}{3} \cdot 12 \sqrt{3} \cdot 6 = 24 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 40

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt jak na rysunku (przyjmujemy, że jedna kratka to jedna jednostka). Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa, jeżeli jego objętość wynosi $4 \sqrt{3}$ .

RranN9Hidh5eG

Ilustracja przedstawia figurę znajdującą się na płaszczyźnie w kratkę. Kwadraty będące elementami składowymi kratki mają długość boku równą jeden. Figura znajdująca się na płaszczyźnie ma sześć kątów i kształtem przypomina dwa identyczne połączone ze sobą dłuższą podstawą trapezy. Krótsza podstawa takiego trapezu ma długość dwóch kratek, dłuższa podstawa ma długość czterech kratek, ramiona mają długość przekątnej jednej kratki.

Narysowany sześciokąt można podzielić dłuższą przekątną na dwa trapezy równoramienne, których pola wynoszą $P = \frac{(2 + 4) \cdot 1}{2} = 3$ .

Czyli $P_{p} = 6$ .

Podstawiając do wzoru na objętość otrzymujemy $4 \sqrt{3} = \frac{6 H}{3}$ .

A zatem $H = 2 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 41

Podstawą ostrosłupa na rysunku jest prostokąt o bokach długości $4$ i $6$ . Spodek wysokości ostrosłupa leży na prostej zawierającej środki krótszych krawędzi podstawy.

Wiemy, że cosinus kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej $C D E$ wynosi $\frac{4}{5}$ , a krawędź $C E$ ma długość $\sqrt{29}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

RPEtGs5sPD89B

Ilustracja przedstawia ostrosłup pochyły, którego podstawą jest prostokąt o wierzchołkach A B C D. Górny wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą E, spodek wysokości, leżący poza obrębem podstawy podpisano literą H. Z punktu E na krawędź DC poprowadzono linię przerywaną, punkt przecięcia się tej linii z krawędzią CD podpisano literą E. Z punktu E równolegle do krawędzi BC poprowadzono linię przerywaną do punktu G, znajdującego się na krawędzi AB. Kąt HEF podpisano literą beta.

Obliczmy długość odcinka $E F$ .

Trójkąt $C D E$ jest równoramienny.

Odcinek $E F$ jest więc wysokością tego trójkąta.

Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

${|F C|}^{2} + {|F E|}^{2} = {|C E|}^{2}$ .

Czyli $2^{2} + {|F E|}^{2} = {(\sqrt{29})}^{2}$ , a stąd $|F E| = 5$ .

Wiemy, że $\cos β = \frac{4}{5}$ .

Obliczymy długość wysokości ostrosłupa $\frac{H}{5} = \frac{4}{5}$ .

Mamy wysokość $H = 4$ .

Obliczamy objętość ostrosłupa $V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 6 \cdot 4 = 32$ .

Słownik

ostrosłup prawidłowy

ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny i spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie

spodek wysokości bryły

rzut prostokątny wierzchołka bryły na płaszczyznę podstawy

ostrosłup prawidłowy trójkątny

ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny

czworościan foremny

ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi

Ostrosłup czworokątny prosty

w podstawie ma czworokąt, spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

ostrosłup, w którego podstawie jest kwadrat, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi

spodek wysokości ostrosłupa

rzut prostopadły wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy

środek ciężkości rombu

punkt przecięcia przekątnych rombu

4. Pole powierzchni ostrosłupa

6. Ostrosłupy - zadania różne

Słownik