5. Roszerzanie oraz skracanie ułamków - Nie wszystko jest całością - ułamki zwykłe

R1dZX5dLTfbs8

5. Rozszerzanie oraz skaracanie ułamków

Niektóre ułamki mają bardzo ciekawe własności. Na przykład jeżeli w ułamkach

\frac{16}{64}, \frac{19}{95}, \frac{332}{830}

z licznika i mianownika usuniemy odpowiednio 6, 9, 3 to otrzymamy ułamki równe danym.

\frac{16}{64} = \frac{1}{4}, \frac{19}{95} = \frac{1}{5}, \frac{332}{830} = \frac{32}{80}

Sprawdź, czy w przypadku innych ułamków ten sposób postępowania również prowadzi do otrzymania ułamków równych. Zapoznaj się z poniższym materiałem i ustal, czy twoje przypuszczenia były słuszne.

W tym materiale zawarte są najważniejsze wiadomości dotyczące skracania oraz rozszerzania ułamków.

Równość ułamków

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, pokazującą jak można otrzymać równe ułamki.

R1BPtVBVyB2IV1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na każdym talerzu znajduje się taka sama część pizzy. Ułamki opisujące te części pizzy są równe.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$

Polecenie 2

Zapoznaj się z animacją, która pokazuje przykład otrzymywania ułamków równych.

RG0iEEu14zuWH1

Przykład 1

Dwa jednakowe kwadraty podzielono na równe części: jeden na $4$ , a drugi na $8$ części.

R1enDCnOOMsW01

Rysunek dwóch jednakowych kwadratów podzielonych na równe części: jeden na 4 równe kwadraty w taki sposób, że wykreślono w nim dwa odcinki: pionowy łączący środki poziomych boków i poziomy łączący środki pionowych boków. Kolorem wyróżniono dolną lewą część. Drugi kwadrat o tych samych wymiarach podzielono na 8 równych prostokątów. Podzielono go tak ja pierwszy i dodatkowo podzielono jego lewą i prawą połowę jeszcze raz na pół dwoma pionowymi odcinkami. Kolorem zaznaczono dwa dolne lewe prostokąty będące ćwiartką całej figury. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie rysunku wnioskujemy, że jedna czwarta pierwszego kwadratu, to tyle samo co dwie ósme drugiego kwadratu.

Rozszerzanie ułamków

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją, z której dowiesz się, jak można rozszerzyć dany ułamek.

RnwDR7UOmZSlF1

Ważne!

Rozszerzanie ułamków polega na mnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, różną od zera. W wyniku otrzymujemy ułamek równy danemu.

RBgkxFBFptwQO

Ćwiczenie 1

Z rysunku wiemy, że jedna czwarta pierwszego kwadratu to taka sama część jak dwie ósme drugiego kwadratu. Połącz w pary równe ułamki.

\frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{1}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{18}{32}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{40}{64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

\frac{3}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{96}{128}

, 2.

\frac{9}{16}

, 3.

\frac{5}{8}

, 4.

\frac{6}{8}

, 5.

\frac{2}{16}

, 6.

\frac{2}{8}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFrqKxWukAD5h

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RO73x2Cjjwrkn

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2omhl3f5cImH1

Ćwiczenie 4

Uzupełnij poniższe luki tak, aby przedstawiały rozszerzenie podanych ułamków. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź.

\frac{1}{3} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{3}{4} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{2}{7} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{8}{9} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{11}{13} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{1}{2} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{7}{15} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

\frac{7}{9} =

\frac{64}{72}

, 2.

\frac{77}{99}

, 3.

\frac{70}{150}

, 4.

\frac{8}{28}

, 5.

\frac{23}{46}

, 6.

\frac{33}{39}

, 7.

\frac{12}{36}

, 8.

\frac{15}{20}

Przeciągnij i upuść brakujące liczniki i mianowniki tak, aby równości były prawdziwe.

$150$ , $20$ , $12$ , $23$ , $33$ , $88$ , $72$ , $8$

a) $\frac{1}{3} = \frac{}{36}$ ............ $\frac{3}{4} = \frac{15}{}$ ............ $\frac{2}{7} = \frac{}{28}$ ............ $\frac{8}{9} = \frac{64}{}$ ............
b) $\frac{11}{13} = \frac{}{39}$ ............ $\frac{1}{2} = \frac{}{46}$ ............ $\frac{7}{15} = \frac{70}{}$ ............ $\frac{8}{9} = \frac{}{99}$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyeUHF2E5h4Wq

Ćwiczenie 5

Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną liczbę. Rozszerz ułamki, tak aby posiadały mianownik równy

18

\frac{1}{2} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

\frac{2}{3} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

\frac{4}{6} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

\frac{10}{9} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

Rozszerz ułamki, tak aby posiadały mianownik równy

60

\frac{1}{4} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

\frac{3}{12} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

\frac{2}{3} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

\frac{10}{12} =

\frac{15}{60}

, 2.

\frac{40}{60}

, 3.

\frac{9}{18}

, 4.

\frac{20}{18}

, 5.

\frac{15}{60}

, 6.

\frac{12}{18}

, 7.

\frac{12}{18}

, 8.

\frac{50}{60}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReGXPYWewQbsq

Ćwiczenie 6

\frac{1}{4} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 2)

\frac{1}{2} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 3)

\frac{2}{3} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 4)

\frac{4}{6} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 5)

\frac{5}{8} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 6)

\frac{10}{12} = \frac{\dots}{24}

...

\to

Tu uzupełnij 7)

\frac{1}{4} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 8)

\frac{1}{2} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 9)

\frac{2}{3} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 10)

\frac{4}{6} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 11)

\frac{5}{8} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij 12)

\frac{10}{12} = \frac{20}{\dots}

...

\to

Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RzYNfYtjweTGD

Ćwiczenie 7

Jaką liczbę należy wpisać w miejsce kropek, by równości były prawdziwe? Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

$\frac{1}{3} = \frac{\dots}{24}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{3}{5} = \frac{15}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{2}{7} = \frac{\dots}{21}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{5}{9} = \frac{20}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{1}{8} = \frac{\dots}{48}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{7}{10} = \frac{70}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{2}{11} = \frac{\dots}{33}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{1}{2} = \frac{\dots}{60}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{2}{15} = \frac{20}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{7}{8} = \frac{77}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{15}{19} = \frac{\dots}{38}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.
$\frac{9}{6} = \frac{54}{\dots}$ , w miejsce kropek należy wpisać Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dcGpeDwmCla

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R101xpEWgpWhZ1

Ćwiczenie 9

Wiedząc, że

$\frac{1}{4} = \frac{2}{a} = \frac{b}{16}$ oraz $\frac{3}{8} = \frac{6}{c} = \frac{d}{32}$ ,

uzupełnij.

$a =$ ............
$b =$ ............
$c =$ ............
$d =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15HObnZ8C7GX1

Ćwiczenie 10

Wiedząc, że

$\frac{7}{8} = \frac{14}{a} = \frac{b}{32}$ oraz $\frac{c}{4} = \frac{d}{8} = \frac{e}{16} = \frac{24}{32}$ ,

uzupełnij.

$a =$ ............
$b =$ ............
$c =$ ............
$d =$ ............
$e =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1QAYJAhDDeFX

Uzupełnij brakujący licznik lub mianownik. Wpisz odpowiednią liczbę w wyznaczone pole. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{3}{5} = \frac{x}{40}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{18}{27} = \frac{x}{3}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{3}{7} = \frac{x}{42}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{x}{48} = \frac{5}{16}

, to wtedy

x =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{1}{y} = \frac{32}{128}

, to wtedy

y =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{y}{8} = \frac{36}{48}

, to wtedy

y =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{9}{t} = \frac{18}{32}

, to wtedy

t =

Tu uzupełnij. Jeśli prawdziwa jest równość

\frac{1}{y} = \frac{5}{75}

, to wtedy

y =

Tu uzupełnij.

Uzupełnij brakujący licznik lub mianownik.

a) $\frac{3}{5} = \frac{x}{40} \Rightarrow x =$ ............            b) $\frac{18}{27} = \frac{x}{3} \Rightarrow x =$ ............
c) $\frac{3}{7} = \frac{x}{42} \Rightarrow x =$ ............            d) $\frac{x}{48} = \frac{5}{16} \Rightarrow x =$ ............
e) $\frac{1}{y} = \frac{32}{128} \Rightarrow y =$ ............           f) $\frac{y}{8} = \frac{36}{48} \Rightarrow y =$ ............
g) $\frac{9}{t} = \frac{18}{32} \Rightarrow t =$ ............             h) $\frac{1}{y} = \frac{5}{75} \Rightarrow y =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $5$ , a w drugim $40$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $8$ , bo $40 : 5 = 8$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka razy $8$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $27$ , a w drugim $3$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $9$ , bo $27 : 3 = 9$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez $9$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $7$ , a w drugim $42$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $6$ , bo $42 : 7 = 6$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka razy $6$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $48$ , a w drugim $16$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $3$ , bo $48 : 16 = 3$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik drugiego ułamka przez $3$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $1$ , a w drugim $32$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $32$ , bo $32 : 1 = 32$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić mianownik drugiego ułamka przez $32$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $8$ , a w drugim $48$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $6$ , bo $48 : 8 = 6$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić licznik drugiego ułamka przez $6$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $9$ , a w drugim $18$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $2$ , bo $18 : 9 = 2$ . Zatem, aby wyznaczyć $t$ należy podzielić mianownik drugiego ułamka przez $2$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $1$ , a w drugim $5$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $5$ , bo $5 : 1 = 5$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić mianownik drugiego ułamka przez $5$ .

Skracanie ułamków

Ważne!

Skracanie ułamków polega na dzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od zera. W wyniku otrzymujemy ułamek równy danemu.

Na przykład:

RLLZVKvi89Vpo1

Na ilustracji znajdują się dwie możliwości skrócenia ułamka dwanaście osiemnastych. Sposób pierwszy, nad licznikiem i mianownikiem narysowano strzałki, nad którymi zapisano podzielić na dwa. Po znaku równości zapisano sześć dziewiątych. Sposób drugi, zapisano działanie: dwanaście osiemnastych równa się początek ułamka dwanaście podzielić na dwa, mianownik osiemnaście podzielić na dwa, koniec ułamka równa się sześć dziewiątych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamek $\frac{12}{18}$ skróciliśmy przez $2$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją, w której zawarte są przykłady skracania ułamków.

R1Nw061oHxp5q1

R1e6e7DLzpclU

Ćwiczenie 12

Skróć podane ułamki, a następnie przeciągnij i upuść odpowiedni wynik. 1. skróć ułamki przez

3

\frac{3}{30} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

\frac{18}{27} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

\frac{36}{21} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

\frac{30}{45} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

2. skróć ułamki przez

4

\frac{8}{16} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

\frac{24}{28} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

\frac{32}{36} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

\frac{16}{44} =

\frac{6}{7}

, 2.

\frac{2}{4}

, 3.

\frac{4}{11}

, 4.

\frac{10}{15}

, 5.

\frac{6}{9}

, 6.

\frac{1}{10}

, 7.

\frac{8}{9}

, 8.

\frac{12}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXNLSC356pzdx1

Ćwiczenie 13

Przeciągnij i upuść ułamki tak, aby równości były prawdziwe. a)

\frac{3}{15} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{36}{45} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{16}{24} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{9}{27} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{36}{44} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{70}{90} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{48}{120} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

\frac{54}{63} =

\frac{8}{12}

, 2.

\frac{18}{21}

, 3.

\frac{4}{5}

, 4.

\frac{9}{11}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{7}{9}

, 7.

\frac{4}{10}

, 8.

\frac{1}{3}

Przeciągnij i upuść brakujące liczniki i mianowniki tak, aby równości były prawdziwe.

$9$ , $1$ , $5$ , $7$ , $10$ , $8$ , $3$ , $18$

a) $\frac{3}{15} = \frac{}{5}$ ............ $\frac{36}{45} = \frac{4}{}$ ............ $\frac{16}{24} = \frac{}{12}$ ............ $\frac{18}{27} = \frac{2}{}$ ............
b) $\frac{36}{44} = \frac{}{11}$ ............ $\frac{70}{90} = \frac{}{9}$ ............ $\frac{48}{120} = \frac{4}{}$ ............ $\frac{54}{63} = \frac{}{21}$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1OYmt0tjzFR4

Ćwiczenie 14

Skróć podane ułamki. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. przez

3

\frac{3}{12} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{9}{18} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{33}{21} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{27}{36} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

przez

4

\frac{8}{12} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{4}{20} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{32}{28} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

\frac{16}{36} =

\frac{4}{9}

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

\frac{2}{3}

, 4.

\frac{11}{7}

, 5.

\frac{1}{5}

, 6.

\frac{9}{12}

, 7.

\frac{8}{7}

, 8.

\frac{3}{6}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11fh1BwJb35O

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamki nieskracalne

RVHvOqpawpO8z

Ćwiczenie 16

Skróć ułamek przez największą możliwą liczbę. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{6}{12} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{8}{24} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{9}{18} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{27}{36} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{8}{12} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{20}{25} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{18}{24} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

\frac{18}{36} =

\frac{1}{2}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{3}{4}

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

\frac{2}{3}

, 6.

\frac{1}{3}

, 7.

\frac{3}{4}

, 8.

\frac{4}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Nieraz trudno jest znaleźć największą liczbę, przez którą można skrócić dany ułamek. Na przykład, aby skrócić ułamek $\frac{36}{48}$ możemy postąpić tak:

R29wed24nIBhe

Ilustracja przykładu: ułamek trzydzieści sześć czterdziestych ósmych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Otrzymujemy ułamek osiemnaście dwudziestych czwartych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 2. Otrzymujemy ułamek dziewięć dwunastych. Dzielimy licznik i mianownik tego ułamka przez 3. Otrzymujemy ułamek trzy czwarte. Po skróceniu ułamek trzydzieści sześć czterdziestych ósmych równa się trzy czwarte. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ułamka $\frac{3}{4}$ nie można już skrócić.

Ułamek nieskracalny

Definicja: Ułamek nieskracalny

Ułamek, którego nie można skrócić nazywamy ułamkiem nieskracalnym.

R433XzIiJSUTI

Ćwiczenie 17

Podane ułamki zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{24}{36} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{15}{45} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{16}{32} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{24}{72} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{60}{90} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{21}{63} =

\frac{1}{3}

, 2.

\frac{1}{3}

, 3.

\frac{1}{3}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{2}

, 6.

\frac{2}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6aHghB71PyaB

Ćwiczenie 18

Podane ułamki zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\frac{48}{72} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{15}{60} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{40}{48} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{30}{60} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{80}{120} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

\frac{60}{180} =

\frac{1}{4}

, 2.

\frac{1}{2}

, 3.

\frac{5}{6}

, 4.

\frac{2}{3}

, 5.

\frac{1}{3}

, 6.

\frac{2}{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zadania różne

RGR6DQQLWeLOX

Ćwiczenie 19

Przeciągnij i upuść.

$\frac{2}{7}$ , $\frac{50}{100}$ , $\frac{10}{16}$ , $\frac{9}{10}$

$\frac{5}{8} =$ ............

$\frac{12}{42} =$ ............

$\frac{18}{20} =$ ............

$\frac{1}{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyMUzWnr4eg28

Ćwiczenie 20

Połącz w pary tak, aby brakującym elementom ułamka przyporządkować odpowiednią liczbę.

10

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

15

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

30

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

96

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

160

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{8} = \frac{100}{□}

, 2.

\frac{5}{8} = \frac{□}{24}

, 3.

\frac{5}{8} = \frac{□}{16}

, 4.

\frac{5}{8} = \frac{60}{□}

, 5.

\frac{5}{8} = \frac{□}{48}

Połącz w pary tak, aby brakującym elementom ułamka przyporządkować odpowiednią liczbę.

10
15
30
96
160

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Jeśli ułamek $\frac{4}{7}$ rozszerzymy przez $3$ lub przez $6$ , to otrzymamy ułamek, którego licznik i mianownik mają ciekawą własność. Jeżeli licznik przeczytamy od prawej do lewej strony, otrzymamy mianownik. Oczywiście ten sam efekt otrzymamy, gdy postąpimy podobnie z mianownikiem.

$\frac{4}{7} = \frac{12}{21}$ i $\frac{4}{7} = \frac{24}{42}$ .

Znajdź inne ułamki, które mają tę samą własność.

$\frac{2}{9} = \frac{18}{81}$ , $\frac{5}{6} = \frac{45}{54}$ .

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Ułamki na osi liczbowej

6. Porównywanie ułamków zwykłych

5. Rozszerzanie oraz skaracanie ułamków

Równość ułamków

Rozszerzanie ułamków

Skracanie ułamków

Ułamki nieskracalne

Zadania różne

Notatnik