5. Równanie ogólne prostej

R1OgeghRlD4BP

Równanie kierunkowe prostej jest przydatne w rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej. Pomimo wielu zalet (m.in. bardzo praktycznej interpretacji współczynników, która pozwala błyskawicznie przechodzić od równania do wykresu i z powrotem) ma jedną zasadniczą wadę: nie można nim opisać prostych, które nie są wykresami funkcji liniowej, czyli prostych równoległych do osi $Y$ . Dlatego właśnie potrzebujemy innego rodzaju równania - takiego, które obejmie wszystkie proste narysowane w prostokątnym układzie współrzędnych.

Twoje cele

Rozpoznasz prostą opisaną równaniem ogólnym.
Przekształcisz równanie kierunkowe prostej na równanie ogólne i odwrotnie.
Wyznaczysz wartości parametru, dla których proste o danych równaniach są równoległe/prostopadłe.
Odczytasz z równania ogólnego prostej współrzędne jej wektora normalnego.

Równaniem kierunkowym

y = a x + b, a, b \in ℝ

można opisać każdą prostą, która nie jest równoległa do osi $Y$ . Proste równoległe do osi $Y$ opisuje się równaniami postaci

x = a, a \in ℝ .

W geometrii analitycznej często używa się tzw. równania ogólnego, które obejmuje każdą prostą narysowaną w układzie współrzędnych. Ma ono postać

A x + B y + C = 0

gdzie $A, B, C \in ℝ$ , $(A, B) \neq (0, 0)$ .

Warunek $(A, B) \neq (0, 0)$ oznacza, że współczynniki $A$ i $B$ nie są równocześnie równe zeru. Czasami zapisuje się ten fakt inaczej:

A^{2} + B^{2} > 0

albo

A^{2} + B^{2} \neq 0 .

Zauważmy, że warunek ten jest niezbędny, aby równanie opisywało prostą. Gdyby bowiem $A$ i $B$ były jednocześnie równe zeru, równanie $A x + B y + C = 0$ opisywałoby:

zbiór pusty, gdy $C \neq 0$ albo
całą płaszczyznę, gdy $C = 0$ .

Zwróćmy jeszcze uwagę, że równanie $A x + B y + C = 0$ opisuje:

prostą równoległą do osi $X$ , gdy $A = 0$ i $B \neq 0$ , równanie tej prostej to

y = - \frac{C}{B} .

RncJPR6m0FAzw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta opisana równaniem y=-CB.

prostą równoległą do osi $Y$ , gdy $A \neq 0$ i $B = 0$ , równanie tej prostej to

x = - \frac{C}{A} .

RxUiQBGvWAMwW

prostą przecinającą obie osie układu współrzędnych w punktach o współrzędnych

(- \frac{C}{A}, 0)

(0, - \frac{C}{B}),

gdy $A \neq 0$ i $B \neq 0$ .

R16lnedH2d7z0

Przykład 1

Aby narysować prostą o danym równaniu ogólnym

$3 x - 2 y + 6 = 0,$

wystarczy wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami układu współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $X$ są postaci $(x_{0}, 0)$ , zatem możemy do równania prostej podstawić

$x = x_{0}, y = 0$ .

Wówczas otrzymujemy kolejno:

$3 x_{0} - 2 \cdot 0 + 6 = 0$

$3 x_{0} = - 6$

$x_{0} = - 2$

Zatem punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(- 2, 0)$ .

Współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ są postaci $(0, y_{0})$ , zatem możemy do równania prostej podstawić

$x = 0, y = y_{0}$ .

Wówczas otrzymujemy kolejno:

$3 \cdot 0 - 2 y_{0} + 6 = 0$

$- 2 y_{0} = - 6$

$y_{0} = 3$ .

Zatem punkt przecięcia z osią $X$ ma współrzędne $(0, 3)$ .

Wystarczy zatem poprowadzić prostą przez punkty $(- 2, 0)$ i $(0, 3)$ , aby otrzymać wykres równaniawykres równaniawykres równania

$3 x - 2 y + 6 = 0$

R15UMLwrpBhpk

Przykład 2

Równania kierunkowe prostejrównanie kierunkowe prostejRównania kierunkowe prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

Równanie kierunkowe prostej	Równanie ogólne prostej
$y = a x + b$	$a x - y + b = 0$
$y = - 3 x + \sqrt{2}$ dla $a = - 3$ , $b = \sqrt{2}$	$- 3 x - y + \sqrt{2} = 0$ dla $A = - 3$ , $B = - 1$ , $C = \sqrt{2}$
$y = π x$ dla $a = π$ , $b = 0$	$π x - y = 0$ dla $A = π$ , $B = - 1$ , $C = 0$
$y = - 2, 5$ $a = 0$ , $b = - 2, 5$	$y + 2, 5 = 0$ dla $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 2, 5$
$y = 0$ dla $a = 0$ , $b = 0$	$y = 0$ dla $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 0$

Aby równanie kierunkowe przekształcić do ogólnego, wystarczy przenieść wszystkie składniki na jedną stronę równania i uporządkować je tak, aby najpierw wystąpił składnik ze zmienną $x$ , później składnik ze zmienną $y$ , a na końcu wyraz wolny. Zwróćmy przy okazji uwagę, że jeśli prosta opisana jest równaniem kierunkowym, to jest ono tylko jedno. Natomiast każda prosta ma nieskończenie wiele równoważnych równań ogólnych.

Przykład 3

Do każdego z równań dopiszemy równania równoważne opisujące tę samą prostą.

Równanie $I$	Równanie $II$	Równanie $III$	Równanie $IV$
$3 x - 4 y + 1 = 0$	$- 3 x + 4 y - 1 = 0$	$6 x - 8 y + 2 = 0$	$\frac{3}{2} x - 2 y + \frac{1}{2} = 0$
$- 5 x + 7 y = 0$	$5 x - 7 y = 0$	$\frac{5}{3} x - \frac{7}{3} y = 0$	$15 x - 21 y = 0$
$2 x - 3 = 0$	$- 10 x + 15 = 0$	$x - \frac{3}{2} = 0$	$\frac{2}{3} x - 1 = 0$
$y = 0$	$2 y = 0$	$- 3 y = 0$	$0, 73 y = 0$

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $Y$ , czyli współczynnik $B$ w równaniu $A x + B y + C = 0$ jest różny od zera, to równanie ogólne można przekształcić do kierunkowego, wyznaczając zmienną $y$ w zależności od zmiennej $x$ .

Przykład 4

Przekształcimy równanie ogólne prostejrównanie ogólne prostejrównanie ogólne prostej na jej równanie kierunkowe.

$2 x - 3 y + 7 = 0$

Od obu stron równania odejmujemy $2 x$ i $7$ , otrzymując

$- 3 y = - 2 x - 7$

Obie strony równania dzielimy przez $(- 3)$ , otrzymując

$y = \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}$

Wprowadzimy jeszcze jedno użyteczne pojęcie związane z prostą. Mianowicie do każdej prostej możemy narysować nieskończenie wiele wektorów prostopadłych - każdy z nich nazywamy wektorem normalnym prostejwektor normalny prostejwektorem normalnym prostej.

Wykorzystując iloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorówiloczyn skalarny wektorów, można udowodnić, że współrzędne jednego z wektorów normalnych prostej o równaniu $A x + B y + C = 0$ są równe $[A, B]$ .

R1IAcPbp5WVP8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta opisana wzorem Ax+By+C=0. Na płaszcyźnie narysowany jest także wektor A;B prostopadły do danej prostej. Wektor zaczepiony jest na prostej i skierowany do pewnego nieopisanego punktu płaszczyzny.

Przykład 5

Do podanych prostych podamy współrzędne przykładowych wektorów normalnych.

Równanie kierunkowe	Przykładowe równania ogólne	Współrzędne przykładowych wektorów normalnych
$y = 5$	$y - 5 = 0$ $2 y - 10 = 0$	$[0, 1]$ $[0, 2]$
$y = 3 x$	$3 x - y = 0$ $\frac{3}{2} x - \frac{1}{2} y = 0$	$[3, - 1]$ $[\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}]$
$y = - 2 x - 1$	$2 x + y + 1 = 0$ $- 6 x - 3 y - 3 = 0$	$[2, 1]$ $[- 6, - 3]$
brak	$x - 3 = 0$ $10 x - 30 = 0$	$[1, 0]$ $[10, 0]$

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym filmem samouczkiem. Wykonaj polecenie znajdujące się poniżej.

RveuVdcEo1KQm

Polecenie 2

RFMWkSMrtFrgj

Równoległość i prostopadłość prostych zadanych równaniami ogólnymi

Równoległość prostych

Rozważmy proste opisane równaniami

A x + B y + C = 0

D x + E y + F = 0,

gdzie $(A, B) \neq (0, 0)$ i $(C, D) \neq (0, 0)$ .
Jeśli żadna z prostych nie jest równoległa do osi $Y$ , to $B \neq 0$ i $E \neq 0$ .

Możemy wówczas przekształcić ich równania do postaci kierunkowej otrzymując odpowiednio

y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B} i y = - \frac{D}{E} x - \frac{F}{E} .

Warunek równoległości orzeka, że proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, zatem gdy

- \frac{A}{B} = - \frac{D}{E} .

Otrzymane równanie można przekształcić do postaci

A E - B D = 0 .

Zauważmy, że w przypadku, gdy jedna z prostych jest równoległa do osi $Y$ , to są one równoległe do siebie nawzajem dokładnie wtedy, gdy współczynniki $B$ i $E$ są jednocześnie równe zeru. Wówczas wyrażenie $A E - B D$ również przyjmuje wartość zero. Zatem możemy sformułować następujący wniosek:

Proste o równaniach

A x + B y + C = 0 i D x + E y + F = 0,

gdzie $(A, B) \neq (0, 0)$ i $(C, D) \neq (0, 0)$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $A E - B D = 0$ .

Prostopadłość prostych

Rozważmy proste opisane równaniami

A x + B y + C = 0 i D x + E y + F = 0,

gdzie $(A, B) \neq (0, 0) i (C, D) \neq (0, 0)$ .
Jeśli żadna z prostych nie jest równoległa do osi $Y$ , to $B \neq 0 i E \neq 0$ .

Możemy wówczas przekształcić ich równania do postaci kierunkowej otrzymując odpowiednio

y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B} i y = - \frac{D}{E} x - \frac{F}{E} .

Warunek prostopadłości orzeka, że proste są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $(- 1)$ , zatem gdy

- \frac{A}{B} \cdot (- \frac{D}{E}) = - 1 .

Otrzymane równanie można przekształcić do postaci

A D + B E = 0 .

Zauważmy, że w przypadku, gdy jedna z prostych jest równoległa do osi $Y$ , to ma ona równanie postaci $A x + C = 0$ . Wówczas prosta do niej prostopadła jest równoległakryterium równoległości prostychrównoległa do osi $X$ , zatem opisuje się równaniem postaci $E y + F = 0$ . Zatem możemy przyjąć, że $B = 0 i D = 0$ , ale wtedy wyrażenie $A D + B E$ również przyjmuje wartość zero. Zatem możemy sformułować następujący wniosek:

Proste o równaniach $A x + B y + C = 0 i D x + E y + F = 0$ , gdzie $(A; B) \neq (0; 0)$ i $(C; D) \neq (0; 0)$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $A D + B E = 0$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby równania $2 x + m y = 5$ oraz $6 x + 4 y = 7$ opisywały proste

równoległe,
prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wypiszmy najpierw współczynniki obu prostych:

A = 2, B = m, C = - 5

oraz

D = 6, E = 4, F = - 7

Aby proste były równoległekryterium równoległości prostychrównoległe, wystarczy rozważyć warunek: $A E - B D = 0$ , czyli
$2 \cdot 4 - m \cdot 6 = 0 6 m = 8 m = \frac{4}{3} .$
Aby proste były prostopadłekryterium prostopadłości prostychprostopadłe, wystarczy rozważyć warunek: $A D + B E = 0$ , czyli
$2 \cdot 6 + m \cdot 4 = 0 4 m = - 12 m = - 3 .$

Ważne!

Zauważmy, że proste o równaniach

A x + B y + C = 0

B x - A y + F = 0

są prostopadłe, ponieważ

A B - A B = 0 .

Ta uwaga pozwala błyskawicznie wyznaczać równania prostych prostopadłych do danych oraz przechodzących przez dany punkt.

Przykład 7

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkt $A (2, - 3)$ prostopadłej do prostej o równaniu $3 x - 5 y + 7 = 0$ .

Zgodnie z uwagą $1$ równanie prostej prostopadłejkryterium prostopadłości prostychprostopadłej do prostej o równaniu $3 x - 5 y + 7 = 0$ ma postać

5 x + 3 y + F = 0 .

Aby wyznaczyć wartość współczynnika $F$ , wystarczy do otrzymanego równania podstawić współrzędne punktu $A$ :

5 \cdot 2 + 3 \cdot (- 3) + F = 0 .

Zatem $F = - 1 .$

Ważne!

Zauważmy, że proste o równaniach

A x + B y + C = 0

oraz

A x + B y + F = 0

są równoległe, ponieważ

A B - A B = 0 .

Ta uwaga pozwala błyskawicznie wyznaczać równania prostych równoległych do danych oraz przechodzących przez dany punkt.

Przykład 8

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkt $P (- 2, 3)$ prostopadłej do prostej o równaniu $5 x - 2 y + 3 = 0$ .

Zapiszmy najpierw współczynniki z równania podanej prostej: $A = 5$ oraz $B = - 2$ . Na mocy powyższych rozważań (Ważne!) wiemy, że prosta prostopadła do podanej będzie miała postać $B x - A y + F = 0$ . Podstawiając odpowiednio $A$ i $B$ , otrzymamy częściowe równanie szukanej prostej

- 2 x - 5 y + F = 0 .

Aby wyznaczyć $F$ , podstawimy punkt $P$ do powyższego równania

- 2 \cdot (- 2) - 5 \cdot 3 + F = 0 4 - 15 + F = 0 F = 11 .

Zatem równanie szukanej prostej jest postaci

- 2 x - 5 y + 11 = 0 .

Polecenie 3

Przeanalizuj informacje zawarte w poniższej animacji. Na ich podstawie rozwiąż test.

ROk3Ss7vpbi2D

Polecenie 4

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

R2apcS9gUCPKr

R1R0G3l9GcbjZ

R8SZU2XTdMmyq

R1LNCOSRziFnV

R1OozUAxQVONc

Ćwiczenie 1

RmM225gbx4xWI11

RiVY7o7GhyuLb

R1ARcpnLeA6kr1

Ćwiczenie 2

RaxgHWcd25wwe2

Ćwiczenie 3

Do każdego równania kierunkowego dopasuj wszystkie równania ogólne, które opisują tę samą prostą. Przeciągnij i upuść. y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, plus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, trzy Możliwe odpowiedzi: 1. minus, cztery x, plus, sześć y, plus, dwanaście, równa się, zero, 2. minus, sześć x, plus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 3. trzy x, minus, dwa y, plus, sześć, równa się, zero, 4. sześć x, minus, cztery y, minus, dwanaście, równa się, zero, 5. trzy x, minus, dwa y, minus, sześć, równa się, zero, 6. minus, dwa x, plus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 7. dwa x, minus, trzy y, plus, sześć, równa się, zero, 8. minus, cztery x, plus, sześć y, minus, dwanaście, równa się, zero

R7IHLALznGKYJ2

Ćwiczenie 4

Do każdego równania przyporządkuj współrzędne wektorów normalnych prostych będących wykresami tych równań. trzy x, minus, cztery y, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy zero przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy jeden przecinek pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy zero przecinek dwa zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy trzy, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 5. nawias kwadratowy jeden przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 6. nawias kwadratowy, minus, sto przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 7. nawias kwadratowy, minus, trzy przecinek cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 8. nawias kwadratowy trzy przecinek jeden pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 9. nawias kwadratowy, minus, jeden, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 10. nawias kwadratowy dwadzieścia przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 11. nawias kwadratowy, minus, sześć przecinek osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 12. nawias kwadratowy zero, przecinek, minus, sto zamknięcie nawiasu kwadratowego x, plus, pięć y, plus, dziesięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy zero przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy jeden przecinek pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy zero przecinek dwa zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy trzy, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 5. nawias kwadratowy jeden przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 6. nawias kwadratowy, minus, sto przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 7. nawias kwadratowy, minus, trzy przecinek cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 8. nawias kwadratowy trzy przecinek jeden pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 9. nawias kwadratowy, minus, jeden, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 10. nawias kwadratowy dwadzieścia przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 11. nawias kwadratowy, minus, sześć przecinek osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 12. nawias kwadratowy zero, przecinek, minus, sto zamknięcie nawiasu kwadratowego x, plus, osiem, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy zero przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy jeden przecinek pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy zero przecinek dwa zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy trzy, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 5. nawias kwadratowy jeden przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 6. nawias kwadratowy, minus, sto przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 7. nawias kwadratowy, minus, trzy przecinek cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 8. nawias kwadratowy trzy przecinek jeden pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 9. nawias kwadratowy, minus, jeden, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 10. nawias kwadratowy dwadzieścia przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 11. nawias kwadratowy, minus, sześć przecinek osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 12. nawias kwadratowy zero, przecinek, minus, sto zamknięcie nawiasu kwadratowego y, minus, sześć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy zero przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy jeden przecinek pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy zero przecinek dwa zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy trzy, przecinek, minus, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 5. nawias kwadratowy jeden przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 6. nawias kwadratowy, minus, sto przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 7. nawias kwadratowy, minus, trzy przecinek cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego, 8. nawias kwadratowy trzy przecinek jeden pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 9. nawias kwadratowy, minus, jeden, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 10. nawias kwadratowy dwadzieścia przecinek zero zamknięcie nawiasu kwadratowego, 11. nawias kwadratowy, minus, sześć przecinek osiem zamknięcie nawiasu kwadratowego, 12. nawias kwadratowy zero, przecinek, minus, sto zamknięcie nawiasu kwadratowego

Ćwiczenie 5

Wskaż wszystkie równania, których wykresem jest narysowana prosta.

R1C7Uz1Gi0nYj

RLfmHXC3aaQWL

RDaWNY85XgvRF

Rysunek pierwszy. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkty: $(0; 0)$ oraz $(2; 3)$ .

R5Qs5I1bB43T8

Rysunek drugi. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkty: $(0; 0)$ oraz $(- 3; 2)$ .

R1UzDP2RelA2c

Rysunek trzeci. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta przechodząca przez punkty: $(- 1; 0)$ oraz $(1; 1)$ .

R1NgqDKQ7eIBk

Ćwiczenie 6

Dla podanego równania wskaż jego wykres.

R1eqou5iWYuJq

R2j2986FhNJLN

RDSzq8PLZtMMK

R1L0RYJVkFa9c

RXRSFRe627UqA

Ćwiczenie 7

Naszkicuj w prostokątnym układzie współrzędnych proste będące wykresami równań oraz określ ich wzajemne położenie.

Sprawdź położenie podanych poniżej par prostych i zaznacz w każdym przypadku poprawną odpowiedź.

R15toERBp5PH4

RUl3uKF3QJDHf3

Ćwiczenie 8

RiJzIBGw0aovi1

Ćwiczenie 9

RtE68mT2rV6wm1

Ćwiczenie 10

RZ5ZUrd3rsMBh2

Ćwiczenie 11

RBFPLjiLAv6Wp2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

Rozwiąż test.

R34jvFSsexgAb

R1Bx7RZU701VP

R1cHRQTjUILlU

R14vhYlS8gEIl

R1EPcQGcHHGF7

RwNO0zGMqKCvH

R1HcikTLi2kXE2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Dany jest czworokąt o wierzchołkach $A (- 5, - 4), B (5, 2), C (2, 5), D (- 3, 2)$ . Oblicz pole czworokąta $A B C D$ .

Wyznaczmy równania prostych $A B$ i $C D$ . Równanie prostej $A B$ ma postać:

(5 - (- 5)) (y - (- 4)) = (2 - (- 4)) (x - (- 5)),

czyli

10 (y + 4) = 6 (x + 5) 10 y + 40 = 6 x + 30 \cdot \frac{1}{2} - 3 x + 5 y + 5 = 0 .

Równanie prostej $C D$ ma z kolei postać:

(- 3 - 2) (y - 5) = (2 - 5) (x - 2) - 5 (y - 5) = - 3 (x - 2) - 5 y + 25 = - 3 x + 6 3 x - 5 y + 19 = 0 .

Możemy zauważyć, że rozważane proste $A B$ i $C D$ są równoległe. Istotnie, mamy następujące współczynniki równań postaci ogólnej: $A = - 3, B = 5, D = 3, E = - 5$ . Z warunku równoległości prostych ( $A E - B D = 0$ dla dwóch prostych o równaniach $A x + B y + C = 0, D x + E y + F = 0$ ) mamy:

- 3 \cdot (- 5) - 5 \cdot 3 = 15 - 15 = 0 .

Zatem czworokąt jest trapezem. Do policzenia jego pola, wykorzystamy wzór $P = \frac{(|A B| + |C D|) h}{2}$ , gdzie $h$ jest wysokością trapezu. Aby ją wyznaczyć, znajdziemy teraz prostą przechodzącą przez punkt $C$ , przecinającą prostą $A B$ w punkcie $H$ . Zauważmy, że szukana prosta $C H$ jest prostopadła do prostej $A B$ . Zatem na mocy warunku prostopadłości prostych ( $A x + B y + C = 0 ⊥ B x - A y + F = 0$ ) możemy stwierdzić, że prosta prostopadła do prostej $A B$ jest postaci: $5 x + 3 y + F = 0$ . Podstawiając do wzoru punkt $C$ , otrzymamy

5 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + F = 0 10 + 15 + F = 0 F = - 25 .

Zatem równanie prostej $C H$ jest postaci

5 x + 3 y - 25 = 0 .

Aby obliczyć pole trapezu, potrzebować będziemy długości odcinków: $A B, C D, C H$ , które teraz wyznaczymy.

Długość odcinka $A B$ wynosi:

|A B| = \sqrt{(5 - {(- 5))}^{2} + (2 - {(- 4))}^{2}} = \sqrt{10^{2} + 6^{2}} = \sqrt{136} = 2 \sqrt{34} .

Teraz wyznaczymy długość odcinka $C D$ :

|C D| = \sqrt{{(- 3 - 2)}^{2} + {(2 - 5)}^{2}} = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}

Następnie wyznaczymy długość odcinka $C H$ . Zauważmy, że najpierw musimy znaleźć współrzędne punktu $H$ . Otrzymamy je, przyrównując do siebie proste, które przechodzą przez ten punkt:

\{\begin{cases} - 3 x + 5 y + 5 = 0 \\ 5 x + 3 y - 25 = 0 \end{cases} .

Z równania pierwszego wyznaczymy $y$ :

- 3 x + 5 y + 5 = 0 5 y = 3 x - 5 y = \frac{3}{5} x - 1

i podstawimy wynik do równania drugiego:

5 x + 3 (\frac{3}{5} x - 1) - 25 = 0 \frac{25}{5} x + \frac{9}{5} x - 3 - 25 = 0 \frac{34}{5} x = 28 x = \frac{28 \cdot 5}{34} = \frac{70}{17} y = \frac{3}{5} \cdot \frac{70}{17} - 1 = \frac{42}{17} - \frac{17}{17} = \frac{25}{17} .

Zatem $H (\frac{70}{17}, \frac{25}{17})$ .

Mając współrzędne punktu $H$ , wyznaczymy długość odcinka $C H$ :

|C H| = \sqrt{{(\frac{70}{17} - 2)}^{2} + {(\frac{25}{17} - 5)}^{2}} = \sqrt{{(\frac{70 - 34}{17})}^{2} + {(\frac{25 - 85}{17})}^{2}} = = \sqrt{{(\frac{36}{17})}^{2} + {(- \frac{60}{17})}^{2}} = \sqrt{\frac{1296 + 3600}{289}} = \sqrt{\frac{4896}{289}} = \frac{\sqrt{4896}}{17} = = \frac{\sqrt{16 \cdot 9 \cdot 34}}{17} = \frac{12}{17} \sqrt{34} .

Zatem pole trapezu wynosi:

P = \frac{(|A B| + |C D|) |C H|}{2} P = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{34} + \sqrt{34}) \cdot \frac{12}{17} \sqrt{34} = \frac{3}{2} \sqrt{34} \cdot \frac{12}{17} \sqrt{34} = \frac{3}{2} \cdot \frac{12}{17} \cdot 34 = = 36 .

R1Oj1VJSjGUsV3

Ćwiczenie 16

Słownik

równanie ogólne prostej

równanie postaci $A x + B y + C =0$ , gdzie współczynniki $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zeru; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowana w układzie współrzędnych

równanie kierunkowe prostej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ ; równaniem takiej postaci można opisać dowolną prostą narysowaną w układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi $Y$

wykres równania

zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dane równanie

wektor normalny prostej

każdy wektor prostopadły do danej prostej

iloczyn skalarny wektorów

wektory: $\vec{u} = [u_{1}, u_{2}]$ i $\vec{v} = [v_{1}, v_{2}]$ , liczba oznaczana jako $\vec{u} \circ \vec{v}$ (gdzie znak $\circ$ oznacza mnożenie skalarne w odróżnieniu od zwykłego mnożenia), którą można wyznaczyć na dwa sposoby:

\vec{u} \circ \vec{v} = u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}

albo inaczej

\vec{u} \circ \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos α,

gdzie $α$ to miara kąta pomiędzy wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Jeden z tych wzorów przyjmujemy jako definicję, zaś drugiego dowodzimy jako twierdzenie

kryterium równoległości prostych

orzeka, że proste o równaniach $A x + B y + C = 0$ oraz $D x + E y + F = 0$ , gdzie $(A, B) \neq (0, 0) i (D, E) \neq (0, 0)$ są równoległe dokładnie wtedy, gdy $A E - B D = 0$

kryterium prostopadłości prostych

orzeka, że proste o równaniach $A x + B y + C = 0$ oraz $D x + E y + F = 0$ , gdzie $(A, B) \neq (0, 0) i (D, E) \neq (0, 0)$ są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy $A D + B E = 0$

4. Równoległość i prostopadłość prostych

6*. Odległość punktu od prostej (DODATEK)