6*. Odległość punktu od prostej (DODATEK)

Rz4C8OCKFsaH7

W tej lekcji poznasz wzór na odległość punktu o danych współrzędnych od prostej o danym równaniu umieszczonych w układzie współrzędnych. Nauczymy się też go stosować w sytuacjach w geometrii analitycznej.

Twoje cele

Obliczysz odległość punktu od prostej w układzie współrzędnych.
Wyznaczysz wartości parametrów, aby odległość punktu od prostej była równa zadanej z góry liczbie.
Zastosujesz wzór na odległość punktu od prostej do obliczania pól wielokątów umieszczonych w układzie współrzędnych.
Zastosujesz wzór na odległość punktu od prostej do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Zaczniemy od przykładu.

Przykład 1

Obliczymy odległość punktu $A = (3, 1)$ od prostej $k$ o równaniu $y = 2 x + 2$ .

RRlbZDo10T0gq

Rysunek przedstawia układ współrzędnych, na który naniesiono prostą k będącą wykresem funkcji y równa się dwa x dodać dwa, punkt A lezący poza prostą k, oraz odcinek łączący punkt A z prostą k. Odcinek tworzy z prostą k kąt prosty w punkcie A prim.

Przypomnijmy, że odległość punktu od prostej jest równa długości odcinka łączącego dany punkt z punktem na prostej, który jest do tej prostej prostopadły.

Zaczniemy od wyznaczenia współrzędnych punktu $A^{'}$ , który należy do prostej $k$ oraz odcinek $A A^{'}$ jest prostopadły do prostej $k$ .

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej $k$ jest równy $- \frac{1}{2}$ , zatem równanie prostej prostopadłej do prostej $k$ ma postać

$y = - \frac{1}{2} x + b$

Ponieważ prosta ta przechodzi przez punkty $A = (3, 1)$ , zatem współrzędne punktu $A$ spełniają równanie $y = - \frac{1}{2} x + b$ .

Ten fakt pozwala wyznaczyć wartość współczynnika $b$

$1 = - \frac{1}{2} \cdot 3 + b$

czyli $b = 2, 5$ .

Zatem równanie prostej prostopadłej do prostej $k$ przechodzącej przez punkt $A$ to $y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego obu prostych wystarczy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{cases} y = 2 x + 2 \\ y = - \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \end{cases}$

Wynika z niego równanie

$2 x + 2 = - 0, 5 x + 2, 5$

$2, 5 x = 0, 5$

$x = 0, 2$

Dla tak wyznaczonej wartości $x$ wartość współrzędnej $y$ jest równa $y = 2 \cdot 0, 2 + 2 = 2, 4$ .

Zatem punkt $A^{'}$ ma współrzędne $(0, 2; 2, 4)$ .

Teraz wystarczy wyznaczyć długość odcinka $A A^{'}$ . W tym celu możemy skorzystać ze wzoru na długość odcinka o danych współrzędnych jego końców:

$|A A^{'}| = \sqrt{{(x_{A^{'}} - x_{A})}^{2} + {(y_{A^{'}} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(0, 2 - 3)}^{2} + {(2, 4 - 1)}^{2}} =$

$= \sqrt{2, 8^{2} + 1, 4^{2}} = \sqrt{7, 84 + 1, 96} = \sqrt{9, 8} = \frac{7 \sqrt{5}}{5}$

Zatem odległość punktu $A = (3, 1)$ od prostej o równaniu $y = 2 x + 2$ jest równa $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ .

Przykład 2

Postępując analogicznie wyznaczymy wzór na odległość punktu od prostej o równaniu kierunkowymwzór na odległość punktu od prostej o równaniu kierunkowym.

RkMJ2dI5Rb87D

Rysunek przedstawia układ współrzędnych, na który naniesiono prostą k będącą wykresem funkcji y równa się a x dodać b, punkt A lezący poza prostą k, oraz odcinek łączący punkt A z prostą k. Odcinek tworzy z prostą k kąt prosty w punkcie A prim. Długość odcinka oznaczono jako otwarcie wartości bezwzględnej A A prim zamknięcie wartości bezwzględnej równa się d otwarcie nawiasu A średnik k zamknięcie nawiasu.

Rozważmy punkt $A$ o współrzędnych $(x_{0}, y_{0})$ oraz prostą o równaniu $y = a x + b$ .

Wówczas współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do danej jest równy $- \frac{1}{a}$ , zatem równanie tej prostej ma postać $y = - \frac{1}{a} x + B$ .

Współczynnik $B$ wyznaczymy wstawiając do powyższego równania współrzędne punktu $A$ :

$y_{0} = - \frac{1}{a} x_{0} + B$

co oznacza, że:

$B = \frac{a y_{0} + x_{0}}{a}$

Zatem szukane równanie ma postać $y = - \frac{1}{a} x + \frac{a y_{0} + x_{0}}{a}$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu wspólnego obu prostych, wystarczy rozwiązać układ równań

$\{\begin{cases} y = a x + b \\ y = - \frac{1}{a} x + \frac{a y_{0} + x_{0}}{a} \end{cases}$

Wynika z niego równanie

$a x + b = - \frac{1}{a} x + \frac{a y_{0} + x_{0}}{a}$ , z którego można wyznaczyć $x$ :

$(a + \frac{1}{a}) x = \frac{a y_{0} + x_{0} - a b}{a}$

$x = \frac{a y_{0} + x_{0} - a b}{a^{2} + 1}$

Po podstawieniu wyznaczonej wartości $x$ do równania $y = a x + b$ otrzymujemy

$y = \frac{a^{2} y_{0} + a x_{0} + b}{a^{2} + 1}$

Zatem punkt wspólny $A^{'}$ obu prostych ma współrzędne

$(\frac{a y_{0} + x_{0} - a b}{a^{2} + 1}, \frac{a^{2} y_{0} + a x_{0} + b}{a^{2} + 1})$

Zatem długość odcinka $A A^{'}$ jest równa

$\sqrt{{(\frac{a y_{0} + x_{0} - a b}{a^{2} + 1} - x_{0})}^{2} + {(\frac{a^{2} y_{0} + a x_{0} + b}{a^{2} + 1} - y_{0})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{a y_{0} - a^{2} x_{0} - a b}{a^{2} + 1})}^{2} + {(\frac{a x_{0} - y_{0} + b}{a^{2} + 1})}^{2}} =$

$= \sqrt{\frac{a^{2} {(y_{0} - a x_{0} - b)}^{2} + {(y_{0} - a x_{0} - b)}^{2}}{{(a^{2} + 1)}^{2}}} =$

$= \sqrt{\frac{(a^{2} + 1) {(y_{0} - a x_{0} - b)}^{2}}{{(a^{2} + 1)}^{2}}} =$

$= \sqrt{\frac{{(y_{0} - a x_{0} - b)}^{2}}{a^{2} + 1}} = \frac{|y_{0} - a x_{0} - b|}{\sqrt{a^{2} + 1}}$

Zatem odległość punktu $A = (x_{0}, y_{0})$ od prostej o równaniu $k : y = a x + b$ wyraża się wzorem

$d (A, k) = \frac{|a x_{0} - y_{0} + b|}{\sqrt{1 + a^{2}}}$

Przykład 3

Wyznaczymy odległość punktu $A = (- 1, 3)$ od prostej $k$ o równaniu $y = - 2 x - 1$ .

Podstawiając dane z przykładu do powyższego wzoru otrzymujemy

$d (A, k) = \frac{|- 2 \cdot (- 1) - 3 - 1|}{\sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}} = \frac{|- 2|}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Przykład 4

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby punkt o współrzędnych $(m, 2 m)$ był odległy od prostej o równaniu $y = 3 x - 1$ o $2$ .

Podstawiając dane z treści zadania do wzoru

$d (A, k) = \frac{|α x_{0} - y_{0} + b|}{\sqrt{1 + a^{2}}}$

otrzymujemy równanie:

$2 = \frac{|3 m - 2 m - 1|}{\sqrt{1 + 9}}$ , które możemy kolejno przekształcić

$2 \sqrt{10} = |m - 1|$

$2 \sqrt{10} = m - 1$ lub $- 2 \sqrt{10} = m - 1$

$m = 2 \sqrt{10} + 1$ lub $m = 1 - 2 \sqrt{10}$

Zatem szukane punkty mają współrzędne

$(2 \sqrt{10} + 1, 4 \sqrt{10} + 2)$ lub $(1 - 2 \sqrt{10}, 2 - 4 \sqrt{10})$

Jeśli chcemy wyznaczyć odległość punktu $X = (x_{0}, y_{0})$ od prostej $m$ o równaniu $A x + B y + C = 0$ , gdzie $(A, B) \neq (0, 0)$ , możemy posłużyć się wzorem wyprowadzonym powyżej.

Jeśli współczynnik $B$ jest różny od zera, wówczas możemy przekształcić równanie prostej do postaci kierunkowej: $y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$ oraz wykorzystać wzór na odległość punktu od prostej w postaci kierunkowej otrzymując wzór na odległość punktu od prostej opisanej równaniem ogólnymwzór na odległość punktu od prostej opisanej równaniem ogólnym:

$d (X, m) = \frac{|\frac{A}{B} x_{0} + y_{0} + \frac{C}{B}|}{\sqrt{{(\frac{A}{B})}^{2} + 1}}$ , co po przekształceniu daje wzór:

$d (X, m) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ $(*)$

Jeśli $B = 0$ , to prosta $m$ ma równanie $x = - \frac{C}{A}$ . Wówczas odległość punktu $A$ od prostej $m$ jest równa $|x_{0} + \frac{C}{A}|$ . Zaś wzór $(*)$ sprowadza się do postaci:

$d (X, m) = \frac{|A x_{0} + 0 \cdot y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + 0^{2}}} = |x_{0} + \frac{C}{A}|$

Oznacza to, że wzór $(*)$ obejmuje również przypadek prostej równoległej do osi $Y$ , zatem jest prawdziwy dla dowolnej prostej i dowolnego punktu umieszczonych w układzie współrzędnych.

Przykład 5

Obliczymy odległość punktu $A = (- 2, - 3)$ od prostej o równaniu $k : 5 x - 4 y + 1 = 0$ .

Zgodnie z powyższym wzorem

$d (A, k) = \frac{|5 \cdot (- 2) - 4 \cdot (- 3) + 1|}{\sqrt{5^{2} + {(- 4)}^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{41}} = \frac{3 \sqrt{41}}{41}$

Polecenie 1

Aplet przedstawia zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej. Korzystając z suwaków zmieniaj wartości współczynników $A$ , $B$ , $C$ prostej $k$ o równaniu $A x + B y + C = 0$ oraz położenie punktu $X$ i obserwuj, jak zmienia się odległość punktu $X$ od prostej $k$ .
Zwróć uwagę, że wszystkie liczby podawane są z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Mając prostą o równaniu: $A x + B y + C = 0$ oraz punkt $P (x_{0}; y_{0})$ o zadanych współrzędnych, oblicz odległość punktu od prostej dla podanych wartości. Skorzystaj ze wzrozu na odległość punktu od prostej: $d (X; k) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .

R16xoCr6KUnBY

R15UppvKh41O4

R1GwcK7OYnNzS

R1bYljX6PSB0x1

Polecenie 2

Rozwiąż test. Możesz wykorzystać aplet. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

R17SMdRDY6xjb

Przypomnijmy, że odległość $d (X, k)$ punktu $X = (x_{0}, y_{0})$ od prostej $k$ o równaniu $A x + B y + C = 0$ , gdzie $(A, B) \neq (0, 0)$ wyraża się wzorem:

d (X, k) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

Przykład 6

Obliczymy pole trójkąta o wierzchołkach $A = (- 3, 1)$ , $B = (3, 5)$ , $C = (5, - 3)$ .

Zaczniemy od wyznaczenia równania prostej $A B$ .

Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})

z którego wynika równanie:

(y - 1) (3 - (- 3)) = (5 - 1) (x - (- 3))

czyli:

2 x - 3 y + 9 = 0

Wysokość trójkąta $A B C$ poprowadzona z wierzchołka $C$ ma długość równą odległości punktu $C$ od prostej $A B$ :

d (C, p r . A B) = \frac{|2 \cdot 5 - 3 \cdot (- 3) + 9|}{\sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{28}{\sqrt{13}}

Długość odcinka $A B$ jest równa:

|A B| = \sqrt{{(3 - (- 3))}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}

Zatem pole trójkąta $A B C$ to:

P = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot d (C, p r . A B) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot \frac{28}{\sqrt{13}} = 28

Przykład 7

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych odległej od punktu $P = (3, 4)$ o odcinek długości $\sqrt{5}$ .

R1Zu7EP88wSTc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma na sobie liczby od -3 do siedem. Oś pionowa Y ma na sobie liczby od -2 do pięć. Poprowadzono dwie proste, obie przechodzą przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. Proste przecinają się w środku układu współrzędnych. Zaznaczono punkt P o współrzędnych 3;5. Zaznaczono odległość punktu do obu prostych. Punkt ten znajduje się w odległości 5 od obu prostych.

Zauważmy najpierw, że prosta, której równania szukamy, nie jest prostą równoległą do osi $Y$ . Zatem jej równanie ma postać:

y = a x \Rightarrow a x - y = 0

Po podstawieniu danych do wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy równanie $\sqrt{5} = \frac{|3 a - 4|}{\sqrt{a^{2} + 1}}$ .

Możemy pomnożyć obie jego strony przez $\sqrt{a^{2} + 1}$ otrzymując:

\sqrt{5} \cdot \sqrt{a^{2} + 1} = |3 a - 4|

Ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne $5 a^{2} + 5 = 9 a^{2} - 24 a + 16$ , które przekształca się do postaci:

4 a^{2} - 24 a + 11 = 0

Pierwiastkami równania są liczby:

\frac{11}{2}

oraz

\frac{1}{2}

Zatem szukane równania to:

y = \frac{1}{2} x

oraz

y = \frac{11}{2} x

Przykład 8

Wyznaczymy równania dwusiecznych kątówdwusieczna kątadwusiecznych kątów zawartych między prostymi $k$ i $m$ o równaniach odpowiednio $2 x - y = 0$ oraz $x - 2 y = 0$ .

RWoJXr1FSFJ9N

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono jako X, znajdują się na niej liczby od -3 do siedem. Oś pionową oznaczono jako Y, znajdują się na niej liczby od -2 do pięć. Na układ naniesiono dwie proste 2x-y=0 oraz x-2y=0, przechodzą one przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych. Proste przecinają się w początku układu współrzędnych. Zaznaczono punkt X o współrzędnych x0;y0. Jest on odległy od obu prostych o d. Zaznaczono kąt pomiędzy prostymi. Wynosi on dwa gamma. Poprowadzono przerywaną linią prostą, która przechodzi przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt X. Dzieli ona kąt pomiędzy prostymi na pół.

Skorzystamy z faktu, że każdy punkt dwusiecznej kąta jest równoodległy od jego ramion.

Wybierzmy dowolny punkt $X$ leżący na dwusiecznej jednego z dwóch kątów pomiędzy rozważanymi prostymi.

Oznaczmy jego współrzędne przez $(x_{0}, y_{0})$ .

Wówczas odległość punktu $X$ od prostej $k$ jest równa

d (X, k) = \frac{|2 x_{0} - y_{0}|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|2 x_{0} - y_{0}|}{\sqrt{5}}

zaś odległość $X$ od prostej $m$ to:

d (X, m) = \frac{|x_{0} - 2 y_{0}|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{|x_{0} - 2 y_{0}|}{\sqrt{5}}

Ponieważ punkt $X$ należy do dwusiecznej kąta między prostymi $k$ i $m$ , to wyznaczone odległości są równe, skąd wynika równanie:

\frac{|2 x_{0} - y_{0}|}{\sqrt{5}} = \frac{|x_{0} - 2 y_{0}|}{\sqrt{5}}

zatem:

|2 x_{0} - y_{0}| = |x_{0} - 2 y_{0}|

Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przeciwne, zatem:

2 x_{0} - y_{0} = x_{0} - 2 y_{0}

lub

2 x_{0} - y_{0} = - (x_{0} - 2 y_{0})

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równania

y_{0} = - x_{0}

oraz

y_{0} = x_{0}

Zatem rozwiązaniem zadania są wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równania

y = - x

lub

y = x

Są to jednocześnie równania dwusiecznych kątówdwusieczna kątadwusiecznych kątów, pod którymi przecinają się proste o równaniach

2 x - y = 0

x - 2 y = 0

Przykład 9

Wyznaczymy równanie krzywej zawierającej wszystkie punkty, których odległość od punktu $A = (3, - 1)$ jest równa odległości od prostej $k$ o równaniu $y = 3$ .

Niech punkt $X = (x_{0}, y_{0})$ będzie równoodległy od prostej $k$ o równaniu $y = 3$ i od punktu $A = (3, - 1)$ .

Wówczas odległość punktu $X$ od prostej $k$ jest równa $|y_{0} - 3|$ , zaś odległość punktu $A$ od punktu $X$ wynosi:

\sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} + 1)}^{2}}

Ponieważ odległość punktu $X$ od punktu $A$ ma być równa odległości punktu $X$ od prostej $k$ , otrzymujemy równanie

|y_{0} - 3| = \sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} + 1)}^{2}}

Ponieważ obie strony równania są nieujemne, można je podnieść do kwadratu otrzymując równanie równoważne:

${(y_{0} - 3)}^{2} = {(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} + 1)}^{2}$ , które przekształca się kolejno do

{y_{0}}^{2} - 6 y_{0} + 9 = {x_{0}}^{2} - 6 x_{0} + 9 + {y_{0}}^{2} + 2 y_{0} + 1

- 8 y_{0} = {x_{0}}^{2} - 6 x_{0} + 1

y_{0} = - \frac{1}{8} {x_{0}}^{2} + \frac{3}{4} x_{0} - \frac{1}{8}

Zatem krzywa będąca zbiorem wszystkich punktów spełniających warunki zadania to parabolaparabolaparabola o równaniu:

y = - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{1}{8}

Uwaga:

Prostą $k$ w powyższym przykładzie nazywamy kierownicą otrzymanej paraboli, zaś punkt $A$ jej ogniskiem.

Polecenie 3

W poniższym aplecie możesz prześledzić, jak można wyprowadzić wzór na krzywą będącą zbiorem wszystkich punktów równoodległych od danej prostej i danego punktu. Możesz zmieniać położenie punktu $A$ oraz prostej $k$ (suwak o nazwie $a$ ). Suwakiem o nazwie $x$ możesz wyznaczyć kolejne punkty spełniające podaną definicję.

Zapoznaj się z opisem apletu, prześledź jak można wyprowadzić wzór na krzywą będącą zbiorem wszystkich punktów równoodległych od danej prostej i danego punktu.

RnKUHArKCHpzd1

Polecenie 4

R1InhJAnYjBMR

RFDVSxfsThypF1

Ćwiczenie 1

R11XTmuk7oq0A11

Ćwiczenie 2

Wyznacz odległość punktu A od prostej k opisanej równaniem ogólnym. Połącz w pary. k : dwa x, minus, trzy y, plus, trzy, równa się, zero, A, równa się, nawias, pięć, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. pięć, 5. dwa przecinek pięć, 6. siedem przecinek pięć k : dwa x, minus, trzy y, plus, trzy, równa się, zero, A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, dwa przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. pięć, 5. dwa przecinek pięć, 6. siedem przecinek pięć k : dwa x, minus, trzy y, plus, trzy, równa się, zero, A, równa się, nawias, trzy, średnik, dziewięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. pięć, 5. dwa przecinek pięć, 6. siedem przecinek pięć k : trzy x, minus, cztery y, plus, osiem, równa się, zero, A, równa się, nawias, siedem, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. pięć, 5. dwa przecinek pięć, 6. siedem przecinek pięć k : trzy x, minus, cztery y, plus, osiem, równa się, zero, A, równa się, nawias, dwa przecinek pięć, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. pięć, 5. dwa przecinek pięć, 6. siedem przecinek pięć k : trzy x, minus, cztery y, plus, osiem, równa się, zero, A, równa się, nawias, cztery przecinek pięć, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzynaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. pierwiastek kwadratowy z trzynaście, 4. pięć, 5. dwa przecinek pięć, 6. siedem przecinek pięć

R1MgdUat99Y1x2

Ćwiczenie 3

RRZavlsl4KQ8O21

Ćwiczenie 4

RppeUlcN5Qp1j2

Ćwiczenie 5

Dana jest prosta k o równaniu dwa m x, plus, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, y, plus, jeden, równa się, zero. Wyznacz wartości parametru m, dla których odległość punktu A, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu od prostej k jest równa dwa.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi tak, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zatem warunki zadania są spełnione dla m, należy do, nawias klamrowy, dwa, plus, zero przecinek pięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, średnik, dwa, minus, zero przecinek pięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu klamrowego., 2. Ponieważ obie strony powyższego równania są nieujemne, więc możemy podnieść je do kwadratu otrzymując równanie równoważne:
dwadzieścia m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem m, plus, cztery, równa się, szesnaście m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia cztery m, plus, dziewięć, 3. Po uproszczeniu równanie sprowadza się do postaci:
dwa, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, cztery m, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z pięć m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. Zaczniemy jego rozwiązywanie od wyznaczenia dziedziny, którą jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych., 5. Po przeniesieniu wszystkich składników na lewą stronę i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy:
cztery m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, szesnaście m, minus, pięć, równa się, zero, 6. Po podstawieniu danych z treści zadania do wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy równanie:
dwa, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, dwa m, plus, dwa, razy, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z nawias, dwa m, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, m, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, 7. Możemy pomnożyć obie strony równania przez mianownik wyrażenia znajdującego się po prawej jego stronie otrzymując:
dwa pierwiastek kwadratowy z pięć m indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa m, plus, jeden koniec pierwiastka, równa się, wartość bezwzględna z, cztery m, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, 8. Pierwiastkami powyższego równania są liczby m indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, plus, zero przecinek pięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka oraz m indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, minus, zero przecinek pięć pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia jeden koniec pierwiastka.

R1UDhxLyglw8r21

Ćwiczenie 6

Rq0mqqaoR7Ugc3

Ćwiczenie 7

R12YKmNK2tQHg3

Ćwiczenie 8

Rf8VfZKkq174t1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

RPEeJRH7CC4dX

R1W8K7mk0IN9O

RAfxttvvSGTJ0

R1036cZeZkCrC

Rozwiąż test.

RPMVIOrfA5GuH

Rtb5jLlliitVB

R119N2f52wvnm

R1MVjLmEtEpLe

R1buOouH1bIxM21

Ćwiczenie 11

RnBooAc20y2sI2

Ćwiczenie 12

Wyznacz równania prostych zawierających dwusieczne kątów utworzonych przez proste k, podzielić na, x, plus, trzy y, minus, jeden, równa się, zero oraz l, podzielić na, sześć x, minus, dwa y, plus, jeden, równa się, zero.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zauważmy teraz, że wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne. Wobec tego powyższe równanie jest równoważne alternatywie równań:
, 2. Po pomnożeniu obu stron powyższego równania przez pierwiastek kwadratowy z czterdzieści koniec pierwiastka otrzymujemy równanie
dwa, razy, wartość bezwzględna z, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, trzy y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej., 3. Korzystając z własności wartości bezwzględnej możemy przekształcić równanie do postaci
wartość bezwzględna z, dwa x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, sześć y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej., 4. Ponieważ odległość punktu X od prostej k jest równa odległości punktu X od prostej l, więc wyznaczone odległości możemy przyrównać otrzymując równanie
początek ułamka, wartość bezwzględna z, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, trzy y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści koniec pierwiastka, koniec ułamka, 5. cztery x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, osiem y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, trzy, równa się, zero lub osiem x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, cztery y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, jeden, równa się, zero, 6. Niech współrzędne dowolnego punktu X leżącego na którejś z dwusiecznych rozważanych kątów będą równe nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu., 7. Zacznijmy od przypomnienia, że dwusieczna kąta to zbiór wszystkich takich punktów X, które są równoodległe od ramion tego kąta., 8. Zatem równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste k i l to cztery x, minus, osiem y, plus, trzy, równa się, zero oraz osiem x, plus, cztery y, minus, jeden, równa się, zero., 9. dwa x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, sześć y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa, równa się, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden lub dwa x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, sześć y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa, równa się, minus, nawias, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 10. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równania:
, 11. Obliczmy odległości punktu X od prostych k i l:
d nawias, X, przecinek, k, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, trzy y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, trzy y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, koniec ułamka
d nawias, X, przecinek, l, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z sześć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, wartość bezwzględna z, sześć x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, minus, dwa y indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mianownik, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści koniec pierwiastka, koniec ułamka

RivcJvD2ZCfS72

Ćwiczenie 13

Rr7zR4TS0XYOR2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem wszystkich punktów równoodległych od prostej o równaniu $k : x = 1$ i punktu $A = (3, 2)$ .

Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń na współrzędne punktu leżącego w równych odległościach od punktu $A$ i prostej $k$ . Niech punkt ten nazywa się $X$ i ma współrzędne $(x_{0}, y_{0})$ . Wyznaczymy teraz długość odcinka $A X$ i odległość punktu $X$ od prostej $k$ :

|A X| = \sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} - 2)}^{2}}

d (X, k) = |x_{0} - 1|

Ponieważ odległość punktu $X$ od punktu $A$ jest równa odległości punktu $X$ od prostej $k$ , otrzymujemy równanie

\sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} - 2)}^{2}} = |x_{0} - 1|

Obie strony powyższego równania są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu otrzymując równanie równoważne:

{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} - 2)}^{2} = {|x_{0} - 1|}^{2}

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy równanie ${x_{0}}^{2} - 6 x_{0} + 9 + {y_{0}}^{2} - 4 y_{0} + 4 = {x_{0}}^{2} - 2 x_{0} + 1$ , które można zredukować do postaci $4 x_{0} = {y_{0}}^{2} - 4 y_{0} + 12$ , a następnie wyznaczyć $x_{0} = \frac{1}{4} {y_{0}}^{2} - y_{0} + 3$ .

Zatem równanie krzywej zawierającej wszystkie punkty równoodległe od punktu $A = (3, 2)$ i prostej $k : x = 1$ to $x = \frac{1}{4} y^{2} - y + 3$ .

Ćwiczenie 16

a) Na osi $X$ znajdź punkt $P$ równoodległy od prostych $k : x - y + 3 = 0$ oraz $m : 7 x + y - 1 = 0$ .

b) Na osi $Y$ znajdź punkt $P$ równoodległy od prostych $k : 2 x + y - 1 = 0$ oraz $m : 11 x - 2 y + 1 = 0$ .

Ponieważ punkt $P$ leży na osi $X$ , więc jego współrzędne możemy oznaczyć przez $(x_{0}, 0)$ . Stosując wzór na odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć odległości punktu $P$ od prostych $k$ i $m$ :

d (P, k) = \frac{|x_{0} - 0 + 3|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|x_{0} + 3|}{\sqrt{2}}

d (P, m) = \frac{|7 x_{0} - 0 - 1|}{\sqrt{7^{2} + 1^{2}}} = \frac{|7 x_{0} - 1|}{\sqrt{50}}

Ponieważ wskazane odległości są z treści zadania równe, otrzymujemy równanie

\frac{|x_{0} + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|7 x_{0} - 1|}{\sqrt{50}}

Po pomnożeniu obu stron równania przez $\sqrt{50}$ otrzymujemy równanie $5 \cdot |x_{0} + 3| = |7 x_{0} - 1|$ , które jest równoważne z równaniem $|5 x_{0} + 15| = |7 x_{0} - 1|$ .

Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne, zatem ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równań:

5 x_{0} + 15 = 7 x_{0} - 1

lub

5 x_{0} + 15 = - 7 x_{0} + 1

Pierwiastkami powyższych równań są liczby $x_{0} = 8$ lub $x_{0} = - \frac{7}{6}$ . istnieją dwa takie punkty. Ich współrzędne to $(8, 0)$ i $(- \frac{7}{6}, 0)$ .

Ponieważ punkt $P$ leży na osi $Y$ , więc jego współrzędne możemy oznaczyć przez $(0, y_{0})$ . Stosując wzór na odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć odległości punktu $P$ od prostych $k$ i $m$ :

d (P, k) = \frac{|2 \cdot 0 + y_{0} - 1|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{|y_{0} - 1|}{\sqrt{5}}

d (P, m) = \frac{|11 \cdot 0 - 2 x_{0} + 1|}{\sqrt{11^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{|- 2 x_{0} + 1|}{\sqrt{125}}

Ponieważ wskazane odległości są z treści zadania równe, otrzymujemy równanie

\frac{|y_{0} - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|- 2 x_{0} + 1|}{\sqrt{125}}

Po pomnożeniu obu stron równania przez $\sqrt{125}$ otrzymujemy równanie $5 \cdot |y_{0} - 1| = |- 2 x_{0} + 1|$ , które jest równoważne z równaniem $|5 y_{0} - 5| = |- 2 x_{0} + 1|$ .

Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne, zatem ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równań:

5 y_{0} - 5 = - 2 y_{0} + 1

lub

5 y_{0} - 5 = 2 y_{0} - 1

Pierwiastkami powyższych równań są liczby $y_{0} = \frac{6}{7}$ lub $y_{0} = \frac{4}{3}$ . Zatem istnieją dwa takie punkty. Ich współrzędne to $(0, \frac{6}{7})$ i $(0, \frac{4}{3})$ .

Słownik

wzór na odległość punktu od prostej o równaniu kierunkowym

odległość punktu $X = (x_{0}, y_{0})$ od prostej $k$ o równaniu $y = a x + b$ wyraża się wzorem

$d (X, k) = \frac{|α x_{0} - y_{0} + b|}{\sqrt{a^{2} + 1}}$

wzór na odległość punktu od prostej o równaniu ogólnym

odległość punktu $X = (x_{0}, y_{0})$ od prostej $k$ o równaniu $A x + B y + C = 0$ , gdzie $(A, B) \neq (0, 0)$ , wyraża się wzorem

$d (X, k) = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

parabola

zbiór punktów równoodległych od danej prostej zwanej kierownicą i danego punktu zwanego ogniskiem, przy czym ognisko nie może leżeć na kierownicy

dwusieczna kąta

zbiór wszystkich punktów zawartych wewnątrz tego kąta, które leżą w równej odległości od jego ramion

5. Równanie ogólne prostej

M_R_W21_M1 Prosta w układzie współrzędnych

6*. Odległość punktu od prostej (DODATEK)

Słownik