6. Bryły obrotowe – kontekst realistyczny - M_R_W23_M5 Bryły obrotowe

R3HUCDJ3UUSLg

6. Bryły obrotowe – kontekst realistyczny

Opływowy kształt walca sprawia, że jest powszechnie stosowany w otaczającej nas rzeczywistości. Studnia, rury, naczynia, doniczki a nawet zwykły wałek do ciasta … to przykłady przedmiotów codziennego użytku wykorzystujących kształt walca. Własności geometryczne tej figury przestrzennej: jej objętość, pole powierzchni, długość promienia, przekrój itd. są tu stosowane w sposób intuicyjny.

W tym materiale nauczysz się wykorzystywać wielkości charakteryzujące walce, stożki i kule w życiu codziennym.

Twoje cele

Wykorzystasz objętość, pole powierzchni, długości odcinków i własności przekroju walca stożka i kuli do obliczeń w kontekście rzeczywistym.
Przeanalizujesz własności walca, stożka i kuli w sytuacjach realistycznych.
Dobierzesz strategię rozwiązywania zadań do zagadnień odnoszących się do rzeczywistości.

Walec - kontekst realistyczny

Przypomnijmy podstawowe wzory dotyczące walca o promieniu podstawy $r$ oraz wysokości $h$ :

objętość:
$V = π r^{2} h$

pole powierzchni:
$P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)$

Przykład 1

Podgrzewacz do kominków ma kształt walcawalecwalca o średnicy podstawy $4 cm$ i wysokości $1, 5 cm$ . Ile takich podgrzewaczy możemy wykonać z $1 l$ wosku?

Rozwiązanie:

Obliczymy objętość jednego podgrzewacza.

Mamy więc $V = π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5 \approx 18, 84 {cm}^{3} \approx 0, 019 l$ . Ponadto mamy $\frac{1}{0, 019} \approx 52, 63$ , czyli $1 l$ wosku wystarczy na wykonanie $52$ podgrzewaczy.

Przykład 2

Szklarnia ma kształt jak na rysunku i powstała z połączenia prostopadłościanu o wymiarach $3 m \times 4 m \times 1 m$ i połowy walca o promieniu $1, 5 m$ . Jaką powierzchnię ma poliwęglan pokrywający tę szklarnię? Wynik przybliż do $1 m^{2}$ . Przyjmij $π \approx 3, 14$ .

R1IO9HKUAMuAx

Ilustracja przedstawia szklarnie umiejscowioną w zalesionym miejscu. Szklarnia ta powstała z połączenia prostopadłościanu o wymiarach, w podstawie cztery metry na trzy metry, wysokość na jeden metr, oraz z połowy walca. Promień walca ma długości półtora metra i wysokość o długości cztery metry.

Rozwiązanie:

Obliczymy połowę powierzchni walca $P_{w} \approx 3, 14 \cdot 1, 5 \cdot (1, 5 + 4) \approx 26 m^{2}$ .

Następnie obliczamy pole powierzchni bocznej prostopadłościanu: $P_{b} = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \cdot 3 = 14 m^{2}$ .

A zatem poliwęglan pokrywający tę szklarnię ma powierzchnię $P \approx 26 + 14 = 40 m^{2}$ .

W zadaniach praktycznych możemy również obliczać długości odcinków w walcu.

Przykład 3

Do garnka o średnicy podstawy $20 cm$ i wysokości $20 cm$ wlano wodę wypełniając go w $\frac{3}{4}$ objętości i zaczęto gotować wodę na makaron. Po $10$ minutach $10 %$ wody wyparowało, a wodę przelano do garnka o średnicy $24 cm$ . Jak wysoko sięga woda w drugim garnku? Wynik przybliż do $1 cm$ .

Rozwiązanie:

Obliczmy objętość wody na początku gotowania: $V = \frac{3}{4} \cdot π \cdot 10^{2} \cdot 20 = 1500 π {cm}^{3}$ .

Po $10$ minutach mamy więc $1350 π {cm}^{3}$ wody.

Obliczymy do jakiej wysokości będzie sięgać woda w drugim garnku: $1350 π = π \cdot 12^{2} \cdot h$

A stąd $h = 9, 375 \approx 9 cm$ .

Przykład 4

Rynnę, jak na rysunku, wykonano z kawałka blachy o wymiarach $38 cm \times 400 cm$ . Jaka w przybliżeniu do $1 mm$ jest średnica tej rynny? Zagięcia pomijamy. Przyjmujemy $π = 3, 14$ .

R1RYE3bZC7Tv4

Ilustracja przedstawia szarą rynnę w kształcie połowy walca, stworzoną z cienkiego metalu. Na ilustracji zaznaczono jej wymiary. Jej długość jest równa czterysta centymetrów, natomiast długość łuku wynosi trzydziestu ośmiu centymetrów.

Rozwiązanie:

Połowa obwodu podstawy ma $38 cm$ . A zatem $π r = 38$ , co po podstawieniu przybliżenia $π$ daje nam $12, 1 cm$ . A zatem średnica wynosi $24, 2 cm = 242 mm$ .

Przypomnijmy, że przekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walcaprzekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach $2 r \times h$ .

R10fLS2EWz679

Ilustracja przedstawia walec oraz jego przekrój osiowy będący prostokątem wewnątrz bryły.

Każdy przekrój walca płaszczyzną prostopadłą do podstawy ma kształt prostokąta.

R1OGI7dZlHMv5

Ilustracja przedstawia walec oraz jego przekrój będący prostokątem wewnątrz bryły. Przekrój ten jest prostopadły do podstawy walca i nie przechodzi przez środek bryły.

Przykład 5

Drewniane klocki w kształcie walca o promieniu podstawy $5 cm$ i wysokości $10 cm$ przecięto w odległości $3 cm$ od środka przekrojem prostopadłym do podstawy. Powstałe w ten sposób klocki pomalowano farbą akrylową o wydajności $6 \frac{m^{2}}{l}$ . Ile klocków możemy rozciąć i pomalować w ten sposób, jeżeli mamy do dyspozycji opakowanie o pojemności $125 ml$ ?

Rozwiązanie:

Farbą o takiej objętości możemy pomalować $6 \cdot 0, 125 = 0, 75 m^{2}$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RwejGepCTVjcV

Ilustracja przedstawia walec o promieniu pięć centymetrów i wysokości dziesięć centymetrów. Wewnątrz walca narysowano także płaszczyznę będącą przekrojem bryły. Przekrój ten jest prostokątem o wymiarach pięć centymetrów na dziesięć centymetrów. Ze środka górnej podstawy poprowadzony został odcinek o długości trzy centymetry, łączący pod kątem prostym środek podstawy wraz ze środkiem krótszego boku prostokąta.

Mamy tu trójkąt Pitagorejski $3$ , $4$ , $5$ . A zatem przekrój jest prostokątem o wymiarach $8 cm \times 10 cm$ . Do pomalowania mamy więc powierzchnię walca i dwa pola przekroju.

A zatem $P = 2 \cdot π \cdot 5^{2} + 2 \cdot π \cdot 5 \cdot 10 + 2 \cdot 8 \cdot 10 = 150 π + 160 = 631 {cm}^{2} = 0, 0631 m^{2}$ .

Stąd otrzymujemy $\frac{0, 75}{0, 0631} \approx 11, 88$ .

Czyli możemy przeciąć $11$ klocków w kształcie walca o podanych wymiarach.

Polecenie 1

Zapoznaj się z treścią filmu edukacyjnego, a następnie rozwiąż polecenia.

R1da4fygcl76a

Polecenie 2

W zadaniu pierwszym pojawia się puszka. Jaką powierzchnię będzie mieć etykieta naklejona na tę puszkę, jeżeli oklejamy ją wokół denka puszki pozostawiając $6 mm$ od dołu i od góry puszki? Przyjmij $π \approx 3, 14$ . Wynik przybliż do $1 {cm}^{2}$ .

Promień tej puszki ma około $43 mm$ . Wysokość $172 mm$ , przy czym od wysokości tej odejmujemy $12 mm$ . A zatem wysokość etykiety wynosi $160 mm$ . Drugi wymiar etykiety to $2 π r \approx 2 \cdot 3, 14 \cdot 43 \approx 270, 04 mm$ . A zatem powierzchnia etykiety to $P = 160 \cdot 270, 04 = 43206, 4 {mm}^{2} \approx 432 {cm}^{2}$ .

Polecenie 3

Górna podstawa i powierzchnia boczna betonowej platformy z zadania drugiego w filmie zostanie pomalowana farbą o wydajności $18 \frac{m^{2}}{l}$ . Czy litrowy pojemnik farby wystarczy na pomalowanie podestu? Przyjmij $π \approx 3, 14$ .

Musimy policzyć pole powierzchni bocznej i pole podstawy platformy.

Mamy więc $r = 1, 5 m$ i $h = 0, 4 m$ .

Pole powierzchni będzie wynosić $P = 3, 14 \cdot 2, 25 + 2 \cdot 3, 14 \cdot 1, 5 \cdot 0, 4 \approx 10, 8 m^{2}$ .

A zatem litrowy pojemnik wystarczy na pomalowanie platformy.

Stożek - kontekst realistyczny

RpCGF1dT4UwOs1

Zdjęcie przedstawia wysoki budynek na tle zachmurzonego nieba. Budynek ma kształt litery M oraz od przodu ma kolor złoty. Na samej górze budynku znajduje się odwrócony stożek, który wpasowany został w górną część budynku. — InTempo, Benidorm, Hiszpania
Źródło: Diego Delsa, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Kształt stożka w architekturze kojarzony jest przede wszystkim z dachami wież. Wbrew pozorom może on być również wykorzystany w inny sposób. Czy wiesz, że InTempo to piąty, co do wysokości budynek w Hiszpanii (a najwyższy poza Madrytem) i najwyższy budynek mieszkalny w tym kraju? Jego budowę rozpoczęto w $2007$ roku, ale z powodu kryzysu, bankructwa wykonawcy i innych problemów przerwano ją i dokończono dopiero w $2019$ roku. Budynek składa się z dwóch wież o wysokości $192 m$ stojących w odległości $20 m$ , które są połączone na wysokości $38$ – $44$ piętra łącznikiem w kształcie stożka – symbolizuje on wybicie się miasta Benidorm z kryzysu ekonomicznego.

StożekstożekStożek jest bryłą obrotową powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych lub trójkąta równoramiennego wokół wysokości opuszczonej na podstawę trójkąta.

Siatka stożka składa się z wycinka koła, który stanowi powierzchnię boczną stożka i koła będącego jego podstawą.

R1VL3hskZ3suv

Ilustracja przedstawia siatkę stożka. Podstawa jest kołem o promieniu r, natomiast wycinek koła będący ścianą boczną, ma tworzącą l oraz kąt α. Nad łukiem wycinka koła zapisany jest wzór 2πr, który wskazuje na długość krawędzi podstawy.

Objętość stożka o promieniu podstawy $r$ i wysokościwysokość stożkawysokości $h$ obliczymy ze wzoru:

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

A pole powierzchni stożka o promieniu podstawy $r$ i tworzącejtworzącatworzącej $l$ wyraża się wzorem:

P_{c} = π r^{2} + π r l = π r (r + l)

Uwaga!

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe polu wycinka koła o promieniu $l$ i kącie zaznaczonym na rysunku powyżej jako $α$ .

Przypomnijmy, że pole takiego wycinka będzie wynosić $P = \frac{α}{360 °} \cdot π l^{2}$ .

Uwaga!

Z powyższego wzoru wynika, że $r = \frac{α}{360 °} \cdot l$ .

Przykład 6

Stopiono wosk ze świecy w kształcie walca o średnicy podstawy $8 cm$ i wysokości $12 cm$ i wykonano z niego komplet świec w kształcie stożka o średnicy podstawy $4 cm$ i wysokości $6 cm$ . Ile świec zawierał komplet?

R14CNkJToItnp

Ilustracja przedstawia dwie zapalone świece obok siebie na białym tle. Lewa świeca ma kształt stożka oraz jest koloru ciemnoniebieskiego. Prawa świeca jest nieco wyższa niż lewa, ma kształt walca oraz jest koloru fioletowego.

Rozwiązanie

Obliczamy objętość wosku powstałego ze świecy w kształcie walca:

$V_{w} = π \cdot 4^{2} \cdot 12 = 192 π {cm}^{3}$ .

Obliczamy objętość wosku potrzebnego do wykonania świecy w kształcie stożka:

$V_{s} = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 6 = 8 π {cm}^{3}$ .

Teraz możemy już obliczyć ile świec zawiera komplet $192 π : 8 π = 24$ . A zatem w komplecie znajdują się $24$ świece w kształcie stożka.

Przykład 7

Stosowanie form walcowych i stożkowych dachów jest charakterystyczną cechą stylu romańskiego. Najsłynniejszym tego typu budynkiem w Polsce jest rotunda pw. $św.$ Mikołaja w Cieszynie, której wizerunek znalazł się na banknocie o nominale $20 zł$ .

RJzQirEe7jL3j

Ilustracja składa się z dwóch oddzielnych ilustracji. Lewa ilustracja przedstawia ceglany budynek w kształcie dwóch złączonych walców, jeden z nich jest mniejszy od drugiego. Dachy obu walcy są w kształcie stożków. Oba walce posiadają w górnej części dokładnie jedno mniejsze okno. Prawy rysunek przedstawia tył współczesnego, polskiego banknotu dwudziestozłotowego. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Paweł wykonał makietę rotundy z kartonu. Wymiary makiety składającej się z walca, połowy walca, stożka i połowy stożka bez podstaw (okna są narysowane), podane są na rysunku.

R1HsyoKAlV6BR

Ilustracja przedstawia makietę budynku składającego się z dwóch walców złączonych ze sobą, których dachy wykonane są ze stożków. Jeden walec jest większy od drugiego, to samo dotyczy stożków. Na ilustracji zaznaczone są następujące informacje: wysokość większego stożka wynosi 11,3 decymetra, wysokość mniejszego walca wynosi 6,8 decymetra, promień większego stożka wynosi 4,7 decymetra, promień mniejszego stożka wynosi 1,5 decymetra, wysokość większego walca razem ze stożkiem wynosi 15 decymetrów, wysokość mniejszego walca razem ze stożkiem wynosi 9 decymetrów.

Jaka jest powierzchnia kartonu zużytego do wykonania makiety? Na zakładki przyjmujemy dodatkowo $10 %$ uzyskanej powierzchni. Przyjmujemy $π = 3, 14$ .

Rozwiązanie:

Obliczamy długość tworzących stożka:

$4, 7^{2} + 3, 7^{2} = {l_{1}}^{2}$ , a stąd $l_{1} \approx 6 dm$ oraz $1, 5^{2} + 2, 2^{2} = {l_{2}}^{2}$ , a stąd $l_{2} \approx 2, 7 m$

$P = P_{b w 1} + \frac{1}{2} P_{b w 2} + P_{b s 1} + \frac{1}{2} P_{b s 2}$

Czyli

$P = 2 \cdot π \cdot 4, 7 \cdot 11, 3 + π \cdot 1, 5 \cdot 6, 8 + π \cdot 4, 7 \cdot 6 + 0, 5 \cdot π \cdot 1, 5 \cdot 2, 7 \approx$

$\approx 460, 5 {dm}^{2}$ .

Ostatecznie powierzchnia papieru będzie wynosić $460, 5 + 46, 05 = 506, 55 {dm}^{2}$ .

Przykład 8

Do pucharka w kształcie stożka o wysokości $75 mm$ i średnicy $90 mm$ wlano sok napełniając go w $\frac{2}{3}$ objętości, a następnie wrzucono dwie kostki lodu w kształcie walca o średnicy podstawy $3 cm$ i wysokości $3 cm$ . Czy sok przeleje się?

RRvNInnoa0Qx0

Ilustracja przedstawia na białym tle dwie kostki lodu w kształcie walca oraz szklany kielich w kształcie odwróconego stożka, który został wypełniony ponad połowę pomarańczowym płynem.

Rozwiązanie

Obliczamy objętość naczynia, soku i kostek lodu. Mamy więc:

$V_{pucharka} = \frac{1}{3} π \cdot 4, 5^{2} \cdot 7, 5 = 50, 625 π {cm}^{3}$

$V_{soku} = \frac{2}{3} \cdot 50, 625 π = 33, 75 π {cm}^{3}$ , $V_{lodu} = 2 \cdot π \cdot 1, 5^{2} \cdot 3 = 13, 5 π {cm}^{3}$

A zatem $V_{soku} + V_{lodu} = 47, 25 π {cm}^{3} < V_{pucharka}$ . Co oznacza, że sok nie przeleje się.

Przykład 9

Kasia wycina z kartki wycinek koła, z którego wykona czapeczkę na przedstawienie, w którym będzie grała skrzata. Chce, aby obwód czapeczki wynosił $50 cm$ , a wysokość czapeczki $6 cm$ . Jaki powinien być kąt środkowy tego wycinka w przybliżeniu do $1 °$ ? Przyjmij $π = 3, 14$ . Czy na wykonanie tej czapeczki wystarczy kartka A4?

Rozwiązanie

Mamy, że $2 π r = 50$ , co daje nam $r \approx 8 cm$ . Obliczymy długość tworzącej tego stożka z twierdzenia Pitagorasa: $8^{2} + 6^{2} = l^{2}$ , a stąd $l = 10 cm$ .

Mamy więc $\frac{α}{360 °} \cdot 10 = 8$ , a stąd $α = 288 °$ .

Promień wycinka będzie miał długość $10 cm$ , więc kartka A4 jest wystarczająca.

Przykład 10

Stojak do podawania frytek wykonany z drutu ma kształt stożka o wysokości $18 cm$ i średnicy $9 cm$ . Podstawa stojaka jest okręgiem o promieniu długości $4 cm$ . Jaką długość ma drut potrzebny do wykonania stojaka, jeżeli na powierzchni stożka są cztery tworzące oraz dwa okręgi w $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ wysokości, a w podstawie stojaka jest poprowadzona średnica. Przyjmij $π = 3, 14$ .

RG94vATFv68wR

Ilustracja przedstawia odwrócony stożek zbudowany z drutu, który stoi na okrągłej obręczy. Sam stożek zbudowany jest z trzech obręczy o coraz mniejszych rozmiarach, przy czym największa jest na górze, a najmniejsza na dole. Cztery druty wychodzą od wierzchołka, przylegają one do każdej z trzech obręczy, trzymając je od siebie w równych odległościach.

Rozwiązanie

Zauważmy, że skoro okręgi znajdują się w $\frac{1}{3}$ i $\frac{2}{3}$ wysokości, to korzystając z podobieństwa trójkątów (cecha kąt‑kąt‑kąt) mamy:

RD7wo4MISSHN9

Ilustracja przedstawia stożek, którego wysokość została podzielona na trzy równe części. Zaznaczono promienie koła wychodzące od wysokości oraz obrysowano na ścianie bocznej podstawę dla każdej części. Pierwsza część, która jest najbliżej wierzchołka ma promień równy 1,5, środkowa część ma promień równy 3, natomiast ostatnia, największa część ma promień równy 4,5.

Mamy zatem obwody czterech okręgów: $l_{okręgów} = 9 π + 6 π + 3 π + 8 π = 26 π \approx 81, 6 cm$ .

Obliczymy długość tworzącej z twierdzenia Pitagorasa: $18^{2} + 4, 5^{2} = l^{2}$ , czyli $l \approx 18, 6 cm$ .

A zatem na średnicę podstawki w kształcie okręgu i cztery tworzące potrzebujemy $l_{odcinków} = 8 + 4 \cdot 18, 6 = 82, 4 cm$ .

A zatem razem mamy $l = 81, 6 + 82, 4 = 164 cm$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z przykładem z animacji 3D, a następnie wykonaj polecenia 2 i 3.

R1HKIfwtJSKmS

Polecenie 5

Stosując podobne rozumowanie rozwiąż zadanie. Dwa kieliszki w kształcie stożka jeden o średnicy $8 cm$ i wysokości $9 cm$ , a drugi o średnicy $8 cm$ i wysokości $12 cm$ są napełnione w połowie objętości i do połowy wysokości, odpowiednio. Chcemy przelać je do dzbanka w kształcie walca o promieniu $5 cm$ i wysokości $15 cm$ , tak, aby napełniony został maksymalnie do połowy objętości. Czy to możliwe?

Obliczymy objętość napoju

$V_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 9 π = 24 π$ , $V_{2} = \frac{1}{3} \cdot 2^{2} \cdot 6 π = 8 π$

$V_{napoju} = 24 π + 8 π = 32 π {cm}^{3}$

Obliczymy objętość połowy dzbanka

$V_{d} = \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot 15 π = 187, 5 π {cm}^{3}$

Odpowiedź:

Jest to możliwe.

Polecenie 6

RNkEwoDdqPiRR

Kula - kontekst realistyczny

Każdego roku na Times Square w Nowym Jorku z wysokiego masztu zsuwa się kryształowa kula wyznaczająca ostatnie $60$ sekund kończącego się roku. Tradycja opuszczania kuli sięga $1908$ roku kiedy to po raz pierwszy użyto kuli czasowej. Miała ona wówczas średnicę $1, 5 m$ i ważyła $320 kg$ , wykonana była z drewna i żelaza, a oświetlona setką żarówek.

R16uwPe4mw5Sn

Ilustracja przedstawia kryształową kulę zawieszoną na suficie. — Źródło: dostępny w internecie: www.wikipedia.org, licencja: CC BY 2.0.

Kula w ciągu kolejnych ośmiu lat była kilkakrotnie wymieniana i unowocześniana. Aktualnie kula ta ma średnicę $3, 7 m$ i waży $5386 kg$ i pokrywa ją $2688$ kryształowych paneli przypominających witraż, a oświetla $32256$ diod LED.

Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót koła lub półkola wokół prostej zawierającej średnicę.

Objętość kuli wyraża się wzorem $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

Pole całkowite kuli można policzyć ze wzoru $P_{c} = 4 π r^{2}$ .

Przykład 11

Świecę w kształcie kuli o promieniu $6 cm$ przetopiono na świecę w kształcie stożka o wysokości $10 cm$ . Obliczymy, jaką długość ma promień podstawy tego stożka.

R7MIM8crqoEea

Ilustracja przedstawia fioletową świecę w kształcie kuli.

R1bbiUdvVAduD

Ilustracja przedstawia pomarańczową świecę w kształcie stożka.

Rozwiązanie:

Obliczamy objętość kuli: $V = \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = 288 π$ .

Obliczamy długość podstawy stożka podstawiając dane do wzoru na objętość: $\frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot 10 = 288 π$ , a stąd $r^{2} = 86, 4$ , co daje nam $r \approx 9, 3 cm$ .

Przykład 12

Półkolista równoważnia jest wykonana z tworzywa o gęstości $74 \frac{kg}{m^{3}}$ i ma średnicę długości $6 dm$ . Wyznaczymy masę tej równoważni. Wynik przybliżymy do $0, 1 kg$ . Przyjmiemy: $π = 3, 14$ .

R1RVwTKWfawrc

Ilustracja przedstawia plac zabaw w parku gdzie do stworzenia paru obiektów użyto kształtu kuli. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Rozwiązanie:

Obliczamy objętość półkuli: $V = \frac{2}{3} π \cdot 3^{3} = 18 π \approx 56, 52 {dm}^{3} \approx 0, 057 m^{3}$ .

A zatem masa równoważni wynosi $m = 0, 057 \cdot 74 \approx 4, 2 kg$ .

Przykład 13

Kasia kupiła styropianową kulę o średnicy $30 cm$ , z której wykona bombkę choinkową metodą decoupage. Obliczymy, ile serwetek o wymiarach $33 cm \times 33 cm$ potrzebuje, jeżeli do powierzchni kuli należy dorzucić jeszcze $10 %$ powierzchni na zakładki i ścinki.

Rozwiązanie:

Obliczamy pole powierzchni kuli: $P_{c} = 4 \cdot π \cdot 225 \approx 2826 {cm}^{2}$ . Razem z zakładkami ścinkami mamy więc $3108, 6 {cm}^{2}$ .

Pole powierzchni jednej serwetki wynosi $33 \cdot 33 = 1089 {cm}^{2}$ .

Stąd otrzymujemy $3108, 6 : 1089 \approx 2, 85$ . A zatem Kasia potrzebuje $3$ takich serwetek.

Przekrojem osiowym kuli jest koło wielkiekoło wielkiekoło wielkie. Każdy inny przekrój kuli ma kształt koła, którego promień jest mniejszy od promienia kuli.

R12bleClWi70Y

Rysunek przedstawia kulę, w której zaznaczono poprzeczne przekroje będące kołami: jeden przy biegunie, jeden mniej więcej na poziomie jednej czwartej średnicy i jeden przecinający kulę na pół. Dodatkowo zaznaczono dwa ukośne przekroje kuli również będące kołami.

Przykład 14

Akwarium w kształcie czaszy wyciętej ze sferysferasfery o średnicy $40 cm$ jest napełnione wodą tak, że promień powierzchni wody wynosi $2 dm$ . Obliczymy, ile wody jest w akwarium. Wynik przybliżymy do $0, 1 l$ . Przyjmiemy $π = 3, 14$ .

RbUgd2QaF1y0e

Zdjęcie przedstawia akwarium z roślinkami i rybką w środku.

Rozwiązanie:

Powierzchnia wody jest przekrojem osiowym kuliprzekrój osiowyprzekrojem osiowym kuli. A zatem musimy obliczyć objętość półkuli o promieniu $2 dm$ . $V_{półkuli} = \frac{2}{3} π \cdot 8 \approx 16, 7 l$ .

Przykład 15

Przecięto $100$ drewnianych polakierowanych klocków w kształcie kuli o średnicy $20 cm$ w odległości $6 cm$ od środka a następnie dokończono lakierowanie powstałych klocków. Czy puszka o pojemności $0, 5 l$ wystarczy na polakierowanie tych klocków, jeżeli wydajność lakieru wynosi $10 \frac{m^{2}}{l}$ .

Rozwiązanie:

R1QcnOa1MXBIF

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu 10, w której wycięto poziomy przekrój w kształcie koła o promieniu r. Rysując promień kuli prostopadły do przekroju, otrzymujemy, że środek przekroju oddalony jest od środka kuli o sześć. Powstaje więc trójkąt prostokątny o przyprostokątnych r oraz 6 i o przeciwprostokątnej długości dziesięć.

Obliczymy promień przekroju z twierdzenia Pitagorasa: $6^{2} + r^{2} = 10^{2}$ , a stąd $r = 8 cm$ .

Musimy więc polakierować $200$ kół o promieniu długości $8 cm$ . A stąd $P = 200 \cdot π \cdot 8^{2} \approx 40192 {cm}^{2} \approx 4, 02 m^{2}$ .

Farbą z puszki o objętości $0, 5 l$ możemy pomalować $5 m^{2}$ farby. A zatem puszka ta wystarczy na dokończenie malowania powstałych klocków.

Przykład 16

Dla zainteresowanych - treść wykracza poza podstawę programową.

RAkmP9rLJfWT8

Polecenie 7

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji 3D, a następnie rozwiąż polecenia 2 i 3.

R1M0CvTSfE9S2

Polecenie 8

Z kuli z przykładu omówionego w animacji, wycięto jeszcze jeden przystający fragment, którego jedną ze ścian było ćwierć koła, które powstało poprzednim razem. Jak zmieniła się objętość w porównaniu do bryły powstałej po pierwszym cięciu, a jak pole powierzchni?

Objętość zmniejszy się o $\frac{9}{2} π$ , czyli o $\frac{1}{7}$ względem pierwszej bryły.

Od pola powierzchni należy odjąć $\frac{1}{8}$ powierzchni kuli i dodać $\frac{1}{4}$ pola koła wielkiego. Ponieważ $\frac{1}{8}$ powierzchni kuli to $\frac{1}{2}$ pola koła wielkiego to ostatecznie pole powierzchni zmniejszy się o $\frac{1}{4} \cdot 9 π = \frac{9}{4} π$ , co stanowi $\frac{1}{17}$ pola powierzchni bryły z zadania z filmu.

Polecenie 9

Z sześciennego kawałka drewna o krawędzi podstawy $12 cm$ wyciosano maksymalnie dużą kulę. Oblicz przybliżoną do $1 {cm}^{3}$ objętość części pozostałych po wycięciu.

$V = 1728 - \frac{4}{3} π 6^{3} = 1728 - 288 π \approx 824 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 1

Re8Is2qRJSgfl1

R1WW8ylhq8ITd

RUuUIPfOXYUcN1

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Wybierz Prawda jeśli zdanie jest prawdziwe lub Fałsz jeśli jest fałszywe.. Jeżeli do garnka o średnicy 20 centymetrów i wysokości 15 centymetrów wlejemy 4 litry wody, to woda przeleje się.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Arkusz A cztery wystarczy na oklejenie powierzchni bocznej pudełka w kształcie walca o promieniu 5 centymetrów i wysokości

20 cm

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Naczynie w kształcie walca o średnicy 12 centymetrów i wysokości 6 centymetrów ma taką samą objętość jak naczynie w kształcie walca o promieniu trzy centymetry i wysokości 24 centymetry.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Klocek w kształcie walca o promieniu 1 centymetr i wysokości 6 centymetrów przecięto wzdłuż równoległych średnic podstaw. Powstały przekrój ma jedną ze ścian przystającą do jednej ze ścian prostopadłościennego klocka o wymiarach jeden centymetr na cztery centymetry na sześć centymetrów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

RgPpoW3kKqjbg2

Ćwiczenie 3

RgLya55VpnwDM2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Dla rury o przekroju koła stosuje się następujące oznaczenia jak na rysunku poniżej.

RZCJFgj7mrqEk

Ilustracja przedstawia metalową rurę z zaznaczonymi trzema wymiarami. Pierwszym wymiarem jest długość rury oznaczana przez L, drugim wymiarem jest średnica podstawy oznaczana przez D. Ostatnim oznaczanym wymiarem jest grubość materiału z jakiego została wykonana rura, czyli szerokość pierścienia znajdującego się w podstawie bryły. Wymiar ten oznaczono przez A.

R1Pxtnw8VZrST

Ćwiczenie 6

Namiot polowy przed szpitalem, w którym odbywa się wstępna weryfikacja pacjentów w związku z pandemią koronawirusa, ma kształt połowy walca. Wysokość walca ma długość $4 m$ , a promień podstawy $2 m$ .

R11yUbYpSxOYJ

Ilustracja przedstawia zielony namiot polowy w kształcie połowy walca o promieniu o długości dwa metry i szerokości o długości cztery metry. W podstawie połowy walca wycięty został otwór wejściowy w kształcie kwadratu.

RHJUcxEswLgx0

Ćwiczenie 7

Naczynie w kształcie walca o średnicy $10 cm$ i wysokości $10 cm$ jest wypełnione w $80 %$ wodą. Ile kostek lodu w kształcie sześcianu o krawędzi $2 cm$ można wrzucić do tego naczynia, aby woda nie przelała się?

Obliczamy jaka jest objętość naczynia, która została niewypełniona. Przyjmiemy $π = 3, 14$ .

Mamy wtedy $20 % \cdot 3, 14 \cdot 25 \cdot 10 = 157 {cm}^{3}$ . Objętość jednej kostki lodu wynosi $V = 2^{3} = 8 {cm}^{3}$ .

Mamy więc $\frac{157}{8} = 19, 625$ .

A zatem do naczynia możemy wrzucić maksymalnie $19$ kostek lodu.

Ćwiczenie 8

W pewnej firmie produkuje się szklane naczynia w kształcie walca. Projektant chce wykonać naczynie, którego suma wysokości i promienia wynosi $15 cm$ . Jakie wymiary powinno mieć to naczynie, aby jego objętość była największa? Ile będzie wynosić ta objętość w przybliżeniu do $1 ml$ ? Przyjmij $π = 3, 14$ .

Oznaczmy przez $r$ promień podstawy tego walca. Wówczas wysokość walca ma długość $15 - r$ . Przy czym $r \in (0, 15)$ .

Wyraźmy objętość naczynia jako funkcję zmiennej $r$ :

$V (r) = π r^{2} (15 - r) = 15 π r^{2} - π r^{3}$ .

Obliczmy pochodną tej funkcji: $V' (r) = 30 π r - 3 π r^{2}$ .

Szukamy ekstremum lokalnego tej funkcji.

$30 π r - 3 π r^{2} = 0$

$10 r - r^{2} = 0$

$r (10 - r) = 0$

Szkicujemy wykres pochodnej:

R1DvgeXuuAFZS

Ilustracja przedstawia poziomą oś r od minus dziesięciu do dwudziestu. Na osi zaznaczono przedział lewostronnie i prawostronnie otwarty od zero do piętnastu prawostronnie. Na osi zaznaczono także parabolę z ramionami skierowanymi w dół. Parabola ta przecina oś r w puntach 0; 0 i 10; 0.

A zatem objętość jest największa dla $r = 10 cm$ i $h = 5 cm$ .

Objętość ta będzie wynosiła $V = π \cdot 10^{2} \cdot 5 \approx 1570 ml$ .

R1EhLd7D00DFm1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

Średnica kredki woskowej wynosi $6 mm$ , a jej pozostałe wymiary, jak na rysunku poniżej.

RAyQHXpKl6T36

Średnica kredki woskowej wynosi $6 mm$ , wysokość całej kredki wynosi $9 cm$ , natomiast wysokość kredki bez zatemperowanego stożka u góry wynosi $8 cm$ .

RK0Y58rg0Ll33

Ćwiczenie 11

R1BuzUy8X5Ydz

Rpn0A7MWgglCg

Ćwiczenie 12

Kieliszek w kształcie stożka na rysunku jest napełniony wodą do $\frac{3}{4}$ wysokości.

R1ELLu4FLoTMA

Kieliszek w kształcie stożka jest napełniony wodą do $\frac{3}{4}$ wysokości, ma on wysokość równą $8 cm$ i promień podstawy równy $4 cm$ . Kieliszek w kształcie walca jest pusty, walec stoi na nóżce o długości $2 cm$ . Średnica podstawy walca wynosi $4 cm$ , natomiast wysokość całego kieliszka w kształcie walca, razem z nóżką wynosi $6 cm$ .

RifhInRxGDSf5

R6xz28A8DjQOb2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Metalowa doniczka w kształcie stożka jest wykonana z metalowego wycinka koła o powierzchni $169 π {cm}^{2}$ i kącie środkowym $90 °$ . Jaką wysokość ma ta doniczka?

R1Pe35bZLgZD5

Ilustracja przedstawia na marmurowym tle metalową doniczkę w kształcie stożka, z której wystają szerokie liście oraz kilka mniejszych gałązek.

Obliczamy długość tworzącej tego stożka. Mamy więc $\frac{90 °}{360 °} \cdot π \cdot l^{2} = 169 π$ , a stąd $l^{2} = \frac{4}{1} \cdot 169 = 676$ . A stąd $l = 26 cm$ . A zatem $r = \frac{1}{4} \cdot 26 = 6, 5 cm$ .

Obliczamy wysokość tej doniczki z twierdzenia Pitagorasa: $6, 5^{2} + h^{2} = 26^{2}$ , a stąd $h \approx 25, 2 cm$ .

Doniczka ma wysokość około $25, 2 cm$ .

Ćwiczenie 15

Pewna manufaktura produkuje klocki. Zestaw klocków zawiera $150$ sztuk, po $50$ każdego rodzaju przedstawionego na rysunku. Wydajność farby wynosi $6 \frac{m^{2}}{l}$ , a do dyspozycji są $2 l$ farby. Ile pełnych zestawów klocków można pomalować tą farbą, jeżeli kładzione są dwie warstwy? Przyjmij $π = 3, 14$ .

R15MsYgR4JkZa

Pewna manufaktura produkuje klocki. Zestaw klocków zawiera $150$ sztuk, po $50$ każdego z trzech rodzajów: stożek o tworzącej $3 cm$ i średnicy podstawy $4 cm$ , walec o wysokości $4 cm$ i średnicy podstawy $2 cm$ , stożek o wysokości $2 cm$ i średnicy podstawy $2 cm$ . Wydajność farby wynosi $6 \frac{m^{2}}{l}$ , a do dyspozycji są $2 l$ farby. Ile pełnych zestawów klocków można pomalować tą farbą, jeżeli kładzione są dwie warstwy? Przyjmij $π = 3, 14$ .

Obliczymy pola powierzchni brył na rysunku:

$P_{s 1} = π \cdot 2^{2} + π \cdot 2 \cdot 3 = 10 π$

$P_{w} = 2 π \cdot 1^{2} + 2 π \cdot 1 \cdot 4 = 10 π$

$P_{s 2} = π \cdot 1^{2} + π \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = π + π \sqrt{5}$ (długość tworzącej drugiego stożka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa)

A zatem łącznie powierzchnia do pomalowania wynosi $P = 50 \cdot (21 + \sqrt{5}) π \approx 3648 {cm}^{2}$ .

Malując dwukrotnie: mamy około $7296 {cm}^{2} = 0, 7296 m^{2}$ .

$2 l$ farby wystarczą na pomalowanie powierzchni $12 m^{2}$ . A zatem $12 : 0, 7296 \approx 16, 4$ , co oznacza, że można pomalować $16$ pełnych zestawów klocków.

Można pomalować $16$ pełnych zestawów klocków.

Ćwiczenie 16

Czapeczka urodzinowa ma wysokość $8 cm$ . Jaki powinien być promień wycinka koła, z którego powstanie czapeczka, jeżeli kąt środkowy wycinka ma miarę $216 °$ ? Czy szablon tej czapeczki można wyciąć z arkusza A4?

Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} = \sqrt{l^{2} - 64}$ .

Z zależności pomiędzy długością promienia, a tworzącą $r = \frac{216 °}{360 °} l = \frac{3}{5} l$ .

Możemy więc utworzyć równanie z jedną niewiadomą: $\frac{3}{5} l = \sqrt{l^{2} - 64}$ .

Podnosząc stronami do potęgi drugiej otrzymujemy: $\frac{9}{25} l^{2} = l^{2} - 64$ , a zatem $\frac{16}{25} l^{2} = 64$ i stąd $l = 10 cm$ .

Tworząca stożka jest promieniem wycinka stanowiącego powierzchnię boczną stożka, a więc promień tego wycinka ma długość $10 cm$ .

Średnica wycinka ma długość $20 cm$ , więc można wyciąć szablon z kartki A4.

Promień wycinka koła $l = 10 cm$ . Można wyciąć szablon z kartki A4.

R1VFcd0EupFk21

Ćwiczenie 17

Ćwiczenie 18

Pewna firma produkuje dwa rodzaje świec, jak na rysunku.

RBAyUaGFGNtrG

Ilustracja przedstawia dwie świece, jedna w kształcie kuli o średnicy 6 centymetrów, a druga w kształcie walca o promieniu długości jednego centymetra i wysokości sześć centymetrów.

Rzgm2MRyq5oqw

R19SRhBw1XCRr2

Ćwiczenie 19

R1WASyzEsXa1W2

Ćwiczenie 20

R1at9Hs6wPTWA2

Ćwiczenie 21

R1AFrHMyIFnFU2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Garnek w kształcie walca o średnicy $32 cm$ i wysokości $40 cm$ napełniony jest w połowie kompotem. Łyżka wazowa ma kształt półkuli o średnicy $9 cm$ . Z garnka objętość $4$ łyżek wazowych przelano do dzbanka. O ile obniżyła się wysokość do, której sięgał kompot?

Obliczamy objętość kompotu w garnku: $V = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 256 \cdot 40 = 5120 π {cm}^{3}$ . Obliczamy objętość kompotu, który został przelany za pomocą łyżki (są to dwie objętości kuli) : $V_{łyżek} = 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot π \cdot 4, 5^{3} = 243 π$ .

A zatem w garnku pozostało $V_{kompotu} = 5120 π - 243 π = 4877 π {cm}^{3}$ kompotu.

A zatem $π \cdot 256 h = 4877 π$ , a stąd kompot sięga teraz do wysokości około $19 cm$ . Oznacza to, że wysokość obniżyła się około $1 cm$ .

Ćwiczenie 24

Styropianową kulę o średnicy $34 cm$ przecięto otrzymując przekrój o średnicy $16 cm$ . Jaki jest stosunek pól mniejszej do większej z otrzymanych brył?

Obliczymy pole powierzchni kuli: $P_{k} = 4 \cdot π \cdot 17^{2} = 1156 π$ .

Obliczamy odległość przekroju od środka z twierdzenia Pitagorasa: $8^{2} + d^{2} = 17^{2}$ . Stąd $d = 15$ . Skorzystajmy ze wzoru na pole powierzchni odcinka kuli. Powierzchnię boczną policzymy ze wzoru $P_{b} = 2 π R h$ , gdzie $h = R - d$ . Czyli $P b = 2 π \cdot 17 \cdot 2 = 68 π$ . Stąd pole całkowite odcinka wynosi $P_{1} = 68 π + π \cdot 8^{2} = 132 π$ . Pole drugiego odcinka będzie wynosić $P_{2} = 1156 π - 68 π + 64 π = 1152 π$ .

Czyli $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{132 π}{1152 π} = \frac{22}{192} = \frac{11}{96}$ .

Słownik

walec

bryła obrotowa powstała przez obrót prostokąta wokół jednego z boków

przekrój osiowy walca

przekrój walca płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca

stożek

bryła obrotowa powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wzdłuż przyprostokątnej lub trójkąta równoramiennego wokół wysokości poprowadzonej na podstawę

tworząca

odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na okręgu podstawy

wysokość stożka

odcinek łączący wierzchołek stożka ze środkiem jego podstawy

przekrój osiowy

część wspólna tej bryły obrotowej z płaszczyzną zawierającą jej oś obrotu

sfera

powierzchnia kuli

koło wielkie

przekrój kuli przechodzący przez środek kuli

5. Kąty w stożku

7*. Przekroje brył obrotowych (DODATEK)