7*. Przekroje brył obrotowych (DODATEK)

R10KlvgwloMhA

W wyniku przekroju bryły otrzymujemy figurę płaską. W tym materiale omówimy, jaką figurą może być przekrój walca, stożka i kuli w zależności od płaszczyzny przekroju. Dzięki informacjom, w jaki sposób przechodzi przez bryłę płaszczyzna, możemy ustalić, jaką figurą jest jej część wspólna z bryłą.

R1C3L72Rb56G3

Zdjęcie przedstawia tort w kształcie walca z wyciętym trójkątnym kawałkiem. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W pierwszej części materiału omówimy pojęcia przekroju osiowego i poprzecznego walca oraz przedstawimy inne przekroje walca. Tam, gdzie to możliwe, obliczymy pola otrzymanych przekrojów.

Twoje cele

Zdefiniujesz pojęcie przekroju walca, stożka i kuli.
Określisz, jaką figurą jest przekrój walca, stożka i kuli daną płaszczyzną.
Obliczysz pole przekroju walca, stożka i kuli daną płaszczyzną.
Zastosujesz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przekrój walca

Przekrój bryły

Definicja: Przekrój bryły

Przekrój bryły jest figurą płaską, będącą częścią wspólną płaszczyzny przekroju oraz danej bryły.

Przekrój osiowy walca

Przekrojem osiowym walcawalecwalca nazywamy przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu walca. Tym przekrojem jest prostokąt o bokach równych średnicy podstawy oraz wysokości walca.

R1GVaTk4MzILe

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt będącym jego przekrojem osiowym. Promień podstawy walca ma długość r, a wysokość walca ma długość h. Wymiary ścian bocznych prostokąta to dwa r oraz h.

Przekrój poprzeczny walca

Przekrojem poprzecznym walca nazywamy przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu walca. Tym przekrojem jest koło o promieniu równym promieniowi podstawy walca.

R18BOmqCIZIdO

Ilustracja przedstawia walec o promieniu podstawy r oraz jego przekrój poprzeczny o promieniu r. Przekrój ten jest prostopadły do osi obrotu walca.

Poza przekrojem osiowym i poprzecznym walca występują również inne przekroje. Kształt tych przekrojów zależy od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy.

Przekrój walca płaszczyzną równoległą do osi obrotu

R4KpwZPhJ0BZu

Ilustracja przedstawia walec wraz z jego przekrojem równoległym do jego osi obrotu. Przekrój ten znajduje się wewnątrz bryły i jest prostokątem.

Przekrój walca będący elipsą

RjGPzKytVixg2

Ilustracja przedstawia walec wraz z jego przekrojem będącym elipsą. Przekrój ten nie jest równoległy do żadnej ściany walca, jest on ustawiony pod kątem ostrym względem dolnej podstawy bryły.

Ciekawostka

Pole elipsyelipsaelipsy przedstawionej na rysunku wyraża się wzorem

P = π \cdot a \cdot b

gdzie:
długość $2 a$ nazywamy wielką osią, a długość $2 b$ małą osią elipsy.

RaBxbhH8McWKD

Ilustracja przedstawia elipsę z zaznaczonymi dwoma pół osiami, poziomą dłuższą a oraz pionową krótszą b. Oba odcinki zaczynają się w środku elipsy.

Już wiesz

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, a $h$ jego wysokością, to:

P_{c} = 2 π r^{2} + 2 π r h

V = π r^{2} h

Przykład 1

Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy walca pod kątem $60 °$ . Obliczymy pole tego przekroju, jeżeli objętość walca wynosi $54 \sqrt{3} π$ .

Rozwiązanie

Narysujmy walec i jego przekrój osiowy wraz z odpowiednim kątem, jak na rysunku.

R17uR31QRUjjZ

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na d, gdzie h jest wysokością walca, natomiast d jest średnicą jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem 60 stopni do średnicy d.

Ponieważ kąt nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca ma miarę $60 °$ , zatem $h = d \sqrt{3}$ .

Do wyznaczenia wartości $d$ wykorzystamy wzór na objętość walca $V = π r^{2} \cdot h$ .

Wobec tego

$V = π \cdot {(\frac{1}{2} d)}^{2} \cdot d \sqrt{3}$

$54 \sqrt{3} π = π \cdot \frac{1}{4} d^{3} \sqrt{3}$

$54 = \frac{1}{4} d^{3}$

$d^{3} = 216$ , czyli $d = 6$ .

Przekrój osiowy walca z rysunku jest prostokątem o bokach odpowiednio $d = 6$ oraz $d \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}$ . Zatem pole tego prostokąta wynosi:

$P = 6 \cdot 6 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3}$ .

Przykład 2

Przekrój poprzeczny walca jest kołem o polu $8 π$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego walca, jeżeli wysokość walca jest $2$ razy dłuższa niż promień podstawy walca.

Rozwiązanie

Narysujmy walec, jego przekrój poprzeczny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RrItXo4pRFK9n

Pole przekroju poprzecznego walca jest równe polu podstawy walca. Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$8 π = π \cdot r^{2}$ , czyli $r = 2 \sqrt{2}$ .

Jeżeli $h$ jest długością wysokości walca, to $h = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ .

Wobec tego pole powierzchni całkowitej walca wynosi:

$P_{c} = 2 π \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} + 2 \cdot π \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 16 π + 32 π = 48 π$ .

Przykład 3

Przekrój walca płaszczyzną równoległą do osi symetrii jest kwadratem o przekątnej długości $6$ , oddalonym od osi symetrii walca o $4$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego walca.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że przekrój jest równoległy do osi obrotu walca.

Wobec tego narysujmy walec, jego przekrój płaszczyzną równoległą do osi obrotu oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1SauDLUqsGt0

Ilustracja przedstawia walec o promieniu r wraz z jego przekrojem równoległym do jego osi obrotu. Przekrój ten znajduje się wewnątrz bryły i jest prostokątem. Wysokość walca i zarazem dłuższa ściana boczna prostokąta ma długość a. Przekątna prostokąta ma długość d. Ze środka górnej podstawy poprowadzony został promień r łączący wierzchołek prostokąta ze środkiem górnej podstawy.

Do obliczenia pola powierzchni całkowitej walca musimy wyznaczyć długość promienia podstawy oraz wysokości walca.

Jeżeli przekrojem z rysunku jest kwadrat o przekątnej $d = 6$ , to

$a \sqrt{2} = 6$ , czyli $a = 3 \sqrt{2}$ .

Wobec tego wysokość walca jest równa $3 \sqrt{2}$ .

Zauważmy, że odcinek, który jest odległością przekroju od osi symetrii walca, połowa długości boku kwadratu oraz promień podstawy walca tworzą trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

RKwuBXcvmHqTW

Zatem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, rozwiązujemy równanie:

$r^{2} = 4^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2}$

$r^{2} = 16 + \frac{9}{2} = \frac{41}{2}$ , czyli $r = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}$ .

Wysokość walca jest równa długości boku kwadratu, będącego przekrojem tego walca.

Zatem pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe:

$P_{c} = 2 π \cdot {(\frac{\sqrt{82}}{2})}^{2} + 2 π \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} \cdot 3 \sqrt{2} = 41 π + 6 \sqrt{41} π$ .

Przykład 4

Średnica podstawy, wysokość oraz przekątna przekroju osiowego walca są kolejnymi liczbami parzystymi. Wyznaczymy pole powierzchni tego przekroju.

Rozwiązanie

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R6U6OSO52cs4k

Ponieważ średnica podstawy, wysokość oraz przekątna przekroju osiowego walca są kolejnymi liczbami parzystymi, zatem:

$h = 2 r + 2$ ,

$d = 2 r + 4$ .

Wielkości te tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(2 r)}^{2} + {(2 r + 2)}^{2} = {(2 r + 4)}^{2}$

$4 r^{2} + 4 r^{2} + 8 r + 4 = 4 r^{2} + 16 r + 16$

$r^{2} - 2 r - 3 = 0$

$r_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 < 0$

$r_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 > 0$ .

Zatem

$r = 3$

$h = 2 \cdot 3 + 2 = 8$

Zauważmy, że średnica podstawy, wysokość oraz przekątna przekroju osiowego walca są kolejnymi liczbami parzystymi, co spełnia warunki zadania.

Przekrojem walca jest prostokąt o bokach $6$ i $8$ , zatem jego pole jest równe:

$P = 6 \cdot 8 = 48$ .

Przykład 5

Na podstawach walca poprowadzono dwie równoległe średnice. Przez przeciwległe końce tych średnic poprowadzono płaszczyznę styczną do okręgów, będących brzegami podstaw, jak na rysunku. Powstały w ten sposób przekrój walca jest elipsą, której pole jest $4$ razy większe od pola podstawy walca. Obliczymy objętość walca, jeżeli wiadomo, że wielka oś elipsy jest równa $10$ .

RdckL2Wggk7HC

Ilustracja przedstawia walec o promieniu r i wysokości h wraz z jego przekrojem będącym elipsą. Przekrój ten nie jest równoległy do żadnej ściany walca, jest on ustawiony pod kątem ostrym względem dolnej podstawy bryły. Na elipsie została zaznaczona jego wielka oś o długości dwa a oraz jego małą oś o długości dwa b.

Rozwiązanie

Zauważmy, że mała półoś elipsy jest równa długości promienia podstawy walca, zatem $r = b$ .

Jeżeli $2 a = 10$ , to $a = 5$ .

Ponieważ pole elipsy obliczamy ze wzoru $P = π \cdot a \cdot b$ oraz to pole jest $4$ razy większe od pola podstawy walca, zatem:

$π \cdot a \cdot r = 4 \cdot π \cdot r^{2}$

$5 = 4 \cdot r$ , czyli $r = \frac{5}{4}$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość wysokości $h$ :

$h^{2} + {(2 r)}^{2} = {(2 a)}^{2}$

$h^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} = 10^{2}$

$h^{2} + \frac{25}{4} = 100$

$h = \frac{\sqrt{375}}{2} = \frac{5 \sqrt{15}}{2}$

Zatem:

$V = π \cdot {(\frac{5}{4})}^{2} \cdot \frac{5 \sqrt{15}}{2} = π \cdot \frac{25}{16} \cdot \frac{5 \sqrt{15}}{2} = \frac{125 \sqrt{15}}{32} π$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie wykonaj polecenie $2$ .

R1A2ykaZ2KXtW

Polecenie 2

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt, którego średnica podstawy, wysokość oraz przekątna są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $6$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego walca.

Narysujmy przekrój osiowy walca i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RYPTw9VdTCSeH

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na x, gdzie h jest wysokością walca, natomiast x jest średnicą jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju o długości d.

Ponieważ wielkości $x$ , $h$ oraz $d$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $6$ , zatem:

$h = x + 6$ ,

$d = x + 12$ .

Do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + {(x + 6)}^{2} = {(x + 12)}^{2}$

$x^{2} + x^{2} + 12 x + 36 = x^{2} + 24 x + 144$

$x^{2} - 12 x - 108 = 0$

$x_{1} = \frac{12 - 24}{2} = - 6 < 0$

$x_{2} = \frac{12 + 24}{2} = 18 > 0$ .

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca, to $r = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ , a wysokość $h$ walca ma długość $h = 18 + 6 = 24$ .

Objętość walca wynosi:

$V = π \cdot 9^{2} \cdot 24 = 1944 π$ .

Pole powierzchni całkowitej walca wynosi:

$P_{c} = 2 \cdot π \cdot 9^{2} + 2 \cdot π \cdot 9 \cdot 24 = 162 π + 432 π = 594 π$ .

Przekrój stożka

Zgodnie z $I$ prawem Keplera planety krążą po torach eliptycznych, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk. W przyrodzie możemy zaobserwować ciekawe elementy, które przyjmują kształt stożka. W zależności od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i kąta tworzącej stożka powstają różne rodzaje krzywych stożkowych. Tworzą je zbiory punktów przecięcia płaszczyzny i powierzchni stożkowej.

R1I6PQouQ8y6k

Ilustracja przedstawia drogę prowadzącą do toskańskiej willi. Na poboczu drogi po obu stronach rosną wysokie drzewa. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Poniżej przeanalizujemy, jaką figurą geometryczną jest przekrój stożka daną płaszczyzną.

Przekrojem dowolnej bryły płaszczyzną jest figura płaska, która jest częścią wspólną danej bryły i tej płaszczyzny.

Przekrój osiowy stożkastożekstożka

R1djc6MtY0oP1

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka jako l oraz promień podstawy stożka jako r.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o podstawie długości $2 r$ i ramionach długości $l$ .

Przekrój poprzeczny stożka

R2MKC7cL6KtGV

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprzeczny będącym kołem. Przekrój ten jest równoległy do podstawy stożka.

Przekrój poprzeczny stożka będący kołem, otrzymujemy w wyniku przecięcia stożka płaszczyzną równoległą do jego podstawy.

Przekrój stożka będący trójkątem

RKWOV0MCVYFo0

Ilustracja przedstawia stożek. Wysokość stożka została oznaczona jako h, natomiast jego tworząca jako l. Poprowadzono także przekrój bryły, który jest trójkątem równoramiennym. Podstawą trójkąta jest cięciwa poprowadzona przez podstawę stożka, natomiast górny wierzchołek figury pokrywa się z wierzchołkiem stożka. Ramionami trójkąta są jednocześnie tworzące stożka.

Inne przekroje stożka

R1IKAPD5ui9zi

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprowadzony pod kątem ostrym. Przechodzi on przez jedną ze ścian bocznych oraz przez podstawę bryły. Przekrój jest ograniczony parabolą oraz cięciwą dolnej podstawy stożka.

W wyniku przekroju stożka płaszczyzną przechodzącą przez powierzchnię boczną stożka oraz płaszczyznę jego podstawy (jak na rysunku), otrzymujemy przekrój będący figurą ograniczoną przez parabolę i cięciwę podstawy stożka.

RuYRCuj8EVV7y

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój, który przechodzi przez ściany boczne stożka. Przekrój jest ograniczony przez elipsę.

W wyniku przekroju stożka płaszczyzną przechodzącą przez powierzchnię boczną stożka (jak na rysunku), otrzymujemy przekrój będący figurą ograniczoną przez elipsę.

Mając dany przekrój stożkastożekstożka pewną płaszczyzną, możemy obliczyć pole otrzymanego przekroju.

Już wiesz

Jeżeli promień podstawy stożka ma długość $r$ , wysokość $h$ , a tworząca $l$ , to:

pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy ze wzoru $P = π r^{2} + π r l$ ,

objętość stożka obliczamy ze wzoru $V = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot h$ .

Przykład 6

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o obwodzie równym $72$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek wraz z przekrojem osiowym i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R7o2oaGCvRnD8

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka l, wysokość h oraz promień podstawy stożka r.

Zauważmy, że $l = 2 r$ oraz $h = \frac{l \sqrt{3}}{2}$ .

Jeżeli obwód trójkąta równobocznego jest równy $72$ , zatem $3 l = 72$ , więc $l = 24$ .

Wobec tego $r = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ oraz $h = \frac{l \sqrt{3}}{2} = \frac{24 \sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3}$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot 12^{2} + π \cdot 12 \cdot 24 = 144 π + 288 π = 432 π$ .

Objętość stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} π \cdot 12^{2} \cdot 12 \sqrt{3} = 576 \sqrt{3} π$ .

Przykład 7

Tworząca stożka ma długość $16$ , a przekrojem poprzecznym stożka jest koło o polu równym $20 π$ . Wiadomo, że płaszczyzna przekroju podzieliła wysokość stożka w stosunku $2 : 1$ , jak na rysunku. Obliczymy objętości brył, na jakie płaszczyzna przekroju podzieliła ten stożek.

R9wiYZVv6xuRZ

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy R oraz jego przekrój poprzeczny będącym kołem o promieniu r. Przekrój ten jest równoległy do podstawy stożka i jest od niego oddalony o dwa h. Sumaryczna wysokość stożka ma długość trzy h, natomiast tworząca stożka ma długość l.

Rozwiązanie

Z treści zadania mamy $l = 16$ .

Ponieważ pole przekroju jest równe $20 π$ , zatem:

$π \cdot r^{2} = 20 π$

$r^{2} = 20$ , czyli $r = 2 \sqrt{5}$ .

Jeżeli płaszczyzna przekroju podzieliła wysokość stożka w stosunku $2 : 1$ , to:

$R = 3 \cdot r = 3 \cdot 2 \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$ .

Długość wysokości mniejszego stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

${(3 h)}^{2} + R^{2} = l^{2}$

$9 h^{2} + {(6 \sqrt{5})}^{2} = 16^{2}$

$9 h^{2} + 180 = 256$

$9 h^{2} = 76$

$h^{2} = \frac{76}{9}$ , czyli $h = \frac{2 \sqrt{19}}{3}$ .

Zatem objętość całego stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot R^{2} \cdot 3 h = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(6 \sqrt{5})}^{2} \cdot 2 \sqrt{19} = 120 \sqrt{19} π$ .

Niech $V_{1}$ będzie objętością stożka o podstawie $r$ i wysokości $h$ . Wówczas:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{5})}^{2} \cdot \frac{2 \sqrt{19}}{3} = \frac{40 \sqrt{19}}{9} π$ .

Niech $V_{2}$ będzie objętością drugiej bryły powstałej po przecięciu stożka podaną płaszczyzną. Wówczas:

$V_{2} = V - V_{1} = 120 \sqrt{19} π - \frac{40 \sqrt{19}}{9} π = \frac{1040 \sqrt{19}}{9} π$ .

Przykład 8

Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu $12$ . Obliczymy pole przekroju osiowego tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy wycinek koła o promieniu $12$ .

R9mqcqPEZfrRg

Ilustracja przedstawia wycinek koła o promieniu dwanaście. Kąt zawarty pomiędzy dwoma promieniami wynosi dziewięćdziesiąt stopni.

Pole tego wycinka jest równe:

$P = \frac{1}{2} π \cdot 12^{2} = 72 π$ .

Pole tego wycinka jest równe polu powierzchni bocznej stożka, zatem:

$72 π = π \cdot r \cdot 12$ , czyli $r = 6$ .

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o wymiarach, jak na rysunku.

R16BaRkv1wGGT

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny. Połowa podstawy trójkąta ma długość sześć, natomiast długość jego ramienia wynosi dwanaście. Z górnego wierzchołka figury upuszczono wysokość h padającą na środek podstawy.

Wysokość tego trójkąta obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + 6^{2} = 12^{2}$

$h^{2} + 36 = 144$

$h^{2} = 108$

$h = 6 \sqrt{3}$ .

Zatem pole tego przekroju jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 \sqrt{3} = 36 \sqrt{3}$ .

Przykład 9

Przez wierzchołek stożka o promieniu podstawy $16$ i wysokości $8$ poprowadzono płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny podstawy stożka pod kątem $30 °$ . Obliczymy pole przekroju tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek oraz opisany przekrój.

R1Cez6nEUqZ0Q

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono wysokość stożka o długości osiem. W trójkącie równoramiennym na środek cięciwy podstawy stożka upuszczono wysokość oznaczoną jako h. Punkt upuszczenia wysokości połączono ze środkiem podstawy stożka. Odcinek ten ma długość x. Koniec cięciwy został połączony ze środkiem podstawy stożka tworząc odcinek o długości szesnaście, a sama cięciwa ma długość dwa y. Na płaszczyźnie podstawy stożka powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x i y oraz przeciwprostokątnej równej szesnaście.

Ponieważ $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , zatem:

$\frac{8}{h} = \frac{1}{2}$

Czyli $h = 16$ .

Wobec tego $x = 8 \sqrt{3}$ .

Długość odcinka $y$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$y^{2} + x^{2} = r^{2}$

$y^{2} + {(8 \sqrt{3})}^{2} = 16^{2}$

$y^{2} + 192 = 256$

$y^{2} = 64$

$y = 8$ .

Długość podstawy trójkąta, który jest przekrojem tego stożka, wynosi $16$ .

Zatem pole tego przekroju jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 = 128$ .

Przykład 10

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku, którego cosinus jest równy $\frac{1}{3}$ . Wyznaczymy objętość stożka jeżeli wiadomo, że tworząca stożka ma długość $3$ .

Rozwiązanie

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o bokach $l$ , $l$ , $2 r$ oraz kącie przy wierzchołku $α$ , przy czym $\cos α = \frac{1}{3}$ .

R1Q5KUjJRwKTD

Zatem do wyznaczenia wartości $r$ wykorzystamy twierdzenie cosinusów i rozwiązujemy równanie:

${(2 r)}^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$4 r^{2} = 3^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}$

$4 r^{2} = 12$

$r^{2} = 3$ , czyli $r = \sqrt{3}$ .

Wysokość $h$ trójkąta równoramiennego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Zatem:

$h^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 3^{2}$

$h^{2} + 3 = 9$

$h^{2} = 6$

$h = \sqrt{6}$ .

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{3})}^{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot 3 \sqrt{6} π = \sqrt{6} π$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1PgrN2iCCuEf

Polecenie 4

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu równym $12 \sqrt{3}$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1HNFbxY7pLT1

Ponieważ przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu $12 \sqrt{3}$ , zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$12 \sqrt{3} = \frac{{(2 r)}^{2} \sqrt{3}}{4}$

$12 \sqrt{3} = r^{2} \sqrt{3}$

$r^{2} = 12$ , czyli $r = 2 \sqrt{3}$ .

Zatem długość tworzącej stożka wynosi $l = 2 \cdot r = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ .

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

$P_{c} = π \cdot {(2 \sqrt{3})}^{2} + π \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} = 12 π + 24 π = 36 π$ .

Przekrój kuli

Zdarzyło ci się na pewno niejednokrotnie przecinać pomarańczę lub grapefruita, żeby się z kimś podzielić. Nie zawsze udawało się zrobić to w sposób dokładny, ale jeśli udało się to zrobić jednym cięciem, to w przekroju owocu zobaczyłeś koło.

RroosXkf0bDJU

Ilustracja przedstawia dwie połówki grejpfruta. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Czy przecinając kulisty owoc jednym cięciem, wzdłuż jednej płaszczyzny możemy otrzymać inny przekrój?

Przekrojem bryłyprzekrój bryłyPrzekrojem bryły nazywamy figurę, która jest częścią wspólną bryły i płaszczyzny, która ją przecina.

Przekrojem osiowym bryły obrotowej nazywamy przekrój, który przechodzi przez oś obrotu.

Przekrojem osiowym kuli jest koło wielkie – koło, którego promień jest równy promieniowi kuli. Przekroje zaznaczone w kuli poniżej są przekrojami osiowymi kuli.

RqgpXVDpXFule

Ilustracja przedstawia kule oraz jej dwa przekroje osiowe. Pierwszy przekrój jest prostopadły do przekroju drugiego. Oba przekroje dzielą kule na cztery równe części.

Przykład 11

Obliczymy pole przekroju zawierającego środek kuli o polu powierzchni $36 π$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ jest to przekrój zawierający środek kuli, to jest to koło wielkie. Zauważmy, że pole całkowite kuli wyraża się wzorem $P_{c} = 4 π R^{2}$ , a pole koła wielkiego $P = π R^{2}$ . To oznacza, że pole koła wielkiego jest czterokrotnie mniejsze od pola całkowitego kuli. A zatem $P = \frac{1}{4} \cdot 36 π = 9 π$ .

Wniosek

Pole przekroju osiowego kuli jest czterokrotnie mniejsze od pola powierzchni kuli.

Przykład 12

Pole przekroju osiowegoprzekrój osiowyprzekroju osiowego kuli wynosi $32 π$ . Obliczymy objętość tej kuli.

Rozwiązanie:

Obliczmy promień kuli. Korzystając z pola przekroju osiowego mamy $π R^{2} = 32 π$ , a stąd $R = 4 \sqrt{2}$ .

Obliczamy objętość kuli: $V = \frac{4}{3} π \cdot {(4 \sqrt{2})}^{3} = \frac{512}{3} \sqrt{2} π$ .

Jeżeli przetniemy kulę o promieniu $R$ płaszczyzną znajdującą się w pewnej odległości (różnej od $0$ ) od środka, to otrzymany przekrój również jest kołem. Koło to jest mniejsze od koła wielkiego kuli, a jego odległość od środka $d$ spełnia nierówność $0 < d < R$ .

RMlH73RIbF0vD

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu R oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka przekroju została oznaczona literką d. Wewnątrz kuli powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych d i r oraz przeciwprostokątnej R.

Trójkąt, którego bokami są: $R$ – promień kuli, $r$ – promień przekroju, $d$ – odległość przekroju od środka jest trójkątem prostokątnym tzn.

r^{2} + d^{2} = R^{2}

Przykład 13

Obliczymy pole przekroju osiowego kuli o promieniu $8 cm$ , którego odległość od środka wynosi $4 cm$ .

Rozwiązanie:

R18G0ExkHlopj

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu 8 oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka koła wynosi cztery. Wewnątrz kuli powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych cztery i r oraz przeciwprostokątnej równej osiem.

Obliczamy promień przekroju z twierdzenia Pitagorasa: $4^{2} + r^{2} = 8^{2}$ . A zatem $r^{2} = 48$ . Stąd $r = 4 \sqrt{3} cm$ . A zatem pole przekroju wynosi $P = π \cdot {(4 \sqrt{3})}^{2} = 48 π {cm}^{2}$ .

Przykład 14

Kulę o promieniu $10$ przecięto dwiema płaszczyznami równoległymi, tak, że jeden z przekrojów ma promień dwukrotnie dłuższy od drugiego. Obliczymy odległość między tymi przekrojami, jeżeli jeden z nich znajduje się w odległości $6$ od środka.

Rozwiązanie:

Obliczamy długość promienia pierwszego z przekrojów z twierdzenia Pitagorasa:

RFz0ZbTW0EoyJ

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu 10 oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka koła wynosi sześć. Wewnątrz kuli powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych sześć i r oraz przeciwprostokątnej równej dziesięć.

$6^{2} + r^{2} = 10^{2}$ . A zatem $r = 8$ .

Ponieważ długość promienia przekroju wynosi $8$ , to drugi przekrój musi być mniejszy. Mamy więc $r_{2} = 4$ . Obliczamy odległość tego przekroju od środkaodległość przekroju od środkaodległość tego przekroju od środka z twierdzenia Pitagorasa: $d^{2} + 4^{2} = 10^{2}$ . Czyli $d = 2 \sqrt{21}$ .

Mamy dwie możliwości położenia tego przekroju:

RPlr9RToRA575

Ilustracja przedstawia okrąg oraz jego trzy cięciwy, dwie z nich są tej samej długości, w takiej samej odległości od środka okręgu. Wszystkie trzy cięciwy są do siebie równoległe, dwie z nich znajdują się w górnej części okręgu. Na ilustracji zaznaczona została także odległość obu krótszych cięciw od dłuższej cięciwy. W przypadku cięciwy znajdującej się w górnej części okręgu odległość ta wynosi 221-6. W przypadku cięciwy znajdującej się w dolnej części okręgu odległość ta wynosi 221+6.

A zatem odległość pomiędzy tymi przekrojami wynosi $2 \sqrt{21} - 6$ lub $2 \sqrt{21} + 6$ .

Dla zainteresowanych

Przekrój kuli dzieli ją na dwie części, które nazywamy odcinkami kuli.

R1Syrdz1EAzRI

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu R oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Na ilustracji zaznaczono także oś symetrii przechodzącą przez środek kuli w punkcie S oraz prostopadle przez środek przekroju. Odcinek łączący środek przekroju i ścianę kuli, zawierający się w zaznaczonej osi symetrii został oznaczony jako h.

Objętość odcinka kuli policzymy ze wzoru:

V = \frac{π h^{2}}{3} (3 R - h)

Pole powierzchni odcinka kuli policzymy ze wzoru

P_{c} = 2 π R h + π r^{2}

Przykład 15

Oblicz objętość i pole powierzchni mniejszego odcinka kuli powstałego przez przekrój kuli o promieniu $15 cm$ oddalonym o $12 cm$ od środka.

Rozwiązanie:

R1Qxx0fYApx4U

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu piętnaście oraz jej przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu r. Odległość środka kuli od środka koła wynosi dwanaście. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych wynoszących dwanaście i r oraz przeciwprostokątnej o długości piętnaście. Na ilustracji zaznaczony został także odcinek prostopadły do płaszczyzny przekroju, łączący środek przekroju i ścianę kuli oznaczony jako h.

Mamy, że $h = 15 - 12 = 3 cm$ . Obliczamy promień przekroju z twierdzenia Pitagorasa: $r^{2} + 12^{2} = 15^{2}$ . A stąd $r =9 cm$ .

Mamy więc $V = \frac{π \cdot 3^{2}}{3} (45 - 3) = 126 π {cm}^{3}$ oraz $P_{c} = 2 π \cdot 15 \cdot 3 + π \cdot 9^{2} = 171 π {cm}^{2}$ .

Polecenie 5

Ustaw taki przekrój, w którym $r = 6$ . Ile wynosi wówczas odległość pomiędzy środkami? Sprawdź swoje obliczenia w symulacji interaktywnej.

Zapoznaj się z przykładami w symulacji interaktywnej.

R15u9WeNu72qY

Aplet przedstawia kulę o środku w punkcie S oraz promieniu wielkie R o długości dziesięć. Wewnątrz bryły zaznaczony został jej interaktywny przekrój wewnętrzny będących kołem o promieniu małe r. Odcinek łączący środek przekroju oraz środek kuli został oznaczony jako d. Poniżej interaktywnej ilustracji znajdują się trzy suwaki, czyli poziome odcinki, na których ponadto znajdują się punkty. Punktem można manewrować po całej długości odcinka, zmieniając tym samym wartość parametru przypisanego do odpowiedniego suwaka. Pierwszy suwak dotyczy odległości środka przekroju od środka kuli. Drugi suwak steruje nachyleniem przekroju, jego zakres umożliwia swobodne ustawienie przekroju od poziomu do pionu. Trzeci suwak dotyczy obrotu przekroju, jego zakres wynosi trzysta sześćdziesiąt stopni. Poniżej suwaków znajduję się informacja jak zmienia się promień przekroju w zależności od odległości środka kuli od przekroju. Przykład pierwszy. Gdy d równa się sześć, małe r równa się osiem. Obliczenia: małe r równa się pierwiastek kwadratowy z wielkie R podniesione do kwadratu minus d podniesione do kwadratu równa się pierwiastek kwadratowy z 10 do kwadratu minus sześć do kwadratu równa się pierwiastek kwadratowy z 64 równa się 8. Przykład drugi. Gdy d równa się dziewięć, r równa się cztery przecinek trzydzieści sześć. Obliczenia: małe r równa się pierwiastek kwadratowy z wielkie R podniesione do kwadratu minus d podniesione do kwadratu równa się pierwiastek kwadratowy z 10 do kwadratu minus 9 do kwadratu równa się pierwiastek kwadratowy z 19 równa się w przybliżeniu cztery i 36 setnych. Przykład trzeci. Gdy d równa się dwa, r równa się dziewięć przecinek osiem. Obliczenia: małe r równa się pierwiastek kwadratowy z wielkie R podniesione do kwadratu minus d podniesione do kwadratu równa się pierwiastek kwadratowy z 10 do kwadratu minus dwa do kwadratu równa się pierwiastek kwadratowy z 96 równa się w przybliżeniu dziewięć i osiem dziesiątych.

Polecenie 6

Ile będzie wynosić odległość między środkami równoległych przekrojów tej kuli o promieniach $6$ i $8$ ?

Na podstawie symulacji można stwierdzić, że odległości przekrojów od środka wynoszą $6$ i $8$ , stąd odległości między przekrojami to $8 + 6$ i $8 - 6$ .

Odległości przekrojów od środka wynoszą $6$ i $8$ , stąd odległości między przekrojami to $8 + 6$ i $8 - 6$ .

$2$ lub $14$ .

Ćwiczenie 1

RKKAOz9Wvn9xW

Ćwiczenie 2

RcLWVlYkX3K5q

Ćwiczenie 3

RElzn0Jbpd8Pt

R1CLOV1XZcfZy

Ćwiczenie 4

R1WUmPHRLoT19

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono walec, którego pole powierzchni bocznej jest równe $216 π$ a wysokość jest równa $9$ .

RMltb3KKhT7wL

RUvZS7kk8xsFb

Ćwiczenie 6

Oblicz pole przekroju osiowego walca, jeżeli wiadomo, że pole walca jest równe $20 π$ , objętość jest równa $12 π$ , a długości promienia podstawy oraz wysokości są liczbami naturalnymi.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RlLBqu7pFU6hE

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca a $h$ jego wysokością, to, korzystając ze wzorów na pole powierzchni i objętość walca, rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} π r^{2} h = 12 π \\ 2 π r^{2} + 2 π r h = 20 π \end{cases}$

$\{\begin{cases} r^{2} h = 12 \\ r^{2} + r h = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} h = \frac{12}{r^{2}} \\ r^{2} + r \cdot \frac{12}{r^{2}} = 10 \end{cases}$

$r^{3} - 10 r + 12 = 0$

$(r - 2) \cdot (r^{2} + 2 r - 6) = 0$

$r - 2 = 0$ , zatem $r = 2$ .

$r^{2} + 2 r - 6 = 0$ , zatem $r = - 1 - \sqrt{7}$ oraz $r = - 1 + \sqrt{7}$ .

Ponieważ długość promienia jest liczbą naturalną, zatem $r = 2$ .

Wobec tego $h = \frac{12}{2^{2}} = 3$ .

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o bokach $4$ i $3$ , więc jego pole jest równe:

$P = 4 \cdot 3 = 12$ .

Ćwiczenie 7

Przekrojem poprzecznym walca jest koło o polu $27 π$ . Oblicz objętość tego walca, jeżeli jego pole powierzchni całkowitej wynosi $54 π + 48 \sqrt{3} π$ .

Narysujmy przekrój poprzeczny walca i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RqC7W3tWXDN56

Jeżeli przekrojem poprzecznym walca jest koło o polu $27 π$ , to do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$π r^{2} = 27 π$

$r^{2} = 27$ , czyli $r = 3 \sqrt{3}$ .

Ponieważ pole powierzchni walca jest równe $54 π + 48 \sqrt{3} π$ , zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$54 π + 48 \sqrt{3} π = 2 π \cdot {(3 \sqrt{3})}^{2} + 2 π \cdot 3 \sqrt{3} \cdot h$

$27 + 24 \sqrt{3} = 27 + 3 \sqrt{3} \cdot h$ , więc $h = 8$ .

Objętość walca wynosi:

$V = π \cdot {(3 \sqrt{3})}^{2} \cdot 8 = 216 π$ .

Ćwiczenie 8

Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ , którego tangens jest równy $3$ . Oblicz objętość tego walca, jeżeli przekątna przekroju osiowego ma długość $20$ .

Narysujmy walec i przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Rp3UtYm2QCTnM

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na dwa r, gdzie h jest wysokością walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem alfa do średnicy dolnej podstawy walca.

Ponieważ $tg α = 3$ , zatem $h = 3 \cdot 2 r = 6 r$ .

Wobec tego do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(2 r)}^{2} + {(6 r)}^{2} = 20^{2}$

$4 r^{2} + 36 r^{2} = 400$

$40 r^{2} = 400$ , czyli $r^{2} = 10$ .

Zatem $r = \sqrt{10}$ oraz $h = 6 \cdot \sqrt{10} = 6 \sqrt{10}$ .

Pole przekroju osiowego walca jest równe:

$P = 2 \sqrt{10} \cdot 6 \sqrt{10} = 12 \cdot 10 = 120$ .

Ćwiczenie 9

Rn3uh7rfsRcQN

Ćwiczenie 10

Dany jest stożek, jak na rysunku.

RANaZh3121UbP

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono tworzącą stożka o długości dwanaście, promień podstawy stożka długości dziesięć oraz wysokość stożka oznaczoną jako h.

RW97mQoqPcXYZ

Ćwiczenie 11

R10QQe48cZ4Rz

ROGjkZFgaMIwi

Ćwiczenie 12

R84eyVugi4E6i

Ćwiczenie 13

R3f4mVAK27EEa

Ćwiczenie 14

Stożek, w którym wysokość wynosi $2$ przecięto płaszczyzną w ten sposób, że utworzony przekrój jest trójkątem równobocznym o polu $4 \sqrt{3}$ . Oblicz kąt nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy stożka.

Narysujmy stożek oraz opisany przekrój, a następnie wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RaGmuKuxjOTvD

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój poprzeczny będącym trójkątem równoramiennym. Na ilustracji zaznaczono wysokość stożka o długości dwa. W trójkącie równoramiennym na środek cięciwy podstawy stożka upuszczono wysokość oznaczoną jako a. Ramiona trójkąta równoramiennego również mają długość a. Zaznaczono kąt alfa pomiędzy wysokością przekroju stożka a odcinkiem łączący środek podstawy stożka ze środkiem cięciwy.

Załóżmy, że odcinek będący wysokością tego przekroju jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ .

Ponieważ przekrój stożka jest trójkątem równobocznym o polu $4 \sqrt{3}$ , to długość jego boku $a$ wyznaczamy z równania:

$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$

$a^{2} = 16$ , czyli $a = 4$ .

Wobec tego wysokość trójkąta równobocznego wynosi $h = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$ .

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na rysunku.

RXGC7dMZmIW20

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przyprostokątna ma długość dwa pierwiastki z trzech, natomiast jedna z dłuższych przyprostokątnych ma długość dwa. Zaznaczono również kąt alfa pomiędzy przeciwprostokątna a krótszą przyprostokątną.

Obliczamy wartość funkcji trygonometrycznej sinus dla kąta $α$ :

$\sin α = \frac{2}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli $α \approx 35 °$ .

Ćwiczenie 15

Przekrojem poprzecznym stożka jest koło o polu równym $18 π$ . Wiadomo, że płaszczyzna przekroju podzieliła stożek na bryły o równych wysokościach. Oblicz objętość stożka, jeżeli tworząca stożka ma długość $10$ .

Narysujmy przekrój poprzeczny stożka i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1CXFzl8RK2Uz

Ponieważ pole przekroju jest równe $18 π$ , zatem

$π \cdot r^{2} = 18 π$

$r^{2} = 18$ , czyli $r = 3 \sqrt{2}$ .

Jeżeli płaszczyzna przekroju podzieliła stożek na bryły o równych wysokościach, to zachodzi następująca zależność:

$R = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + R^{2} = l^{2}$

$h^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2} = 10^{2}$

$h^{2} + 72 = 100$

$h^{2} = 28$ , czyli $h = 2 \sqrt{7}$ .

Zatem objętość stożka wynosi:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(6 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{7} = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 2 \sqrt{7} π = 48 \sqrt{7} π$ .

Ćwiczenie 16

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku, którego cosinus jest równy $\frac{4}{5}$ . Wyznacz pole tego przekroju, jeżeli wiadomo, że promień podstawy stożka ma długość $3$ .

Narysujmy stożek, jego przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Adiy2vtAxB4

Wiadomo, że przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o bokach $l$ , $l$ , $2 r$ oraz kącie przy wierzchołku $α$ oraz $\cos α = \frac{4}{5}$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $l$ wykorzystamy twierdzenie cosinusów i rozwiązujemy równanie:

$6^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$36 = 2 l^{2} - 2 l^{2} \cdot \frac{4}{5}$

$\frac{2}{5} l^{2} = 36$

$l^{2} = 90$ , czyli $l = 3 \sqrt{10}$ .

Wysokość $h$ trójkąta równoramiennego obliczymy z twierdzenia Pitagorasa. Zatem:

$h^{2} + 3^{2} = {(3 \sqrt{10})}^{2}$ , czyli $h = 9$ .

Wobec tego pole przekroju osiowego stożka jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ .

Ćwiczenie 17

Ray5q49oBUCkG

RRNd1fd3nw0wO

Rd2nZfAj2EYrE1

Ćwiczenie 18

R1QdnJclaJtd42

Ćwiczenie 19

R1epvBwa3gSKD2

Ćwiczenie 20

R2d4Gd4HeE2mn2

Ćwiczenie 21

R1LyJSJ3l1Q5M2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Pole przekroju kuli, którego odległość od środka kuli jest równa $4$ wynosi $64 π$ . Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli.

Pole przekroju wynosi $64 π$ , a zatem $π r^{2} = 64 π$ i stąd $r = 8$ .

Obliczymy długość promienia kuli z twierdzenia Pitagorasa: $4^{2} + 8^{2} = R^{2}$ , a stąd $R = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ . Teraz możemy już obliczyć objętość i pole powierzchni tej kuli: $V = \frac{4}{3} π {(4 \sqrt{5})}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 320 \sqrt{5} = \frac{1280 \sqrt{5}}{3} π$ oraz $P_{c} = 4 π \cdot {(4 \sqrt{5})}^{2} = 320 π$ .

Ćwiczenie 24

Wspólna cięciwa dwóch przystających prostopadłych przekrojów kuli o promieniu $8$ ma długość $4$ . Oblicz sumę pól tych przekrojów.

Środek kuli oznaczmy przez $S$ , środki przekrojów przez $O_{1}$ i $O_{2}$ . Przez $A$ oznaczmy środek wspólnej cięciwy przekrojów, a przez $K$ i $L$ jej końce.

RecdeKsf9BlUn

Ilustracja przedstawia kulę o środku w punkcie S oraz jej dwa przekroje. Przekroje te są kołami o środkach w punktach O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz O indeks dolny dwa koniec indeksu. Przekroje się przecinają i są do siebie prostopadłe. Odcinki S O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz odcinek S O indeks dolny dwa koniec indeksu są sobie równe. Punkty przecięcia obu przekrojów na ścianie kuli zostały oznaczone jako K oraz L. Na środku odcinka K L zaznaczono punkt A. Powstał kwadrat S O indeks dolny jeden koniec indeksu, A O indeks dolny dwa koniec indeksu.

Przekroje są przystającymi kołami, a zatem ich odległości od środków są sobie równe. Mamy stąd $|S O_{1}| = |S O_{2}|$ . Przekroje są prostopadłe, więc czworokąt $A O_{1} S O_{2}$ jest kwadratem. Stąd $|A S| = |S O_{1}| \sqrt{2}$ .

Oznaczmy promień przekroju przez $r$ . Wówczas $r = \sqrt{8^{2} - {|S O_{1}|}^{2}}$ .

Punkty $K$ i $L$ leżą na sferze, więc istnieje koło, które jest przekrojem kuli o średnicy $K L$ . To oznacza, że trójkąt $A L S$ jest prostokątny i mamy ${|A L|}^{2} + {|A S|}^{2} = {|S L|}^{2}$ .

Czyli $2^{2} + {|A S|}^{2} = 8^{2}$ ,a stąd $|A S| = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}$ .

Mamy więc $|S O_{1}| = \frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{2}} = \sqrt{30}$ .

Czyli $r = \sqrt{64 - {(\sqrt{30})}^{2}} = \sqrt{34}$ .

Suma pól dwóch przekrojów wynosi więc $2 P = 2 \cdot 34 π = 68 π$ .

Słownik

walec

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta dookoła osi zawierającej jeden z jego boków

elipsa

zbiór punktów, dla których suma odległości od dwóch danych punktów, zwanych ogniskami, jest stała

stożek

bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej jedną z przyprostokątnych

kąt rozwarcia stożka

kąt pomiędzy ramionami trójkąta, będącego przekrojem osiowym stożka

przekrój bryły

część wspólna bryły i płaszczyzny, która ją przecina

przekrój osiowy

przekrój zawierający oś obrotu bryły obrotowej

odległość przekroju od środka

długość najkrótszego odcinka łączącego środek kuli i przekrój

6. Bryły obrotowe – kontekst realistyczny

M_R_W23_M5 Bryły obrotowe