6. Kula. Pole powierzchni i objętość kuli

R91arXKCzifiD

Kula jest bryłą obrotową powszechnie występującą w świecie rzeczywistym. Kto z nas nie widział piłki lub nie grał kiedyś w kręgle. Nasza planeta nazywana jest kulą ziemską, choć badania wykazały, że nie ma ona idealnego kształtu kuli – siły odśrodkowe spowodowały jej spłaszczenie i obecnie wiadomo już, że Ziemia jest elipsoidą – bryłą obrotową powstałą w wyniku obrotu elipsy wokół jej osi symetrii. Tym niemniej spłaszczenie to jest tak niewielkie, że Ziemię przedstawia się na globusie, który ma kształt kuli.

Twoje cele

Rozpoznasz bryły obrotowe powstałe w wyniku obrotu koła i jego wycinka.
Scharakteryzujesz kulę, podasz definicję jej środka, promienia i średnicy.
Obliczysz długość promienia kuli powstałej przez obrót figury o danych własnościach.
Przeanalizujesz związek położenia osi obrotu koła lub jego wycinka z kształtem powstałej bryły obrotowej.
Poznasz wzór na obliczenie pola powierzchni i objętości kuli.
Wyznaczysz pole powierzchni kuli i objętość na podstawie podanych informacji.

Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót koła lub półkola dookoła prostej zawierającej średnicę.

RtquI0WKkLxen

Ilustracja przedstawia koło oraz półkole. Przez środek pierwszej figury poprowadzona została pionowa oś symetrii. W figurze drugiej, także poprowadzono pionową oś symetrii, przechodzącą przez średnicę półkola.

R1NqfGhI9gSC0

Ilustracja przedstawia kulę z zaznaczonymi dwie średnicami wewnątrz bryły.

Dla koła istnieje nieskończenie wiele prostych takich, że w wyniku obrotu wokół tych prostych powstanie kula.

RkP0VwVSd4kNK

Ilustracja przedstawia koło, przez którego środek poprowadzono wiele przerywanych prostych będących jednocześnie jego osią symetrii.

Jeżeli wybierzemy punkt na okręgu danego koła, to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna prosta taka, że w wyniku obrotu wokół tej prostej powstaje kula.

RmM0tlxP0iATN

Ilustracja przedstawia okrąg z osią symetrii przechodzącą przez środek figury oraz punkt A znajdujący się na okręgu danego koła.

Punkty $A$ , $B$ koła na rysunku nie leżą na średnicy koła, więc w wyniku obrotu wokół tej prostej nie powstanie kula.

R1dSPTtFxE9zV

Ilustracja przedstawia koło oraz cięciwę A B.

Obracając półkole wokół prostej zawierającej promień prostopadły do średnicy lub wycinek koła, którego kąt środkowy jest kątem prostym wokół prostej zawierającej promień wycinka leżący na jego brzegu, otrzymamy półkulę.

RZh5h4NiW7aea

Ilustracja przedstawia dwie figury. Pierwszą z nich jest półkole z poprowadzoną osią symetrii przechodzącą przez środek średnicy pod kątem prostym. Drugą figurą jest ćwiartka okręgu z poprowadzoną prostą zawierającą się w jednym z boków figury.

RrN7PEld4gLSi

Środek koła lub półkola, które obracamy wzdłuż średnicy by otrzymać kulę, jest też środkiem kuli.

Powierzchnię kuli nazywamy sferą. Sfera powstaje w wyniku obrotu okręgu wokół prostej zawierającej jej średnicę.

Odcinek łączący środek kuli z punktem leżącym na sferze nazywamy promieniem kuli.

Odcinek przechodzący przez dwa punkty sfery oraz środek kuli nazywamy średnicą kuli.

Przykład 1

Wyznaczymy długość promienia kulikulakuli powstałej przez obrót koła o obwodzie $8$ wokół prostej zawierającej średnicę tego koła.

Rozwiązanie

Mamy, że $2 π r = 8$ , a stąd $r = \frac{4}{π}$ .

Przykład 2

Obliczymy obwód półkola, jeśli przez jego obrót wokół prostej zawierającej średnicę powstaje kula o promieniupromień kulipromieniu $6 cm$ .

Rozwiązanie

Promień półkola jest równy promieniowi kuli. Tak więc obwód tego półkola wynosi $π r + 2 r = 6 π + 12 cm$ .

Przykład 3

Na sferzesferasferze o promieniu $8 cm$ wybrano dwa punkty $A$ i $B$ . Długość odcinka $A B$ również wynosi $8 cm$ . Obliczymy odległość odcinka $A B$ od środka tej kuli $S$ .

Rozwiązanie

Wykonamy najpierw rysunek pomocniczy.

R1UXR0fzRJZxo

Ilustracja przedstawia sferę o środku w punkcie S. Na sferze umieszczono także dwa punkty A i B. Oba punkty zostały połączone z punktem S. Odcinki A S oraz A B są promieniami sfery. Powstał trójkąt równoramienny A S B o ramionach A S i A B oraz podstawie A B. Z punktu S na odcinek A B w punkcie C upuszczona została wysokość trójkąta.

Zauważmy, że trójkąt $A B S$ jest równoboczny, a zatem odległość odcinka $A B$ od środka kuli jest długością wysokości tego trójkąta. Zatem:

$|S C| = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} [cm]$

Przykład 4

Na sferze wybrano dwa punkty $A$ i $B$ . Kąt $A S B$ , gdzie $S$ jest środkiem kuli, ma miarę $150 °$ a pole trójkąta $A B S$ wynosi $8$ . Obliczymy długości promienia kuli i odcinka $A B$ .

Rozwiązanie

Wykonamy najpierw rysunek pomocniczy.

RIgdiR2rV5rt1

Ilustracja przedstawia sferę o środku w punkcie S. Na sferze umieszczono także dwa punkty A i B. Oba punkty zostały połączone z punktem S. Odcinek A S oraz A B są promieniami sfery. Powstał trójkąt równoramienny A S B, gdzie ramionami trójkąta są odcinki A S i A B, natomiast jego podstawą jest odcinek A B. W trójkącie zaznaczono także kąt A S B o wartości 150 stopni.

Zauważmy, że $|A S| = |S B| = r$ . Zatem:

$P_{A B S} = \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot \sin 150 °$

Mamy: $8 = \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot \frac{1}{2}$ a stąd: $r^{2} = 32$ i $r = 4 \sqrt{2}$ .

Długość odcinka $A B$ obliczymy z twierdzenia cosinusów:

${|A B|}^{2} = 32 + 32 - 2 \cdot 32 \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ ,

czyli:

$|A B| = \sqrt{64 + 32 \sqrt{3}} = 4 \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = 4 \sqrt{{(1 + \sqrt{3})}^{2}} = 4 (1 + \sqrt{3})$ .

koło wielkie

Definicja: koło wielkie

Kołem wielkim nazywamy największe koło, jakie można wpisać w kulę. Długość promienia koła wielkiego jest równa długości promienia kuli.

RPEyHgaqQwUly

Ilustracja przedstawia kulę z zaznaczonym promieniem o długości r zawartym w przekroju osiowym kuli będącym kołem wielkim.

Pole powierzchni kuli

Dana jest kula o promieniu długości $R$ .

R9u50wvbmYhbP

Ilustracja przedstawia kulę z zaznaczonym promieniem o długości R zawartym w przekroju osiowym kuli.

Pole powierzchni kuli obliczamy ze wzoru:

P = 4 \cdot π \cdot R^{2}

Ciekawostka

Powierzchnię kuli, nazywaną sferą nie można rozciąć na części, które można rozłożyć na płaszczyźnie, zatem nie możemy narysować siatki tej bryły.

Przykład 5

Wyznaczymy promień kuli, gdy jej pole powierzchni jest równe $196 π$ .

Rozwiązanie

Niech $R$ będzie długością promienia kuli. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni kuli, do obliczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$196 π = 4 \cdot π \cdot R^{2}$ .

Po podzieleniu obu stron tego równania przez $4 π$ otrzymujemy:

$R^{2} = 49$ .

Zatem $R = 7$ .

Przykład 6

Promień kuli zwiększono o $20 %$ . Obliczymy, o ile procent wzrosło pole powierzchni kuli.

Rozwiązanie

Niech $R_{1}$ będzie długością promienia kuli.

Wówczas pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P_{1} = 4 π {R_{1}}^{2}$ .

Założmy, że po zwiększeniu długości promienia kuli o $20 %$ otrzymujemy kulę o promieniu $R_{2}$ .

Zatem:

$R_{2} = 1, 2 R_{1}$ .

Wtedy pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P_{2} = 4 π {R_{2}}^{2} = 4 π \cdot {(1, 2 R_{1})}^{2} = 1, 44 \cdot 4 π {R_{1}}^{2} = 144 % P_{1}$ .

Różnica pól powierzchni tych kul wynosi:

$P_{2} - P_{1} = 144 % P_{1} - P_{1} = 44 % P_{1}$ .

Wobec tego pole kuli wzrosło o $44 %$ .

Przykład 7

Obliczymy pole powierzchni kuli, jeżeli pole powierzchni koła wielkiego zawartego w tej kuli wynosi $32 π$ .

Rozwiązanie

Do wyznaczenia długości promienia $r$ koła wielkiego rozwiązujemy równanie:

$32 π = π \cdot r^{2}$ .

Zatem $r^{2} = 32$ , czyli $r = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ .

Ponieważ długość promienia koła wielkiego jest równa długości promienia kuli, w której to koło jest zawarte, zatem promień kuli $R = 4 \sqrt{2}$ .

Wobec tego pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P = 4 π \cdot {(4 \sqrt{2})}^{2} = 128 π$ .

Objętość kuli

Ciekawostka

W $V$ w. n.e. chiński matematyk Zu Chongzhi odkrył bryłę o nazwie „mouhefanggai”, dzięki której wyznaczał objętość kuli. W późniejszych wiekach podejmowano wiele prób znalezienia wzoru na objętość kuli.

Do wyprowadzenia wzoru na objętość kulikulakuli wykorzystuje się analizę matematyczną wraz z rachunkiem całkowym.

Niech $R$ będzie długością promienia kuli.

RMPlh0YrIidGr

Ilustracja przedstawia kule z zaznaczonym promieniem o długości R oraz z zaznaczonym środkiem w punkcie O.

ObjętośćobjętośćObjętość $V$ kuli obliczamy ze wzoru:

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}

Przykład 8

Obliczymy objętość kuli, jeżeli jej promień ma długość $\frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $R = \frac{1}{2}$ , zatem objętość kuli jest równa:

$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6} π$ .

Objętość kuli wynosi $\frac{1}{6} π$ .

Przykład 9

Wyznaczymy długość promienia kuli o objętości równej $\frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $V = \frac{64 \sqrt{2}}{3} π$ , zatem do wyznaczenia długości promienia $R$ kuli rozwiązujemy równanie:

$\frac{4}{3} {π R}^{3} = \frac{64 \sqrt{2}}{3} π$

$4 R^{3} = 64 \sqrt{2}$

$R^{3} = 16 \sqrt{2}$

$R = 2 \sqrt{2}$ .

Promień kuli ma długość $2 \sqrt{2}$ .

Przykład 10

Promień kuli zwiększono o $20 %$ . Obliczymy, o ile procent wzrosła objętość tej kuli.

Rozwiązanie

Niech $R_{1}$ będzie długością promienia kuli.

Wówczas objętość tej kuli wynosi:

$V_{1} = \frac{4}{3} {π R_{1}}^{3}$ .

Założmy, że po zwiększeniu długości promienia kuli o $20 %$ otrzymujemy kulę o promieniu $R_{2}$ .

Zatem:

$R_{2} = 1, 2 R_{1}$ .

Wtedy objętość tej kuli wynosi:

$V_{2} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(1, 2 R_{1})}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 1, 728 {R_{1}}^{3}$ .

Różnica objętości tych kul wynosi:

$V_{2} - V_{1} = \frac{4}{3} π \cdot 1, 728 {R_{1}}^{3} - \frac{4}{3} {π R_{1}}^{3} = 0, 728 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {R_{1}}^{3} = 72, 8 % \cdot \frac{4}{3} {π R_{1}}^{3}$ .

Wobec tego objętość kuli wzrosła o $72, 8 %$ .

Przykład 11

Obliczymy objętość kuli, jeżeli jej pole powierzchni wynosi $8 π$ .

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, że $P = 8 π$ .

Zatem do wyznaczenia długości promienia $R$ rozwiązujemy równanie:

$8 π = 4 π R^{2}$

$R^{2} = 2$ , czyli $R = \sqrt{2}$

Wobec tego objętość $V$ kuli jest równa:

$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{2})}^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 2 \sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie wykonaj polecenia zamieszczone pod nią.

Rz2rlCW9w0Yt5

Polecenie 1

RYMi1qwcwQrt6

Polecenie 2

Jaką długość ma promień kuli, której koło wielkie ma pole równe $4 \sqrt{2} π$ ?

$r^{2} = 4 \sqrt{2} = \sqrt{32}$ , a stąd $r = \sqrt{\sqrt{32}} = \sqrt[4]{32} = 2 \sqrt[4]{2}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1ciFIo3TInOg

R4HhWmT94iUVt

RczjP12Bjr6Zr

Dobierz bryłę obrotową do figury geometrycznej i osi obrotu, z których powstanie. kula Możliwe odpowiedzi: 1. półkole, którego oś obrotu biegnie wzdłuż płaskiego boku, 2. ćwiartka koła, której oś obrotu biegnie wzdłuż jej przekroju osiowego, 3. półelipsa obracająca się wokół osi pokrywającej się z jej płaskim bokiem, 4. ćwiartka koła, której oś obrostu pokrywa się z jednym z płaskich boków, 5. koło, którego oś obrotu znajduje się poza nim elipsoida obrotowa Możliwe odpowiedzi: 1. półkole, którego oś obrotu biegnie wzdłuż płaskiego boku, 2. ćwiartka koła, której oś obrotu biegnie wzdłuż jej przekroju osiowego, 3. półelipsa obracająca się wokół osi pokrywającej się z jej płaskim bokiem, 4. ćwiartka koła, której oś obrostu pokrywa się z jednym z płaskich boków, 5. koło, którego oś obrotu znajduje się poza nim torus Możliwe odpowiedzi: 1. półkole, którego oś obrotu biegnie wzdłuż płaskiego boku, 2. ćwiartka koła, której oś obrotu biegnie wzdłuż jej przekroju osiowego, 3. półelipsa obracająca się wokół osi pokrywającej się z jej płaskim bokiem, 4. ćwiartka koła, której oś obrostu pokrywa się z jednym z płaskich boków, 5. koło, którego oś obrotu znajduje się poza nim półkula Możliwe odpowiedzi: 1. półkole, którego oś obrotu biegnie wzdłuż płaskiego boku, 2. ćwiartka koła, której oś obrotu biegnie wzdłuż jej przekroju osiowego, 3. półelipsa obracająca się wokół osi pokrywającej się z jej płaskim bokiem, 4. ćwiartka koła, której oś obrostu pokrywa się z jednym z płaskich boków, 5. koło, którego oś obrotu znajduje się poza nim wycinek kuli Możliwe odpowiedzi: 1. półkole, którego oś obrotu biegnie wzdłuż płaskiego boku, 2. ćwiartka koła, której oś obrotu biegnie wzdłuż jej przekroju osiowego, 3. półelipsa obracająca się wokół osi pokrywającej się z jej płaskim bokiem, 4. ćwiartka koła, której oś obrostu pokrywa się z jednym z płaskich boków, 5. koło, którego oś obrotu znajduje się poza nim

R1OgWaw18ytCx1

Ćwiczenie 2

RnOUCW8LE2Rxz2

Ćwiczenie 3

R55BnQdnoh4oS2

Ćwiczenie 4

RRV465pZ5Z2Mr2

Ćwiczenie 5

RaltU5sp9q8i52

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Kula powstaje przez obrót figury, której pole wynosi $4 π$ . Oblicz długość promienia tej kuli.

Musimy rozważyć dwa przypadki.

Przypadek $I$ : Obracamy koło wokół prostej zawierającej średnicę.

Wówczas $π r^{2} = 4 π$ , a stąd $r = 2$ .

Przypadek $II$ : Obracamy półkole wokół prostej zawierającej średnicę.

Wtedy $\frac{1}{2} π r^{2} = 4 π$ , a stąd $r = 2 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

W kole poprowadzono cięciwę w odległości $9 cm$ od jego środka. Cięciwa ma długość $6 cm$ . Oblicz długość średnicy kuli powstałej przez obrót tego koła.

Średnica kuli ma długość taką jak średnica koła. Obliczymy długość promienia koła z twierdzenia Pitagorasa:

RUsYa3b9JCxJU

Ilustracja przedstawia okrąg oraz cięciwę o długości sześć. Oba końce cięciwy zostały połączone ze środkiem okręgu promieniami o długości r, dzięki czemu powstał trójkąt równoramienny o ramionach długości r oraz podstawie o długości sześć. Ze środka okręgu upuszczona została wysokość na cięciwę o długości dziewięć.

Mamy więc $9^{2} + 3^{2} = r^{2}$ .

A stąd $r = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10}$ . Stąd $d = 6 \sqrt{10}$ .

Ćwiczenie 9

Zaznacz poprawną odpowiedź.

R1FDlbWVf8fQN

Ćwiczenie 10

RzRMJVwV9yiWH

Ćwiczenie 11

R16hdilcc5lRG

Ćwiczenie 12

Wiadomo, że objętość kuli wynosi $V$ . Wyznacz pole powierzchni tej kuli.

Niech $R$ będzie długością promienia kuli.

Zatem objętość kuli wyraża się wzorem:

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Po przekształceniu tego wzoru promień kuli wyraża się wzorem:

$R = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$ .

Zatem pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P = 4 \cdot π \cdot R^{2} = 4 \cdot π \cdot {(\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}})}^{2}$ .

Ćwiczenie 13

Dwie miedziane kule o promieniach $R_{1} = 4$ oraz $R_{2} = 3$ przetopiono w jedną kulę. Oblicz promień powstałej kuli.

Jeżeli $R_{1} = 4$ , to objętość tej kuli wynosi:

$V_{1} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 4^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 64 = \frac{256}{3} π$ .

Jeżeli $R_{2} = 3$ , to objętość tej kuli wynosi:

$V_{2} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 3^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 27 = 36 π$ .

Zatem objętość kuli powstałej po przetopieniu dwóch kul wynosi:

$V = \frac{256}{3} π + 36 π = \frac{364}{3} π$ .

Jeżeli $R$ będzie długością promienia powstałej kuli, to korzystając ze wzoru na objętość kuli, rozwiązujemy równanie:

$\frac{364}{3} π = \frac{4}{3} {π R}^{3}$

$R^{3} = 91$ , czyli $R = \sqrt[3]{91}$ .

Ćwiczenie 14

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Rn5oVkmoV7kcu

Ćwiczenie 15

R9xAe6L6tFLMj

Ćwiczenie 16

R9OS6KTIVU5Dl

Ćwiczenie 17

Ro4z6sAHb7S0G

Słownik

kula

bryła powstała przez obrót koła lub półkola wokół prostej zawierającej średnicę

sfera

powierzchnia kuli

promień kuli

odcinek łączący środek kuli z punktem na sferze

5. Pole powierzchni i objętość stożka

7*. Wiedza z plusem: Powierzchnia kuli jako model powierzchni Ziemi. Powierzchnia kuli jako model sfery niebieskiej