7*. Wiedza z plusem: Powierzchnia kuli jako model powierzchni Ziemi. Powierzchnia kuli jako model sfery niebieskiej
W wieku p.n.e. Arystoteles przedstawił dowody na kulistość Ziemi. Już w wieku p.n.e Eratostenes zmierzył obwód Ziemi za pomocą drewnianego kołka. Do dzisiaj wyznaczono też przybliżone pole powierzchni Ziemi, które wynosi około . Ponieważ przyjmuje się, że Ziemia ma kształt zbliżony do kuli, zatem do do wyznaczenia jej pola powierzchni wystarczy znać długość jej promienia.
Ale kula nie tylko wyobraża Ziemię. Na lekcjach geografii/astronomii rozpatrujemy kosmos, sklepienie niebieskie z punktu widzenia nas stojących na powierzchni Ziemi, która może być w tym momencie utożsamiana z maleńkim punkcikiem we Wszechświecie. Jak wtedy widzimy Kosmos? Otóż modelem Wszechświata jest tutaj sfera, czyli powierzchnia kuli. Obracając się z głową zadartą do góry widzimy kuliste sklepienie niebieskie, usiane w nocy gwiazdami, a w dzień błękitne, z blaskiem słonecznym.
Tak więc kula, której własności poznaliśmy na lekcji matematyki jest modelem Ziemi, na której żyjemy i sklepienia niebieskiego, które mamy nad głowami.
Twoje cele
Pogłębisz swoje wiadomości z matematyki o kuli.
Pogłębisz swoje wiadomości z geografii o globusie.
Przygotujesz się do odkrywania własności figur geometrycznych na powierzchni kuli, czyli sferze.
Lekcje o tematyce dotyczącej geometrii na powierzchni kuli nie będą zawierały gotowej wiedzy, którą trzeba przyswoić. Tutaj będziemy pracować z kuląkulakulą w trochę inny sposób niż dotychczas na lekcjach matematyki. Będziemy posługiwać się realnymi przedmiotami, dobrze nam znanymi, które będą pełniły rolę naszych pomocy naukowych i narzędzi badawczych podczas odkrywania podstaw geometrii na powierzchni kuli.
Na początek trochę popodróżujemy po globusie. Przygotujemy się w ten sposób do odkrywania własności figur geometrycznych na powierzchni kuli. Jednocześnie wzbudzimy w sobie refleksję nad swoimi wyobrażeniami, przyzwyczaimy się odpowiadać na pytania: Jak przypuszczam? Dlaczego tak przypuszczam? Jak to zrobić? Przygotujemy się więc do zastosowania metody badawczejmetoda badawczametody badawczej w odkrywaniu wiedzy.
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.
Czy widzimy na globusieglobusglobusie jakieś figury geometryczne? Co nam pomaga określać wzajemne położenie obiektów geograficznych? Co pomaga nawigatorom wyznaczać kursy ich statków?
Rozwiązanie
Równoleżniki mają kształt okręgów, południki to półokręgi, natomiast południki i równoleżniki przecinają się tworząc siatkę geograficzną. „Oczka” tej siatki to czworokąty. Dzięki tej siatce możemy określać położenie różnych punktów na kuli ziemskiej, korzystając ze współrzędnych geograficznych. I ten właśnie system współrzędnych geograficznych pomaga żeglarzom.
Przykład 2
Powierzchnia kuli jako model sfery niebieskiej.
A teraz spójrzmy w niebo:
W dzień:
RLGPCSI5rYX9s
Ilustracja przedstawia plażę w słoneczny dzień. Pośrodku znajduje się piaszczysta ścieżka, aż do samej wody. Boki ścieżki są porośnięte różną roślinnością. W tle znajduje się rozległe morze, a nad nim lekko zachmurzone niebo.
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.
lub w nocy:
R1S9urEhH9kAb
Ilustracja przedstawia bezchmurne nocne niebo. Jest ono częściowo przysłonione przez rosnące drzewa. Na niebie znajdują się liczne gwiazdy oraz Droga Mleczna na środku.
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.
Co może nam powiedzieć sklepienie niebieskiesklepienie niebieskie (sfera niebieska)sklepienie niebieskie? Dlaczego przyjmujemy sferę za jego model?
Rozwiązanie
Uprośćmy malowniczy widok nieba, tworząc model graficzny sklepienia niebieskiego:
RYhp44U3V9e53
Ilustracja przedstawia półkulę. Przy podstawie oznaczono kierunki geograficzne oraz poprowadzono linię pomiędzy północą, a południem oraz pomiędzy wschodem a zachodem. Obwód podstawy to widnokrąg, a powierzchnia półkuli to sklepienie niebieskie. Na przecięciu linii stoi obserwator, centralnie nad nim na wysokości półkuli znajduje się słońce, które jest pod kątem prostym do podstawy. Zaznaczono przerywaną linią drogę słońca po sklepieniu niebieskim od wschodu do zachodu.
Jesteśmy, wraz z całą Ziemią, właśnie tam, gdzie stoi ta osoba. Słońce jest nad nami w zenicie, ale przecież nie zawsze tak jest. W różnych porach roku pod różnymi szerokościami geograficznymi promienie słoneczne padają pod różnymi kątami, np. tak:
R128sELx5KNXV
Ilustracja przedstawia półkulę. Oznaczono kierunki geograficzne na podstawie, poprowadzono po podstawie linię pomiędzy północą, a południem oraz pomiędzy wschodem a zachodem. Obwód podstawy to widnokrąg, a powierzchnia półkuli to sklepienie niebieskie. Na przecięciu linii znajduje się obserwator. Na sklepieniu niebieskim po stronie południowej znajduje się słońce, jest ono nachylone pod kątem 47 stopni do środka podstawy. Zaznaczono na sklepieniu niebieskim drogę słońca.
Przy wyznaczaniu pozornych dróg Słońca na sklepieniu niebieskim modelem tego sklepienia jest właśnie sferasferasfera, czyli powierzchnia kuli. Aby wyznaczyć taką pozorną drogę Słońca o danej porze roku, pod daną szerokością geograficzną, należy wykonać odpowiednią konstrukcję na powierzchni kuli.
Animacja
Zapoznaj się animacją 3D przedstawiającą kulę jako model Ziemi. Zastanów się, jakie figury geometryczne widzisz na jej powierzchni.
RyuUFfi9wyDzp
Załóżmy, że mamy przed sobą animowany model Ziemi. Można odnaleźć na nim mające kształt okręgu Równik, Zwrotnik Raka znajdujący się na wysokości około 23 stopni szerokości geograficznej północnej, Zwrotnik Koziorożca znajdujący się na wysokości około 23 stopni szerokości geograficznej południowej oraz inne równoleżniki. Im bliżej biegunów, tym okręgi równoleżników mają krótsze promienie. Mamy również Koło podbiegunowe północne znajdujące się na wysokości około 66 stopni szerokości geograficznej północnej, nad nim znajduje się Biegun Północny, natomiast na wysokości około 66 stopni szerokości geograficznej południowej znajduje się Koło podbiegunowe południowe, pod nim znajduje się Biegun Południowy. Półkulę północną oraz południową rozdziela płaszczyzna równika. Południki, są półokręgami o równiej długości, około dwudziestu tysięcy kilometrów i łączą bieguny kuli ziemskiej. Półkule wschodnią oraz zachodnią rozdzielamy płaszczyzną południka oznaczonego jako 0 stopni oraz południka 180 stopni, leżącego po przeciwnej stronie ziemi. Jeżeli na model Ziemi naniesiemy jednocześnie równik, południki 0 stopni i 180 stopni to podzielimy kulę ziemską na 4 równe części. Polska leży jednocześnie na półkuli północnej i wschodniej. Niektóre szerokości geograficzne mają swoje nazwy: Ryczące czterdziestki to pas wód oceanicznych biegnący w przybliżeniu pomiędzy 40 stopni i 50 stopni szerokości geograficznej południowej, Wyjące pięćdziesiątki to obszar rozciągający się w przybliżeniu pomiędzy 50 stopni i 60 stopni szerokości geograficznej południowej, Bezludne sześćdziesiątki to obszar wód oceanu południowego rozciągający się w przybliżeniu pomiędzy 60 stopni i 70 stopni szerokości geograficznej południowej, Końskie szerokości to dwa obszary wysokiego ciśnienia atmosferycznego znajdujące się w okolicach trzydziestego równoleżnika na półkuli północnej oraz południowej. Układ południków oraz równoleżników wraz z biegunami tworzy tak zwaną siatkę geograficzną, oczka tej siatki to czworokąty. Dzięki tej siatce możemy określać położenie różnych punktów na kuli ziemskiej. Położenie Warszawy to około 52 stopni szerokości geograficznej północnej i około 21 stopni długości geograficznej wschodniej, położenie Waszyngtonu to około 38 stopni szerokości geograficznej północnej i około 77 stopni długości geograficznej zachodniej. Położenie Chengcheng County w Chinach to około 35 stopni szerokości geograficznej północnej i około 110 stopni długości geograficznej wschodniej. Może wydawać się, że odległości pomiędzy naszą stolicą, a obydwoma miastami są mniej więcej równe, to Warszawę i Waszyngton dzieli około siedem tysięcy sto siedemdziesiąt trzy kilometry, zaś Warszawę i Chengcheng County sześć tysięcy dziewięćset dwadzieścia dwa kilometry.
Załóżmy, że mamy przed sobą animowany model Ziemi. Można odnaleźć na nim mające kształt okręgu Równik, Zwrotnik Raka znajdujący się na wysokości około 23 stopni szerokości geograficznej północnej, Zwrotnik Koziorożca znajdujący się na wysokości około 23 stopni szerokości geograficznej południowej oraz inne równoleżniki. Im bliżej biegunów, tym okręgi równoleżników mają krótsze promienie. Mamy również Koło podbiegunowe północne znajdujące się na wysokości około 66 stopni szerokości geograficznej północnej, nad nim znajduje się Biegun Północny, natomiast na wysokości około 66 stopni szerokości geograficznej południowej znajduje się Koło podbiegunowe południowe, pod nim znajduje się Biegun Południowy. Półkulę północną oraz południową rozdziela płaszczyzna równika. Południki, są półokręgami o równiej długości, około dwudziestu tysięcy kilometrów i łączą bieguny kuli ziemskiej. Półkule wschodnią oraz zachodnią rozdzielamy płaszczyzną południka oznaczonego jako 0 stopni oraz południka 180 stopni, leżącego po przeciwnej stronie ziemi. Jeżeli na model Ziemi naniesiemy jednocześnie równik, południki 0 stopni i 180 stopni to podzielimy kulę ziemską na 4 równe części. Polska leży jednocześnie na półkuli północnej i wschodniej. Niektóre szerokości geograficzne mają swoje nazwy: Ryczące czterdziestki to pas wód oceanicznych biegnący w przybliżeniu pomiędzy 40 stopni i 50 stopni szerokości geograficznej południowej, Wyjące pięćdziesiątki to obszar rozciągający się w przybliżeniu pomiędzy 50 stopni i 60 stopni szerokości geograficznej południowej, Bezludne sześćdziesiątki to obszar wód oceanu południowego rozciągający się w przybliżeniu pomiędzy 60 stopni i 70 stopni szerokości geograficznej południowej, Końskie szerokości to dwa obszary wysokiego ciśnienia atmosferycznego znajdujące się w okolicach trzydziestego równoleżnika na półkuli północnej oraz południowej. Układ południków oraz równoleżników wraz z biegunami tworzy tak zwaną siatkę geograficzną, oczka tej siatki to czworokąty. Dzięki tej siatce możemy określać położenie różnych punktów na kuli ziemskiej. Położenie Warszawy to około 52 stopni szerokości geograficznej północnej i około 21 stopni długości geograficznej wschodniej, położenie Waszyngtonu to około 38 stopni szerokości geograficznej północnej i około 77 stopni długości geograficznej zachodniej. Położenie Chengcheng County w Chinach to około 35 stopni szerokości geograficznej północnej i około 110 stopni długości geograficznej wschodniej. Może wydawać się, że odległości pomiędzy naszą stolicą, a obydwoma miastami są mniej więcej równe, to Warszawę i Waszyngton dzieli około siedem tysięcy sto siedemdziesiąt trzy kilometry, zaś Warszawę i Chengcheng County sześć tysięcy dziewięćset dwadzieścia dwa kilometry.
Załóżmy, że mamy przed sobą animowany model Ziemi. Można odnaleźć na nim mające kształt okręgu Równik, Zwrotnik Raka znajdujący się na wysokości około 23 stopni szerokości geograficznej północnej, Zwrotnik Koziorożca znajdujący się na wysokości około 23 stopni szerokości geograficznej południowej oraz inne równoleżniki. Im bliżej biegunów, tym okręgi równoleżników mają krótsze promienie. Mamy również Koło podbiegunowe północne znajdujące się na wysokości około 66 stopni szerokości geograficznej północnej, nad nim znajduje się Biegun Północny, natomiast na wysokości około 66 stopni szerokości geograficznej południowej znajduje się Koło podbiegunowe południowe, pod nim znajduje się Biegun Południowy. Półkulę północną oraz południową rozdziela płaszczyzna równika. Południki, są półokręgami o równiej długości, około dwudziestu tysięcy kilometrów i łączą bieguny kuli ziemskiej. Półkule wschodnią oraz zachodnią rozdzielamy płaszczyzną południka oznaczonego jako 0 stopni oraz południka 180 stopni, leżącego po przeciwnej stronie ziemi. Jeżeli na model Ziemi naniesiemy jednocześnie równik, południki 0 stopni i 180 stopni to podzielimy kulę ziemską na 4 równe części. Polska leży jednocześnie na półkuli północnej i wschodniej. Niektóre szerokości geograficzne mają swoje nazwy: Ryczące czterdziestki to pas wód oceanicznych biegnący w przybliżeniu pomiędzy 40 stopni i 50 stopni szerokości geograficznej południowej, Wyjące pięćdziesiątki to obszar rozciągający się w przybliżeniu pomiędzy 50 stopni i 60 stopni szerokości geograficznej południowej, Bezludne sześćdziesiątki to obszar wód oceanu południowego rozciągający się w przybliżeniu pomiędzy 60 stopni i 70 stopni szerokości geograficznej południowej, Końskie szerokości to dwa obszary wysokiego ciśnienia atmosferycznego znajdujące się w okolicach trzydziestego równoleżnika na półkuli północnej oraz południowej. Układ południków oraz równoleżników wraz z biegunami tworzy tak zwaną siatkę geograficzną, oczka tej siatki to czworokąty. Dzięki tej siatce możemy określać położenie różnych punktów na kuli ziemskiej. Położenie Warszawy to około 52 stopni szerokości geograficznej północnej i około 21 stopni długości geograficznej wschodniej, położenie Waszyngtonu to około 38 stopni szerokości geograficznej północnej i około 77 stopni długości geograficznej zachodniej. Położenie Chengcheng County w Chinach to około 35 stopni szerokości geograficznej północnej i około 110 stopni długości geograficznej wschodniej. Może wydawać się, że odległości pomiędzy naszą stolicą, a obydwoma miastami są mniej więcej równe, to Warszawę i Waszyngton dzieli około siedem tysięcy sto siedemdziesiąt trzy kilometry, zaś Warszawę i Chengcheng County sześć tysięcy dziewięćset dwadzieścia dwa kilometry.
Polecenie 1
Co, Twoim zdaniem, przedstawia poniższa grafika?
Rf6GzkiihspFN
Ilustracja
Źródło: Blueshade, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY 3.0.
Czy dostrzegasz tutaj jakieś figury geometryczne?
Gwiazdozbiory to obszary o pewnych granicach, które przybierają różne kształty. Przykładowe gwiazdozbiory to: Hydra, Herkules, Lew, Pegaz i Kasjopeja. Jak myślisz, który z podanych gwiazdozbiorów jest największy?
Wskazówka: Nazwa największego gwiazdozbioru pochodzi od potwora z mitologii greckiej.
Jest to schemat sklepienia niebieskiego z widocznymi – schematycznie ujętymi – gwiazdozbiorami. Figury geometryczne, które możemy dostrzec to okręgi, odcinki, łamane i wielokąty.
Największym ze wszystkich współczesnych gwiazdozbiorów jest Hydra, rozciąga się na około sfery niebieskiej. Sfera niebieska to abstrakcyjna sfera, która otacza obserwatora na Ziemi. Jest ona utożsamiana z tym, co widzi na niebie obserwator.
Zestaw ćwiczeń
fullpage
Pokaż ćwiczenia:
Zadania tutaj zamieszczone pozwalają kształcić swoją intuicję i umiejętność szacowania pól różnych obszarów na powierzchni kuli.
Popatrz dokładnie na globus i postaraj się odpowiedzieć na pytania, nie zaglądając do żadnych źródeł informacji.
Rd4GyooHbCkYl1
Ćwiczenie 1
Co jest większe: Grenlandia czy Ameryka Południowa? Kanada czy Australia? Wpisz odpowiednie znaki: mniejszy niż, równa się lub większy niż w oznaczone miejsca: Powierzchnia Grenlandii Tu uzupełnij Powierzchnia Ameryki Południowej Powierzchnia Kanady Tu uzupełnij Powierzchnia Australii
Co jest większe: Grenlandia czy Ameryka Południowa? Kanada czy Australia? Wpisz odpowiednie znaki: mniejszy niż, równa się lub większy niż w oznaczone miejsca: Powierzchnia Grenlandii Tu uzupełnij Powierzchnia Ameryki Południowej Powierzchnia Kanady Tu uzupełnij Powierzchnia Australii
1
Ćwiczenie 2
R13otTycd4gRJ
Zaznacz poprawną odpowiedź. Której z poniższych liczb jest najbliższy stosunek powierzchni oceanów do powierzchni lądów? Możliwe odpowiedzi: 1. jeden, 2. dwa, 3. trzy, 4. cztery
Oceany stanowią ogólnej powierzchni Ziemi, lądy , a więc stosunek obu powierzchni to około .
R4O2dlvEaBwRD1
Ćwiczenie 3
Dostępne opcje do wyboru: Oceanie Południowym, Oceanie Arktycznym, Oceanie Atlantyckim, Oceanie Indyjskim, Oceanie Spokojnym. Polecenie: Szelf kontynentalny jest zaznaczony na mapach kolorem jasnoniebieskim. Oceany są tam stosunkowo płytkie i stanowią środowisko, w którym żyje ogromna liczba gatunków organizmów żywych. W której części świata jest najwięcej szelfu kontynentalnego? Chyba łatwiej Ci będzie obserwować szelf na realnym globusie fizycznym. Przeciągnij poprawną odpowiedź. Najwięcej szelfu kontynentalnego jest na luka do uzupełnienia .
Dostępne opcje do wyboru: Oceanie Południowym, Oceanie Arktycznym, Oceanie Atlantyckim, Oceanie Indyjskim, Oceanie Spokojnym. Polecenie: Szelf kontynentalny jest zaznaczony na mapach kolorem jasnoniebieskim. Oceany są tam stosunkowo płytkie i stanowią środowisko, w którym żyje ogromna liczba gatunków organizmów żywych. W której części świata jest najwięcej szelfu kontynentalnego? Chyba łatwiej Ci będzie obserwować szelf na realnym globusie fizycznym. Przeciągnij poprawną odpowiedź. Najwięcej szelfu kontynentalnego jest na luka do uzupełnienia .
2
Ćwiczenie 4
R1dhGIXe02187
Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Obszary pustynne zajmują więcej niż jedną czwartą ogólnej powierzchni lądów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Obszary pustynne zajmują więcej niż jedną czwartą ogólnej powierzchni lądów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Według Encyklopedii PWN: „Obszary wybitnie suche zajmują obecnie powierzchni lądów, suche , a półsuche ok. ”, czyli w sumie obszary pustynne zajmują około lądów.
2
Ćwiczenie 5
Jak można zmierzyć odległość pomiędzy dwoma punktami na sferze? Podaj przykłady.
Mierzyć odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze możemy posługując się centymetrem krawieckim, nitką (jeśli chcemy mieć tę odległość wyrażoną w powszechnie używanych jednostkach długości i w stosunku do konkretnej sfery) lub w stopniach, jak w geografii (wtedy odległość ta jest niezależna od wielkości globusa.
2
Ćwiczenie 6
Które elementy umieszczone na globusie pomagają w precyzyjnym określeniu położenia różnych miejsc?
Pomóc może siatka geograficzna i układ współrzędnych geograficznych.
3
Ćwiczenie 7
Jeśli dwa punkty kuli ziemskiej leżą na tym samym równoleżniku, ale nie na równiku, to czy najkrótszą drogą między nimi jest łuk równoleżnika? Jak to zbadać? Posłuż się realnym globusem do sprawdzenia swoich przypuszczeń.
Nie jest. Można to zbadać rysując okrąg wielki przechodzący przez te dwa punkty i porównując drogi: wzdłuż równoleżnika i wzdłuż okręgu wielkiego.
3
Ćwiczenie 8
Jak myślisz, dlaczego trasa lotu z Warszawy do Chicago przebiega nad Grenlandią? Dlaczego czarterowa trasa przelotu z Warszawy do Edmonton przebiega nad Biegunem Północnym?
Okrąg wielki poprowadzony przez punkty oznaczające na globusie Warszawę i Chicago „zahacza” o Grenlandię (kto leciał przy dobrej pogodzie, to pamięta te widoki...), zaś okrąg wielki poprowadzony przez punkty oznaczające na globusie Warszawę i Edmonton przebiega blisko Bieguna Północnego (możesz spróbować zrobić doświadczenie: utworzyć z nitki okrąg wielki obiegający globus, przechodzący przez te dwa punkty).
Słownik
kula
kula
bryła obrotowa, która powstaje w wyniku obrotu koła wokół jego średnicy
sfera
sfera
powierzchnia kuli; powstaje w wyniku obrotu okręgu wokół jego średnicy
globus
globus
pomniejszony model ciała niebieskiego (najczęściej Ziemi) lub sfery niebieskiej w postaci kuli umieszczonej na osi ustawionej pod kątem odpowiadającym kątowi nachylenia osi danego ciała (przechodzącej przez jego biegun północny i południowy)
sklepienie niebieskie (sfera niebieska)
sklepienie niebieskie (sfera niebieska)
abstrakcyjna sfera o nieokreślonym promieniu otaczająca obserwatora znajdującego się na Ziemi, utożsamiana z widzianym przez niego niebem
metoda badawcza
metoda badawcza
sposób pracy nad poznaniem jakiegoś zjawiska charakteryzujący się zastosowaniem odpowiednich narzędzi badawczych oraz wykonaniem określonych czynności prowadzących do sformułowania wniosków i odkrycia nowej (dla podmiotu badającego) wiedzy
