R4MPJUMZitjX2
Na ilustracji przedstawiono krajobraz pól uprawnych. Dominują odcienie żółtego i zielonego.

Pola wielokątów

Źródło: dostępny w internecie: Fritz_the_Cat z Pixabay, domena publiczna.

6. Obliczanie pól wielokątów

Przystępując do remontu domu czy mieszkania, trzeba poświęcić trochę czasu na ułożenie planu pracy. To bardzo ważny element – dzięki niemu unikniemy błędów i skrócimy czas remontu. Najpierw dokładnie ustalamy wymiary pomieszczeń, następnie wykonujemy potrzebne obliczenia. Na przykład obliczamy pole powierzchni podłogi lub ścian. Możemy wtedy skorzystać z poznanych wzorów.

Rhattlxs6T9tn
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z poniższą mapą myśli, która zawiera wzory potrzebne do wyznaczenia pól różnych wielokątów. Będą one przydatne w całym materiale.

1
RjK3rwDL2blE9
Ilustracja interaktywna 1. Równoległobok Wzór na pole trójkąta: P△=12a·h., 2. Trójkąt Wzór na pole równoległoboku: P=a·h., 3. Romb Wzory na pole rombu: P=a·h lub P=12·p·q., 4. Kwadrat Wzór na pole kwadratu: P=a2., 5. Prostokąt Wzór na pole prostokąta: P=ab., 6. Trapez Wzór na pole trapezu: P=a+b·h2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z informacjami dotyczącymi wyznaczania pola wielokątów.

  1. Pole trójkąta

    P=12·a·h,
    gdzie a oznacza podstawę trójkąta oraz h wysokość trójkąta.

    Obok informacji znajduje się ilustracja przedstawiająca trójkąt z zaznaczoną wysokością o długości h prostopadłą do podstawy o długości a.

  2. Pole rombu

    1. P=a·h,
      gdzie a oznacza podstawę rombu oraz h wysokość rombu,

    2. P=p·q2,
      gdzie p, q są przekątnymi rombu.

    Obok informacji znajduje się ilustracja przedstawiająca romb z zaznaczoną wysokością o długości h prostopadłą do podstawy o długości a. Poza tym na rysunku znajdują się dwie przekątne rombu o długościach p i p.

  3. Pole prostokąta

    P=a·b,
    gdzie a, b oznaczają długości boków prostokąta.

    Obok informacji znajduje się ilustracja przedstawiająca prostokąt o szerokości a i długości b.

  4. Pole równoległoboku

    P=a·h,
    gdzie a oznacza długość podstawy równoległoboku, a h oznacza wysokość równoległoboku.

    Obok informacji znajduje się ilustracja przedstawiająca równoległobok z zaznaczoną wysokością o długości h prostopadłą do podstawy o długości a.

  5. Pole kwadratu

    P=a2,
    gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

    Obok informacji znajduje się ilustracja przedstawiająca kwadrat o krawędzi a.

  6. Pole trapezu

    P=a+b·h2
    gdzie a oznaczają długości podstaw trapezu, a h wysokość trapezu.

    Obok informacji znajduje się ilustracja przedstawiająca trapez z zaznaczoną wysokością o długości h prostopadłą do obu podstaw. Krótsza podstawa ma długość a, a dłuższa b.

Przeanalizuj poniższą animację i opisany poniżej przykład.

R1C9Ntg4alzuI1
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy obliczać pola dowolnych wielokątów.
Rq3QD5iDkmxO3
Ćwiczenie 1
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Możliwe odpowiedzi: 1. Panu Zbyszkowi wystarczy farby na dwukrotne pomalowanie sufitów we wszystkich pokojach., 2. Panu Zbyszkowi wystarczy farby na dwukrotne pomalowanie sufitów w sypialniach i większej łazience.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMQGbBmk4xcMQ
Ćwiczenie 2
Pan Zbyszek chciał polakierować parkiet w sypialni, której podłoga ma pole powierzchni równe 10,46 m2. Wybrał opakowanie lakieru o pojemności 0,75 litra w cenie 56,50 zł, które wystarcza na jednokrotne pomalowanie 9 m2 powierzchni. Oblicz, ile puszek lakieru musi kupić pan Zbyszek i ile za nie zapłaci, jeśli podłogę musi polakierować dwa razy.
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Pan Zbyszek musi kupić 3 puszki i zapłaci 169,50  złotych., 2. Pan Zbyszek musi kupić 5 puszki i zapłaci 159,49  złotych., 3. Pan Zbyszek musi kupić 2 puszki i zapłaci 111,24  złotych., 4. Pan Zbyszek musi kupić 4 puszki i zapłaci 136,72  złotych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Mieszkanie pana Zbyszka ma wysokość 2,70 m. Pan Zbyszek zamierza pomalować dwukrotnie na zielono te ściany jednej z sypialni, które nie mają otworów drzwiowych i okiennych.

R1Dc4V8GrxaAm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwsza ściana bez otworów ma długości 4 , 60   m , a druga ściana bez otworów ma długość 2,10 m.

Litr farby, który wystarcza na pomalowanie 15 m2 powierzchni, kosztuje 45,20 zł.

R5swV8KSPMNZo
Oblicz.
1. Ile litrów zielonej farby potrzebuje pan Zbyszek?
2. Ile złotych zapłaci pan Zbyszek za farbę, jeżeli jest ona sprzedawana w dwulitrowych puszkach po 45,20 zł za sztukę?
Przeciągnij i upuść odpowiednią liczbę we właściwe miejsce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 4

Oblicz pole narysowanej figury.

  1. RofexAt9xKopY1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. ROvQNv3lK6X9y
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RA5zvfbzLweUH
Pole pierwszej figury wynosi Tu uzupełnij cm2, pole drugiej figury wynosi Tu uzupełnij cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

R4f06HaULI9JM1
Animacja pokazuje różne prostokąty leżące na kratownicy, wierzchołki w punktach kratowych. Należy podać pola tych figur.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1vA5oqW6rw3G
Zaznacz wszystkie prawdziwe zadania. Możliwe odpowiedzi: 1. Pole figury składającej się z dwóch prostokąta o wymiarach 3 cm×9 cm oraz 2 cm×4 cm ma pole równe 35 cm2., 2. Pole figury składającej się z trzech prostokąta o wymiarach 4 cm×5 cm, 6 cm×7 cm oraz 5 cm×2 cm ma pole równe 72 cm2., 3. Pole figury składającej się z dwóch prostokąta o wymiarach 5 cm×10 cm oraz 8 cm×3 cm ma pole równe 74 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

RmM8amCXZnkZX1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć inny prostokąt o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RD3rmkAYNt5WK
Prostokąt o polu 18 cm2  Możliwe odpowiedzi: 1. 1 cm×32 cm, 2. 1 cm×18 cm, 3. 4 cm×8 cm, 4. 1 cm×48 cm, 5. 3 cm×16 cm, 6. 2 cm×24 cm, 7. 6 cm×8 cm, 8. 3 cm×6 cm, 9. 2 cm×16 cm, 10. 2 cm×9 cm Prostokąt o polu 48 cm2  Możliwe odpowiedzi: 1. 1 cm×32 cm, 2. 1 cm×18 cm, 3. 4 cm×8 cm, 4. 1 cm×48 cm, 5. 3 cm×16 cm, 6. 2 cm×24 cm, 7. 6 cm×8 cm, 8. 3 cm×6 cm, 9. 2 cm×16 cm, 10. 2 cm×9 cm Prostokąt o polu 32 cm2  Możliwe odpowiedzi: 1. 1 cm×32 cm, 2. 1 cm×18 cm, 3. 4 cm×8 cm, 4. 1 cm×48 cm, 5. 3 cm×16 cm, 6. 2 cm×24 cm, 7. 6 cm×8 cm, 8. 3 cm×6 cm, 9. 2 cm×16 cm, 10. 2 cm×9 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

RQQNAmdHob4BH1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć kwadrat o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Fni1xuIfpBr
Wstaw odpowiednią długość boku kwadratu w luki. Kwadrat o polu 25 cm2 ma bok długości 1. 5 cm, 2. 5 cm.
Kwadrat o polu 49 cm2 ma bok długości 1. 5 cm, 2. 5 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

RokBbYLu6EODK1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy zmieniając położenie wierzchołków utworzyć prostokąt o danym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R85CjzNJyrGQU
Wstaw odpowiednie liczby w luki. Prostokąt o polu 56 cm2 ma boki długości 7 cm oraz 1. 4 cm, 2. 11 cm, 3. 6 cm, 4. 28 cm, 5. 7 cm, 6. 5 cm, 7. 12 cm, 8. 8 cm.
Prostokąt o polu 72 cm2 ma boki długości 6 cm oraz 1. 4 cm, 2. 11 cm, 3. 6 cm, 4. 28 cm, 5. 7 cm, 6. 5 cm, 7. 12 cm, 8. 8 cm.
Prostokąt o polu 63 cm2 ma boki długości 9 cm oraz 1. 4 cm, 2. 11 cm, 3. 6 cm, 4. 28 cm, 5. 7 cm, 6. 5 cm, 7. 12 cm, 8. 8 cm.
Prostokąt o polu 18 cm2 ma boki długości 3 cm oraz 1. 4 cm, 2. 11 cm, 3. 6 cm, 4. 28 cm, 5. 7 cm, 6. 5 cm, 7. 12 cm, 8. 8 cm.
Prostokąt o polu 112 cm2 ma boki długości 7 cm oraz 1. 4 cm, 2. 11 cm, 3. 6 cm, 4. 28 cm, 5. 7 cm, 6. 5 cm, 7. 12 cm, 8. 8 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

R1KpwbF1scK1y1
Animacja pokazuje kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RHEjx7gT4miDw
Połącz w pary opis kwadratu z jego polem. Kwadrat o boku długości 4 cm ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1. 81 cm2, 2. 36 cm2, 3. 16 cm2, 4. 49 cm2, 5. 1 cm2 Kwadrat o boku długości 6 cm ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1. 81 cm2, 2. 36 cm2, 3. 16 cm2, 4. 49 cm2, 5. 1 cm2 Kwadrat o boku długości 9 cm ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1. 81 cm2, 2. 36 cm2, 3. 16 cm2, 4. 49 cm2, 5. 1 cm2 Kwadrat o boku długości 1 cm ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1. 81 cm2, 2. 36 cm2, 3. 16 cm2, 4. 49 cm2, 5. 1 cm2 Kwadrat o boku długości 7 cm ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1. 81 cm2, 2. 36 cm2, 3. 16 cm2, 4. 49 cm2, 5. 1 cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 10

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

R1CD7x4nRBRHb1
Animacja pokazuje prostokąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych kratownicy. Należy podać pole danego prostokąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsBvA3v5RLKQb
Połącz w pary wymiary prostokąta z jego polem. 1 cm×9 cm Możliwe odpowiedzi: 1. 21 cm2, 2. 48 cm2, 3. 20 cm2, 4. 9 cm2, 5. 2 cm2 1 cm×2 cm Możliwe odpowiedzi: 1. 21 cm2, 2. 48 cm2, 3. 20 cm2, 4. 9 cm2, 5. 2 cm2 4 cm×5 cm Możliwe odpowiedzi: 1. 21 cm2, 2. 48 cm2, 3. 20 cm2, 4. 9 cm2, 5. 2 cm2 7 cm×3 cm Możliwe odpowiedzi: 1. 21 cm2, 2. 48 cm2, 3. 20 cm2, 4. 9 cm2, 5. 2 cm2 6 cm×8 cm Możliwe odpowiedzi: 1. 21 cm2, 2. 48 cm2, 3. 20 cm2, 4. 9 cm2, 5. 2 cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 11

Oblicz pole figury składającej się z jednakowych niebieskich trójkątów, w których jeden z boków ma długość 6 cm, a wysokość opuszczona na ten bok ma 4 cm długości.

R4Weo1n2BC6SM1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole figury składającej się z siedmiu jednakowych niebieskich trójkątów, w których jeden z boków ma długość 6 cm, a wysokość opuszczona na ten bok ma 4 cm długości.

RePQUAqaxu9vg
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Pole figury jest równe 84 cm2., 2. Pole figury jest równe 74 cm2., 3. Pole figury jest równe 86 cm2., 4. Pole figury jest równe 92 cm2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnDQ1EnXUqnYf
Ćwiczenie 12
Pokój ma kształt prostopadłościanu. Jego podłoga ma wymiary 4,5 m i 3,5 m, a wysokość jest równa 2,5 m.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RIv52oTwOJ8KT
Ćwiczenie 13
Pole trapezu jest równe 60 cm2. Jedna podstawa ma 8 cm długości, a druga jest cztery razy krótsza. Oblicz długość wysokości tego trapezu.
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Wysokość trapezu ma długość 12 cm., 2. ysokość trapezu ma długość 10 cm., 3. ysokość trapezu ma długość 8 cm., 4. ysokość trapezu ma długość 14 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1VWlNYlPGKOg
Ćwiczenie 14
Przekątna kwadratowego telewizora ma 28 cali . Jaka jest powierzchnia ekranu wiedząc, że 1 cal =2,54 cm? Możliwe odpowiedzi: 1. 2529,03 cm2, 2. 6395978,58 cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 15
R1IdEMvEv20Xw
Przekątne rombu mają długości 8 cm i 6 cm. Oblicz długość boku tego rombu, jeżeli długość jego wysokości jest równa 4,8 cm.
Wpisz w wyznaczone miejsce odpowiednią liczbę. Bok rombu ma długość Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 16

Znajdź wymiary pasa startowego dowolnego lotniska w Europie. Oblicz jego pole powierzchni.

R2g6QTKaFGfrZ
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.