RSqdCaxK9BJGC
Ilustracja przedstawia biurko na którym położono ołówek i ekierkę.

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

6. Własności trójkątów

W Europie znajdują się trzy znane trójkątne rynki: w Bonn, Paryżu i  Łowiczu.
Legenda głosi, że na Nowym Rynku w Łowiczu stał kiedyś ratusz, ale zawalił się za sprawą kobiety, którą spalono, oskarżoną o czary. Przez długie lata rynek pełnił funkcję targowiska. W czasie wojny jego część włączono do getta. Obecnie na rynku, wokół znajdującej się tam fontanny, organizowane są imprezy kulturalne.

Trójkąt

Trójkąt to wielokąt, który ma trzy boki.

R11uANRcgPmDX1
Rysunek trójkąta o wierzchołkach A B C. Wskazany jest wierzchołek i bok trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • A, B, C – wierzchołki trójkąta

  • AC, CB, AB – boki trójkąta

  • L=AC+CB+AB – obwód trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta
Definicja: Kąt zewnętrzny trójkąta

Kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.

R1EPl1mRfIQvV1
Rysunek trójkąta z oznaczonym kątem wewnętrznym alfa oraz kątami zewnętrznymi beta i gamma przy tym samym wierzchołku. Kąty beta i gamma są przyległe do kąta alfa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

β, γ – kąty zewnętrzne, przyległe do kąta α

Nierówność trójkąta

1
Przykład 1

Jak myślisz, czy z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt? Jaka musi być zależność miedzy długościami takich odcinków?
Sprawdź swoje przypuszczenia, wykorzystując poniższą konstrukcję. Zmieniaj długość jednego z odcinków i obserwuj, w jakiej sytuacji można z danych odcinków zbudować trójkąt.

RGaMhnF1KHSi61
Animacja ilustruje nierówność trójkąta. Dane są odcinki a, b i c, które są bokami trójkąta A B C. Zmieniając długość każdego odcinka obserwujemy, czy da się skonstruować z nich trójkąt. Okazuje się, że trójkąta nie można zbudować, jeżeli najdłuższy bok nie jest krótszy od sumy pozostałych boków. Tą własność nazywamy nierównością trójkąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Due0IZqGh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąta nie dało się zbudować, gdy najdłuższy z odcinków miał większą długość niż suma długości dwóch pozostałych odcinków.

Nierówność trójkąta
Twierdzenie: Nierówność trójkąta

W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

a<b+c,
b<a+c,
c<a+b.

Rodzaje trójkątów

Trójkąty klasyfikujemy ze względu na miary ich kątów na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.

RqCMvYYroEd7t1
Rysunek trzech trójkątów. Trójkąt ostrokątny o kątach wewnętrznych: alfa mniejszym od 90 stopni, beta mniejszym od 90 stopni i gamma mniejszym od 90 stopni. Trójkąt prostokątny o kątach wewnętrznych: alfa mniejszym od 90 stopni, beta mniejszym od 90 stopni i gamma równym 90 stopni. Trójkąt rozwartokątny o kątach wewnętrznych: alfa większym od 90 stopni, beta mniejszym od 90 stopni i gamma mniejszym od 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  • Każdy kąt trójkąta ostrokątnego ma miarę mniejszą od 90°.

  • W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę równą 90°.

  • W trójkącie rozwartokątnym miara jednego z kątów jest większa od 90°.

Ćwiczenie 1

Narysuj kilka trójkątów.

R1bZqBU222owX
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyobraź sobie kilka trójkątów.

  1. Wskaż w każdym z nich kąt o największej mierze i najdłuższy bok. Określ ich wzajemne położenie.

  2. Wskaż w każdym trójkącie najkrótszy bok i kąt o najmniejszej mierze. Określ ich wzajemne położenie.

Co zauważasz?

Ważne!

W trójkącie różnobocznym naprzeciw najdłuższego boku leży kąt o największej mierze.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono dziewięć trójkątów oznaczonych literami od A do I.

RCKIcRpv7o9v4
Różna rodzaje trójkątów
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1C25CeYrj2aR
Przyporządkuj figury do odpowiednich grup. Łamane otwarte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Łamane zamknięte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Figury, które nie są łamanymi Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R4oB0YejpsuVQ
Przeciągnij i upuść odpowiednie opisy trójkątów. trójkątny prostokątne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 75°, 75°, 30°, 2. trójkąt o kątach 35°, 55°, 90°, 3. trójkąt o kątach 85°, 70°, 35°, 4. trójkąt o kątach 20°, 70°, 90°, 5. trójkąt o kątach 60°, 60°, 60°, 6. trójkąt o kątach 100°, 40°, 40°, 7. trójkąt o kątach 45°, 90°, 45°, 8. trójkąt o kątach 120°, 15°, 45°, 9. trójkąt o kątach 50°, 15°, 115°, 10. trójkąt o kątach 55°, 95°, 30°, 11. trójkąt o kątach 80°, 40°, 60°, 12. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40° trójkąty rozwartokątne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 75°, 75°, 30°, 2. trójkąt o kątach 35°, 55°, 90°, 3. trójkąt o kątach 85°, 70°, 35°, 4. trójkąt o kątach 20°, 70°, 90°, 5. trójkąt o kątach 60°, 60°, 60°, 6. trójkąt o kątach 100°, 40°, 40°, 7. trójkąt o kątach 45°, 90°, 45°, 8. trójkąt o kątach 120°, 15°, 45°, 9. trójkąt o kątach 50°, 15°, 115°, 10. trójkąt o kątach 55°, 95°, 30°, 11. trójkąt o kątach 80°, 40°, 60°, 12. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40° trójkąty ostrokątne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 75°, 75°, 30°, 2. trójkąt o kątach 35°, 55°, 90°, 3. trójkąt o kątach 85°, 70°, 35°, 4. trójkąt o kątach 20°, 70°, 90°, 5. trójkąt o kątach 60°, 60°, 60°, 6. trójkąt o kątach 100°, 40°, 40°, 7. trójkąt o kątach 45°, 90°, 45°, 8. trójkąt o kątach 120°, 15°, 45°, 9. trójkąt o kątach 50°, 15°, 115°, 10. trójkąt o kątach 55°, 95°, 30°, 11. trójkąt o kątach 80°, 40°, 60°, 12. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.

  • Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości, nazywamy trójkątem równobocznym.

  • Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennym.

  • Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznym.

    RKcAzwDaom0qU1
    Rysunek trzech trójkątów. Trójkąt równoramienny o kącie między ramionami beta i dwóch kątach przy podstawie alfa. Trójką równoboczny o kątach 60 stopni. Trójkąt różnoboczny o kątach alfa, beta, gamma.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono dziewięć trójkątów oznaczonych literami od A do I.

R1bfSfBUJ4imd
Różna rodzaje trójkątów
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1TeWcdSNmpx5
Przyporządkuj figury do odpowiednich grup. Łamane otwarte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Łamane zamknięte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Figury, które nie są łamanymi Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R140NnFTgDd9Q
Przeciągnij i upuść odpowiednie opisy trójkątów. trójkąty równoboczne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o bokach 2 cm, 6 cm, 6 cm, 2. trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, 3 cm, 3. trójkąt o bokach 4 cm, 7 cm, 4 cm, 4. trójkąt o bokach 5 cm, 5 cm, 5 cm, 5. trójkąt o bokach 3 cm, 5 cm, 5 cm, 6. trójkąt o bokach 7 cm, 7 cm, 7 cm, 7. trójkąt o bokach 5 cm, 7 cm, 10 cm, 8. trójkąt o bokach 5 cm, 4 cm, 6 cm, 9. trójkąt o bokach 2 cm, 2 cm, 2 cm trójkąty równoramienne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o bokach 2 cm, 6 cm, 6 cm, 2. trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, 3 cm, 3. trójkąt o bokach 4 cm, 7 cm, 4 cm, 4. trójkąt o bokach 5 cm, 5 cm, 5 cm, 5. trójkąt o bokach 3 cm, 5 cm, 5 cm, 6. trójkąt o bokach 7 cm, 7 cm, 7 cm, 7. trójkąt o bokach 5 cm, 7 cm, 10 cm, 8. trójkąt o bokach 5 cm, 4 cm, 6 cm, 9. trójkąt o bokach 2 cm, 2 cm, 2 cm trójkąty różnoboczne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o bokach 2 cm, 6 cm, 6 cm, 2. trójkąt o bokach 2 cm, 4 cm, 3 cm, 3. trójkąt o bokach 4 cm, 7 cm, 4 cm, 4. trójkąt o bokach 5 cm, 5 cm, 5 cm, 5. trójkąt o bokach 3 cm, 5 cm, 5 cm, 6. trójkąt o bokach 7 cm, 7 cm, 7 cm, 7. trójkąt o bokach 5 cm, 7 cm, 10 cm, 8. trójkąt o bokach 5 cm, 4 cm, 6 cm, 9. trójkąt o bokach 2 cm, 2 cm, 2 cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono dziewięć trójkątów oznaczonych literami od A do I.

R6B4mES2zz77d
Różna rodzaje trójkątów
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKjIngkkeOy9M
Przyporządkuj figury do odpowiednich grup. Łamane otwarte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Łamane zamknięte Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G Figury, które nie są łamanymi Możliwe odpowiedzi: 1. H, 2. A, 3. I, 4. F, 5. D, 6. C, 7. E, 8. B, 9. G
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DPyAV1OrU4q
Przeciągnij i upuść odpowiednie opisy trójkątów. trójkąty równoramienne ostrokątne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 70°, 70°, 40°, 2. trójkąt o kątach 20°, 20°, 140°, 3. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40°, 4. trójkąt o kątach 50°, 75°, 75°, 5. trójkąt o kątach 80°, 20°, 80°, 6. trójkąt o kątach 20°, 90°, 70°, 7. trójkąt o kątach 70°, 80°, 30°, 8. trójkąt o kątach 40°, 100°, 40°, 9. trójkąt o kątach 120°, 30°, 30°, 10. trójkąt o kątach 90°, 45°, 45° trójkąty równoramienne prostokątne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 70°, 70°, 40°, 2. trójkąt o kątach 20°, 20°, 140°, 3. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40°, 4. trójkąt o kątach 50°, 75°, 75°, 5. trójkąt o kątach 80°, 20°, 80°, 6. trójkąt o kątach 20°, 90°, 70°, 7. trójkąt o kątach 70°, 80°, 30°, 8. trójkąt o kątach 40°, 100°, 40°, 9. trójkąt o kątach 120°, 30°, 30°, 10. trójkąt o kątach 90°, 45°, 45° trójkąty równoramienne rozwartokątne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 70°, 70°, 40°, 2. trójkąt o kątach 20°, 20°, 140°, 3. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40°, 4. trójkąt o kątach 50°, 75°, 75°, 5. trójkąt o kątach 80°, 20°, 80°, 6. trójkąt o kątach 20°, 90°, 70°, 7. trójkąt o kątach 70°, 80°, 30°, 8. trójkąt o kątach 40°, 100°, 40°, 9. trójkąt o kątach 120°, 30°, 30°, 10. trójkąt o kątach 90°, 45°, 45° trójkąty, które nie są równoramienne Możliwe odpowiedzi: 1. trójkąt o kątach 70°, 70°, 40°, 2. trójkąt o kątach 20°, 20°, 140°, 3. trójkąt o kątach 90°, 50°, 40°, 4. trójkąt o kątach 50°, 75°, 75°, 5. trójkąt o kątach 80°, 20°, 80°, 6. trójkąt o kątach 20°, 90°, 70°, 7. trójkąt o kątach 70°, 80°, 30°, 8. trójkąt o kątach 40°, 100°, 40°, 9. trójkąt o kątach 120°, 30°, 30°, 10. trójkąt o kątach 90°, 45°, 45°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5
RJe4wkKaUMamw
Przeciągnij i upuść nazwy trójkątów na właściwy rysunek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RW9nUu9BOM48f
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie pojęcia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąt, który ma kąt 90°, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.Trójkąt, który ma wszystkie kąty mniejsze niż 90°, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.Trójkąt, który ma kąt większy niż 90°, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.Trójkąt, który ma wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.Trójkąt, który ma kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.Trójkąt, który ma kąt 90° o dwa boki równej długości, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości, to trójkąt 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3. rozwartokątny równoramienny, 4. ostrokątny równoramienny, 5. prostokątny równoramienny, 6. ostrokątny, 7. równoboczny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma kątów w trójkącie

1
Przykład 2

Czy pamiętasz, ile stopni jest równa suma miar kątów trójkąta?

R1TXjzbYqV96f1
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Dany jest trójkąt A B C. Oznaczamy kąty wewnętrzne trójkąta odpowiednio alfa, beta, gamma. Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez wierzchołek C. W wierzchołku C zaznaczamy dwa kąty zewnętrzne do kąta gamma. Są one równe miarom kątów alfa i beta trójkąta, jako kąty naprzemianległe. Suma kątów alfa, beta i gamma jest równa sumie kątów zewnętrznych i gamma, które tworzą kąt półpełny o wierzchołku C. Ich suma jest równa 180 stopni. Otrzymujemy wzór alfa + beta + gamma = 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Due0IZqGh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RJiyqHUe6Dn1
Animacja prezentuje trójkąt A B C, którego kąty alfa=80 stopni, beta=51 stopni i gamma=49 stopni.. Kąty alfa, beta, gamma tworzą kąt półpełny, czyli 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Due0IZqGh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Suma miar kątów trójkąta
Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.

R1P3NgKlZlPMZ1
Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, beta, gamma. Alfa + beta + gamma =180 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Wniosek

  • Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.

  • Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa 90°.

α<90°, β<90°
α+β=90°
Przykład 3

Znajdziemy miarę kąta α.

R5kDBhzMYVBpP1
Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, 80 stopni i 30 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa 180°.

α+80°+30°=180°
α+110°=180°
α=180°-110°
α=70°

Odpowiedź:

Miara kąta α jest równa 70°.

Przykład 4

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 40°. Obliczymy miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne – rozpatrzymy dwa przypadki.
Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa 180°.

  • Przypadek I

Kąt o mierze 40° jest kątem między ramionami trójkąta.

R184F86RRE7At1
Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych alfa, alfa i 40 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
α+α+40°=180°
2⋅α=180°-40°
2α=140° |:2
α=70°

Odpowiedź:

Miary pozostałych kątów trójkąta są równe 70° i 70°.

  • Przypadek II

Kąt o mierze 40° jest kątem przy podstawie trójkąta.

R1EHHpIWEgueA1
Rysunek trójkąta o kątach wewnętrznych beta, 40 stopni i 40 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
β+40°+40°=180°
β+80°=180°
β=180°-80°
β=100°

Odpowiedź:

Miara kąta β jest równa 100°.

Wysokości trójkąta

Wysokość trójkąta
Definicja: Wysokość trójkąta

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą, zawierającą przeciwległy bok i prostopadły do tej prostej. Trójkąt ma trzy wysokości.

R1SwZyMjisH3v1
Rysunek trzech trójkątów. Trójkąt ostrokątny o bokach a, b, c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c. Trójkąt rozwartokątny o bokach a, b, c i wysokościach poprowadzonych do odpowiednich boków: h z indeksem dolnym a, h z indeksem dolnym b, h z indeksem dolnym c.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Środek ciężkości trójkąta

Ważnym punktem związanym z trójkątem, nie tylko dla matematyków, ale przede wszystkim dla fizyków, jest środek ciężkości trójkąta.
Można powiedzieć w uproszczeniu, że najczęściej środek ciała pokrywa się ze środkiem jego masy. Informacja o tym, gdzie znajduje się ten punkt, jest bardzo ważna w budownictwie czy architekturze, ale również w skokach spadochronowych, balecie, czynnościach czy zawodach wymagających ustalenia takiego punktu podparcia, aby zachować równowagę.

W trójkącie środek ciężkości zawsze leży w jego wnętrzu. Odnajdujemy go, konstruując najpierw środki boków trójkąta, a następnie łącząc odcinkiem każdy wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Te trzy odcinki, które przecinają się w jednym punkcie, nazywamy środkowymi boków trójkąta. Ten punkt wyznacza właśnie środek ciężkości trójkąta.

Środkowa boku trójkąta
Definicja: Środkowa boku trójkąta

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.

1
Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.

RsWoysPkMrQn51
Animacja pokazuje w sześciu krokach wyznaczanie środka ciężkości trójkąta. Środek ciężkości danej figury to taki punkt, który skupia całą masę tej figury. Znaczy to, że podkładając w tym miejscu palec, możemy utrzymać całą figurę w położeniu równowagi. Dany jest trójkąt A B C. W celu odnalezienia jego środka ciężkości tworzymy środki jego boków. Jeżeli połączymy środki każdego boku trójkąta z przeciwnym mu wierzchołkiem trójkąta, to okazuje się, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. Odcinki te nazywamy środkowymi trójkąta. Punkt przecięcia środkowych trójkąta wyznacza jego środek ciężkości. Zmieniając położenie wierzchołków zauważamy, że środek ciężkości trójkąta zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta. Zauważamy też ważną własność trójkąta. Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową tego trójkąta w stosunku dwa do jednego, przy czym końcem dłuższego odcinka jest wierzchołek trójkąta.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Due0IZqGh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Środkowe boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie zwanym środkiem ciężkości trójkąta.

Środek ciężkości trójkąta
Twierdzenie: Środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą ze środkowych tego trójkąta w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

RmLVqeCBOcTf21
Rysunek trójkąta z poprowadzonymi trzema środkowymi a, b i c. Środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten dzieli każdą środkową na dwa odcinki o stosunku dwa do jednego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5

Środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie odległym od boku o 3 cm. Obliczymy wysokość tego trójkąta.

RDvhkOaqb82dj1
Rysunek trójkąta równobocznego z poprowadzonymi dwoma środkowymi, które przecinają się w jednym punkcie. Odległość od punktu przecięcia do wierzchołka wynosi x, a od punktu przecięcia do boku 3 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu przecięcia środkowych od wierzchołka jest dwa razy większa od odległości tego punktu od boku.

W trójkącie równobocznym środkowe boków są zarazem jego wysokościami. Czyli

x=2⋅3 cm=6 cm.

Wysokość h jest więc równa

h=6 cm+3 cm=9 cm

Odpowiedź:

Wysokość trójkąta jest równa 9 cm.

Ćwiczenie 6

Narysuj odcinki: a=3 cm, b=4 cm, c=4 cm, d=5 cm, e=6 cm.
Skonstruuj trójkąt z odcinków

  1. a, b, b

  2. a, b, d

  3. a, d, e

Rhbf4NTa3qLqN
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dane są odcinki: a=3 cm, b=4 cm, c=5 cm, d=8 cm. Podaj wszystkie trójki boków, z których można zbudować trójkąty.

RsmlZOf3BAUtJ
Ćwiczenie 7
Z których odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. a= 5 cm, b=8 cm, c=13 cm, 2. a=5 cm, b=5 cm, c=12 cm, 3. a=5 cm, b=6 cm, c=8 cm, 4. a=1 dm, b=1 dm, c=1 dm

  • a =   5  cm , b  =   8  cm , c  =   13  cm
  • a  =   5  cm , b  =   5  cm , c  =   12  cm
  • a  =   5  cm , b  =   6  cm , c  =   8  cm
  • a  =   1  dm , b  =   1  dm , c = 1 dm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rn8rZSTvTEUPM
Ćwiczenie 8
Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Odcinki a=7 cm, b=5 cm, c są bokami trójkąta. Długość odcinka c może być równa Możliwe odpowiedzi: 1. 12   cm , 2. 4   cm , 3. 9   cm

  • 12   cm
  • 4   cm
  • 9   cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MQjOL85mRpp
Ćwiczenie 9
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Możliwe odpowiedzi: 1. Długość boku trójkąta może być równa połowie obwodu tego trójkąta., 2. Długość boku trójkąta może być większa od wysokości tego trójkąta., 3. Obwód trójkąta może być dwukrotnie większy od długości najdłuższego z boków tego trójkąta., 4. Obwód trójkąta może być trzykrotnie większy od jednego z boków tego trójkąta.

  • Długość boku trójkąta może być równa połowie obwodu tego trójkąta.
  • Długość boku trójkąta może być większa od wysokości tego trójkąta.
  • Obwód trójkąta może być dwukrotnie większy od długości najdłuższego z boków tego trójkąta.
  • Obwód trójkąta może być trzykrotnie większy od jednego z boków tego trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBnb5awiCZpHO
Ćwiczenie 10
Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. Trójkąt prostokątny może być Możliwe odpowiedzi: 1. równoramienny., 2. równoboczny., 3. różnoboczny.

  • równoramienny
  • równoboczny
  • różnoboczny
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 11
R1PSDdGvt4ubE
Trójkąt ABC ma trzy osie symetrii. Długość części dwusiecznej jednego z kątów trójkąta zawartej w trójkącie wynosi 4 cm. Oblicz sumę długości wysokości trójkąta i miary kątów trójkąta, następnie kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Suma długości wysokości wynosi 1. 30°, 2. 8, 3. 60°, 4. 90°, 5. 45°, 6. 16, 7. 14, 8. 10, 9. 45°, 10. 90°, 11. 45°, 12. 60°, 13. 90°, 14. 30°, 15. 12, 16. 30°, 17. 60° cm.

Miary kątów wynoszą 1. 30°, 2. 8, 3. 60°, 4. 90°, 5. 45°, 6. 16, 7. 14, 8. 10, 9. 45°, 10. 90°, 11. 45°, 12. 60°, 13. 90°, 14. 30°, 15. 12, 16. 30°, 17. 60°, 1. 30°, 2. 8, 3. 60°, 4. 90°, 5. 45°, 6. 16, 7. 14, 8. 10, 9. 45°, 10. 90°, 11. 45°, 12. 60°, 13. 90°, 14. 30°, 15. 12, 16. 30°, 17. 60° oraz 1. 30°, 2. 8, 3. 60°, 4. 90°, 5. 45°, 6. 16, 7. 14, 8. 10, 9. 45°, 10. 90°, 11. 45°, 12. 60°, 13. 90°, 14. 30°, 15. 12, 16. 30°, 17. 60°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 12
R19DTYPjZa8VO
Oblicz obwód trójkąta, w którym jeden bok ma długość 8 cm, a każdy następny jest o 6 cm dłuższy od poprzedniego. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 13
RIWeGa5u1kGJR
Obwód trójkąta równobocznego wynosi 66 cm. Oblicz długość jego boku. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Obwód trójkąta wynosi Tu uzupełnij cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 14

Dwa boki trójkąta równoramiennego mają długości 3 cm i 6 cm. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.

Rt0p2j0wZt3Q4
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 15
RSJDPjr1H2LV5
Połącz w pary rysunek trójkąta z jego nazwą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmD4Q3CU9TYtJ
Połącz w pary. trójkąt równoramienny ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°. trójkąt równoramienny prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°. trójkąt równoramienny rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°. trójkąt równoboczny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°. trójkąt ostrokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°. trójkąt prostokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°. trójkąt rozwartokątny Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze od 90°., 2. Trójkąt, który posiada kąt większy od 90°., 3. Trójkąt, który posiada kąt większy niż 90° i dwa boki równej długości., 4. Trójkąt, który posiada kąt 90° i dwa boki równej długości., 5. Trójkąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości., 6. Trójkąt, który posiada wszystkie kąty mniejsze niż 90° i dwa boki równej długości., 7. Trójkąt, który posiada kąt 90°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 16

Zapoznaj się z poniższą grafiką. Czy trójkąt ABC jest równoramienny?

RT7BlVfLuqaMO1
Rysunek trójkąta A B C. Przy wierzchołku A zaznaczony kąt prosty, przy wierzchołku B kąt 45 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RzW9DxUbK8AYB
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, ponieważ trójkąt ma wszystkie kąty takie same., 2. Nie, ponieważ trójkąt jest prostokątny., 3. Tak, ponieważ trójkąt jest prostokątny, a drugi kąt ma miarę 45 ° ., 4. Nie, ponieważ trójkąt ma dwa równe kąty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FVMrmUjPziF
Ćwiczenie 17
Ile wynosi suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 45 ° , 2. 65 ° , 3. 60 ° , 4. 90 °

  • 45 °  
  • 65 °
  • 60 °  
  • 90 °
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rp90tijxoegXv
Ćwiczenie 18
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Kąt zewnętrzny, przyległy do kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego, ma miarę 150°. Największy z kątów tego trójkąta jest równy 1. 55, 2. 75, 3. 32, 4. 45@@36, 5. 36@@45, 6. 65, 7. 110, 8. 130, 9. 120, 10. 34°.Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę 30°. Miara jednego z pozostałych kątów tego trójkąta jest równa 1. 55, 2. 75, 3. 32, 4. 45@@36, 5. 36@@45, 6. 65, 7. 110, 8. 130, 9. 120, 10. 34°.W trójkącie równoramiennym miara jednego z kątów jest dwa razy większa od miary drugiego. Wtedy najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę 1. 55, 2. 75, 3. 32, 4. 45@@36, 5. 36@@45, 6. 65, 7. 110, 8. 130, 9. 120, 10. 34° lub 1. 55, 2. 75, 3. 32, 4. 45@@36, 5. 36@@45, 6. 65, 7. 110, 8. 130, 9. 120, 10. 34°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 19
R1du3dKWy6ejI
Wysokość poprowadzona do podstawy AB w trójkącie równoramiennym ABC ma długość 10 cm. Kąt przy podstawie trójkąta ma miarę 45°. Oblicz długość podstawy AB. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Podstawa AB ma długość Tu uzupełnij cm
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 20

Można wykazać, że w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych o miarach 30° i 60° długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta o mierze 30° jest równa połowie długości przeciwprostokątnej. Korzystając z tej własności, rozwiąż poniższe zadania.

  1. Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości 12 cm i kątach ostrych o miarach 30°, 60°. Oblicz długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta o mierze 30°.

  2. Dany jest trójkąt prostokątny, w którym najdłuższy bok ma długość 5 cm, a najkrótszy 2,5 cm. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta.

  3. Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 60°. Przyprostokątna leżąca naprzeciw drugiego z kątów ostrych ma długość 9 cm. Uzasadnij, że długość drugiej przyprostokątnej jest mniejsza od 27 cm.

R1FCB64N6HJMx
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11GtUIqcU9K7
Ćwiczenie 21
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt., 2. Trójkąt równoboczny ma środek symetrii., 3. Istnieje trójkąt prostokątny, który ma oś symetrii., 4. Trójkąt rozwartokątny może być równoramienny.

  • Z każdych trzech odcinków można zbudować trójkąt.
  • Trójkąt równoboczny ma środek symetrii.
  • Istnieje trójkąt prostokątny, który ma oś symetrii.
  • Trójkąt rozwartokątny może być równoramienny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6JDqcslxltZl
Ćwiczenie 22
Uzupełnij zdanie. 1. W trójkącie równobocznym miara kąta ostrego jest równa 1. trzy, 2. jeden, 3. 100, 4. 60, 5. 30, 6. 60, 7. dwa, 8. 45, 9. 120, 10. dwa, 11. 90, 12. 90 stopni.
2. W trójkącie prostokątnym równoramiennym miara kata ostrego jest 1. trzy, 2. jeden, 3. 100, 4. 60, 5. 30, 6. 60, 7. dwa, 8. 45, 9. 120, 10. dwa, 11. 90, 12. 90 razy mniejsza od miary kata prostego.
3. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty . W każdym z tych trójkątów największy z kątów ma miarę 1. trzy, 2. jeden, 3. 100, 4. 60, 5. 30, 6. 60, 7. dwa, 8. 45, 9. 120, 10. dwa, 11. 90, 12. 90 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 23

Narysuj trójkąt równoboczny ABC i zaznacz jego wysokość. Wysokości podzieliły trójkąt ABC na 6 trójkątów. Oblicz miary kątów każdego z tych trójkątów. Odpowiedzi wpisz w puste luki.

RRsm6Qh21q6yC
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozważ trójkąt równoboczny ABC. Wysokości trójkąta ABC dzielą go na 6 mniejszych trójkątów. Oblicz miary kątów każdego z tych trójkątów.

R1aiSV1sUmU91
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13foKAKVTldQ
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności malejącej. Miary kątów w każdym z tych trójkątów są równe Tu uzupełnij°, Tu uzupełnij° oraz Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rn18lThQxDRrF
Ćwiczenie 24
Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku C w trójkącie ABC, jeśli: ∠A=45°, ∠B=125° Możliwe odpowiedzi: 1. 90°, 2. 10°, 3. 85° ∠A=∠B=45° Możliwe odpowiedzi: 1. 90°, 2. 10°, 3. 85° ∠A=90°, ∠B=5° Możliwe odpowiedzi: 1. 90°, 2. 10°, 3. 85°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 25
R1WLh5v4mmmWi
W trójkącie ABC kąt ABC jest dwukrotnie większy od kąta BAC. Kąt ACB jest trzykrotnie większy od kąta BAC. Oblicz miary każdego z tych kątów. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności malejącej. Odpowiedź: Miary kątów tego trójkąta wynoszą Tu uzupełnij°, Tu uzupełnij° oraz Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 26

Czy spodki dwóch wysokości trójkąta mogą nie należeć do tego trójkąta? Jeśli to możliwe, narysuj taki trójkąt. Jeśli nie, odpowiedź uzasadnij.

R1a030uEgWDKP
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rxqek4fO5uyZc
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czy spodki dwóch wysokości trójkąta mogą nie należeć do tego trójkąta? Jeśli to możliwe, podaj przykład takiego trójkąta. Jeśli nie, odpowiedź uzasadnij.

R1KAjbYbx9sg8
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RAn58RHct1mLC
Ćwiczenie 27
Połącz w pary pole trójkąta z opisem tego trójkąta. podstawa trójkąta ma długość 1 m, a wysokość poprowadzona do tej podstawy jest równa 2 m Możliwe odpowiedzi: 1. 24,5 m2, 2. 1 m2, 3. 24 cm2 trójkąt jest prostokątny i jego przyprostokątne są równe 6 cm i 8 cm Możliwe odpowiedzi: 1. 24,5 m2, 2. 1 m2, 3. 24 cm2 podstawa trójkąta jest równa wysokości poprowadzonej do tej podstawy i wynosi 7 m Możliwe odpowiedzi: 1. 24,5 m2, 2. 1 m2, 3. 24 cm2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 28

Narysuj wszystkie wysokości trójkąta.

R10NcAWizdMuq1
Rysunek trzech trójkątów: ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R5VMeJkXUHmM8
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R30AocdP84X1l
Ćwiczenie 28
Zaznacz wszystkie trójkąty, w których spodki wszystkich wysokości nie znajdują się poza trójkątem. Możliwe odpowiedzi: 1. Trójkąt ostrokątny., 2. Trójkąt prostokątny., 3. Trójkąt rozwartokątny.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 29

Wyznacz środek ciężkości trójkąta.

RzoHSApaqXAoG1
Rysunek trzech trójkątów: ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ra80nnxm5Q3fU
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1cmttmXpxAX0
Ćwiczenie 29
Środek ciężkości dowolnego trójkąta znajduje się w punkcie przecięcia Możliwe odpowiedzi: 1. dwusiecznych kątów trójkąta., 2. symetralnych boków trójkąta., 3. prostych leżących na wszystkich wysokościach trójkąta., 4. środkowych boków trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 30

Znajdź dwusieczne kątów trójkąta.

R1BmgrW5KqdId1
Rysunek trzech trójkątów: ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RI3JmOjkFwhO4
Szkicownik.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ry3lUuIL96LJm
Ćwiczenie 30
Dwusieczna kąta w trójkącie Możliwe odpowiedzi: 1. dzieli kąt na dwa równe kąty., 2. dzieli bok przeciwległy do kąta na dwie równe części., 3. istnieje tylko w trójkątach ostrokątnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 31

Wytnij z kartonu dowolny trójkąt. Wyobraź sobie, że to blat stolika, a długopis ma być nogą stolika. Zaznacz na „blacie” miejsce, w którym należy przymocować „nogę”. Sprawdź, czy dobrze jest ono wyznaczone, ustawiając odpowiednio długopis i trójkąt.

Wyobraźmy sobie trójkąt wycięty z kartonu, który służy jako blat stolika, a długopis jest nogą tego stolika. W którym miejscu na „blacie” należy przymocować „nogę”, aby stolik był stabilny?

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
5. Cechy przystawania trójkątów
7. Twierdzenie Pitagorasa