6. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego

R1dRlusFwU3SE

Pojęcie algorytmu jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Przez algorytm rozumiany jest dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonego układu operacji w celu rozwiązania zagadnienia określonego typu.

Algorytm powinien być tak zbudowany, aby prezentowaną metodę obliczenia można było powtórzyć w dowolnym czasie i otrzymać ten sam wynik.

Najprostszymi algorytmami są pojedyncze wzory. I właśnie jeden taki mini – algorytm poznamy w tym materiale.
Będzie to sposób znajdowania jednego z trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy dane są pozostałe dwa wyrazy.

Twoje cele

Odkryjesz związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Znajdziesz brakujące wyrazy ciągu geometrycznego, korzystając ze związku między wyrazami ciągu.
Rozwiązując problemy dotyczące ciągu geometrycznego i ciągu arytmetycznego, skorzystasz z poznanych twierdzeń i wniosków.

Z definicji ciągu geometrycznego wynika, że dowolne trzy kolejne wyrazy ciągu, w którym $a_{1} \neq 0$ i $a_{n} \neq 0$ , spełniają równość $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}}$ , którą możemy zapisać w postaci $a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$

Możemy więc powiedzieć:

w ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu, oprócz pierwszego (i ostatniego, jeśli ciąg jest skończony), jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich.

Natomiast, jeśli spełniona jest równość $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ , gdzie $n > 1$ dla wyrazów (zakładamy, że wyrazy sa różne od zera) ciągu $(a_{n})$ , to ciąg ten jest ciągiem geometrycznym.

Gdyż równość tę możemy przekształcić do postaci:

$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ , gdzie $n > 1$ .

Z powyższego zapisu możemy wnioskować, że ilorazy kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ są równe, a to oznacza, że jest to ciąg geometryczny.

Rozważania doprowadziły nas do sformułowania zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego), jest iloczynem dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1},

gdzie:
$n > 1$ i $n \in ℕ$ .

Zauważmy, że jeśli wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, to $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}}$ .

Zauważmy, że jeżeli w ciągu $(a_{n})$ jest $a_{1} \neq 0$ oraz istnieją wyrazy równe $0$ i wyrazy różne od $0$ , to z definicji wynika, że nie jest to ciąg geometryczny, mimo że może spełniać warunek $a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$ .

Na przykład ciąg $(2, 0, 0, 3)$ spełnia warunki $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ oraz $a_{3}^{2} = a_{2} \cdot a_{4}$ , lecz nie jest to ciąg geometryczny.

Przykład 1

Sprawdź, czy ciąg $(\sqrt{2} - 1, 1, \sqrt{2} + 1)$ jest ciągiem geometrycznym.

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, więc możemy skorzystać z twierdzenia o własności ciągu geometrycznego. Wystarczy więc sprawdzić, czy $a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3}$ .
Iloczyn

$a_{1} \cdot a_{3} = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1 = 1^{2} = a_{2}^{2}$

więc wnioskujemy, że ten ciąg jest geometryczny.

Przykład 2

Liczby $4$ , $x$ , $9$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznaczymy $x$ .

Liczba $x$ jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:

$x^{2} = 4 \cdot 9$

$x^{2} = 36$

$x = 6$ lub $x = - 6$

Odpowiedź:

Szukana liczba jest równa $- 6$ lub $- 6$ .

Przykład 3

Liczby $- 5$ , $x$ , $y$ , $40$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

$\{\begin{cases} x^{2} = - 5 y \\ 40 x = y^{2} \end{cases}$

Zauważmy, że $x \neq 0$ i $y \neq 0$ . Możemy więc podzielić stronami równania układu.

$\frac{x}{40} = \frac{- 5}{y}$

Wyznaczamy $x$ i wstawiamy do drugiego równania układu.

$x = \frac{- 200}{y}$

$y^{2} = 40 \cdot (\frac{- 200}{y})$

Wyznaczamy $y$ .

$y^{3} = - 8000$

$y = - 20$

Wyznaczamy $x$ .

$x = \frac{- 200}{- 20} = 10$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $x = 10$ , $y = - 20$ .

Jeżeli wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to wniosek dotyczący zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, można uogólnić. Zapiszemy to uogólnienie również w postaci wniosku.

Wniosek:

Jeżeli wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ są dodatnie, to:

a_{n} = \sqrt{a_{n - k} \cdot a_{n + k}},

gdzie:
$k < n$ , $k \in ℕ_{+}$ , $n \in ℕ_{+}$ .

Przykład 4

Liczby $2$ , $x$ , $y$ , $z$ , $8$ w tej kolejności tworzą ciąg geometryczny $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich. Znajdziemy wzór ogólny ciągu i sumę wszystkich wyrazów ciągu.

Zauważmy, że wyraz y znajduje się w tej samej odległości od $2$ i $8$ . Skorzystamy zatem z wniosku zapisanego przed przykładem.

$y = \sqrt{2 \cdot 8}$

$y = 4$

Wyznaczamy wyrazy $x$ oraz $z$ .

$x = \sqrt{2 y} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

$z = \sqrt{8 y} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

Obliczymy iloraz ciągu.

$q = \frac{x}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$

Obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu.

$S = 2 + 2 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} + 8 = 14 + 6 \sqrt{2}$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu to $a_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$ , a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $14 + 6 \sqrt{2}$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z animacją. Najpierw samodzielnie spróbuj wyznaczyć związek między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a następnie porównaj swoje wnioski z prezentowanymi w animacji.

R17JTHWl8CgYA

Polecenie 1

Znajdź taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(- 6, x, - 18)$ jest ciągiem geometrycznym.

$x^{2} = - 6 \cdot (- 18)$

$x^{2} = 108$

$x = 6 \sqrt{3}$ lub $x = - 6 \sqrt{3}$

Warunki zadania spełniają dwie liczby: $x = 6 \sqrt{3}$ , $x = - 6 \sqrt{3}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1QJnY0SwO6FE1

Ćwiczenie 1

RmTBTvo6kHNjD1

Ćwiczenie 2

RYRHKmJeSEw9Z2

Ćwiczenie 3

RBP3izG066TnY2

Ćwiczenie 4

R1Z0bb6t6oasc2

Ćwiczenie 5

R1BKuVbdtwy1T2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Liczby $a$ , $b$ , $c$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o wyrazach niezerowych.

Jeżeli do pierwszej z tych liczb dodać $1$ , a ostatnią z tych liczb podzielić przez $2$ , to otrzymane liczby w niezmienionej kolejności utworzą również ciąg geometryczny. Znajdź te liczby, jeżeli wiadomo, że liczba $b$ jest o $3$ większa od liczby $a$ .

$(a, b, c)$ – ciąg geometryczny, czyli $b^{2} = a c$

$(a + 1, b, \frac{c}{2})$ – ciąg geometryczny, stąd $b^{2} = (a + 1) \cdot \frac{c}{2}$

Otrzymujemy równanie:

$a c = (a + 1) \cdot \frac{c}{2}$

Przekształcamy równanie pamiętając, że wyrazy ciągu są różne od zera.

$2 a c = a c + c$

$a c = c | : c$

$a = 1$

Znajdujemy liczbę $b$ .

$b = a + 3 = 1 + 3 = 4$

Wyznaczamy liczbę $c$ .

$b^{2} = a c$

$16 = 1 \cdot c$

$c = 16$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 16$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeśli w ciągu geometrycznym $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich średnia geometryczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich $a$ i $b$ nazywamy taką liczbę dodatnią $c$ , że

$\frac{a}{c} = \frac{c}{b}$

Z definicji wynika, że $c^{2} = a b$ , zatem $c = \sqrt{a b}$ .

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że

$\sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \sqrt{a_{4} \cdot a_{6}} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu.

Wtedy:

$a_{1} \cdot q^{4} = a_{1} \cdot q$

Dzielimy obie strony równania przez $a_{1} q$ (wyrazy ciągu są dodatnie, zatem $a_{1} q \neq 0$ )

$q^{3} = 1 \Rightarrow q = 1$

Jeśli iloraz ciągu geometrycznego jest równy $1$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Słownik

zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego), jest iloczynem dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1},

gdzie:
$n > 1$ i $n \in ℕ$

5. Monotoniczność ciągu geometrycznego

7. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego