7. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

R1ZHVF6TQR1XQ

Jeśli przyjmiemy za Galileuszem, że matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat, to jednym z ważnych elementów tego alfabetu jest nieskończoność. Jedna z zagadek, którą w osiemnastym wieku damy zadawały kawalerom, dotyczyła właśnie ciągu geometrycznego nieskończonego. I nie będziemy tu posługiwać się skomplikowanymi wzorami (wszak damy nie były złośliwe i nie chciały konfudować kawalerów z powodu nieznajomości matematyki wyższej).

Ile to jest $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} ...$ ?

Dla efektu można wypisać jeszcze więcej składników. Wtedy wydaje się, że liczba którą otrzymamy będzie bardzo duża, albo wręcz przeciwnie – bardzo mała. A jak jest naprawdę?

Wykorzystamy trik geometryczny, oparty na rozważaniach starożytnych uczonych.

Składniki to kolejne wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $q = \frac{1}{2}$ i pierwszym wyrazie równym $a_{1} = \frac{1}{2}$ . Sumę tę możemy obliczyć z odpowiedniego wzoru (którego kawalerowie na pewno nie znali):

$S = a_{1} \cdot \frac{1}{1 - q}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

Albo też posłużyć się sprytnie wykonanym rysunkiem kwadratu o boku $1$ .

RRbgmQcdESwSB

Rysunek przedstawia duży kwadrat o boku o długości jeden, który przedzielono wszerz na pół. Dolna połowa jest prostokątem zaznaczonym na niebiesko i opisana jako 12. Górna została podzielona wzdłuż na pół. Lewa część jest kwadratem opisanym jako 14, prawa część jest podzielona na pół. Kolejne połowy są dzielone według opisanego schematu. Podział ten zmierza w kierunku nieskończenie małych części figury.

I wtedy nie potrzebujemy niezrozumiałych dla laika wzorów, aby zadziwić znajomych. Od razu widać, że suma jest równa $1$ .

W tym materiale też będziemy obliczać sumy wyrazów ciągów geometrycznych. Jednak będą to tylko sumy skończonej liczby wyrazów, poznając i stosując wzór przytoczony w powyższym wstępie.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzór na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Obliczysz sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Wyznaczysz wielkości związane z ciągiem geometrycznym o znanej sumie częściowej.
Zastosujesz wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w zadaniach z kontekstem realistycznym.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ o ilorazie $q$ . Chcemy znaleźć wzór na sumę $S_{n}$ kolejnych $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

W tym celu najpierw przypomnimy sobie wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o wyrazie pierwszym $a_{1}$ i ilorazie $q$ ma postać

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wyprowadzając wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu, rozpatrzymy dwa przypadki.

1 przypadek: $q = 1$ .
Jeśli iloraz ciągu jest równy $1$ , to ciąg jest stały. Każdy jego wyraz jest równy wyrazowi pierwszemu. Zatem:
$S_{n} = n \cdot a_{1}$
2 przypadek: $q \neq 1$
Wypiszemy kilka kolejnych sum początkowych wyrazów ciągu, korzystając z przypomnianego wyżej wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu (inaczej wzór ogólny ciągu geometrycznego).
$S_{1} = a_{1}$
$S_{2} = a_{1} + a_{1} q$
$S_{3} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2}$
$S_{4} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3}$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 2} + a_{1} q^{n - 1}$
Mnożymy teraz obie strony ostatniej z zapisanych równości przez $(- q)$ .
$- q S_{n} = - a_{1} q - a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} - . . . - a_{1} q^{n - 1} - a_{1} q^{n}$
Dodajemy stronami dwie ostatnie zapisane równości.
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 2} + a_{1} q^{n - 1} + - q S_{n} = - a_{1} q - a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} - . . . - a_{1} q^{n - 1} - a_{1} q^{n}$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
$S_{n} (1 - q) = a_{1} (1 - q^{n})$
Wiemy, że $q \neq 1$ , więc można obie strony równości podzielić przez $1 - q$ .
$S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$
Ujmijmy teraz powyższe rozważania w postaci odpowiedniego twierdzenia.

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

$S_{n} = n \cdot a_{1}$ , gdy $q = 1$ ,

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$ .

Przykład 1

Obliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = - 9$ i $q = \frac{2}{3}$ .

Stosujemy wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy $q \neq 1$ .

$S_{4} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}$

$S_{4} = (- 9) \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{4}}{1 - \frac{2}{3}}$

$S_{4} = (- 9) \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}}$

$S_{4} = - \frac{65}{3} = - 21 \frac{2}{3}$

Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego jest większy od $1$ , to warto korzystać z podanego wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, w zmodyfikowanej, równoważnej postaci.

Mianowicie, gdy pomnożymy licznik i mianownik ułamka występującego we wzorze przez $(- 1)$ , otrzymamy:

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ .

Przykład 2

Obliczymy sumę pięciu kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 4$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze zmodyfikowanego wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{5} = 4 \cdot \frac{2^{5} - 1}{2 - 1}$

$S_{5} = 124$ .

Nie zawsze ciąg geometryczny jest bezpośrednio opisany za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu. W niektórych przypadkach, trzeba te wielkości najpierw określić, aby następnie obliczyć sumę jego początkowych wyrazów.

Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny nieskończony $(c_{n})$ taki, że $c_{n} = \frac{1}{4} \cdot 5^{n - 1}$ dla $n \geq 1$ . Wyznaczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu.

1 sposób:
Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu.
$c_{1} = \frac{1}{4}$
$c_{2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
$c_{3} = \frac{1}{4} \cdot 5^{2} = \frac{25}{4}$
$c_{4} = \frac{1}{4} \cdot 5^{3} = \frac{125}{4}$
Dodajemy otrzymane liczby.
$c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} = \frac{1 + 5 + 25 + 125}{4} = \frac{156}{4} = 39$

2 sposób:
Wyznaczamy pierwszy i drugi wyraz ciągu i określamy iloraz ciągu.
$c_{1} = \frac{1}{4}$
$c_{2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
$q = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} = 5$
Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
$S_{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5^{4} - 1}{5 - 1}$
$S_{4} = \frac{624}{16} = 39$

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same wyniki. Jeśli do dodania jest mała liczba wyrazów ciągu, można stosować oba sposoby. Natomiast, gdy ich liczba jest duża, znacznie wygodniej posłużyć się wzorem.

Przykład 4

Obliczymy sumę $10$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu $1$ , $3$ , $9$ , $27$ , $81$ , $. . .$

Tym razem ciąg określony jest za pomocą jego wyrazów.

Ustalamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu.

$a_{1} = 1$

$q = 3$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{10} = 1 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1}$

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{2} = 29524$ .

W następnych przykładach pokażemy, jak znając sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczyć niektóre z wielkości związanych z danym ciągiem.

Przykład 5

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $5$ , a iloraz ciągu $2$ . Ustalimy, ile początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać $20475$ .

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę wyrazów.

Liczba $20475$ to suma $n$ kolejnych wyrazów ciągu, zatem

$5 \cdot \frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 20475 | : 5$

$2^{n} - 1 = 4095$

$2^{n} = 4096$

$n = 12$

Odpowiedź:

Należy dodać $12$ wyrazów tego ciągu.

Przykład 6

Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równa $\frac{63}{80}$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu, jeżeli iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ .

Podstawiamy dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$a_{1} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{6}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{63}{80}$

Wykonujemy wskazane działania.

$a_{1} \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{80}$

$a_{1} \cdot \frac{126}{64} = \frac{63}{80} : \frac{126}{64}$

$a_{1} = \frac{2}{5}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Przykład 7

Punkty $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ są środkami półokręgów. Promień największego z półokręgów jest równy $8$ . Oblicz długość spirali przestawionej na rysunku.

R14PX3CUT4VL3

Ilustracja przedstawia odcinek o środku w punkcie S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Jedna z połówek odcinka podpisana jest jako r, równa się, osiem. Nad odcinkiem narysowano połowę okręgu tak, że odcinek jest średnicą tego okręgu. Pod odcinkiem narysowano półokrąg, którego średnica to połowa tego odcinka. Oznaczono również środek mniejszego okręgu jako S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Następnie z między punktami S indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego nad odcinkiem narysowano jeszcze mniejszy półokrąg i oznaczono jego środek jako punkt S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego. Następnie między punktami S indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego pod odcinkiem narysowano mniejszy półokrąg i jego środek oznaczono jako S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego. Następnie między punktem S indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego i S indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego nad odcinkiem narysowano najmniejszy półokrąg. Półokręgi układają się w kształt muszli ślimaka.

Z faktu, że każdy kolejny półokrąg tworzący spiralę przechodzi przez środek poprzedniego półokręgu, wynika, że każdy kolejny promień jest połową promienia poprzedniego półokręgu.

Zatem kolejne promienie półokręgów tworzą malejący ciąg geometryczny, którego iloraz $q = \frac{1}{2}$ .

Długości kolejnych półokręgów są równe

$L_{1} = 8 π$ , $L_{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 π = 4 π$ , $L_{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 π = 2 π$ , ...

I również tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{1}{2}$ .

Długość spirali jest sumą pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Zatem

$L = S_{5} = 8 π \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{5}}{1 - \frac{1}{2}} = 8 π \cdot \frac{31}{16} = \frac{31}{2} π$

Przykład 8

Piłkę rzucono z wysokości $270 cm$ . Piłka odbijając się, za każdym razem osiąga $\frac{2}{3}$ wysokości osiągniętej przy poprzednim odbiciu. Obliczymy, jaką łącznie długość ma droga (w pionie), którą przebyła piłka do piątego odbicia.

Do pierwszego odbicia piłka przebyła drogę długości $270 cm$ .

Następnie piłka poszybowała w górę na wysokość
$270 \cdot \frac{2}{3} = 180$ centymetrów. I spadła z tej wysokości.

Teraz piłka odbija się na wysokość $180 \cdot \frac{2}{3} = 120$ centymetrów i z tej wysokości spada.

I kolejne odbicie – tym razem na wysokość $120 \cdot \frac{2}{3} = 80$ centymetrów.

$...$

Zauważmy, że wyznaczone liczby

$270$ , $180$ , $120$ , $80$ , $. . .$

tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{2}{3}$ i pierwszym wyrazie $270$ .

Aby obliczyć łączną długość drogi, musimy uwzględnić ruch piłki w górę i w dół.

RfY5uq3mnTXBd

Ilustracja przedstawia ruch piłki w górę i w dół. Na dole rysunku narysowano zieloną grubą linię symbolizującą płaszczyznę, od której odbija się piłka. Pokazano także pięć poziomów, na które wznosi się piłka. Zilustrowano to w ten sposób, że jedną piłkę narysowano tuż na płaszczyzną, drugą piłkę nad pierwszą na konkretnej wysokości. I powtórzono ten schemat pięciokrotnie. Od lewej strony narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość 270 centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości, a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano pionową strzałkę z grotem skierowanym w dół. Dalej narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość 180 centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano obok siebie dwie pionowe strzałki: lewa z grotem skierowanym w górę, prawa z grotem skierowanym w dół. Dalej narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość 120 centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano obok siebie dwie pionowe strzałki: lewa z grotem skierowanym w górę, prawa z grotem skierowanym w dół. Dalej narysowano piłkę wznoszącą się na wysokość 80 centymetrów. Pomiędzy piłką na tej wysokości a piłką znajdującą się tuż nad płaszczyzną narysowano obok siebie dwie pionowe strzałki: lewa z grotem skierowanym w górę, prawa z grotem skierowanym w dół. Po prawo narysowano taki sam schemat, piłka druga wznosi się tu na najniższą wysokość, przy czym tej wysokości na rysunku nie określono. Tu również znajdują się dwie pionowe przeciwstawne strzałki pomiędzy piłkami.

Obliczamy długość drogi $s$ przebytej przez piłkę – skorzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$s = 270 + 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 270 \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{4}}{1 - \frac{2}{3}}$

$s = 270 + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{1} \cdot 270 \cdot (1 - \frac{16}{81})$

$s = 270 + 1080 \cdot \frac{65}{81} = 270 + 866 \frac{2}{3}$

$s = 1136 \frac{2}{3} cm$

Odpowiedź:

Piłka przebyła drogę długości $1136 \frac{2}{3} cm$ .

Zbierzmy w tabeli wzory związane z ciągiem geometrycznym.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg $(a_{n})$ , jest określony dla $n \geq 1$ i $n \in ℕ$ .

Ciąg geometryczny $(a_{n})$
Wyraz ogólny ciągu	Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu	Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu
$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$	$a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$	$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Pokażemy, jak znając sumę kilku wyrazów ciągu geometrycznego, pierwszy wyraz i iloraz ciągu, można określić ile wyrazów dodano.

Przykład 9

Dany jest ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny $(c_{n})$ taki, że $c_{1} = 4$ . Iloraz ciągu jest równy $3$ . Dodano kilka początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu i otrzymano $484$ . Ile wyrazów dodano?

Oznaczmy:
$n$ – liczba wyrazów, które dodano ( $n \in ℕ$ , $n \geq 1$ ),
$q$ – iloraz ciągu.

Podstawiamy dane wynikające z treści zadania do wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{n} = c_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$

$484 = 4 \cdot \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3}$

$484 = 4 \cdot \frac{1 - 3^{n}}{- 2}$

$484 = 2 \cdot (- 1 + 3^{n})$

Dzielimy obie strony równania przez $2$ i wyznaczamy $n$ .

$242 + 1 = 3^{n}$

$3^{n} = 243$

$n = 5$

Odpowiedź:

Dodano pięć wyrazów ciągu.

Zauważ, że w rozpatrywanym wyżej przykładzie, można było znaleźć kolejne wyrazy ciągu i dodawać je tak długo, aż otrzymamy $484$ . Jednak w przypadku dużej liczby wyrazów sumy, taka procedura jest pracochłonna i znacznie prościej jest korzystać z odpowiednich wzorów.

Teraz podobny, ale trudniejszy przykład, w którym teoretycznie też, moglibyśmy ograniczyć się do znalezienia kolejnych wyrazów ciągu („od tyłu”). Ale nie wiemy ile operacji dzielenia i dodawania musielibyśmy wykonać, więc ponownie skorzystamy z przydatnych wzorów.

Przykład 10

Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego $(c_{n})$ jest równy $10000$ , a siódmy jest równy $62500$ . Wyznaczymy sumę pięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Oznaczmy:
$c_{5}$ – piąty wyraz rozważanego ciągu,
$c_{7}$ – siódmy wyraz ciągu,
$S_{5}$ – suma pierwszych pięciu wyrazów ciągu.

Zauważmy, że $c_{7} = c_{5} \cdot q^{2}$ . Zatem:

$62500 = 10000 \cdot q^{2}$

$q^{2} = 6, 25$

$q = 2, 5$ lub $q = - 2, 5$

Ponieważ ciąg ma być rosnący, zatem $q = 2, 5$ .

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$c_{5} = c_{1} \cdot q^{4}$

$10000 = c_{1} \cdot {(\frac{5}{2})}^{4}$

$c_{1} = 256$

Obliczamy sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu.

$S_{5} = 256 \cdot \frac{1 - {(\frac{5}{2})}^{5}}{1 - \frac{5}{2}}$

$S_{5} = 256 \cdot \frac{\frac{3093}{32}}{\frac{3}{2}}$

$S_{5} = 16496$

Odpowiedź:

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu jest równa $16496$ .

Równanie, które teraz rozwiążemy, może wydawać się dość trudne. Jednak rozumowanie, które przeprowadzimy, będzie podobne do tych, stosowanych w poprzednich przykładach.

Przykład 11

Rozwiążemy równanie wiedząc, że lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 + \dots + x = 255, 75$

Na podstawie treści zadania wnioskujemy, że liczby

$\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1 \dots$

są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $\frac{1}{4}$ , a iloraz

$q = \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{4}{2} = 2$

Liczba $255, 75$ jest sumą kolejnych wyrazów tego ciągu. Ustalimy ilu.

Zapisujemy lewą stronę równania, korzystając ze wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 2^{n}}{1 - 2} = 255, 75$

$2^{n} - 1 = 1023$

$2^{n} = 1024$

$n = 10$

Obliczyliśmy, że lewa strona równania jest sumą dziesięciu wyrazów ciągu. Zatem $x$ to dziesiąty wyraz tego ciągu. Czyli

$x = \frac{1}{4} \cdot 2^{10 - 1} = \frac{512}{4} = 128$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $128$ .

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z animacją. Rozwiąż najpierw samodzielnie podane przykłady, a następnie porównaj z prezentowanymi rozwiązaniami.

R3PJ78MV1RQJB

Polecenie 1

Znajdź sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ wiedząc, że $a_{1} = 64$ i $q = \frac{1}{4}$ .

$S_{5} = 64 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{5}}{1 - \frac{1}{4}}$

$S_{5} = \frac{64 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1023}{1024} = 85, 25$

Szukana suma jest równa $85, 25$ .

Polecenie 2

Zapoznaj się z filmem samouczkiem. Zwróć uwagę na zastosowania wzoru na sumę $n$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego w obliczeniach praktycznych.

R1VFNNJ5JC3Z7

Polecenie 3

Danych jest sześć trójkątów o wspólnej podstawie długości $2$ . Wysokość pierwszego, najmniejszego z trójkątów jest równa $1$ . Wysokość drugiego trójkąta jest równa $2$ , wysokość każdego kolejnego trójkąta jest dwukrotnie większa, niż wysokość poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól tych trójkątów.

Pola trójkątów: $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego sześciowyrazowego, o pierwszym wyrazie $1$ i ilorazie $2$ .

Obliczamy sumę tych wyrazów.

$S = 1 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 63$

Odpowiedź:

Suma pól trójkątów jest równa $63$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RD7PRJQGE7KJ31

Ćwiczenie 1

R11K71OXR9PHQ2

Ćwiczenie 2

W ciągu geometrycznym nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu pierwszy wyraz jest równy a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, natomiast iloraz jest równy q.
Połącz w pary wielkości określające ciąg i sumę S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego początkowych kolejnych jedenastu wyrazów ciągu. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, przecinek, q, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, przecinek, q, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, q, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden, przecinek, q, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jedenaście, 2. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden, 3. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jedenaście, 4. S indeks dolny, jedenaście, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden

RUNH261QMVC3O2

Ćwiczenie 3

R143XV5UPLF392

Ćwiczenie 4

R16VAGL4XCZQR2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru: jeden, jeden, początek ułamka, sześćset dwadzieścia cztery, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka, cztery, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, pięć, początek ułamka, jeden, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka. Polecenie: W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy cztery, iloraz początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, a suma n początkowych wyrazów wynosi cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka. Uzupełnij obliczenia liczby n dodanych wyrazów. Przeciągnij odpowiednie liczby naturalne lub ułamki zwykłe nieskracalne. Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego zapisujemy:
cztery, razy, nawias kwadratowy nawias luka do uzupełnienia minus, nawias początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, n, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, podzielić na, nawias jeden, minus luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka
Wykonujemy obliczenia w mianowniku ułamka.
cztery, razy, nawias kwadratowy nawias luka do uzupełnienia minus, nawias początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu indeks górny, n, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, podzielić na, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka
Po lewej stronie równania wykonujemy dzielenie.
nawias kwadratowy, jeden, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu kwadratowego, razy luka do uzupełnienia równa się, cztery początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka

Dzielimy obie strony równania przez pięć.
jeden, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia
Od obu stron równania odejmujemy jeden.
nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się luka do uzupełnienia
Wyznaczamy n.
n, równa się luka do uzupełnienia .

RD7SMCC13ZCOH2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Wyznacz sumę wszystkich potęg liczby $4$ o wykładnikach całkowitych większych niż $- 4$ , ale mniejszych niż $5$ .

Należy wyznaczyć sumę

$4^{- 3} + 4^{- 2} + . . . + 4^{3} + 4^{4}$

Należy wyznaczyć sumę

$4^{- 3} + 4^{- 2} + . . . + 4^{3} + 4^{4}$

Jest to suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 4^{- 3}$ , $q = 4$ , $n = 8$ .

$S_{8} = 4^{- 3} \cdot \frac{4^{8} - 1}{4 - 1}$

$S_{8} = \frac{1}{64} \cdot \frac{65535}{3}$

$S_{8} = \frac{65535}{192} = \frac{21845}{64} = 341 \frac{21}{64}$

Poszukiwana suma jest równa $341 \frac{21}{64}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz, ile wyrazów ma suma $27 + 81 + 243 + . . . + 3^{20}$ kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

Zauważ, że w rozpatrywanym ciągu geometrycznym $a_{1} = 27$ , $q = 3$ , $a_{n} = 3^{20}$ .

W rozpatrywanym ciągu geometrycznym $a_{1} = 27$ , $q = 3$ , $a_{n} = 3^{20}$

Z własności ciągu geometrycznego:

$a_{n} = 27 \cdot 3^{n - 1}$

$3^{20} = 3^{3} \cdot 3^{n - 1}$

$3^{20} = 3^{n + 2}$

$20 = n + 2$

$n = 18$

Suma ma $18$ wyrazów.

R8KS5Z8FLNO6O1

Ćwiczenie 9

RVM3X66BJ5U6A1

Ćwiczenie 10

RPNVBLQ2AQBLB2

Ćwiczenie 11

R1VMO4G6OSA6P2

Ćwiczenie 12

Dostępne opcje do wyboru: sześćdziesiąt cztery, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, sześćdziesiąt dwa, razy, nawias dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa zamknięcie nawiasu, dziesięć, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, cztery. Polecenie: Uzupełnij obliczenia prowadzące do wyznaczenia sumy minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, osiem, minus, wielokropek, plus, sześćdziesiąt cztery kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Przeciągnij odpowiednie liczby. Pierwszy wyraz ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu to a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia .
Iloraz ciągu to q, równa się, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, podzielić na luka do uzupełnienia równa się luka do uzupełnienia
Obliczamy, ile wyrazów ciągu mamy dodać.
a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy

nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego
luka do uzupełnienia równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego
n, równa się luka do uzupełnienia
Obliczamy sumę na podstawie wzoru na sumę n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias kwadratowy, jeden, minus, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu kwadratowego, podzielić na nawias luka do uzupełnienia nawias, zamknięcie nawiasu
S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia

R1ER3Q5KQA2J42

Ćwiczenie 13

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest równa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, gdy n, większy równy, jeden i n, należy do, liczby naturalne. Połącz w pary sumę i odpowiadający jej wzór ciągu. S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek dwa pięć Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, razy, dwa indeks górny, n, minus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego

Słownik

ciąg geometryczny

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu

suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

$S_{n} = n \cdot a_{1}$ , gdy $q = 1$ ,

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$

6. Zależność między wyrazami ciągu geometrycznego

8. Lokaty pieniężne i kredyty bankowe