2. Prędkość, droga, czas

Wokół nas poruszają się  ludzie,  zwierzęta,  pojazdy.  Ruch jest zjawiskiem powszechnym. Opisując ruch, używamy najczęściej trzech pojęć: drogi, prędkości i czasu.

Prędkość, droga i czas to ważne pojęcia, z którymi spotykamy się nie tylko na lekcji matematyki, ale także na lekcjach fizyki czy biologii. W tym materiale poznamy zależności między tymi wielkościami i wykorzystamy je w zadaniach.

Prędkość

W rzeczywistości obiekty poruszają się z różną prędkością. Na przykład begacz  musi czasami zwolnić, a czasami może przyspieszyć. Dlatego mówiąc o prędkości, mamy na myśli średnią prędkość.

RjVzFzAYYkO8t

Fotografia przedstawia dziewczyny uczestniczące w biegu tuż po usłyszeniu sygnału do startu, a więc w momencie gdy ruszają z linii startowej. Są mocno pochylone do przodu. Bieżnia ma kolor ceglasty. W tle widać drzewa.

Bardzo często używając pojęć szybkość lub prędkość mówimy: „Ten samochód porusza się szybciej, a tamten – wolniej (albo jeden porusza się z dużą prędkością, a drugi – z małą)”. Kiedy spacerujesz, poruszasz się z mniejszą prędkością, niż kiedy biegniesz po boisku. Kiedy obserwujesz wskazania prędkościomierza w samochodzie, widzisz, że się one zmieniają.

R119NnmqFflns

Zdjęcie przedstawia bolid Formuły jeden uchwycony z boku w ruchu z silnie rozmytym tłem. Zbliżenie na centralną część maszyny i kierowcę.

Jeśli samochód w czasie $2$ godzin przebył drogę długości $180\mathrm{ km}$, to znaczy, że w czasie $1$ godziny przejechał $90$ kilometrów. Mówimy, że  średnia prędkość jazdy   wynosiła $90$ kilometrów na godzinę.

Zapisujemy to krótko: $90 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Gdy wiemy, jaką drogę i w jakim czasie pokonał dany obiekt, możemy obliczyć z jaką prędkością się poruszał.

Przykład 1

Na podstawie poniższego  filmu obliczymy  średnią wartość prędkości, z jaką poruszał się zawodnik w biegu na $60 \mathrm{m}$.

RmBLa0Dunrlpj

Materiał dotyczący ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Materiał dotyczący ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RmBLa0Dunrlpj

Materiał dotyczący ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Użyjemu wzoru: $v=\frac{s}{t}$, a dane  znajdujemy na filmie.

$t=12\,\mbox{s}$

$s=60\,\mbox{m}$

$v=\frac{s}{t}$

$v=\frac{60\,\mbox{m}}{12\,\mbox{s}}=5\,\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$

Przykład 2

Samochód w ciągu $3$ godzin przebył drogę długości $210\mathrm{ km}$. Obliczmy, z jaką średnią prędkością się poruszał.

Samochód pokonał $210\mathrm{ km}$ w czasie $3$ godzin, zatem w ciągu $1$ godziny pokonał $70\mathrm{ km}$.

To oznacza, że poruszał się ze średnią prędkością $70\mathrm{ }\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Obliczenia możemy zapisać krótko:

R1zjne04tWmt81

Zapis proporcji: 210 km - 3 h i poniżej 70 km - 1 h. 210 km dzielone przez 3 =70 km i 3 h dzielone przez 3 =1 h.

Odpowiedź: Samochód poruszał się ze średnią prędkością $70\mathrm{ }\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Przykład 3

Pieszy przeszedł $2,4 \mathrm{km}$ w ciągu pół godziny. Z jaką średnią prędkością się poruszał?

• sposób $\text{I}$

  Ra7TyL5cl1RXA1

  Zapis proporcji: 2,4 km – 0,5 h i poniżej 4,8 km – 1 h. 2,4 razy 2 =4,8 km i 0,5 h razy 2 =1 h.

  

  Odpowiedź: Pieszy poruszał się ze średnią prędkością $4,8\mathrm{ }\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

• sposób $\text{II}$

Obliczenia można wykonać w innych jednostkach.

R1569cQRMItn51

Zapis proporcji: 2400 m – 30 min i 80 m – 1 min. 2400 m dzielone przez 30 = 80 m i 30 min dzielone przez 30 =1 min.

Odpowiedź: Prędkość, z jaką poruszał się pieszy wynosiła $80\mathrm{ }\frac{\mathrm{m}}{\min }$.

$10\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=10·\frac{\frac{1}{1000}\mathrm{k}\mathrm{m}}{\frac{1}{3600}\mathrm{h}}=10·\frac{3600}{1000}\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}=10·\frac{36}{10}\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}=36\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$

W przeliczaniu jednostek pomocna jest poniższa aplikacja.

Przykład 5

Słoń porusza się w biegu z prędkością $11\mathrm{ }\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Z jaką prędkością, wyrażoną w kilometrach na godzinę, porusza się wówczas słoń?

RE73HSzxOehHA1

Zapis proporcji: 11 m – 1 s i poniżej 660 m – 60 s. 11 m razy 60 =660 m i 1 s razy 60 =60 s. Proporcja: 0,66 km – 1 min i poniżej 39,6 km – 60 min. 0,66 km razy 60 = 39,60 km i 1 min razy 60 =60 min. 39,6 km – 1 h.

Odpowiedź: Słoń porusza się z prędkością $\mathrm{39,6} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Z powyższych obliczeń możemy także wywnioskować, że prędkość poruszania się  słonia wynosiła $660 \frac{\mathrm{m}}{\min }$, a także $\mathrm{0,66}\mathrm{ }\frac{\mathrm{km}}{\min }$ lub $39600\mathrm{ }\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{h}}$.

RYrJe22QMI7qS

Ćwiczenie 3

Poniżej przedstawiono wartości prędkości wyrażone w różnych jednostkach. Połącz w pary te, które są sobie równe. $72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $15 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $540 000 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $8 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{h}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $36 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Poniżej przedstawiono wartości prędkości wyrażone w różnych jednostkach. Połącz w pary te, które są sobie równe. $72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $15 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $540 000 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $8 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{h}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $36 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $20 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 2. $0,15 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$, 3. $192 \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{doba}}$, 4. $0,01 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, 5. $54 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Ćwiczenie 4

RaR69sZCXZqD2

Przelicz wartość prędkości na odpowiednie jednostki. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

• $340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{h}}$
• $54\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
• $378\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
• $50\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Przelicz wartość prędkości na odpowiednie jednostki. Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

• $340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{h}}$
• $54\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
• $378\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
• $50\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=$Tu uzupełnij$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

Ciekawostka

Prędkościomierz (szybkościomierz) jest urządzeniem służącym do pomiaru prędkości chwilowej w pojazdach kołowych. Prędkościomierze mogą być: mechaniczne, elektryczne, elektroniczne i oparte na systemach GPS. Prędkościomierze (z wyjątkiem tych działających na podstawie systemów GPS) zliczają liczbę obrotów wykonywanych przez koła poruszającego się pojazdu, dzięki czemu obliczana jest przebyta droga (istotna jest średnica kół – jeżeli ją zmienimy, to licznik będzie pokazywał błędne wartości).

R18ZZZNT1NZxA

Zdjęcie przedstawia tarczę prędkościomierza w samochodzie. Tło i tarcza czarne. Tarcza okrągła. Liczby i litery podświetlane. Skala od 0 do 220, co 20, podpisywana co 40, również podświetlana. Na środku tarczy widać litery „km/h”. Czerwona wskazówka znajduje się pomiędzy 40, a podziałką odpowiadającą 50. Na dole cyfrowy wyświetlacz. Na nim liczby 308,9 oraz 200000.

Gdy mówimy, że samochód poruszał się z prędkością o średniej wartości $50 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, nie mamy wcale na myśli tego, że jego prędkość na każdym odcinku przebytej drogi była stała i wynosiła dokładanie $50 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Prędkość w czasie jazdy na pewno wielokrotnie ulegała zmianie – samochód jechał raz szybciej, raz wolniej, być może zatrzymał się na skrzyżowaniu, żeby ustąpić pierwszeństwa przejazdu. Prędkościomierz w samochodzie pokazuje wartość prędkości, którą auto ma w danej chwili ruchu. Jest to prędkość chwilowa.

Rekord świata w sprincie (w $\text{2009}$ r. )  to przebycie $100$ – metrowego odcinka w czasie $9,58 \mathrm{s}$. Wiadomo jednak, że sprinter po starcie nie porusza się od razu z maksymalną prędkością. Na starcie prędkość biegacza wynosi zero, a potem stopniowo rośnie. Maksymalna wartość uzyskana jest po pokonaniu ok. $\frac{2}{3}$ dystansu. Wynosi wtedy $45 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, czyli $12,5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Gdyby sprinter biegł cały czas z maksymalną prędkością, to dystans $100 \mathrm{m}$ przebyłby w $8$ sekund.

Przykład 7

Podczas wakacji w górach z rodzicami  wybraliście się na wycieczkę rowerową z Bielska‑Białej do Wisły przez Ustroń. Wyruszyliście o godzinie $9:58$, a na miejscu w Wiśle byliście o godzinie $14:12$. Po powrocie do domu zaznaczyliście na mapie na bordowo i niebiesko przebytą trasę.

R1drwZDk2Dg3j

Rysunek przedstawia mapę na której zaznaczono miejscowości: Bielsko‑Biała, Ustroń, Wisła. Miejscowości te stanowią wierzchołki trójkąta prostokątnego, gdzie kąt prosty znajduje się przy Ustroniu. Bielsko‑Biała znajduje się na północy mapy, Ustroń na południowy‑zachód od Bielska‑Białej, a Wisła znajduje się na południowy wschód od Ustronia w jednej trzeciej odległości od Ustronia między Ustroniem a Bielskiem‑Białą na kierunku wschodnio‑zachodnim. Bordową krzywą połączono Bielsko‑Białą i Ustroń. Podpisano ją dwadzieścia osiem i dwie dziesiąte kilometra. Ustroń i Wisłę połączono niebieską krzywą, którą podpisano dziesięć i cztery dziesiąte kilometra. Bielsko‑Biała i Wisła zostały połączone odcinkiem podpisanym dwadzieścia trzy kilometry. Bielsko‑Biała i Ustroń zostały połączona odcinkiem podpisanym dwadzieścia jeden kilometrów. Ustroń i Wisła zostały połączone odcinkiem podpisanym osiem kilometrów.

Na podstawie mapy zamieszczonej powyżej wykonamy poniższe zadania:

A. Obliczymy średnią prędkość, z jaką się poruszaliście.

B. Przypomniało się  wam, że o godzinie $11:41$ w Ustroniu mieliście godzinny postój na drugie śniadanie. Obliczymy średnią prędkość z Bielska‑Białej do Ustronia i z Ustronia do Wisły oraz średnią prędkość na całej trasie bez uwzględniania czasu na postój. Czy średnia arytmetyczna średnich prędkości na odcinku od Bielska‑Białej do Ustronia i od Ustronia do Wisły jest taka sama jak średnia prędkość od Bielska‑Białej do Ustronia nie uwzględniająca czasu na postój? Dlaczego?

Pamiętamy, że wielkość $s$ we wzorze $v=\frac{s}{t}$ to przebyta droga, czyli długość toru ruchu, a nie odległość w linii prostej.

A.

Aby obliczyć średnią prędkość musimy  znać drogę, a zatem długości toru ruchu, więc nie interesują nas odległości w linii prostej.

$s=28,2\,\mbox{km}+10,4\,\mbox{km}=38,6\,\mbox{km}$

Pomiędzy $9:58$ a $14:12$ upłynęło $4\,\mbox{h}\, 14\,\mbox{min}$.

$t=254\,\mbox{min}\approx 4,23\,\mbox{h}$

$v_{sr}=\frac{38,6\,\mbox{km}}{4,23\,\mbox{h}}\approx$$\;9,13\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}$

B.

Dla odcinka z Bielska‑Białej do Ustronia:  $s_1=28,2\,\mbox{km}$

Pomiędzy $9:58$ a $11:41$ upłynęło $1\,\mbox{h}\, 43\,\mbox{min}$.

$t_1=103\,\mbox{min}\approx 1,72\,\mbox{h}$

$v_{sr1}=\frac{28,2\,\mbox{km}}{1,72\,\mbox{h}}\approx$$\;16,40\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}$

Dla odcinka z Ustronia do Wisły: $s_2=10,4\,\mbox{km}$

Pomiędzy $12:41$ a $14:12$ upłynęło $1\,\mbox{h}\, 31\,\mbox{min}$. $t_2=91\,\mbox{min}\approx 1,52\,\mbox{h}$

$v_{sr1}=\frac{10,4\,\mbox{km}}{1,52\,\mbox{h}}\approx$$\;6,84\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}$

Dla całej trasy:

$v_{sr}=\frac{s}{t}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$

$v_{sr}=\frac{38,6\,\mbox{km}}{3,24\,\mbox{h}}=$$\;11,91\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}$

Średnia arytmetyczna: $v_{a.sr}=\frac{6,84\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}+16,40\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}}{2}=11,62\,\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}$

Średnia arytmetyczna prędkości na pierwszym i drugim etapie nie jest równa prędkości średniej, ponieważ prędkość średnia jest ilorazem całkowitej drogi i całkowitego czasu, a przy obliczaniu średniej arytmetycznej obliczamy:

$v_{a.sr}=\frac{v_{sr1}+v_{sr2}}{2}=\frac{s_1t_2+s_2t_1}{2t_1t_2}$

$v_{sr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}$

$v_{a.sr}\neq v_{sr}$

Droga

Jeśli ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z punktu $A$ do punktu $B$, to droga przebyta przez to ciało  jest równa długości odcinka $AB$, ponieważ torem ruchu jest linia prosta.
Jeżeli piechur szedł ze stałą prędkością $4 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ przez dwie godziny, to jaką przebył drogę? Skoro pokonał drogę równą $4 \mathrm{km}$ w czasie $1$ godziny, to przebyta przez niego droga w czasie $2$ godzin będzie dwukrotnie dłuższa i wyniesie $8 \mathrm{km}$.
Czy można posłużyć się jakimś wzorem, aby ułatwić  obliczenia?

Jeżeli znamy prędkość poruszającego się np. pojazdu, to możemy obliczyć, jaką drogę pokona ten pojazd w określonym czasie.

Czas

Jeśli znamy długość drogi do przebycia i wartość prędkości, z jaką będziemy się poruszać, możemy obliczyć czas potrzebny do pokonania tej odległości. W jaki sposób?

Gdy wiemy, jaką długość miała droga którą pokonał pojazd i z jaką prędkością się poruszał, to możemy obliczyć czas tego ruchu.

Przykład 9

Pewien samochód przejechał $140\mathrm{ km}$ ze średnią prędkością $70\mathrm{ }\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Obliczmy, ile czasu trwała ta podróż.

Skoro samochód poruszał się z prędkością $70\mathrm{ }\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, to znaczy, że przejechał $70\mathrm{ km}$ w czasie $1\mathrm{ h}$.

RtJN9YuxqnrFy1

Zapis proporcji: 70 km – 1 h i poniżej 140 km – 2 h. 70 km razy 2 =140 km i 1 h razy 2 =2 h.

Odpowiedź: Podróż trwała $2\mathrm{ h}$.

Prędkość, droga i czas – zadania różne

Przykład 10

Wytrawny piechur przemieszcza się w terenie płaskim z prędkością $6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$. Obliczymy drogę, jaką wędrowiec przebędzie w ciągu $12$ godzin od wyjścia, jeżeli zrobi w tym czasie dwie $45$ – minutowe przerwy w marszu. Czy gdyby wyruszył z Wrocławia, to udałoby mu się dojść w ciągu jednego dnia do leżącej pod Wrocławiem Sobótki? Odległość między miejscowościami odczytamy z mapy dołączonej do zadania.

RYJvoy1XhJlJc

Na ilustracji fragment mapy. Na mapie łamaną zaznaczono trasę. Trasa biegnie odcinkami, od punktu do punktu, na południowy wschód. Na trasie zaznaczono odległość dwudziestu kilometrów od początku trasy oraz trzydziestu trzech kilometrów od początku trasy.

Na początek obliczymy, ile czasu wędrowiec faktycznie będzie się poruszał. W tym celu od całkowitego czasu podróży odejmujemy jego dwie przerwy. Następnie otrzymany wynik wykorzystujemy, aby obliczyć całkowitą drogę którą przebędzie piechur.
Aby odpowiedzieć na kolejne pytanie sprawdzamy, czy odległość, którą piechur przejdzie w czasie swojej wędrówki jest większa czy mniejsza niż odległość z  Wrocławia do Sobótki.

Droga, którą piechur przebędzie w ciągu swojej wędrówki to $s=63 \mathrm{km}$.
Odległość z Wrocławia do Sobótki wynosi $33\mathrm{k}\mathrm{m}$, a więc piechurowi udałoby się dojść do celu w ciągu jednego dnia.

Doganianie, oddalanie, spotykanie

Obserwując, czy rozważając ruch, dostrzegamy również takie sytuacje jak: wymijanie, doganianie, spotykanie i oddalenie się obiektów.

Wykres zależności wartości prędkości i drogi od czasu

Wielkości fizyczne opisujące zjawiska lub procesy fizyczne wygodniej jest przedstawiać w formie graficznej. Kiedy opisujemy ruch, najczęściej przedstawiamy graficznie zależność przebytej drogi od czasu $s\left(\mathrm{t}\right)$, a także sporządzamy wykresy ilustrujące zależność wartości prędkości od czasu $v\left(\mathrm{t}\right)$.

R2BzqakG7dbbl

Zdjęcie przedstawia tor kolarski. W centralnej części kadru znajduje się grupa zawodników jadących na wprost zdjęcia. W tle w rozmyciu widać ludzi obserwujących sportowe zmagania.

Ćwiczenie 29

Marek brał udział w biegu ulicznym. Wykres przedstawia zależność  drogi przebytej przez  tego  biegacza  od czasu.  Na podstawie poniższego wykresu uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby w puste pola.

R8akW8E8nDwlw

Schemat przedstawia wykres zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Opis osi: oś odciętych - od 0 do 24, co 2, opisana „t, s”; oś rzędnych – od 0 do 225, co 25, opisana „s, m”. Na osi narysowano czerwony odcinek, mający początek w początku układu współrzędnych. Odcinek nachylony do osi odciętych pod kątem nieco mniejszym niż 45 stopni. Z wykresu można odczytać, że odcinek przechodzi przez punkty (8, 75) i (16, 150). Kończy się w punkcie (21, 200).

Ru85r6VfVRMeE

Na podstawie poniższego wykresu uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby w puste pola. Odpowiedź: Bieg odbywał się na dystansie Tu uzupełnij $\mathrm{m}$. Biegacz pokonał swój dystans w czasie Tu uzupełnij $\mathrm{s}$. Sportowiec w czasie $8$ sekund przebył drogę Tu uzupełnij metrów.

Na podstawie poniższego wykresu uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby w puste pola. Odpowiedź: Bieg odbywał się na dystansie Tu uzupełnij $\mathrm{m}$. Biegacz pokonał swój dystans w czasie Tu uzupełnij $\mathrm{s}$. Sportowiec w czasie $8$ sekund przebył drogę Tu uzupełnij metrów.

Na podstawie wykresu zależności drogi od czasu $s\left(t\right)$ możemy obliczyć wartość prędkości przemieszczającego się ciała. W jaki sposób to zrobić? Wystarczy odczytać drogę przebytą przez ciało i podzielić ją przez czas jego ruchu.

Ćwiczenie 30

Na rysunku przedstawiono wykres zależności drogi od czasu dla poruszającego się ciała.

R1Rl9DcpdDnSL

lustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do ośmiu, co dwie sekundy. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do trzydziestu pięciu, co pięć metrów. Wykres jest liniowy rosnący, przechodzi przez punkty (2; 10) i (6; 30).

R1LCsqlcxd5pd

Przeanalizuj powyższy wykres, a następnie uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując odpowiednią liczbę. Z powyższego wykresu wynika, że ciało poruszało się z prędkością o wartości Tu uzupełnij $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Przeanalizuj powyższy wykres, a następnie uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując odpowiednią liczbę. Z powyższego wykresu wynika, że ciało poruszało się z prędkością o wartości Tu uzupełnij $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Uzupełnij puste miejsce.

Z powyższego wykresu wynika, że ciało poruszało się z prędkością o wartości ............ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Pokaż podpowiedź

Aby obliczyć prędkość odczytaj z wykresu, jaką drogę przebyło ciało w wybranym przedziale czasu.

Ćwiczenie 31

Wykres przedstawia zależność przebytej drogi od czasu dla pewnego ciała. Ile wynosi średnia wartość prędkości tego ciała?

R1FqAp9HEUDN1

Pierwsza ćwiartka układu współrzędnych. Na osi pionowej odłożona droga w metrach, od zera do dziewięćdziesięciu co pięć metrów. Na osi poziomej odłożony czas w sekundach, od zera do trzydziestu, co dwie i pół sekundy. Wykres jest liniowy, od punktu (0;0) do punktu (30;90). wykres oznaczony jest czerwonym kolorem

RanVNlK5VLxiw

Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Średnia wartość prędkości tego ciała wynosiła $3 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$., 2. Średnia wartość prędkości tego ciała wynosiła $3 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$., 3. Średnia wartość prędkości tego ciała wynosiła $6 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Ćwiczenie 32

Na rysunku przedstawiono wykres zależności drogi od czasu dla poruszającego się ciała.

RKr7YbQog4V5v

Ilustracja przedstawia wykres zależności drogi od czasu. Oś odciętych podpisana „t, s”. Oś rzędnych podpisana „s, m”. Wykres łamanej półprostej. Kolor czerwony. Na osiach nie oznaczono skali. Oś odciętych podzielono na etapy: A (najkrótszy), B (najdłuższy) i C. Wykres w etapie A wznosi się stromo w górę. Wykres etapie B biegnie równolegle do osi odciętych. Wykres w etapie C wznosi się łagodnie w górę.

R12AEfwB0N9ob

Na podstawie powyższego wykresu określ, w którym przedziale czasu ($\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ czy $\mathrm{C}$) ciało poruszało się z prędkością o największej wartości. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{A}$, 2. $\mathrm{B}$, 3. $\mathrm{C}$

Na podstawie powyższego wykresu określ, w którym przedziale czasu (A, B czy C) ciało poruszało się z prędkością o największej wartości.

• A
• B
• C

Przykład 14

Na podstawie poniższego wykresu obliczymy prędkości trzech ciał na poszczególnych etapach trwania ruchu (w przedziałach $0$ – $4$ sekund oraz $4$ – $6$ sekund). Ustalimy, jaka jest zależność pomiędzy kątem nachylenia wykresu do osi czasu a wartością prędkości ciał na danym odcinku drogi.

R5fhoDWvsgyTq

Ilustracja przedstawia wykres zależności drogi od czasu dla trzech ciał: A, B, C. A – kolor czerwony. B – kolor zielony. C – kolor niebeski. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0 do 13, co 1, opisana „s, m”. Wykres dla ciała A przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 12), (6, 13) – koniec. Wykres dla ciała B (tworzący odcinek) przebiega przez następujące punkty: (0,0) - początek; (6, 12) – koniec. Wykres dla ciała C przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 4), (6, 9) – koniec.

Zaczniemy od odczytania z wykresu drogi przebytej przez ciała w danych okresach czasu, a następnie skorzystamy ze wzoru na średnią prędkość.

Im większy kąt nachylenia wykresu od osi czasu, tym większa wartość prędkości ciała na danym odcinku.
Średnia prędkość w przedziale $0$ – $4$ sekund:
$v_A=3 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
$v_B=2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
$v_C=1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Średnia prędkość w przedziale $4$ – $6$ sekund:
$v_A=0,5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
$v_B=2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$,
${\mathrm{v}}_{\mathrm{C}}=2,5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Ćwiczenie 34

Wykres zależności prędkości od czasu ruchu składa się z trzech kolejnych etapów.

1. Ciało poruszało się z prędkością o wartości $4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ w czasie $10$ minut.

2. Ciało poruszało się z prędkością o wartości $1,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ w czasie $2$ minut.

3. Ciało poruszało się z prędkością o wartości $5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ w czasie $6$ minut.

Narysuj go. Narysuj również odpowiedni wykres zależności drogi od czasu dla tego ruchu.

R4wZRqWXBkaag

Opisz, jak wygląda ten wykres oraz odpowiadający mu wykres zależności drogi od czasu dla tego ruchu.

R1KQUd8inxdu4

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Aby narysować wykres drogi od czasu, przekształć wzór na prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Pokaż odpowiedź

Zależność prędkości od czasu:

R1R5sAz0DMroU

Ilustracja przedstawia wykres prędkości od czasu. Na osi iks odłożony jest czas w sekundach, skala jest od zera do tysiąca osiemdziesięciu, co sto dwadzieścia sekund. Na osi igrek odłożona jest prędkość w metrach na sekundę. Skala jest od zera do pięciu, co jeden metr. Wykres rozpoczynaja się w punkcie (0; 4), biegnie równolegle do osi iks do punktu (600; 4), przerywaną linią opada pionowo w dół do punktu (600; 1,5), linią ciągłą do punktu (720; 1,5), linią przerywaną do (720; 5) i ciągłą do (1080; 5).

Zależność drogi od czasu:

RB2ltypZA8cOC

Ilustracja przedstawia wykres drogi od czasu. Na osi poziomej odłożony jest czas w sekundach, od zera do tysiąca osiemdziesięciu co sto dwadzieścia sekund. Na osi pionowej odłożona jest droga w metrach, od zera do pięciu tysięcy, dla uproszczenia zaznaczone są tylko interesujące nas punkty. Wykres jest rosnący. Rozpoczyna się w punkcie (0; 0) a jego odcinki poprowadzone są kolejno do punktów (600; 2400), mniej stromo do punktu (720; 2580), bardziej stromo do punktu (1080; 4380).

Ćwiczenie 35

Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla trzech różnych ciał. Każde z ciał porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, przy czym w pewnym momencie ich prędkość zmienia się.

R4rGveCIpdvQk

Ilustracja przedstawia wykres zależności prędkości od czasu dla trzech ciał: O, M, N. O – kolor niebieski. M – kolor pomarańczowy. N – kolor różowy. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0,0 do 3,0, co 0,5; opisana „v, m/s”. Wykres dla ciała O składa się z dwóch odcinków. Pierwszy: początek (0; 1) i koniec (4; 1,0). Drugi: początek (4; 2,5) i koniec 6; 2,5). Wykres dla ciała M składa się z jednego odcinka. Początek (0; 2,0) i koniec (6; 2,0). Wykres dla ciała N składa się z dwóch odcinków. Pierwszy: początek (0; 3,0) i koniec (4; 3,0). Drugi: początek (4; 0,5) i koniec 6; 0,5).

RHIqJP8t5ezE0

Ilustracja przedstawia wykres zależności drogi od czasu dla trzech ciał: A, B, C. A – kolor czerwony. B – kolor zielony. C – kolor niebeski. Oś odcięty od 0 do 6, co 1, opisana „t, s”. Oś rzędnych od 0 do 13, co 1, opisana „s, m”. Wykres dla ciała A przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 12), (6, 13) – koniec. Wykres dla ciała B (tworzący odcinek) przebiega przez następujące punkty: (0,0) - początek; (6, 12) – koniec. Wykres dla ciała C przebiega przez następujące punkty, połączone odcinkami: (0,0) - początek; (4, 4), (6, 9) – koniec.

RGhyeAWpnrWxI

Połącz w pary wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla tego samego ruchu. $\mathrm{M}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{O}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{N}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$

Połącz w pary wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla tego samego ruchu. $\mathrm{M}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{O}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$ $\mathrm{N}$ Możliwe odpowiedzi: 1. $\mathrm{B}$, 2. $\mathrm{C}$, 3. $\mathrm{A}$

Połącz w pary wykresy zależności drogi i prędkości od czasu dla tego samego ruchu.

B, A, C

M
O
N

Analiza wykresu zależności prędkości od czasu $v\left(t\right)$ prowadzi do kolejnych interesujących wniosków. Na podstawie wykresu możemy wyznaczyć drogę przebytą przez poruszające się ciało. Jak to zrobić? Dla wybranego przedziału czasowego należy obliczyć pole powierzchni prostokąta utworzonego pod wykresem zależności $v\left(t\right)$.

RumTlszR9I2CJ

Grafika przedstawiająca wykres v(t) (linia prosta równoległa do osi czasu) i zaznaczone boki prostokąta (pole powierzchni pod wykresem zależności v(t) oznaczone jako a i b), zamieniające się na v i t dla odpowiednich boków.

RvYWnAGJJukEt1

Aplikacja posiada możliwość zmiany wartości prędkości pojazdu oraz czasu jego poruszania się. Po ustawieniu tych wartości, widoczny na ekranie samochód zaczyna poruszać się w linii prostej do przodu. W prawym górnym rogu pojawia się wykres zależności prędkości od czasu. Jest on linią prostą, równoległą do osi czasu.

Aplikacja posiada możliwość zmiany wartości prędkości pojazdu oraz czasu jego poruszania się. Po ustawieniu tych wartości, widoczny na ekranie samochód zaczyna poruszać się w linii prostej do przodu. W prawym górnym rogu pojawia się wykres zależności prędkości od czasu. Jest on linią prostą, równoległą do osi czasu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D11FnNTqe

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.