Draw any triangle and then connect the vertex of this triangle with the midpoint of the opposite side. What is the name of the line segment you have drawn?
The median of the trianglemedian of the trianglemedian of the triangle is the line segment that joins the vertex of the trianglevertex of the trianglevertex of the triangle with the mid‑point of its opposite side. A triangle has three medians. The medians of the triangle intersect in one point, which is called the centroid of a triangle.
Open the applet. Follow the instructions, mark the mid‑points of the sides of the triangle, the medians of the triangle and the points of intersection of the medians of the triangle. Having completed the exercise, present the results of your observations by answering the question:
At what ratio did the point S divide each median?
Does changing the location of vertexes affect the ratio of the division of the medians of the triangle?
RR3kw2BMCFrb11
Aplet geogebra: Środek ciężkości trójkąta. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Aplet geogebra: Środek ciężkości trójkąta. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Rysunek przedstawia trójkąt ABC z poprowadzonymi środkowymi od każdego z wierzchołków AA', BB', CC'.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1NI4lmQdvHo51
Rysunek przedstawia trójkąt ABC z poprowadzonymi środkowymi od każdego z wierzchołków AA', BB', CC'. Zaznaczono punkt S przecięcia się środkowych. Widoczne są również oraz długości odcinków od punktu przecięcia się środkowych.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RCf9Yz2R3b1Nr
Rysunek przedstawia trójkąt ABC z poprowadzonymi środkowymi od każdego z wierzchołków AA', BB', CC'. Zaznaczono punkt S przecięcia się środkowych. Widoczne są również oraz długości odcinków od punktu przecięcia się środkowych. Po lewej stronie rysunku zapisane zostały stosunki długości odcinków od punktu przecięcia się środkowych. Stosunek długości odcinka AS do długości odcinka A'S równy jest stosunkowi 4,1597 do 2,0799 równy jest 2. Stosunek długości odcinka BS do długości odcinka B'S równy jest stosunkowi 4,0769 do 2,0384 równy jest 2. Stosunek długości odcinka CS do długości odcinka C'S równy jest stosunkowi 3,9269 do 1,9634 równy jest 2.
The centroid divides the length of each median in 2:1 ratio, starting from the vertex.
R10EDYokvf5V01
Rysunek trójkąta z poprowadzonymi trzema środkowymi a, b i c. Środkowe przecinają się w jednym punkcie. Punkt dzieli środkową w 2/3 jej długości. Krótsze części środkowych zostały oznaczone literami a, b, c. Dwa razy dłuższe części środkowych zostały oznaczone: 2a, 2b 2c.
The students solve the task using the formulated theorem.
The medians of the equilateral triangleequilateral triangleequilateral triangle intersect at the point, whose distance from the vertex is 5 cm. Calculate the altitudes of this triangle.
In an ABC triangle the distance between the centroid and the sides are 4 cm, 6 cm and 5 cm, respectively. Calculate the sum of the distances between the centroid and the vertexes of the triangle.
Exercises
R1PGh1VA24z6R
Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The medians of the triangle are divided at the ratio 2:1, starting from the vertex., 2. The orthocentre is the point of intersection of the medians in the triangle, 3. The bisectors of the interior angles of the triangle cross at one point and are divided at the ratio 2:1, starting from the vertex., 4. The angle bisector is any line that goes through the vertex of an angle, 5. The centroid is the point of intersection of the medians in the triangle
Wersja alternatywna ćwiczenia: Determine which sentences are true. Możliwe odpowiedzi: 1. The medians of the triangle are divided at the ratio 2:1, starting from the vertex., 2. The orthocentre is the point of intersection of the medians in the triangle, 3. The bisectors of the interior angles of the triangle cross at one point and are divided at the ratio 2:1, starting from the vertex., 4. The angle bisector is any line that goes through the vertex of an angle, 5. The centroid is the point of intersection of the medians in the triangle
Determine which sentences are true.
The medians of the triangle are divided at the ratio 2:1, starting from the vertex.
The orthocentre is the point of intersection of the medians in the triangle
The bisectors of the interior angles of the triangle cross at one point and are divided at the ratio 2:1, starting from the vertex.
The angle bisector is any line that goes through the vertex of an angle
The centroid is the point of intersection of the medians in the triangle
Exercise 2
An ABS triangle has three axes of symmetry. The length of the median starting from the vertex C and ending at the side AB is 6 cm. Calculate the angles in the ABC triangle and the sum of the lengths of its altitudes.
Angles 60Indeks górny oo, the sum of the altitudes is 18 cm
Exercise 3
Identify the bisectors of the angles of the triangle in each kind of trangles. Describe their construction in English.
R1SVCnemfuvYn1
Rysunek przedstawia przykładowe trójkąty: ostrokątny prostokątny i rozwartokątny.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 4
RScnBEsYzct8l
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. dwusieczna kąta trójkąta - angle bisector, 2. środek ciężkości trójkąta - centroid of the triangle, 3. środkowa boku trójkąta - median of the triangle, 4. wierzchołek trójkąta - vertex of the triangle, 5. trójkąt rozwartokątny - equilateral triangle, 6. trójkąt równoboczny - isosceles triangle
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. dwusieczna kąta trójkąta - angle bisector, 2. środek ciężkości trójkąta - centroid of the triangle, 3. środkowa boku trójkąta - median of the triangle, 4. wierzchołek trójkąta - vertex of the triangle, 5. trójkąt rozwartokątny - equilateral triangle, 6. trójkąt równoboczny - isosceles triangle
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
dwusieczna kąta trójkąta - angle bisector
środek ciężkości trójkąta - centroid of the triangle
środkowa boku trójkąta - median of the triangle
wierzchołek trójkąta - vertex of the triangle
trójkąt rozwartokątny - equilateral triangle
trójkąt równoboczny - isosceles triangle
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RR8ycjpnsGRrZ1
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
dwusieczna kąta trójkąta
centroid of the triangle
median of a triangle
środek ciężkości trójkąta
angle bisector
środkowa boku trójkąta
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
