Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

Już wiesz

Wiesz już, że:

prosta prostopadła do osi $X$ nie jest wykresem żadnej funkcji.
jeżeli na wykresie funkcji liniowej leżą dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , (gdzie $x_{A} \neq x_{B}$ ), to współczynnik kierunkowy prostej, będącej wykresem funkcji, jest równy

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}

natomiast wyraz wolny jest równy

b = y_{A} - a x_{A}

;

każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt $A = (x_{A}, y_{A})$ , ma równanie $y = a x + (y_{A} - a x_{A})$ , co zapisujemy w postaci

y = a (x - x_{A}) + y_{A}

;

każda prosta, będąca wykresem funkcji liniowej, która przechodzi przez dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma równanie

y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

Polecenie 1

Uruchom aplet i wykonaj podane polecenia.

R1eoTXUXJibbr1

R1ZuINFyx0A5F

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R84Scs0RhAYKS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dTjjYoBLeoc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNxagZ9RaQc35

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvKBiRLeEzKTD2

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Dopasuj do każdego rysunku odpowiednie równanie prostej.

$A$
RExbpLpyHdFdb1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$B$
RL5diwP2EhA091
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$C$
R1FBqXhPJBjGj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$D$
RdpGBwyyMYPXp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$E$
RglJqpdF8Hqpu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$F$
RIeLZ6PR3ZvdP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9mWLlEYnvTM0

Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Rysunkowi

A

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

B

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

C

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

D

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

E

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

.Rysunkowi

F

odpowiada równanie prostej 1.

y = 3

, 2.

y = \frac{1}{2} x

, 3.

y = 3 x + 2

, 4.

y = - 1

, 5.

y = - \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

, 6.

y = - \frac{1}{5} x

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1V1ace5my2qq2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary postać ogólną prostej z jej postacią kierunkową.

- 3 x + y - 1 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

- 4 x + 12 y + 9 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

- 15 x + 3 y + 1 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

x - 7 y + 5 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

x + y + 3 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

y = - x - 3

, 2.

y = 5 x - \frac{1}{3}

, 3.

y = \frac{1}{3} x - \frac{3}{4}

, 4.

y = 3 x + 1

, 5.

y = \frac{1}{7} x + \frac{5}{7}

Połącz w pary postać ogólną prostej z jej postacią kierunkową.

$- 3 x + y - 1 = 0$
$- 4 x + 12 y + 9 = 0$
$- 15 x + 3 y + 1 = 0$
$x - 7 y + 5 = 0$
$y = - x - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcpeFpoBQIvVh1

Ćwiczenie 4

$y = - 3 x + 1$
$y = 3 x - 1$
$y = - 3 x - 1$
$y = 3 x + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie prostej, przechodzącej przez punkty $A = (4, 2)$ i $B = (- 3, 1)$ .

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} = \frac{2 - 1}{4 + 3} = \frac{1}{7}

Równanie prostej możemy zapisać w postaci

y = \frac{1}{7} x + b

Współczynnik $b$ obliczymy, wstawiając do równania współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej, np. $A = (4, 2)$

2 = \frac{1}{7} \cdot 4 + b

więc $b = \frac{10}{7}$ . Wynika z tego, że równanie prostej, przechodzącej przez punkty
$A$ i $B$ , ma postać:

y = \frac{1}{7} x + \frac{10}{7}

R1YDwSS3TF5QR1

Rysunek prostej y = jedna siódma x plus dziesięć siódmych w układzie współrzędnych. Prosta jest nachylona do osi X, przedstawia funkcję rosnącą. Prosta przechodzi przez punkty B=(-3, 1) i A=(4, 2) — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że mnożąc obie strony równania prostej przez $7$ , otrzymamy inną postać tego równania:

7 y = x + 10

Po uporządkowaniu możemy zapisać

x - 7 y + 10 = 0

Jest to równanie tej samej prostej, przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ , zapisane w postaci ogólnej.

Równanie ogólne prostej

Definicja: Równanie ogólne prostej

Równanie $A x + B y + C =0$ , gdzie $A$ , $B$ i $C$ są liczbami rzeczywistymi oraz $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe zero, nazywamy równaniem ogólnym prostej.

ROGdrUlYNxzO31

R1AeBeD3ifDSu1

Przykład 2

Wyznaczymy równanie ogólne prostej, przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , gdzie $x_{A} \neq x_{B}$ . Zauważmy, że korzystając ze wzoru

y = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

otrzymamy postać kierunkową prostej.

Możemy jednak przekształcić wzór tak, aby można było otrzymać również postać ogólną prostej.

Od obu stron równania odejmiemy wyrażenie

\frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) + y_{A}

y - y_{A} - \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}} (x - x_{A}) = 0

Mnożymy obie strony przez

x_{A} - x_{B}

(x_{A} - x_{B} \neq 0)

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

Zauważmy, że jeżeli $x_{A} = x_{B}$ , to otrzymany wzór opisuje prostą równoległą do osi $Y$ , przechodzącą przez punkty $A$ i $B$ . Ponieważ $(x_{A}, y_{A}) \neq (x_{B}, y_{B})$ i $x_{A} = x_{B}$ , to $y_{A} \neq y_{B}$ . Wówczas mamy

(y - y_{A}) \cdot 0 - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0 | : (y_{A} - y_{B})

x - x_{A} = 0

x = x_{A}

Zapamiętaj!

Równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma postać

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

Przykład 3

Wyznaczymy równanie prostej, przechodzącej przez punkty $A = (- 3, 4)$ i $B = (2, - 1)$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do wzoru

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

otrzymamy

(y - 4) (- 3 - 2) - [4 - (- 1)] [x - (- 3)] = 0

- 5 (y - 4) - 5 (x + 3) = 0

- 5 y + 20 - 5 x - 15 = 0

Po uporządkowaniu

- 5 x - 5 y + 5 = 0 | : (- 5)

x + y - 1 = 0

RedFduRXXfh9M1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. W układzie zaznaczona jest prosta, która przechodzi przez punkty A=(-3, 4) i B=(2, -1). Prosta dana jest równaniem x+y‑1=0 i przedstawia funkcję malejącą. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznaczymy równanie prostej, przechodzącej przez punkty $A = (5, 2)$ i $B = (5, - 3)$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do wzoru

(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0

otrzymamy

(y - 2) (5 - 5) - (2 + 3) (x - 5) = 0

0 \cdot (y - 2) - 5 (x - 5) = 0

Po uporządkowaniu otrzymaliśmy równanie prostej w postaci ogólnej

x - 5 = 0

R17TSjcX8OM5b1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do ośmiu i pionową osią Y od minus trzech do czterech. W układzie zaznaczona jest prosta, która przechodzi przez punkty A=(5, 2) i B=(5, -3). Prosta dana jest równaniem x‑5=0 i jest równoległa do osi Y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jest to prosta prostopadła do osi $X$ . Tej prostej nie można opisać równaniem w postaci kierunkowej, ponieważ nie jest ona wykresem funkcji liniowej.

Uwaga

Równanie tej prostej wyznaczymy szybciej, jeśli zauważymy, że pierwsze współrzędne obu punktów są jednakowe i równe $5$ , a drugie są różne. Oznacza to, że równanie prostej, przechodzącej przez te punkty, ma postać $x = 5$ , czyli $x - 5 = 0$ .

R1YI6NvfHrkqQ2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary punkty z prostymi przez nie przechodzącymi. minus, x, plus, trzy y, równa się, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu x, plus, y, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu minus, dwa x, plus, pięć y, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu y, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu x, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 3. A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, trzy przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, jeden przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, 5. A, równa się, nawias, dwa przecinek trzy, zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias, dwa przecinek zero, zamknięcie nawiasu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Narysujemy prostą o równaniu ogólnym $3 x - y + 2 = 0$ .

Narysowanie tej prostej będzie łatwiejsze, jeśli zapiszemy ją w postaci kierunkowej: $y = 3 x + 2$ .

Z własności funkcji liniowej pamiętamy, że wykres funkcji $y = 3 x + 2$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, 2)$ , a współczynnik kierunkowy jest równy $3$ .

R1aufXjMM2SGc1

Rysunek przedstawia prostą przechodzącą przez punkty (0,2) i (1,5) oraz trójkąt prostokątny o wierzchołkach w punktach (0,2), (1,5) i (1,2) . Przy wierzchołku w punkcie (1,2) trójkąt ma kąt prosty. Ponadto przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w opisywanej prostej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1em24zGon7qg1

przecina oś $Ox$ w punkcie $(- 5, 0)$
przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$
przechodzi przez punkt $A = (2, 3)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przecina oś $X$ w punkcie $(- 5, 0)$ – Tak, po wstawieniu współrzędej $y = 0$ do równania prostej otrzymujemy $- 2 x + 5 \cdot 0 - 10 = 0$ , czyli $x = - 5$ .

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 2)$ – Tak, po wstawieniu współrzędnej $x = 0$ do równania prostej otrzymujemy $- 2 \cdot 0 + 5 y - 10 = 0$ , czyli $y = 2$ .

Prosta o równaniu $- 2 x + 5 y - 10 = 0$ przechodzi przez punkt $A = (2, 3)$ – Nie, po wstawieniu współrzędnych punktu do równania prostej otrzymujemy $- 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 - 10 = 0$ , czyli sprzeczność $1 = 0$ . Współrzędne punktu $A = (2, 3)$ nie spełniają równania tej prostej.

R12YkMMMhZ06r2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

REWAefjC0MgPJ

$\frac{1}{6}$
$- 6$
$6$
$- \frac{1}{6}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że gdy argument funkcji wzrósł o $10$ , to wartość funkcji wzrosła o $60$ .

Ćwiczenie 9

RieJmWgnKFZJ7

$y = \sqrt{2}$
$x = - \sqrt{3}$
$y = - \sqrt{2}$
$x = \sqrt{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R7eKUALEep59E

$y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
$y = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17FXYlzcCbtK2

Ćwiczenie 11

$B = - 4$
$B = 4$
$B = 2$
$B = - 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

R10dj8J6bBWIS

$m = - 3$
$m = 7$
$m = 3$
$m = - 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby obliczyć wartość $m$ , należy rozwiązać równanie $- 20 \cdot (m + 1) + 33 \cdot 1 + 127 = 0$ .

Ćwiczenie 13

RjNw05W53Gol7

$- 2 x - 3 y + 6 = 0$
$16 x + 24 y - 48 = 0$
$2 x + 3 y - 6 = 0$
$- 8 x + 12 y + 24 = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

RkVJMU1MEqmUF2

$S = (- 1,4)$
$S = (3,2)$
$S = (- 5,7)$
$S = (- 3,7)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz równania dwóch prostych przechodzących odpowiednio przez punkty $A$ i $C$ oraz $B$ i $D$ . Następnie wyznacz punkt przecięcia tych prostych.

Ćwiczenie 15

R1F6bUYy7M5Ej2

$B = (- 4, - 1)$
$B = (3, - 1)$
$B = (2,2)$
$B = (2, - 2)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli prosta $A B$ jest prostopadła do osi $X$ , to pierwsze współrzędne wszystkich punktów leżących na tej prostej muszą być takie same. W ten sposób otrzymasz pierwszą współrzędną punktu $B$ . Drugą współrzędną otrzymasz korzystając ze wzoru prostej $k$ , na której leży ten punkt.

Ćwiczenie 16

RYye5JO4n4KCk2

$AC : y = - x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$A C : y = x$ , $BC : y = - 2 x + 150$
$AC : y = - x$ , $BC : y = 2 x + 150$
$AC : y = x$ , $BC : y = 2 x + 150$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

R1OmFpVc6YlOy2

$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x + 1 = 0$ , $BD : y + 4 = 0$
$AC : x - 1 = 0$ , $BD : y - 4 = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma postać $(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) - (y_{A} - y_{B}) (x - x_{A}) = 0$ .

R1ko2dn5tQ8wX3

Ćwiczenie 18

Wyznacz równanie prostej w postaci ogólnej, która przechodzi przez podane punkty. Połącz punkty z odpowiednim równaniem prostej.

A = (0, 0)

B = (- 4, 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (2, 4)

B = (- 2, - 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (- 5, 2)

B = (- 5, - 6)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (124, 48)

B = (- 124, - 48)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

A = (\sqrt{3}, 3 \sqrt{3})

B = (5 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3)}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 12 x + 31 y = 0

, 2.

x - 4 y + 11 \sqrt{3} = 0

, 3.

x + 5 = 0

, 4.

- 7 x + 4 y - 2 = 0

, 5.

x + 4 y = 0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

R1YjVrFZhnsGA3

Wyznacz współrzędne punktu

M

, w którym przecinają się proste o podanych równaniach. Wpisz wartości współrzędnych

x

oraz

y

w puste pola.

m

- 2 x + 5 y - 12 = 0

k

x + 3 y - 5 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

m

- 2 x + 3 y + 1 = 0

k

x - 5 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

m

- x + 3 y - 6 = 0

k

2 x + y - 2 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

m

x + 4 y + 23 = 0

k

3 x - 2 y - 1 = 0

, zatem współrzędne przecięcia się tych prostych znajdują się w punkcie

M = (

Tu uzupełnij

,

Tu uzupełnij

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie będzie wyglądało analogicznie dla każdego punktu.

Zacznijmy od zbudowania układu składającego się z obu równań prostych.

\{\begin{cases} - 2 x + 5 y - 12 = 0 \\ x + 3 y - 5 = 0 \end{cases}

Musimy rozwiązać ten układ równań dowolną metodą. W tym przypadku wybieramy metodę podstawiania. Z pierwszego równania wyznaczamy zmienną $x$ , a następnie podstawiamy ją do drugiego równania:

\{\begin{cases} 2, 5 y - 6 = x \\ 2, 5 y - 6 + 3 y - 5 = 0 \end{cases}

Rozwiązując drugie równanie otrzymamy wartość zmiennej $y$ , a podstawiając tą wartość do pierwszego równania otrzymamy wartość zmiennej $x$ . Ostatecznie

\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}

zatem punkt $(- 1, 2)$ jest punktem przecięcia tych prostych.

Ćwiczenie 20

RqjUItzBhFmyb3

Boki trójkąta

A B C

zawierają się w prostych

A C

A B

B C

. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta przy podanych założeniach, a następnie przeciągnij odpowiednie wartości w puste pola.

A B

y + 4 = 0, A C

5 x + 3 y - 8 = 0

oraz

B C

x - y = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

x + y + 2 = 0, A C

- 3 x + 2 y + 9 = 0

oraz

B C

- x + 9 y - 22 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

- x + 2 y - 10 = 0, A C

x - 4 = 0

oraz

B C

y - 3 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

Boki trójkąta

A B C

zawierają się w prostych

A C

A B

B C

. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta przy podanych założeniach, a następnie przeciągnij odpowiednie wartości w puste pola.

A B

y + 4 = 0, A C

5 x + 3 y - 8 = 0

oraz

B C

x - y = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

x + y + 2 = 0, A C

- 3 x + 2 y + 9 = 0

oraz

B C

- x + 9 y - 22 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

A B

- x + 2 y - 10 = 0, A C

x - 4 = 0

oraz

B C

y - 3 = 0

Zatem współrzędne wierzchołków to:

A = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

B = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

,

C = (

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

,

2

, 2.

- 4

, 3.

- 3

, 4.

- 8

, 5.

5

, 6.

1

, 7.

1

, 8.

- 4

, 9.

4

, 10.

7

, 11.

- 4

, 12.

8

, 13.

- 4

, 14.

- 6

, 15.

4

, 16.

- 7

, 17.

0

, 18.

- 4

, 19.

6

, 20.

3

, 21.

3

, 22.

1

, 23.

4

, 24.

3

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wierzchołek $A$ znajduje się w punkcie przecięcia prostych $A B$ i $A C$ , wierzchołek $B$ znajduje się w punkcie przecięcia prostych $A B$ i $B C$ , a wierzhołek $C$ znajduje się w punkcie przecięcia prostych $A C$ i $B C$ . Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołków należy zbudować układy złożone z odpowiednich równań prostych. Rozwiązanie tych równań będzie wskazywało współrzędne wierzchołków.

Ćwiczenie 21

R7pIZZc2f7cim3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

RoUMRnSwTo3j83

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podstaw współrzędne punktu do podanej równości, a następnie wyznacz wartość zmiennej $m$ .
Aby prosta była prostopadła do osi $X$ , jej współczynnik przy zmiennej $y$ musi być równy $0$ .
Aby prosta była prostopadła do osi $Y$ , jej współczynnik przy zmiennej $x$ musi być równy $0$ .

Ćwiczenie 23

Uzasadnij, że nie istnieje wartość $m$ , dla której prosta $(m^{2} - 9) x + (m - 3) y + m + 3 = 0$ jest prostopadła do osi $X$ .

Rm6JOvNUaSUr0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanów się, jak powinien wyglądać współczynnik przy $y$ w tej prostej, żeby była ona prostopadła do osi $X$ .

Gdyby była taka wartość $m$ , dla której prosta byłaby prostopadła do osi $X$ , to wówczas jej współczynnik przy $y$ byłby równy $0$ , a więc $m - 3 = 0$ , czyli $m = 3$ . Wtedy jednak współczynnik przy $x$ też byłby równy $0$ , co jest niemożliwe, gdyż oba te współczynniki nie mogą być jednocześnie równe $0$ .