4.Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta - M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

Rz3oyyAWQpM5D

4. Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wyprowadzimy wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta. Za pomocą tych wzorów będziemy mogli obliczać wartości sinusa, cosinusa i tangensa podwojonego kąta, gdy znane są funkcje trygonometryczne pojedynczego kąta.

Twoje cele

Zastosujesz wzory na sinus, cosinus, tangens podwojonego kąta do obliczania wartości innych kątów.
Zastosujesz wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta do wyprowadzania innych wzorów.
Zastosujesz wzory na sinus, cosinus, tangens podwojonego kąta do dowodzenia tożsamości.

Wszystkie wzory na funkcje podwojonego argumentu wyprowadzimy ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów. Zatem przypomnijmy te wzory.

sinus sumy argumentów

Twierdzenie: sinus sumy argumentów

\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

cosinus sumy argumentów

Twierdzenie: cosinus sumy argumentów

\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

tangens sumy argumentów

Twierdzenie: tangens sumy argumentów

Załóżmy, że $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Wówczas

tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}

Zatem wyprowadźmy wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu.

Sinus podwojonego argumentu. Zapiszemy $\sin 2 x$ jako $\sin (x + x)$ i skorzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówsinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za $y = x$ .

$\sin 2 x = \sin (x + x) = \sin x \cos x + \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x$

Stąd otrzymujemy wzór

\sin 2 x = 2 \sin x \cos x

Cosinus podwojonego argumentu. Zapiszemy $\cos 2 x$ jako $\cos (x + x)$ i skorzystamy ze wzoru na cosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za $y = x$ .

$\cos 2 x = \cos (x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

Stąd otrzymujemy wzór

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej możemy wzór na cosinus podwojonego argumentu zapisać w dwóch innych, przydatnych postaciach:

$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = (1 - \sin^{2} x) - \sin^{2} x = 1 - 2 \sin^{2} x$ ,

$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) = 2 \cos^{2} x - 1$ .

Tangens podwojonego argumentu. Zapiszemy $tg 2 x$ jako $tg (x + x)$ i skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentówtangens sumy argumentówtangens sumy argumentów podstawiając we wzorze za $y = x$ .

$tg 2 x = tg (x + x) = \frac{tg x + tg x}{1 - tg x \cdot tg x} = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$

Stąd otrzymujemy wzór

t g 2 x = \frac{2 t g x}{1 - {t g}^{2} x}

dla $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

funkcje podwojonego argumentu

Twierdzenie: funkcje podwojonego argumentu

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ , dla $x \in ℝ$

$\cos 2 x = \cos^{2} x = \sin^{2} x = 1 - 2 \sin^{2} x = 2 \cos^{2} x - 1$ , dla $x \in ℝ$

$tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$ , dla $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Przykład 1

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $15 °$ .

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta $30 °$ jako kąta $2 \cdot 15 °$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30 ° = \cos (2 \cdot 15 °) = 2 \cos^{2} (15 °) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cos^{2} (15 °) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 2 \cos^{2} 15 °$

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \cos^{2} 15 °$

Ponieważ kąt $15 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\cos 15 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\cos 15 ° = \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2}}$ .

Zapiszemy inaczej wartość $\cos 15 °$ .

$\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 \sqrt{3} + 4}{8}} = \sqrt{\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta $30 °$ jako kąta $2 \cdot 15 °$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30 ° = \cos (2 \cdot 15 °) = 1 - 2 \sin^{2} 15 °$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2 \sin^{2} 15 °$

$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sin^{2} 15 °$

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \sin^{2} 15 °$

Ponieważ kąt $15 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\sin 15 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\sin 15 ° = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$ .

Zapiszemy inaczej wartość $\sin 15 °$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{8}} = \sqrt{\frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. Obliczymy tangens $15 °$ jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus $15 °$ i wartości funkcji cosinus $15 °$ .

$tg 15 ° = \frac{\sin 15 °}{\cos 15 °} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} =$

$= \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{6 - 2} = \frac{6 - 2 \sqrt{6} \sqrt{2} + 2}{4} = 2 - \sqrt{3}$

Polecenie 1

Zagraj w jędnorękiego bandytę. W grze poćwiczysz znajomość wartości funkcji trygonometrycznych połowy charakterystycznych kątów.

RJx1azxbWuyRY

Uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. a) sinus piętnaście stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

b) sinus sześćdziesiąt siedem, przecinek, pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

c) sinus siedemdziesiąt pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

d) tangens piętnaście stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

e) tangens dwadzieścia dwa, przecinek, pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

f) tangens sześćdziesiąt siedem, przecinek, pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

g) tangens siedemdziesiąt pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

h) kosinus dwadzieścia dwa, przecinek, pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

i) kosinus piętnaście stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

j) kosinus siedemdziesiąt pięć stopni, równa się1. dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, 5. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 8. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden

R1KxXXlCJpzWF

Uzupełnij luki podanymi liczbami. a) sinus piętnaście stopni, razy, sinus dwadzieścia dwa, przecinek, pięć stopni, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden, 3. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka

b) sinus piętnaście stopni, razy, sinus siedem, przecinek, pięć stopni, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden, 3. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka

c) sinus piętnaście stopni, razy, tangens siedemdziesiąt pięć stopni, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden, 3. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka

d) tangens siedemdziesiąt pięć stopni, razy, tangens piętnaście stopni, równa się1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden, 3. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, plus, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka

RgLYt4SJvLezB1

Polecenie 2

Oblicz wartość wyrażenia: $\frac{1 - {tg}^{2} 15 °}{1 + {tg}^{2} 15 °}$ .

$\frac{1 - {tg}^{2} 15 °}{1 + {tg}^{2} 15 °} =$

$= \frac{1 - \frac{\sin^{2} 15 °}{\cos^{2} 15 °}}{1 + \frac{\sin^{2} 15 °}{\cos^{2} 15 °}} = \frac{\cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 °}{\cos^{2} 15 ° + \sin^{2} 15 °} =$

$= \frac{\cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 °}{1} = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Przedstawimy teraz kilka zastosowań poznanych wzorów do rozwiązania typowych zadań obliczeniowych.

Przykład 2

Obliczymy $\sin 2 α$ , jeżeli $\sin α = - 0, 8$ oraz $180 ° < α < 270 °$

Rozwiązanie:

Ponieważ $180 ° < α < 270 °$ , więc $\cos α < 0$ .

Na początku, korzystając z jedynki trygnometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygnometrycznej, obliczymy $\cos α$ :

$\cos α = - \sqrt{1 - (- 0, 8)^{2}} = - \sqrt{0, 36} = - 0, 6$ .

Korzystając ze wzoru na $\sin 2 α$ zapisujemy:

$\sin 2 α = 2 \sin α \cdot \cos α = (- 0, 8) (- 0, 6) = 0, 48$ .

Przykład 3

Obliczmy wartość wyrażenia $\sin α - \cos α$ , jeżeli wiadomo, że $\sin 2 α = - \frac{7}{9}$ .

Rozwiązanie:

Podnieśmy do kwadratu wyrażenie, którego wartość mamy obliczyć:

$(\sin α - \cos α)^{2} = \sin^{2} α - 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α$ .

Zauważmy, że w zapisie pojawia się wyrażenie, które można zastąpić $\sin 2 α$ :

$\sin^{2} α - 2 \sin α \cos α + \cos^{2} α = 1 - \sin 2 α$ .

Stąd otrzymujemy:

$(\sin α - \cos α)^{2} = 1 - (- \frac{7}{9}) = \frac{16}{9}$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $\sin α - \cos α = \frac{4}{3}$ lub $\sin α - \cos α = - \frac{4}{3}$ .

Przykład 4

Udowodnimy, że równość:

$\frac{2 \sin α - \sin 2 α}{2 \sin α + \sin 2 α} = \frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}$

jest tożsamością.

Dowód:

Zapiszmy założenia:

$2 \sin α + \sin 2 α \neq 0$ ,

$1 + \cos α \neq 0$ .

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta zapiszmy lewą stronę następująco:

$L = \frac{2 \sin α - \sin 2 α}{2 \sin α + \sin 2 α} = \frac{2 \sin α - 2 \sin α \cdot \cos α}{2 \sin α + 2 \sin α \cdot \cos α} =$ $\frac{2 \sin α (1 - \cos α)}{2 \sin α (1 + \cos α)} = \frac{1 - \cos α}{1 + \cos α} = P$ ,

co kończy dowód tożsamości.

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją, a następnie wykonaj polecenia znajdujące się pod nią.

RKepMO1ZQJ74K

Polecenie 4

Uzasadnij, że równość

$\frac{1 + \sin 2 α}{\sin α + \cos α} = \sin α + \cos α$

jest tożsamością.

Zapiszmy założenia: $\sin α + \cos α \neq 0$

$L = \frac{1 + \sin 2 α}{\sin α + \cos α} =$

$= \frac{\sin^{2} α + 2 \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α}{\sin α + \cos α} =$

$= \frac{(\sin α + \cos α)^{2}}{\sin α + \cos α} = \sin α + \cos α = P$ .

Polecenie 5

Udowodnij, że $\frac{\sin 10 ° \cdot (1 + {tg}^{2} 5 °)}{tg 5 °} = 2$ .

Podstaw do lewej strony równości $tg 5 ° = \frac{\sin 5 °}{\cos 5 °}$ .

$\frac{\sin 10 ° \cdot (1 + {tg}^{2} 5 °)}{tg 5 °} = \frac{\sin 10 ° \cdot (1 + {(\frac{\sin 5 °}{\cos 5 °})}^{2})}{\frac{\sin 5 °}{\cos 5 °}} =$

$= \frac{\sin 10 ° \cdot (\frac{\sin^{2} 5 ° + \cos^{2} 5 °}{\cos^{2} 5 °})}{\frac{\sin 5 °}{\cos 5 °}} = \frac{\sin 10 °}{\sin 5 ° \cos 5 °} =$

$= \frac{2 \sin 5 ° \cos 5 °}{\sin 5 ° \cos 5 °} = 2$ .

Przykład 5

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{1 + \cos 62 ° - \cos^{2} 31 °}{\cos^{2} 31 °} - 1$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $62 ° = 2 \cdot 31 °$ , a zatem możemy wykorzystać wzór na cosinus podwjonego kąta $31 °$ :

$\frac{1 + \cos 62 ° - \cos^{2} 31 °}{\cos^{2} 31 °} - 1 =$

$= \frac{1 + 2 \cos^{2} 31^{\circ} - 1 - \cos^{2} 31^{\circ}}{\cos^{2} 31^{\circ}} - 1 =$

$= \frac{\cos^{2} 31^{\circ}}{\cos^{2} 31^{\circ}} - 1 = 0$ .

Zatem $\frac{1 + \cos 62 ° - \cos^{2} 31 °}{\cos^{2} 31 °} - 1 = 0$ .

Przykład 6

Obliczymy $\sin \frac{α}{2}$ , jeżeli wiadomo, że $\cos α = - \frac{161}{289}$ i $180 ° < α < 360 °$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $180 ° < α < 360 °$ , więc $90 ° < \frac{α}{2} < 180 °$ , czyli $\sin \frac{α}{2} > 0$ .

Wykorzystamy wzór na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta w następującej postaci: $\cos α = 1 - 2 \sin^{2} \frac{α}{2}$ .

Przekształćmy wzór do postaci:

$\sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - \cos α}{2}$

Ponieważ $\sin \frac{α}{2} > 0$ , więc wzór przyjmuje postać:

$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$ .

Wobec tego możemy obliczyć wartość $\sin \frac{α}{2}$ :

$\sin \frac{α}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{161}{289}}{2}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$ .

Wniosek

Wiedząc, jaką miarę ma $\cos 2 α$ ze wzorów na cosinus podwojonego kąta, łatwo obliczymy wartości $\cos α$ i $\sin α$ .

Przykład 7

Udowodnimy, że równość $\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x} = - {tg}^{2} \frac{x}{4}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia:

$1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x \neq 0$ ,

$\cos \frac{x}{2} \neq 0$ .

Na początek po lewej stronie podstawimy $\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$ :

$L = \frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x} = \frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1} =$

$= \frac{2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2}}{2 \cos x^{2} \frac{x}{2} + 2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1)}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + 1)} =$

Po skróceniu przez $\cos \frac{x}{2}$ , korzystamy dwukrotnie ze wzoru cosinus podwojonego kąta:

$= \frac{\cos \frac{x}{2} - 1}{1 + \cos \frac{x}{2}} = \frac{1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{4} - 1}{2 \cos^{2} \frac{x}{4} - 1 + 1} = - \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{4}}{2 \cos^{2} \frac{x}{4}} = - {tg}^{2} \frac{x}{4} = P$ .

Polecenie 6

Zapoznaj się z filmem, a następnie wykonaj kolejne polecenia.

R1TB83uJ0qjyi

Polecenie 7

Oblicz $\cos 22, 5 °$ .

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos 45 ° = \cos (2 \cdot 22, 5 °) = 2 \cos^{2} 22, 5 ° - 1$

$\cos^{2} 22, 5 ° = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ .

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem:

$\cos 22, 5 ° = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}$ .

Polecenie 8

Oblicz $\sin 82, 5 °$ .

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\sin 82, 5 ° = \cos 7, 5 °$ . Wykorzystujemy znajmość wartości $\cos 15 °$ :

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \cos 15 ° = \cos (2 \cdot 7, 5 °) = 2 \cos^{2} 7, 5 ° - 1$ .

Stąd:

$\cos^{2} 7, 5 ° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + 1$ .

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem:

$\cos 7, 5 ° = \sqrt{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} + 1}$ .

Poniżej przedstawimy kilka typów tożsamości trygonometrycznych. W poniższych przykładach będziemy przekształcać jedną ze stron równości, zwykle tę bardziej skomplikowaną, tak długo, aż otrzymamy drugą stronę równania.

Przykład 8

Udowodnimy, że równość:

$\frac{1 + \sin 2 x}{\sin x + \cos x} = \sin x + \cos x$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy założenia: $\sin x + \cos x \neq 0$ .

Zastosujemy wzór na sinus podwojonego argumentusinus podwojonego kątasinus podwojonego argumentu oraz jedynkę trygonometryczną do przekształcenia lewej strony nierówności:

$\frac{1 + \sin 2 x}{\sin x + \cos x} = \frac{\sin^{2} x + 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x}{\sin x + \cos x}$

Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na sumę kwadratów i po skróceniu otrzymujemy prawą stronę równości:

$\frac{\sin^{2} x + 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^{2} x}{\sin x + \cos x} = \frac{{(\sin x + \cos x)}^{2}}{\sin x + \cos x} = \sin x + \cos x$ .

Przykład 9

Udowodnimy, że równość:

$\frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}{1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x} = - {tg}^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapisujemy założenia: $1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x \neq 0$ , $\cos (\frac{π}{4} - \frac{x}{4}) \neq 0$ .

Zastosujemy wzór na cosinus podwojonego argumentucosinus podwojonego kątacosinus podwojonego argumentu $\cos x = 1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{2}$ do przekształcenia lewej strony nierówności:

$\frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x}{1 + 2 \sin \frac{x}{2} - \cos x} = \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2}}{2 \sin^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2}}$

Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku i skracamy go:

$\frac{2 \sin^{2} \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2}}{2 \sin^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2}} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} - 1)}{2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} + 1)} = \frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1}$

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych.

$\frac{\sin \frac{x}{2} - 1}{\sin \frac{x}{2} + 1} = \frac{\cos (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) - 1}{\cos (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) + 1}$

Następnie $\cos (\frac{π}{2} - \frac{x}{2})$ traktujemy jak cosinus podwojonego argumentu i korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta:

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) - 1}{\cos (\frac{π}{2} - \frac{x}{2}) + 1} = \frac{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})}{2 \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})}$

Na końcu korzystamy z tożsamości $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$\frac{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})}{2 \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})} = \frac{- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})}{2 \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})} = - {tg}^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{4})$ .

Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.

Przykład 10

Wykażemy, że równość:

$\frac{1 + 2 \sin x \cdot \cos x - \cos 4 x}{\cos x (1 + 4 \sin x \cdot \cos x)} = 2 \sin x$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenie: $\cos x (1 + 4 \sin x \cdot \cos x) \neq 0$ .

Przekształcamy lewą stronę równości z wykorzystaniem wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta: $\cos 4 x = 1 - 2 \sin^{2} 2 x$ oraz $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ . Wówczas otrzymujemy:

$\frac{1 + 2 \sin x \cdot \cos x - \cos 4 x}{\cos x (1 + 4 \sin x \cdot \cos x)} = \frac{2 \sin^{2} 2 x + \sin 2 x}{\cos x (1 + 2 \sin 2 x)}$

Po wyłączeniu przed nawias odpowiednich wyrażeń w liczniku i mianowniku, dokonujemy skrócenia. Ponownie wykorzystujemy wzór na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątasinus podwojonego kąta i otrzymujemy:

$\frac{2 \sin^{2} 2 x + \sin 2 x}{\cos x (1 + 2 \sin 2 x)} = \frac{\sin 2 x (2 \sin 2 x + 1)}{\cos x (1 + 2 \sin 2 x)} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos x} = 2 \sin x$ .

Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.

Przykład 11

Wykażemy, że równość:

$\cos x (1 - 2 \cos^{2} x) (tg x - tg 2 x) = \sin x$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos x \neq 0, \cos 2 x \neq 0$ .

Korzystamy z tożsamości $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ i przekształcamy lewą stronę równości:

$\cos x (1 - 2 \cos^{2} x) (tg x - tg 2 x) = \cos x (1 - 2 \cos^{2} x) (\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x})$

Wyrażenie w ostatnim nawiasie sprowadzamy do wspólnego mianownika oraz korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta $1 - 2 \cos^{2} x = - \cos 2 x$ i otrzymujemy:

$\cos x (1 - 2 \cos^{2} x) (\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x}) = - \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \frac{\sin x \cdot \cos 2 x - \cos x \cdot \sin 2 x}{\cos x \cdot \cos 2 x}$

Korzystamy ze wzoru na $\sin (x - 2 x)$ i po skróceniu otrzymujemy prawą stronę równości:

$- \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \frac{\sin x \cdot \cos 2 x - \cos x \cdot \sin 2 x}{\cos x \cdot \cos 2 x} = \frac{- \cos x \cdot \cos 2 x \cdot (- \sin x)}{\cos x \cdot \cos 2 x} = \sin x$ .

Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.

Polecenie 9

Zagraj w grę edukacyjną. Dopasuj klocki tak, aby lewa część kostki i prawa strona tej kostki były odpowiednio prawą i lewą stroną wyrażenia.

RpnCSASD53SOa

Uzupełnij luki podanymi wyrażeniami. a) początek ułamka, jeden, minus, sinus x, minus, kosinus x, mianownik, jeden, plus, sinus x, minus, kosinus x, koniec ułamka, równa się1. sinus dwa x, 2. tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden, 4. tangens początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, 6. kosinus dwa x nawias, sinus x, plus, kosinus x, zamknięcie nawiasu

b) początek ułamka, dwa sinus x, minus, sinus dwa x, mianownik, dwa sinus x, plus, sinus dwa x, koniec ułamka, równa się1. sinus dwa x, 2. tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden, 4. tangens początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, 6. kosinus dwa x nawias, sinus x, plus, kosinus x, zamknięcie nawiasu

c) sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, plus, kosinus dwa x, równa się1. sinus dwa x, 2. tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden, 4. tangens początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, 6. kosinus dwa x nawias, sinus x, plus, kosinus x, zamknięcie nawiasu

d) nawias, kosinus x, minus, sinus x, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, plus, sinus dwa x, zamknięcie nawiasu, równa się1. sinus dwa x, 2. tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden, 4. tangens początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, 6. kosinus dwa x nawias, sinus x, plus, kosinus x, zamknięcie nawiasu

e) kosinus dwa x nawias, jeden, plus, tangens x, razy, tangens dwa x, zamknięcie nawiasu, równa się1. sinus dwa x, 2. tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden, 4. tangens początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, 6. kosinus dwa x nawias, sinus x, plus, kosinus x, zamknięcie nawiasu

f) początek ułamka, tangens x, mianownik, tangens dwa x, minus, tangens x, koniec ułamka, równa się1. sinus dwa x, 2. tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden, 4. tangens początek ułamka, x, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, 6. kosinus dwa x nawias, sinus x, plus, kosinus x, zamknięcie nawiasu

Rd36YVA6O4Nuo1

Polecenie 10

Sprawdź, czy równanie

$\frac{\frac{1}{tg x} - \frac{2}{tg 2 x}}{2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos x}$

jest tożsamością.

$\frac{\frac{1}{tg x} - \frac{2}{tg 2 x}}{2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{2 \cos 2 x}{\sin 2 x}}{\sin x} = \frac{\cos x \cdot \sin 2 x - 2 \cos 2 x \cdot \sin x}{\sin^{2} x \cdot \sin 2 x} =$

$= \frac{\cos x \cdot \sin 2 x - \cos 2 x \cdot \sin x - \cos 2 x \cdot \sin x}{\sin^{2} x \cdot 2 \sin x \cdot \cos x} = \frac{\sin x - \cos 2 x \cdot \sin x}{2 \sin^{3} x \cdot \cos x} =$

$= \frac{\sin x (1 - \cos 2 x)}{2 \sin^{3} x \cdot \cos x} = \frac{\sin x \cdot 2 \sin^{2} x}{2 \sin^{3} x \cdot \cos x} = \frac{1}{\cos x}$

RyEjEnNYEDkMK1

Ćwiczenie 1

RtRndrQ6CDqw61

Ćwiczenie 2

R9ZHpsou7iBL72

Ćwiczenie 3

Połącz w pary równe liczby. sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka początek ułamka, tangens początek ułamka, pięć PI, mianownik, osiem, koniec ułamka, mianownik, jeden, minus, tangens indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, pięć PI, mianownik, osiem, koniec ułamka, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka sinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, kosinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, dwanaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, początek ułamka, PI, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka

R1NxTyYJ4Yr8z2

Ćwiczenie 4

R1NssnHQBu4qr2

Ćwiczenie 5

RcEzI8Q5xcdIb2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia: $\frac{2 tg 15^{\circ}}{1 + {tg}^{2} 15^{\circ}}$ .

$\frac{2 \frac{\sin 15 °}{\cos 15 °}}{1 + \frac{\sin^{2} 15 °}{\cos^{2} 15 °}} = \frac{2 \frac{\sin 15 °}{\cos 15 °}}{\frac{\cos^{2} 15 ° + \sin^{2} 15 °}{\cos^{2} 15 °}} = 2 \sin 15 ° \cos 15 ° = \sin 30 ° = \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 8

Oblicz $tg x$ , jeżeli $\cos 2 x = \frac{1}{4}$ .

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\frac{1}{4} = \cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$

$\frac{5}{4} = 2 \cos^{2} x$

$\frac{5}{8} = \cos^{2} x$

Zatem

$\cos x = \sqrt{\frac{5}{8}}$ lub $\cos x = - \sqrt{\frac{5}{8}}$ .

Z jedynki trygonometrycznej obliczamy:

$\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$

$\sin^{2} x = 1 - \frac{5}{8}$

$\sin^{2} x = \frac{3}{8}$

Zatem

$\sin x = \sqrt{\frac{3}{8}}$ lub $\sin x = - \sqrt{\frac{3}{8}}$ .

Stąd otrzymujemy odpowiedź:

$tg x = \sqrt{\frac{3}{5}}$ lub $tg x = - \sqrt{\frac{3}{5}}$ .

R1SxRFSAGsPJL1

Ćwiczenie 9

R1RzDVE4L6j0G1

Ćwiczenie 10

R1V1dWkOP1LPy1

Ćwiczenie 11

R5EAYSQnEz7dt2

Ćwiczenie 12

R1LyyHXMDxmWz2

Ćwiczenie 13

R1eenYDBt7jTj2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Oblicz wartość liczbową wyrażenia $\cos 20 ° \cos 40 ° \cos 80 °$ .

Rozszerz ułamek przez $8 \sin 20 °$ :

$= \frac{8 \sin 20 ° \cos 20 ° \cos 40 ° \cos 80 °}{8 \sin 20 °} =$

$= \frac{4 \sin 40 ° \cos 40 ° \cos 80 °}{8 \sin 20 °} =$

$= \frac{2 \sin 80 ° \cos 80 °}{8 \sin 20 °} =$

$= \frac{\sin 160 °}{8 \sin 20 °} = \frac{1}{8}$

Ćwiczenie 16

Oblicz wartość wyrażenia $\sin (π + 2 α)$ jeżeli wiadomo, że $\sin α + \cos α = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Podnieśmy obie strony równania $\sin α + \cos α = \frac{1}{\sqrt{2}}$ do kwadratu. $\sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \sin α \cdot \cos α = \frac{1}{2}$ .

Wówczas $1 + 2 \sin α \cdot \cos α = \frac{1}{2}$

$2 \sin α \cdot \cos α = - \frac{1}{2}$

$\sin 2 α = - \frac{1}{2}$

$\sin (π + 2 α) = - \sin 2 α = \frac{1}{2}$

RIAP706GqouAC1

Ćwiczenie 17

R17jycKl9rzON1

Ćwiczenie 18

R1J0C5BgGYvMq2

Ćwiczenie 19

RQ2Ul6I12oFUb2

Ćwiczenie 20

R6JhUosAQcmUp2

Ćwiczenie 21

RET7gpZWKNo7F2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Udowodnij, że równość $\displaystyle\frac{1-8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\cos^22\alpha-\sin^22\alpha}=1$ jest tożsamością.

Zakładamy, że $\cos^{2} 2 α - \sin^{2} 2 α \neq 0$ .

$\displaystyle L=\frac{1-8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\cos^22\alpha-\sin^22\alpha}=\frac{1-2\cdot(2\sin\alpha\cdot\cos\alpha)^2}{\cos4\alpha}=$

$\displaystyle=\frac{1-2\sin^22\alpha}{\cos4\alpha}=\frac{\cos4\alpha}{\cos4\alpha}=1=P$

Ćwiczenie 24

Udowodnij, że równość: $\displaystyle\frac{\cos^22\alpha-4\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\frac1{\operatorname{tg}2\alpha}-\sin4\alpha}=\operatorname{tg}2\alpha$ jest tożsamością.

Założenia: $\frac{1}{tg 2 α} - \sin 4 α \neq 0$ , $\sin 2 α \neq 0$ , $\cos 2 α \neq 0$ .

$\displaystyle L=\frac{\cos^22\alpha-4\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\frac1{\operatorname{tg}2\alpha}-\sin4\alpha}=\frac{\cos^22\alpha-\sin^22\alpha}{\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}-2\sin2\alpha\cdot\cos2\alpha}=$

$\displaystyle=\frac{\cos4\alpha}{\cos2\alpha\cdot\frac{1-2\sin^22\alpha}{\sin2\alpha}}=\frac{\sin2\alpha\cdot\cos4\alpha}{\cos2\alpha\cdot\cos4\alpha}=\operatorname{tg}2\alpha= P$ .

RFOSGMNpleuui1

Ćwiczenie 25

R1AYrd4KHnqsC1

Ćwiczenie 26

RK01PFLDG8brN2

Ćwiczenie 27

Połącz w pary podane wyrażenia tak, aby pojawiły się równości, które są tożsamościami. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, minus, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, plus, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x kosinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x, plus, sinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x kosinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x, minus, sinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x

RIi0RaSKeKSzA2

Ćwiczenie 28

R12JFvNSoluWf2

Ćwiczenie 29

RywTRUtVfjCCv2

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

Sprawdź, czy równość:

$\frac{1 - 8 \sin^{2} x \cdot \cos^{2} x}{\cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x} = 1$

jest tożsamością.

$\frac{1 - 8 \sin^{2} x \cdot \cos^{2} x}{\cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x} = \frac{1 - 2 \cdot {(2 \sin x \cdot \cos x)}^{2}}{\cos 4 x} = \frac{1 - 2 \sin^{2} 2 x}{\cos 4 x} = \frac{\cos 4 x}{\cos 4 x} = 1$

Równość jest tożsamością.

Ćwiczenie 32

Udowodnij, że równość:

$\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x} = - {tg}^{2} \frac{x}{4}$

jest tożsamością.

Wypiszmy najpierw założenia: $1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x \neq 0$ , $\cos \frac{x}{4} \neq 0$ .

Dowód rozpoczniemy od przekształcenia lewej strony równości, gdyż jest ona bardziej złożona. Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu postaci: $\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$ :

$\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x} = \frac{2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \cos \frac{x}{2}}$

Wyłączamy w liczniku i mianowniku przed nawias czynnik $\cos \frac{x}{2}$ :

$\frac{2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1)}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + 1)}$

Po skróceniu przez wspólny czynnik $\cos \frac{x}{2}$ otrzymujemy:

$\frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1)}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + 1)} = - \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}}$

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu i otrzymujemy:

$- \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}} = - \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{4}}{2 \cos^{2} \frac{x}{4}}$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ dostajemy:

$- \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{4}}{2 \cos^{2} \frac{x}{4}} = - {tg}^{2} \frac{x}{4}$ .

Podana równość jest tożsamością, co należało udowodnić.

Słownik

jedynka trygonometryczna

$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

sinus sumy argumentów

$\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

cosinus sumy argumentów

$\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

tangens sumy argumentów

$tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}$ , dla $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

cosinus podwojonego kąta

Jeżeli $α \neq \frac{π}{2} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ , to zachodzi wzór:

$\cos 2 α = \frac{1 - {tg}^{2} α}{1 + {tg}^{2} α}$ .

sinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

3. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy

5. Równania trygonometryczne, cz. 2

4. Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Słownik