Przeczytaj
Wyznaczając liczbę zdarzeń elementarnych, nie zawsze możemy skorzystać z metod graficznych. Sięgamy wtedy po metody kombinatoryczne. W pierwszym przykładzie będziemy ustawiać elementy danego zbioru w pewnej kolejności. Skorzystamy więc ze wzoru na permutację.
Permutacją (bez powtórzeń) zbioru złożonego z różnych elementów nazywamy każdy wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów danego zbioru.
Liczba permutacji zbioru – elementowego wyraża się wzorem
Określimy, na ile sposobów można ustawić w jednym rzędzie dwie panie i trzech panów.
Dowolne ustawienie dwóch pań i trzech panów (czyli pięciu osób) w jednym rzędzie, możemy potraktować jako pięcioelementową permutację (bez powtórzeń).
Jest więc
sposobów ustawienia tych osób.
Zatem w doświadczeniu polegającym na ustawianiu w rzędzie pięciu osób, jest zdarzeń elementarnych.
Możemy zapisać: .
Doświadczenie polega na tworzeniu pięcioliterowych wyrazów (mających sens lub nie) z liter wyrazu KARTA. Obliczymy, ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.
Wyraz KARTA składa się z pięciu liter. Gdyby litery były różne, to można by je przestawiać na sposobów. Zauważmy, że w wyrazie KARTA powtarzają się litery A. Ustalając liczbę możliwych do utworzenia wyrazów, korzystamy ze wzoru na permutację z powtórzeniami.
W rozpatrywanym doświadczeniu jest zdarzeń elementarnych.
W następnym przykładzie pokażemy, jak można wykorzystać wariacje bez powtórzeń nie tylko do wyznaczenia liczby zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego, ale też do wyznaczania liczby zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu losowemu.
W każdym z prezentowanych doświadczeń, ze zbioru elementowego będziemy wybierać elementów w ten sposób, aby elementy się nie powtarzały. Ważna będzie przy tym kolejność tych elementów. Skorzystamy więc ze wzoru na liczbę wariacji bez powtórzeńliczbę wariacji bez powtórzeń.
Liczba wszystkich – wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru elementowego jest równa
gdzie , i .
Zapoznaj się z filmem, w którym zawarty jest sposób wyznaczenia liczby zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na tworzeniu różnych szyfrów składających się z trzech różnych liter alfabetu angielskiego oraz trzech różnych cyfr.
W filmie pokazano też, jak wyznaczyć liczbę zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu w doświadczeniu polegającym na rozmieszczeniu pięciu osób w dziesięciu przedziałach pustego wagonu.
W kolejnym przykładzie w doświadczeniu losowym ze zbioru elementowego wybieramy elementów w ten sposób, że wybrane elementy mogą się powtarzać, kolejność elementów będzie istotna.
Skorzystamy ze wzoru na wariację z powtórzeniami.
Liczba wszystkich – wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru – elementowego jest równa
gdzie , .
Doświadczenie polega na układaniu z cyfr , , , , , , sześciocyfrowego kodu, który zaczyna się od cyfry . Obliczymy, ile takich kodów można ułożyć.
Kod ma zaczynać się od cyfry , zatem wybór pozostałych pięciu cyfr możemy traktować jako pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru dziesięcioelementowego.
Można utworzyć kodów o podanych własnościach.
W kolejnym przykładzie ze zbioru elementowego wybieramy elementów w ten sposób, że wybrane elementy nie mogą się powtarzać, ale kolejność nie jest istotna. Skorzystamy więc z kombinacji.
Liczba wszystkich kombinacji – elementowych zbioru – elementowego jest równa
gdzie , i .
Eksperyment polega na wylosowaniu czterech spośród siedmiu pytań konkursowych. Wyznaczymy liczbę zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.
Zadanie sprowadza się do wyznaczenia liczby czteroelementowych podzbiorów zbioru siedmioelementowego.
Liczba zdarzeń losowych w danym eksperymencie jest równa .
W torebce znajduje się pięć koralików złotych i sześć srebrnych. Losujemy bez zwracania cztery koraliki.
Obliczymy ile jest możliwych wyników takiego losowania i na ile sposobów można wylosować jeden koralik złoty i trzy srebrne.
W torebce znajduje się jedenaście koralików. Losujemy bez zwracania cztery koraliki, zatem tworzymy czteroelementowe kombinacje spośród zbioru jedenastoelementowego.
Aby obliczyć ile jest sposobów wylosowania jednego koralika złotego i trzech srebrnych, korzystamy z reguły mnożenia.
Jest możliwości wylosowania czterech koralików i możliwości wylosowania jednego koralika złotego i trzech srebrnych.
Słownik
liczba wszystkich – wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru elementowego jest równa , gdzie , i