5. Wzrost i zanik wykładniczy

RMm0YPwtTgyBQ

Jedną z bardzo skutecznych metod reklamowania produktów lub usług jest marketing wirusowy. Nazwa nawiązuje do rozpowszechniania informacji o produkcie lub usłudze w błyskawicznym tempie, podobnie do rozprzestrzeniania się wirusa. Viralem, czyli szybko rozprzestrzeniającą się informacją, może być wyzwanie lub nominowanie. Jednym z najgłośniejszych wyzwań było Ice Bucket Challenge. Pomysł polegał na tym, aby wylać na siebie wiadro lodowatej wody i nominować kolejne trzy osoby do wykonania tego zadania. Innym, świetnym przykładem viralu jest klip koreańskiego piosenkarza Psy nakręcony do utworu Gangnam Style z charakterystyczną choreografią. Naukowcy zbadali, że liczba wyświetleń teledysku na jednym ze znanych portali w czasie pierwszych dwóch miesięcy rosła wykładniczo. Założenia Ice Bucket Challenge również spełniają założenia wzrostu wykładniczego.

R67W79fZUAbSv

Gif przedstawia chłopca, który najpierw trzyma w swoich rękach wiaderko, następnie wylewa na siebie znajdującą się w nim wodę i zmienia kolor na niebieski.

Analizując ten materiał dowiesz się, czym jest wzrost i zanik wykładniczy. Poznasz sytuacje, w których mamy z nimi do czynienia i nauczysz się je opisywać wzorami matematycznymi.

Twoje cele

Rozpoznasz wzrost i zanik wykładniczy.
Określisz własności wzrostu i zaniku wykładniczego.
Zastosujesz wzrost i zanik wykładniczy w sytuacjach z życia codziennego, czyli nauczysz się modelowania matematycznego.

Przykład 1

W okresie jesienno–zimowym obserwujemy zwiększoną zachorowalność na przeziębienie – wirusową chorobę zakaźną. Spójrzmy na rozprzestrzenianie się wirusów powodujących przeziębienie z punktu widzenia matematyki.

Na podstawie badań epidemiologów z dobrą dokładnością możemy przyjąć, że:

a) jeden pacjent w czasie trwania choroby zaraża średnio trzy kolejne osoby,

b) przeziębienie trwa zazwyczaj tydzień.

Przesuń suwak na osi czasu i obserwuj liczbę nowych zainfekowanych osób w kolejnych tygodniach.

R3zFBNNLB4M5g1

W każdym kolejnym tygodniu liczba nowych osób zainfekowanych wzrastała trzykrotnie.

Początek	$1$ tydzień	$2$ tydzień	$3$ tydzień	$4$ tydzień
$1$	$3 = 3^{1}$	$9 = 3^{2}$	$27 = 3^{3}$	$81 = 3^{4}$

Liczbę nowych zainfekowanych osób w kolejnych tygodniach możemy opisać więc wzorem:

$y = 3^{x}$

gdzie:
$y$ – oznacza liczbę nowych chorych,
$x$ – kolejny tydzień.

Otrzymany wzór jest wzorem opisującym funkcję wykładniczą o „zawężonej” dziedzinie, ponieważ $x$ musi być liczbą naturalną.

W opisanej sytuacji przyrost chorych jest więc przykładem wzrostu wykładniczegowzrost wykładniczywzrostu wykładniczego.

Dane w tabeli można przedstawić na wykresie zależności liczby nowych zainfekowanych osób w danym tygodniu od czasu. Punkty leżą na wykresie funkcji opisanej wzorem $y = 3^{x}$ .

RntUVVLX8sEb9

Ilustracja przedstawia pionową oś podpisaną: liczba nowych chorych z wartościami od zera do 25 i podziałką co pięć, pozioma oś podpisana została: czas w tygodniach, jej wartości sięgają od zera do czterech z podziałką co jeden. W układzie znajduje się wykres o równaniu y=3x. Krzywa ma swój początek w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej również biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik dziewięć zamknięcie nawiasu i dalej biegnie do punktu nawias trzy średnik dwadzieścia siedem zamknięcie nawiasu.

W naszych rozważaniach przyjęliśmy, że jedna chora osoba zaraża trzy kolejne. W epidemiologii tę liczbę nazywamy podstawową liczbą odtwarzania (ang. basic reproductive number). Oznaczamy ją symbolem $R_{0}$ . Informuje nas ona o tym, ile średnio osób może ulec zakażeniu od jednego chorego w czasie, w którym ten chory zakaża innych. Dotyczy to sytuacji, gdy nikt w populacji nie jest odporny na tę chorobę. Podstawowa liczba odtwarzania zależy od rodzaju wirusa, który się rozprzestrzenia. Można ją zmniejszyć, czyli zmniejszyć liczbę zainfekowanych osób przez jednego chorego, stosując między innymi środki ochrony osobistej lub szczepionki.

Wartości podstawowej liczby odtwarzania dla wybranych chorób zakaźnych
Choroba zakaźna	$R_{0}$
gorączka krwotoczna (wirus Ebola)	$2$
grypa	$1 - 2$
przeziębienie	$2 - 3$
różyczka	$5 - 7$
ospa wietrzna	$10 - 12$
odra	$18$

Źródło: Wikipedia, Centrum Zapobiegania i Zwalczania Chorobom, Światowa Organizacja Zdrowia

Przykład 2

Pan Marcin otworzył sklep internetowy. W dniu uruchomienia sklepu klienci założyli $7$ kont na stronie internetowej.

Informację o tym, jak zmieniała się liczba wszystkich kont założonych w sklepie internetowym w kolejnych miesiącach, zestawiono w tabeli.

Pierwszy dzień	$1$ miesiąc	$2$ miesiąc	$3$ miesiąc	$4$ miesiąc	$5$ miesiąc
$7$	$28$	$112$	$448$	$1792$	$7168$

1) Wykażemy, że liczba kont założonych w sklepie internetowym rosła wykładniczo. Podamy wzór opisujący liczbę wszystkich kont założonych z upływem czasu.

2) Po ilu miesiącach liczba kont będzie większa od $150000$ ?

Ad 1)

Wykonajmy dzielenie:

$\frac{28}{7} = 4$

$\frac{112}{28} = 4$

$\frac{448}{112} = 4$

$\frac{1792}{448} = 4$

$\frac{7168}{1792} = 4$

Możemy więc wyciągnąć wniosek, że liczba założonych kont w sklepie internetowym wzrastała $4$ razy w każdym kolejnym miesiącu.

RhNQYx3gcamz1

Ilustracja przedstawia tabelę o dwóch wierszach i sześciu kolumnach. W pierwszym wierszu pierwszej kolumny znajduje się napis: pierwszy dzień, w drugim wierszu tej kolumny znajduje się liczba siedem. W pierwszym wierszu drugiej kolumny znajduje się napis: pierwszy miesiąc, w wierszu pod spodem znajduje się liczba 28, z komórki z liczbą 7 do komórki z liczbą 28 prowadzi strzałka z podpisem ×4. W pierwszym wierszu trzeciej kolumny znajduje się napis: drugi miesiąc, w komórce pod spodem znajduje się liczba sto dwanaście. Komórka z liczbą 28 i liczbą 112 są połączone strzałką z podpisem ×4. W pierwszym wierszu czwartej kolumny znajduje się napis: trzeci miesiąc, w drugim wierszu czwartej kolumny znajduje się liczba 448, z komórki z liczbą 112 do komórki z liczbą 448 prowadzi strzałka z podpisem ×4. W pierwszym wierszu kolejnej kolumny znajduje się napis: czwarty miesiąc, w komórce pod spodem znajduje się liczba 1792, analogicznie z komórki z liczbą 448 do komórki z liczbą 1792 prowadzi strzałka z podpisem ×4. W ostatniej kolumnie w pierwszym wierszu znajduje się napis: piąty miesiąc, w drugim wierszu ostatniej kolumny znajduje się liczba 7168, z komórki z liczbą 1792 do komórki z liczbą 7168 prowadzi strzałka z podpisem ×4.

Na tej podstawie ustalimy wzór, za pomocą którego można obliczyć liczbę wszystkich kont w sklepie internetowym w zależności od czasu.

Liczba założonych kont
w pierwszym dniu	$7$	$7 \cdot 4^{0} = 4$
w pierwszym miesiącu	$7 \cdot 4 = 28$	$7 \cdot 4^{1} = 28$
w czasie dwóch miesięcy	$7 \cdot 4 \cdot 4 = 112$	$7 \cdot 4^{2} = 112$
w czasie trzech miesięcy	$7 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 448$	$7 \cdot 4^{3} = 448$
w czasie czterech miesięcy	$7 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1792$	$7 \cdot 4^{4} = 1792$
w czasie pięciu miesięcy	$7 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 7168$	$7 \cdot 4^{5} = 7168$

Na podstawie obliczeń wnioskujemy, że wzór, który opisuje, ile kont zostało założonych w poszczególnych miesiącach, ma postać:

$y = 7 \cdot 4^{x}$ .

Oznacza to, że liczba kont założonych w sklepie internetowym rośnie wykładniczo.

Jak odczytywać wzór?

R19IlNRfHIm8r

Ilustracja przedstawia wzór: y=7⋅4x, przy czym liczba 7 jest opisana: liczba kont założonych pierwszego dnia, czyli wartość początkowa. Liczba 4 jest podpisana: co miesiąc liczba kont wzrasta 4 razy, a x jest podpisany: czas, który upłynął od pierwszego dnia.

Ad 2)

Po ilu miesiącach liczba kont będzie większa od $150000$ ?

Po pięciu miesiącach od uruchomienia sklepu założono $7168$ kont. Obliczmy, ile kont zostało założonych po $6$ , $7$ i więcej miesiącach.

Liczba założonych kont
po sześciu miesiącach	$7 \cdot 4^{6} = 28672$
po siedmiu miesiącach	$7 \cdot 4^{7} = 114688$
po ośmiu miesiącach	$7 \cdot 4^{8} = 458752$

Z obliczeń wynika, że po ośmiu miesiącach liczba założonych w sklepie internetowym kont będzie większa od $150000$ .

Zwróć uwagę na różnicę między przykładami $1$ i $2$ .

W przykładzie pierwszym za pomocą wzoru $y = 3^{x}$ możemy obliczyć, ilu jest nowych chorych w kolejnych tygodniach. Aby obliczyć liczbę zarażonych wirusem w czasie kilku tygodni, musimy ustalić liczbę chorych w każdym tygodniu, a potem dodać te liczby do siebie. Z kolei w przykładzie 2 wzór $y = 7 \cdot 4^{x}$ pozwala od razu ustalić liczbę wszystkich kont założonych od chwili uruchomienia sklepu internetowego.

Przykład 3

W pierwszym dniu na portalu społecznościowym $17$ osób udostępniło ten sam film na swoich kontach. W każdym kolejnym miesiącu liczba nowych użytkowników udostępniających ten film podwajała się, czyli rosła wykładniczo zgodnie ze wzorem:

$y = 17 \cdot 2^{x}$

gdzie;
$y$ – liczba użytkowników,
$x$ – liczba miesięcy, która upłynęła od pierwszego udostępnienia filmu.

R1XATZX3itHj7

R1XiEQc22EdNz

Ćwiczenie 1

RhsRAgS1topv5

Ćwiczenie 2

Przykład 4

Popularny zespół muzyczny umieścił w Internecie teledysk do najnowszego singla. Liczbę wyświetleń tego filmu w kolejnych dniach umieszczono w tabeli.

Pierwszy dzień	$1$ dzień	$2$ dzień	$3$ dzień	$4$ dzień	$5$ dzień	$6$ dzień
$125$	$375$	$1125$	$3375$	$9450$	$24570$	$73710$

Sprawdzimy, czy liczba wyświetleń teledysku w kolejnych dniach rośnie wykładniczo.

Liczba wyświetleń filmu będzie wzrastała wykładniczo, jeżeli w kolejnych dniach liczba wyświetleń będzie rosła tyle samo razy. Aby to sprawdzić, wykonamy dzielenie:

$\frac{375}{125} = 3$

$\frac{1125}{375} = 3$

$\frac{3375}{1125} = 3$

$\frac{9450}{3375} = 2, 8$

$\frac{24570}{9450} = 2, 6$

$\frac{73710}{24570} = 3$

Zobrazujmy otrzymane wyniki w tabeli.

R1VqbtVqlTbia

Ilustracja przedstawia tabelę o dwóch wierszach i siedmiu kolumnach. W pierwszym wierszu pierwszej kolumny znajduje się napis: pierwszy dzień, w drugim wierszu tej kolumny znajduje się liczba sto dwadzieścia pięć. W pierwszym wierszu drugiej kolumny znajduje się napis: pierwszy dzień, w wierszu pod spodem znajduje się liczba 375, z komórki z liczbą 125 do komórki z liczbą 375 prowadzi strzałka z podpisem ×3. W pierwszym wierszu trzeciej kolumny znajduje się napis: drugi dzień, w komórce pod spodem znajduje się liczba sto 1125, komórka z liczbą 375 i liczbą 1125 są połączone strzałką z podpisem ×3. W pierwszym wierszu czwartej kolumny znajduje się napis: trzeci dzień, w drugim wierszu czwartej kolumny znajduje się liczba 3375, z komórki z liczbą 1125 do komórki z liczbą 3375 prowadzi strzałka z podpisem ×3. W pierwszym wierszu kolejnej kolumny znajduje się napis: czwarty dzień, w komórce pod spodem znajduje się liczba 9450, z komórki z liczbą 3375 do komórki z liczbą 9450 prowadzi strzałka z podpisem ×2,8. W szóstej kolumnie w pierwszym wierszu jest napis: piąty dzień, pod spodem znajduje się komórka z liczbą 2450, z komórki z liczbą 9450 do komórki z liczbą 9450 prowadzi strzałka z podpisem ×2,6. W ostatniej kolumnie w pierwszym wierszu znajduje się napis: szósty dzień, w drugim wierszu ostatniej kolumny znajduje się liczba 73710, z komórki z liczbą 24570 do komórki z liczbą 73710 prowadzi strzałka z podpisem ×3.

Liczba wyświetleń teledysku w kolejnych dniach nie rośnie wykładniczo.

Wniosek

Z tego przykładu wynika bardzo ważny wniosek: aby na podstawie tabeli określić, czy wzrost jest wykładniczywzrost wykładniczywzrost jest wykładniczy, należy obliczyć, czy każda kolejna liczba rośnie tyle samo razy. Zwracamy na to szczególną uwagę, ponieważ częstym błędem jest sprawdzenie tylko pierwszych $3 - 4$ liczb lub sprawdzanie ich losowo.

Przykład 5

Dwie koleżanki Basia i Monika rozpoczęły pracę nad projektem w tym samym dniu. Basia otrzymała pensję w wysokości $5000 zł$ i zapewnienie, że pensja będzie rosła o $1000 zł$ co miesiąc. Monika otrzymała pensję $1000 zł$ i zapewnienie, że co miesiąc jej pensja będzie rosła o $60 %$ . Obliczymy, po ilu miesiącach pierwszy raz pensja Moniki będzie większa od pensji Basi.

RvxqrTu0pC4D6

Slajd pierwszy: Na początku wyjaśnimy, co to znaczy, że pensja co miesiąc rośnie o 60 procent. Pod tym napisem znajdują się rysunki dwóch kobiet wskazujących na banknoty, od których prowadzi strzałka w górę do napisu sześćdziesiąt procent. Slajd drugi: Skoro w pierwszym miesiącu pensja była równa tysiąc złotych, to po podwyżce jest ona równa tysiąc sześćset złotych. Poniżej znajduje się równanie: tysiąc, plus, sześćdziesiąt %, razy, tysiąc, równa się, tysiąc, plus, zero przecinek sześć, razy, tysiąc, równa się, tysiąc, razy, jeden przecinek sześć, równa się, tysiąc sześćset. Obok znajduje się tabela składająca się z dwóch kolumn i trzech wierszy. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się napis: miesiąc, w kolejnym wierszu tej kolumny mamy cyfrę jeden i w kolejnym dwa, w drugiej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się zapis: pensja Moniki, w kolejnym wierszu mamy liczbę 1000, a w trzecim wierszu jest liczba tysiąc sześćset. Zamiast zapisywać obliczenia w procentach, możemy napisać: tysiąc razy jeden i sześć dziesiątych. Slajd trzeci: W trzecim miesiącu pensja Moniki znów rośnie o sześćdziesiąt procent: tysiąc sześćset, plus, sześćdziesiąt %, minus, tysiąc sześćset, równa się, tysiąc sześćset, plus, zero przecinek sześć, razy, tysiąc sześćset, równa się, tysiąc sześćset, razy, jeden przecinek sześć, równa się, tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt. W tabelce pojawia się kolejny wiersz, gdzie widzimy, że w miesiącu trzecim pensja Moniki wynosiła dwa tysiące sześćdziesiąt złotych. Wykonane obliczenia możemy więc zapisać: tysiąc sześćset razy jeden i szesć dziesiątych, czyli tysiąc razy jeden i sześć dziesiątych do kwadratu. Pensja Moniki w trzecim miesiącu jest róna dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt złotych. Slajd czwarty zawiera pytanie: Czy domyślasz się, jak obliczymy pensję Moniki w kolejnym miesiącu? Slajd piąty zawiera odpowiedź na to pytanie, która jest obliczeniem pensji Moniki w czwartym miesiącu: dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt, plus, sześćdziesiąt %, razy, dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt, równa się, dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt, plus, zero przecinek sześć, razy, dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt, równa się, dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt, razy, jeden przecinek sześć, równa się, tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, cztery tysiące dziewięćdziesiąt sześć. W tabeli pojawia się kolejny wiersz informujący o tym, że w czwartym miesiącu pensja Moniki wynosiła cztery tysiące dziewięćdziesiąt sześć złotych. Slajd szósty: Z naszych obliczeń wynika, że pensja Moniki rośnie wykładniczo To znaczy, że jeśli pensję pomnożymy przez jeden i sześć dziesiątych podniesione do potęgi o jeden mniejszej niż numer miesiąca, otrzymamy pensję w kolejnym miesiącu. Skoro znamy już sposób obliczania pensji Moniki, to obliczmy ją dla pierwszych pięciu miesiący. tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, zero, koniec indeksu górnego, równa się, tysiąc, tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, tysiąc sześćset, tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt, tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, cztery tysiące dziewięćdziesiąt sześć oraz tysiąc, razy, jeden, przecinek, sześć indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, sześć tysięcy pięćset pięćdziesiąt trzy przecinek sześć zero. Tabela składa się z dwóch kolumn i sześciu wierszy: w kolejnych wierszach mamy miesiące oraz odpowiadające jej pensje Moniki. W miesiącu pierwszym mamy 1000, w drugim 1600, w trzecim 2560, w czwartym 4096 i w piątym sześć tysięcy pięćset pięćdziesiąt trzy i sześćdziesiąt gorszy. Slajd siódmy: porównamy teraz pensję Moniki z pensją Basi. Gdy Basia rozpoczynała pracę, otrzymała pensję równą pięć tysięcy złotych. W kolejnych miesiącach pensja Basi rosła o tysiąc złotych miesięcznie. W piątym miesiącu pensja Basi wciąż jest wyższa od pensji Moniki. Obliczenia te prezentuje tabela składająca się z sześciu wierszy i trzech kolumn, w pierwszej kolumnie znajdują się kolejne miesiące, w drugiej kolejne pensje Moniki a w trzeciej kolejne pensje Basi. W pierwszym miesiącu pensja Moniki wynosiła 1000, a Basi 5000, w drugim pensja Moniki to 1600 a Basi 6000, w trzecim pensja Moniki to 2650 a Basi 7000, w czwartym Monika dostała wynagrodzenie 4096, a Basia 8000, w piątym miesiącu pensja Moniki wyniosła 6553,60 a pensja Basi wyniosła dziewięć tysięcy. Zobaczmy, co się stanie w kolejnym miesiącu. Slajd ósmy: Okazuje się, że w szóstym miesiącu pracy Monika pierwszy raz zaczęła zarabiać więcej od Basi, jej pensja w szóstym miesiącu wyniosła 10485,76 a pensja Basi wyniosła dziesięć tysięcy. Slajd dziewiąty: W siódmym miesiącu trend się utrzymuje i Monika zarabia więcej od Basi, zarobki Moniki to 16777,22, a zarobki Basi to jedenaście tysięcy. Slajd dziesiąty: Na podstawie obliczeń możemy wyciągnąć wniosek, że po sześciu miesiącach pracy pensja Moniki pierwszy raz będzie większa od pensji Basi.

Slajd drugi: Skoro w pierwszym miesiącu pensja była równa tysiąc złotych, to po podwyżce jest ona równa tysiąc sześćset złotych. Poniżej znajduje się równanie: $1000 + 60 % \cdot 1000 = 1000 + 0, 6 \cdot 1000 = 1000 \cdot 1, 6 = 1600$ . Obok znajduje się tabela składająca się z dwóch kolumn i trzech wierszy. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się napis: miesiąc, w kolejnym wierszu tej kolumny mamy cyfrę jeden i w kolejnym dwa, w drugiej kolumnie pierwszego wiersza znajduje się zapis: pensja Moniki, w kolejnym wierszu mamy liczbę 1000, a w trzecim wierszu jest liczba tysiąc sześćset. Zamiast zapisywać obliczenia w procentach, możemy napisać: tysiąc razy jeden i sześć dziesiątych.

Slajd trzeci: W trzecim miesiącu pensja Moniki znów rośnie o sześćdziesiąt procent: $1600 + 60 % - 1600 = 1600 + 0, 6 \cdot 1600 = 1600 \cdot 1, 6 = 1000 \cdot 1, 6^{2} = 2560$ . W tabelce pojawia się kolejny wiersz, gdzie widzimy, że w miesiącu trzecim pensja Moniki wynosiła dwa tysiące sześćdziesiąt złotych. Wykonane obliczenia możemy więc zapisać: tysiąc sześćset razy jeden i sześć dziesiątych, czyli tysiąc razy jeden i sześć dziesiątych do kwadratu. Pensja Moniki w trzecim miesiącu jest róna dwa tysiące pięćset sześćdziesiąt złotych.

Slajd czwarty zawiera pytanie: Czy domyślasz się, jak obliczymy pensję Moniki w kolejnym miesiącu?

Slajd piąty zawiera odpowiedź na to pytanie, która jest obliczeniem pensji Moniki w czwartym miesiącu: $2560 + 60 % \cdot 2560 = 2560 + 0, 6 \cdot 2560 = 2560 \cdot 1, 6 = 1000 \cdot 1, 6^{3} = 4096$ . W tabeli pojawia się kolejny wiersz informujący o tym, że w czwartym miesiącu pensja Moniki wynosiła cztery tysiące dziewięćdziesiąt sześć złotych.

Slajd szósty: Z naszych obliczeń wynika, że pensja Moniki rośnie wykładniczo To znaczy, że jeśli pensję pomnożymy przez jeden i sześć dziesiątych podniesione do potęgi o jeden mniejszej niż numer miesiąca, otrzymamy pensję w kolejnym miesiącu. Skoro znamy już sposób obliczania pensji Moniki, to obliczmy ją dla pierwszych pięciu miesiący. $1000 \cdot 1, 6^{0} = 1000$ , $1000 \cdot 1, 6^{1} = 1600$ , $1000 \cdot 1, 6^{2} = 2560$ , $1000 \cdot 1, 6^{3} = 4096$ oraz $1000 \cdot 1, 6^{4} = 6553, 60$ . Tabela składa się z dwóch kolumn i sześciu wierszy: w kolejnych wierszach mamy miesiące oraz odpowiadające jej pensje Moniki. W miesiącu pierwszym mamy 1000, w drugim 1600, w trzecim 2560, w czwartym 4096 i w piątym sześć tysięcy pięćset pięćdziesiąt trzy i sześćdziesiąt gorszy.

Slajd siódmy: porównamy teraz pensję Moniki z pensją Basi. Gdy Basia rozpoczynała pracę, otrzymała pensję równą pięć tysięcy złotych. W kolejnych miesiącach pensja Basi rosła o tysiąc złotych miesięcznie. W piątym miesiącu pensja Basi wciąż jest wyższa od pensji Moniki. Obliczenia te prezentuje tabela składająca się z sześciu wierszy i trzech kolumn, w pierwszej kolumnie znajdują się kolejne miesiące, w drugiej kolejne pensje Moniki a w trzeciej kolejne pensje Basi. W pierwszym miesiącu pensja Moniki wynosiła 1000, a Basi 5000, w drugim pensja Moniki to 1600 a Basi 6000, w trzecim pensja Moniki to 2650 a Basi 7000, w czwartym Monika dostała wynagrodzenie 4096, a Basia 8000, w piątym miesiącu pensja Moniki wyniosła 6553,60 a pensja Basi wyniosła dziewięć tysięcy. Zobaczmy, co się stanie w kolejnym miesiącu.

Slajd ósmy: Okazuje się, że w szóstym miesiącu pracy Monika pierwszy raz zaczęła zarabiać więcej od Basi, jej pensja w szóstym miesiącu wyniosła 10485,76 a pensja Basi wyniosła dziesięć tysięcy.

Slajd dziewiąty: W siódmym miesiącu trend się utrzymuje i Monika zarabia więcej od Basi, zarobki Moniki to 16777,22, a zarobki Basi to jedenaście tysięcy.

Slajd dziesiąty: Na podstawie obliczeń możemy wyciągnąć wniosek, że po sześciu miesiącach pracy pensja Moniki pierwszy raz będzie większa od pensji Basi.

Na wykresie przedstawiono, jak zmienia się pensja Basi z upływem czasu.

R5tb19ivhNXLl

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią reprezentującą miesiące od zera do siedem i pionową osią reprezentującą pensję od zera do jedenastu tysięcy. W układzie zaznaczono wykres, będący ukośną półprostą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik pięć tysięcy zamknięcie nawiasu, półprosta przechodzi przez punkty: nawias dwa średnik sześć tysięcy zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik siedem tysięcy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik osiem tysięcy zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik dziewięć, tysięcy zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik dziesięć tysięcy zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik jedenaście tysięcy zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Omówione wyżej przykłady dotyczyły wzrostu wykładniczego. Przejdziemy teraz do dwóch przykładów, które będą ilustracją zaniku wykładniczegozanik wykładniczyzaniku wykładniczego.

Przykład 6

Kartki papieru formatu $A$ mają taki rozmiar, że jeżeli długość dłuższego boku kartki podzielimy przez długość krótszego boku, to otrzymamy $\sqrt{2}$ (pamiętając o tym, że rozmiary kartki zaokrąglamy do pełnych milimetrów).

W tabeli zestawiono rozmiary i pola powierzchni kartek formatu $A$ .

Format	$A 1$	$A 2$	$A 3$	$A 4$	$A 5$	$A 6$
Wysokość $(mm)$	$841$	$594$	$420$	$297$	$210$	$148$
Szerokość $(mm)$	$594$	$420$	$297$	$210$	$148$	$105$
Pole powierzchni $({mm}^{2})$	$499554$	$249480$	$124740$	$62370$	$31080$	$15540$

Sprawdzimy, ile razy powierzchnia kartki formatu $A 2$ jest mniejsza od powierzchni kartki formatu $A 1$ . W tym celu wykonamy dzielenie.

$\frac{499554}{249480} \approx 2, 002 \approx 2$

Kartka formatu $A 2$ jest dwa razy mniejsza od kartki formatu $A 1$ . Przybliżenie wynika z zaokrąglenia rozmiarów kartki do pełnych milimetrów.

Dla pozostałych rozmiarów kartek możemy wykonać podobne obliczenia.

$\frac{249480}{124740} = 2$

$\frac{124740}{62370} = 2$

$\frac{62370}{31080} \approx 2, 007 \approx 2$

$\frac{31080}{15540} = 2$

Z obliczeń wynika, że kolejna kartka ma dwa razy mniejsze pole powierzchni od poprzedniej.

RkeuaVZwLESsr

Ilustracja przedstawia tabelę o dwóch wierszach i siedmiu kolumnach. W pierwszym wierszu pierwszej kolumny znajduje się napis: format, w drugim wierszu tej kolumny znajduje napis: pole powierzchni nawias milimetry kwadratowe zamknięcie nawiasu. W pierwszym wierszu drugiej kolumny znajduje się napis: A jeden, w wierszu pod spodem znajduje się liczba 499544. W pierwszym wierszu trzeciej kolumny znajduje się napis: A dwa, w komórce pod spodem znajduje się liczba dwieście czterdzieści dziewięć tysięcy czterysta osiemdziesiąt. Komórka z liczbą 499544 i liczbą 249480 są połączone strzałką z podpisem podzielić przez dwa. W pierwszym wierszu czwartej kolumny znajduje się napis: A trzy, w drugim wierszu czwartej kolumny znajduje się liczba 124740, z komórki z liczbą 249480 do komórki z liczbą 124740 prowadzi strzałka z podpisem podzielić przez dwa. W pierwszym wierszu kolejnej kolumny znajduje się napis: A cztery, w komórce pod spodem znajduje się liczba 62370, analogicznie z komórki z liczbą 124740 do komórki z liczbą 62370 prowadzi strzałka z podpisem podzielić przez dwa. W szóstej kolumnie w pierwszym wierszu znajduje się napis: A pięć, w drugim wierszu tej kolumny znajduje się liczba 31080, z komórki z liczbą 62370 do komórki z liczbą 31080 prowadzi strzałka z podpisem podzielić przez dwa. W ostatniej kolumnie w pierwszym wierszu znajduje się napis: A sześć, w drugim wierszu tej kolumny znajduje się liczba 15540, z komórki z liczbą 31080 do komórki z liczbą 15540 prowadzi strzałka z podpisem podzielić przez dwa.

Dzielenie przez $2$ można zastąpić mnożeniem przez $\frac{1}{2}$ .

Format	Pole powierzchni
$A 1$	$499554$
$A 2$	$499554 \cdot \frac{1}{2} \approx 249480$
$A 3$	$249480 \cdot \frac{1}{2} \approx 499554 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \approx 124740$
$A 4$	$124740 \cdot \frac{1}{2} \approx 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot \frac{1}{2} = 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} \approx 62370$
$A 5$	$62370 \cdot \frac{1}{2} \approx 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot \frac{1}{2} = 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} \approx 31080$
$A 6$	$31080 \cdot \frac{1}{2} \approx 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot \frac{1}{2} = 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} \approx 15540$

Zwróć uwagę, że dla formatu $A 6$ wykładnik potęgi jest równy $5$ .

Powierzchnię kolejnych kartek można więc opisać wzorem:

$y = 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x - 1}$

gdzie:
$y$ – oznacza pole powierzchni kartki,
$x$ – rodzaj kartki formatu $A$ .

Taka funkcja malejąca opisuje zanik wykładniczyzanik wykładniczyzanik wykładniczy.

Obliczenia przytoczone w powyższym przykładzie pokrywają się z tym, co możesz zaobserwować, gdy kartkę formatu $A 4$ złożysz na pół. Otrzymasz wtedy dwie kartki formatu $A 5$ .

Korzystając z działań na potęgach, wyprowadzony wzór $y = 499554 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ możemy zapisać w postaci $y = 499554 \cdot 2^{- x + 1}$ .

Przykład 7

Pan Sławek kupił nowy samochód za $43000 zł$ . Po dwóch latach wartość samochodu spadła do $30000 zł$ . Z każdym kolejnym rokiem wartość pojazdu malała o $10 %$ .

1) Wykażemy, że począwszy od trzeciego roku wartość samochodu malała wykładniczo.

2) Obliczymy, za jaką kwotę Pan Sławek mógłby ten samochód sprzedać po siedmiu latach jego użytkowania.

Ad 1)

Po dwóch latach (czyli na początku trzeciego roku) wartość samochodu była równa $30000 zł$ . Po upływie trzeciego roku wartość pojazdu zmalała o $10 %$ , czyli była równa $90 %$ wartości po dwóch latach.

$90 % \cdot 30000 = 0, 9 \cdot 30000 = 27000$

W kolejnych latach wartość samochodu maleje o $10 %$ – tak samo, jak w trzecim roku.

wartość samochodu po czterech latach: $90 % \cdot 27000 = 0, 9 \cdot 27000 = 24300$

wartość samochodu po pięciu latach: $90 % \cdot 24300 = 0, 9 \cdot 24300 = 21870$

Zwróć uwagę, że co roku cenę samochodu należy pomnożyć przez tę samą liczbę $0, 9$ . Oznacza to, że począwszy od trzeciego roku cena samochodu maleje wykładniczo.

Znajdźmy wzór według, którego zmienia się wartość pojazdu.

Ile lat minęło od zakupu	Wartość samochodu
$3$	$90 % \cdot 30000 = 0, 9 \cdot 30000 = 27000$
$4$	$90 % \cdot 27000 = 0, 9 \cdot 27000 = 0, 9 \cdot 0, 9 \cdot 27000 = 0, 9^{2} \cdot 30000 = 24300$
$5$	$90 % \cdot 24300 = 0, 9 \cdot 24300 = 0, 9 \cdot 0, 9^{2} \cdot 30000 = 0, 9^{3} \cdot 30000 = 21870$

Część obliczeń w tabeli została zaznaczona kolorem. Na jej podstawie możemy ustalić wzór, według którego można obliczyć wartość samochodu w kolejnych latach. Zwróć uwagę na wykładnik potęgi przy $0, 9$ i na liczbę lat, które minęły od dnia zakupu pojazdu. Różnica ta jest zawsze taka sama – równa $2$ .

Na tej podstawie możemy ustalić szukany wzór:

$y = 30000 \cdot 0, 9^{x - 2}$

gdzie:
$y$ – oznacza wartość samochodu,
$x$ – wiek samochodu w latach.

Ad 2)

Obliczymy, za jaką kwotę Pan Sławek mógłby ten samochód sprzedać po siedmiu latach jego użytkowania.

Metoda $I$ :

Ile lat minęło od zakupu	Wartość samochodu
$3$	$90 % \cdot 30000 = 0, 9 \cdot 30000 = 27000$
$4$	$90 % \cdot 27000 = 0, 9 \cdot 27000 = 24300$
$5$	$90 % \cdot 24300 = 0, 9 \cdot 24300 = 21870$
$6$	$90 % \cdot 21870 = 0, 9 \cdot 21870 = 19683$
$7$	$90 % \cdot 19683 = 0, 9 \cdot 19683 = 17714, 70$

Metoda $II$ :

Korzystamy ze wzoru wyprowadzonego w podpunkcie pierwszym.

$y = 30000 \cdot 0, 9^{7 - 2} = 30000 \cdot 0, 9^{5} = 17714, 70$

Wartość samochodu po siedmiu latach od zakupu jest równa $177140, 70 zł$ .

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przykładami przedstawionymi w animacji, a następnie wykonaj polecenia.

R6B5gV0mkk3fg

Polecenie 1

R164AOGEHwTlU

Polecenie 2

RPmN9mREfTknJ

Polecenie 3

R1Rw31acx4tdY

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1ZUSg7hppdgu11

Ćwiczenie 1

R1MHHgVlzh6df1

Ćwiczenie 2

R1Yfl3NeBoPBe2

Ćwiczenie 3

R1YmrobA2Bdee2

Ćwiczenie 4

Rz7vAzpX9HvyN2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R167pAmKLzEFl

We wzorze funkcji $y = 100 \cdot a^{x}$ , $a > 1$ , im większa wartość współczynnika $a$ , tym bardziej stromy wykres funkcji.

Ćwiczenie 7

RR7a3IGQRqVrW

Jeżeli wartość pralki automatycznej zmniejsza się o $25 %$ każdego roku, to znaczy, że w kolejnym roku jej wartość jest równa $75 %$ wartości w poprzednim roku.

Na tej podstawie można ustalić wzór, który opisuje zmianę wartości pralki z upływem lat: $y = 4000 \cdot 0, 75^{x}$ .

Ćwiczenie 8

Pani Marzena kupiła samochód za $60000 zł$ . Z upływem lat samochód tracił na wartości.

	w dniu zakupu	po $1$ roku	po $2$ latach	po $3$ latach
wartość samochodu	$60000$	$54000$	$48600$	$43740$

Oblicz wartość samochodu po $6$ latach od dnia zakupu.

Możemy obliczyć, że wartość samochodu w kolejnym roku otrzymujemy, mnożąc wartość samochodu przez $0, 9$ .

RFMJc7f4tK611

Ilustracja przedstawia tabelę o dwóch wierszach i pięciu kolumnach. Pierwszy wiersz pierwszej kolumny jest pusty, w drugim wierszu tej kolumny znajduje napis: wartość samochodu. W pierwszym wierszu drugiej kolumny znajduje się napis: w dniu zakupu, w wierszu pod spodem znajduje się liczba 60000. W pierwszym wierszu trzeciej kolumny znajduje się napis: po jednym roku, w komórce pod spodem znajduje się liczba pięćdziesiąt cztery tysiące. Komórka z liczbą 60000 i liczbą 54000 są połączone strzałką z podpisem razy dziewięć dziesiątych. W pierwszym wierszu czwartej kolumny znajduje się napis: po dwóch latach, w drugim wierszu czwartej kolumny znajduje się liczba 48600, z komórki z liczbą 54000 do komórki z liczbą 48600 prowadzi strzałka z podpisem razy dziewięć dziesiątych. W pierwszym wierszu kolejnej kolumny znajduje się napis: po trzech latach, w komórce pod spodem znajduje się liczba 43740, analogicznie z komórki z liczbą 48600 do komórki z liczbą 43740 prowadzi strzałka z podpisem razy dziewięć dziesiątych.

Sposób I:

Oznacza to, że samochód traci na wartości $10 %$ rocznie. Opisany w zadaniu wykładniczy spadek wartości samochodu można opisać wzorem: $y = 60000 \cdot 0, 9^{x}$ .

Wartość samochodu po upływie sześciu lat jest równa:

$60000 zł \cdot 0, 9^{6} = 31886, 46 zł$

Sposób II:

Obliczamy wartość samochodu po upływie kolejnych lat.

Po $4$ latach: $60000 zł \cdot 0, 9^{4} = 39366 zł$

Po $5$ latach: $60000 zł \cdot 0, 9^{5} = 35429, 40 zł$

Po $6$ latach: $60000 zł \cdot 0, 9^{4} = 31886, 46 zł$

Ćwiczenie 9

Wirus Ebola wywołuje u ludzi zespół objawów nazywanych gorączką krwotoczną. Podstawowa liczba odtwarzania dla tego wirusa jest równa $2$ . To oznacza, że statystycznie jedna zainfekowana tym wirusem osoba zaraża dwie inne osoby podatne na zakażenie w czasie dwóch tygodni. Oblicz liczbę zainfekowanych osób po upływie $12$ tygodni, jeżeli pierwszego dnia zainfekowane były $3$ osoby.

Jedna zainfekowana osoba w czasie dwóch tygodni zaraża dwie kolejne osoby.

W tabeli zestawiono liczbę nowych osób zainfekowanych w kolejnych tygodniach.

Pierwszy dzień	$2$ tygodnie	$4$ tygodnie	$6$ tygodni	$8$ tygodni	$10$ tygodni	$12$ tygodni
$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$

R1bqwjN0TOo03

Ilustracja przedstawiająca schematycznie liczbę osób zarażonych. Od pierwszej osoby poprowadzona jest strzałka w prawo do dwóch osób, od nich do czterech. Od czterech do ośmiu. Od ośmiu do szesnastu. Od szesnastu do trzydziestu dwóch osób. I wreszcie od trzydziestu dwóch do sześćdziesięciu czterech. Każdą osobę symbolizuje szary ludzik z czerwonym tułowiem.

W sytuacji, gdy pierwszego dnia zainfekowana jest jedna osoba, liczba zainfekowanych osób w czasie $12$ tygodni jest równa:

$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127$

Gdy pierwszego dnia $3$ osoby są zakażone, to w czasie $12$ tygodni liczba chorych jest równa $3 \cdot 127 = 381$ osób.

Ćwiczenie 10

Na początku marca uruchomiono sklep internetowy. W pierwszym miesiącu jego działalności zostało założonych $48$ kont. Pod koniec sierpnia tego samego roku w sklepie były zarejestrowane $11664$ konta. Przyjmij, że liczba kont założonych w sklepie rosła wykładniczo.

1) Oblicz, ile razy rosła liczba kont co miesiąc.

2) Jeżeli zaobserwowana tendencja się utrzyma, to ile kont będzie założonych w sklepie pod koniec roku?

Skoro liczba kont z upływem czasu rosła wykładniczo, to jest opisana wzorem:

$y = b \cdot a^{x}$

gdzie:
$b$ – jest liczbą kont założonych na początku,
$a$ – jest liczbą, która opisuje ile razy zwiększyła się liczba kont w czasie jednego miesiąca.

W pierwszym miesiącu liczba założonych kont w sklepie internetowym była równa $48$ , czyli $b = 48$ (wartość początkowa). Pierwszy raz liczba kont wzrosła w kwietniu, zatem do sierpnia liczba kont wzrastała przez $5$ miesięcy.

Można więc zapisać równanie:

$48 \cdot a^{5} = 11664$

$a^{5} = \frac{11664}{48}$

$a^{5} = 243$

$a = 3$

Co miesiąc liczba kont zwiększała się trzykrotnie.

Liczbę kont z upływem czasu opisuje wzór: $y = 48 \cdot 3^{x}$ .

Zgodnie z założeniem tendencja wzrostowa utrzymuje się od kwietnia do grudnia, czyli $9$ miesięcy.

Zatem pod koniec roku liczba kont założonych w sklepie internetowym będzie równa:

$y = 48 \cdot 3^{9} = 944784$ .

Słownik

wzrost wykładniczy

każda kolejna wartość jest tyle samo razy większa od poprzedniej. Funkcja rosnąca $y = b \cdot a^{x}, a > 1, b > 0$

zanik wykładniczy

każda kolejna wartość jest tyle samo razy mniejsza od poprzedniej. Funkcja malejąca $y = b \cdot a^{x}, 0 < a < 1, b > 0$

4. Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczych

Funkcja wykładnicza