3. Długość łuku okręgu - M_R_W13_M3 Pole koła

RBq6xTsfOBXey

Niegdyś popularne zegary wskazówkowe, obecnie ustępują miejsca ich cyfrowym następcom. Odmierzają czas poprzez ruch wskazówek, które obracają się na tarczy. Czy jesteśmy w stanie ustalić jaką drogę pokonał wierzchołek wskazówki w określonym czasie? W tej lekcji poznamy odpowiedź na to pytanie.

Twoje cele

Poznasz metodę obliczenia długości łuku okręgu.
Wykorzystasz znajomość długości łuku okręgu do obliczenia kąta środkowego i promienia.
Zapoznasz się z innymi zastosowaniami wzoru na długość łuku okręgu.

Zacznijmy od przeanalizowania poniższego rysunku.

RSx549UsSzQ7P

Ilustracja przedstawia okrąg. Punkt O jest środkiem okręgu. Na okręgu zaznaczono dwa punkty A oraz B. Do obu punktów poprowadzono promień z punktu O. Powstał wycinek okręgu o promieniu r oraz długości łuku l.

Przedstawiony został okrąg o promieniu $r$ . Punkty $A$ , $B$ leżące na okręgu tworzą łuk długości $l$ . W jaki sposób możemy policzyć długość owego łuku? Znamy wzór na obwód okręgu – wyraża się on wzorem:

L = 2 π r

Jednakże, my potrzebujemy znać długość tylko pewnego fragmentu tego obwodu. Skorzystamy z faktu, że stosunek kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego $∢ A O B$ do kąta pełnegokąt pełnykąta pełnego jest taki sam, jak stosunek długości łuku wycinka koła do długości obwodu koła.

Prawidłowość tę sformułujmy w postaci poniższego twierdzenia:

o długości łuku okręgu

Twierdzenie: o długości łuku okręgu

Dla okręgu o promieniu $r > 0$ długość łuku $l$ opartego na kącie środkowym $α$ wyraża się wzorem:

l = 2 π r \cdot \frac{α}{360 °}

Zacznijmy od rozważenia następującego przykładu:

Przykład 1

Wyznaczymy długość łuku $A B$ zaznaczonego na rysunku:

ReNEA9COrMc21

Ilustracja przedstawia okrąg. Punkt O jest środkiem okręgu. Na okręgu zaznaczono punktu A oraz B. Do końców tych punktów poprowadzono promienie. Promień okręgu wynosi dwa. Kąt środkowy powstałego wycinka wynosi 60 stopni, a długość łuku okręgu wyznaczanego przez ten kąt wynosi l.

Rozwiązanie

Promień okręgu ma długość $r = 2$ , zaś zaznaczony na rysunku kąt środkowy $∢ A O B = 60 °$ .

Korzystając ze wzoru na długość łuku okręgu mamy:

$l = 2 π r \cdot \frac{α}{360 °}$ ,

$l = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{60 °}{360 °}$ ,

$l = 4 π \cdot \frac{1}{6}$ .

Ostatecznie otrzymujemy,

$l = \frac{4}{6} \cdot π = \frac{2}{3} π$ ,

zatem długość łuku $A B$ wynosi $\frac{2}{3} π$ .

W przypadku gdy znamy długość łuku okręgu oraz miarę kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego opartego na owym łuku, możemy wyznaczyć długość promienia. Dość nieoczywiste zastosowanie tej obserwacji jest zaprezentowane w poniższym zadaniu:

Przykład 2

Koło samochodu w trakcie podróży na dystansie $100 \cdot π m$ wykonuje $200$ pełnych obrotów. Ile obrotów wykonałoby koło, którego promień jest o $20 %$ mniejszy na dystansie $400 \cdot π m$ ?

Rozwiązanie

Zacznijmy od wyznaczenia promienia koła wyjściowego samochodu. Zauważmy, że $200$ pełnych obrotów przekłada się na kąt $α = 200 \cdot 360 °$ , zatem $α = 72000 °$ . Podstawiając tę wartość pod wzór na długość łuku okręgu mamy:

$100 π m = 2 π r \cdot \frac{72000 °}{360 °}$ ,

$50 m = r \cdot 200$ ,

zatem $r = 0, 25 m$ . Zmniejszenie tej wielkości o $20 %$ oznacza, że mniejsze z rozważanych kół w zadaniu ma promień

$r_{2} = (100 - 20) % \cdot 0, 25 m = 0, 8 \cdot 0, 25 m = 0, 2 m$ .

Dysponując tą wiedzą ponownie wykorzystamy wzór na długość łuku okręgułuk okręgułuku okręgu – tym razem w celu wyznaczenia kąta $α_{2}$ , który pozwoli nam obliczyć liczbę wykonanych przez koło obrotów.

$400 π m = 2 π \cdot 0, 2 m \cdot \frac{α_{2}}{360 °}$

$1000 = \frac{α_{2}}{360 °}$ .

Z powyższego łatwo wnioskujemy, że mniejsze koło do przebycia dystansu $400 π m$ potrzebuje aż $1000$ obrotów.

Teraz przyjrzymy się nieco bardziej złożonej sytuacji, w której przydatna okazuje się wiedza z zakresu trygonometrii.

Przykład 3

W okręgu o średnicy $28 cm$ poprowadzono cięciwę, której odległość od środka okręgu wynosi $7 \sqrt{3} cm$ . Znajdziemy długość krótszego łuku opartego na cięciwie.

Rozwiązanie

Długość średnicy wynosi $28 cm$ , zatem długość promienia wynosi $14 cm$ . Odcinek łączący wspomnianą w zadaniu cięciwę ze środkiem okręgu pada na nią pod kątem prostym. Oznacza to, że cięciwa wraz z promieniami tworzy trójkąt równoramienny o wysokości $h = 7 \sqrt{3} cm$ . Zatem kąt przy podstawie tak utworzonego trójkąta ma miarę:

$\sin α = \frac{7 \sqrt{3}}{14}$

$\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$α = 60 °$ .

Sytuację obrazuje poniższy rysunek:

R1MZydftGOMoE

Ilustracja przedstawia okrąg. Punkt O to środek okręgu. Zaznaczono średnicę okręgu, wynosi ona dwadzieścia osiem. Zaznaczono również na okręgu punkty A oraz B. Poprowadzono odcinek od punktu A do B, jest on równoległy do poprowadzonej średnicy. Na okręgu powstała cięciwa A B. W połowie cięciwy A B zaznaczono punkt C. Z punktu O poprowadzono odcinki do punktów A B oraz C. Tak powstał trójkąt O A B, o wysokości O C. Oba odcinki O A oraz O B to promienie okręgu, oba wynoszą czternaście, natomiast długość odcinka O C wynosi 73. Zaznaczono kąty O A B oraz A B O, są one sobie równe i wynoszą 60 stopni.

Zatem trójkąt ten jest równoboczny, czyli miara kąta środkowego wynosi $60 °$ . Długość krótszego łuku opartego na tej cięciwie wynosi zatem

$l = 2 π \cdot 14 \cdot \frac{60 °}{360 °} = 4 \frac{2}{3} π$ .

W ostatnim przykładzie przyjrzyjmy się dość niestandardowej figurze geometrycznej, z którą jednak miewamy styczność w naszej codziennej rzeczywistości:

Przykład 4

Śmigło wiatraka przemysłowego składa się z ośmiu identycznych łopatek o łącznej powierzchni $8 π {cm}^{2}$ . Wiedząc, że średnica wiatraka wynosi $4 \sqrt{3} cm$ obliczymy łączny obwód łopatek tego śmigła.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicu opisywanej w zadaniu figury:

Rvx7X7Scffl48

Ilustracja przedstawia okrąg. Środek okręgu oznaczono jako S. Na okręgu zaznaczono średnicę, pomiędzy punktami C oraz D. Poprowadzono więcej średnic, w taki sposób, że na okręgu powstało 8 równych wycinków koła. Długość łuku okręgu pomiędzy sąsiednimi wycinkami wynosi tyle samo dla każdego wycinka.

Widzimy zatem, że obwód figury będzie sumą szesnastu długości promienia i łącznej długości wszystkich łuków wycinków tworzących skrzydła wiatraka. Pozostaje nam tylko wyznaczyć te dwie wielkości.

Pierwsza z nich jest niemal bezpośrednio podana w warunkach zadania – długość średnicy wiatraka wynosi $4 \sqrt{3} cm$ , co przekłada się na fakt, iż promień koła, którego wycinki składają się na wiatrak, wynosi $2 \sqrt{3} cm$ .

Każda łopatka ma pole powierzchni równe

$P_{l} = \frac{1}{8} \cdot 8 π {cm}^{2} = π {cm}^{2}$ .

Podstawiając do wzoru na pole powierzchni wycinka kąta znane nam informacje, uzyskujemy równanie umożliwiające wyznaczenie kąta środkowego $α$ . Mamy zatem:

$π = π {(2 \sqrt{3})}^{2} \cdot \frac{α}{360 °}$

$1 = \frac{12 α}{360 °}$

$α = 30 °$ .

Znając wartość kąta środkowego odpowiadającego pojedynczemu skrzydłu wiatraka, jesteśmy w stanie wyliczyć długość łuku, na którym się opiera.

$l = 2 π 2 \sqrt{3} \cdot \frac{30 °}{360 °} = \frac{\sqrt{3}}{3} π cm$

Powołując się na obserwacje z pierwszego etapu naszej pracy, obliczamy końcowy wynik (tj. łączny obwód łopatek wiatraka):

$L = 16 \cdot r + 8 \cdot l = 16 \cdot 2 \sqrt{3} cm + \frac{8 \sqrt{3}}{3} π cm = (32 \sqrt{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} π) cm$ .

Polecenie 1

Zmieniaj ustawienie wskazówek zegara oraz ich długość. Początek pomiaru ustaw na lewym zegarze, zaś koniec na prawym. Zaobserwuj jak zmienia się długość łuku i odpowiadający mu kąt w zależności od długości wskazówek i czasu pomiaru.

Zapoznaj się z opisem apletu.

RcIzyxVMGTg7t

Wykorzystując aplet wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 2

R2YUIt9mgccHi

Polecenie 3

R1rZh8Von0oTI

Ru9s2S61vk4xv

Polecenie 4

Wpisz poprawną odpowiedź na pytanie: Jaką miarę ma kąt środkowy między wskazówką godzinową i minutową o godzinie $3 : 40$ ?

Wpisz poprawną odpowiedź na pytanie: Jaką miarę ma kąt środkowy między wskazówką godzinową i minutową o godzinie trzeciej czterdzieści?

Odpowiedź: $130 °$ .

R1Va3D9BeRcjQ1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Rk0xZ1LHowx9j

R1W7UKevIIZYW

Ćwiczenie 3

Odległość między punktami $A$ , $B$ leżącymi na okręgu o środku w punkcie $O$ i promienu $6$ , wynosi $|A B| = 6 \sqrt{3}$ . Oblicz długość krótszego łuku, między tymi punktami.

Aby wyznaczyć długość łuku, musimy znaleźć najpierw miarę środkową kąta opartego na tym łuku. Niech $S$ będzie środkiem odcinka $|A B|$ . Zauważamy, że trójkąt $A B O$ jest równoramienny, zatem odcinek $|O S|$ jest wysokością tego trójkąta. Trójkąt $A O S$ jest prostokątny, oznaczmy $∢ A O S$ jako $α$ . Mamy zatem:

$\sin α = \frac{3 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , więc

$α = 60 °$ ,

ponieważ trójkąt $A B O$ jest równoramienny, więc kąt $∢ B O S = 60 °$ . Zatem miara kąta środkowego wynosi $∢ B O A = 120 °$ , korzystając ze wzoru na długość łuku okręgu, mamy:

$l = 2 π \cdot 6 \cdot \frac{120 °}{360 °}$ ,

$l = \frac{12}{3} π$ .

Ostatecznie otrzymujemy,

$l = 4 π$ .

Zatem długość łuku $A B$ wynosi $4 π$ .

Długość łuku $A B$ wynosi $4 π$ .

Ćwiczenie 4

Oblicz obwód figury $A B C D$ przedstawionej na rysunku poniżej, jeżeli jej wierzchołki są punktami styczności czterech przystających okręgów oraz odcinek $A C$ ma długość $8 mm$ .

R88alfXPwchph

Ilustracja przedstawia pewną figurę. Powstała ona w następujący sposób: Narysowano kwadrat. Z każdego wierzchołka kwadratu zakreślono ćwiartki koła o promieniu równym połowie boku kwadratu, tak żeby znajdowały się one w kwadracie i ramiona wycinka koła pokrywały się z bokami kwadratu. Końcową figurę otrzymamy po odjęciu tych wycinków kół od kwadratu. Figura posiada ostro zakończone końcówki, lewą końcówkę oznaczono punktem A, górną punktem B, prawą punktem C, dolną punktem D.

RzDuRKS2V2tqT

Zauważamy, że długość wszystkich łuków jest identyczna i oparte są na tym samym kącie środkowym $90 °$ (wynika to z faktu, że opisane w zadaniu okręgi są styczne). Odcinek $A C$ o długości $8 mm$ jest równy sumie promieni dwóch okręgów. Promienie są sobie równe, zatem $r = 4 mm$ . Szukany obwód jest czterokrotnością długości rozważanego łuku, zatem

$l = 4 \cdot 2 π \cdot 4 \cdot \frac{90 °}{360 °}$ ,

a przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy końcowy wynik $l = 8 π mm$ .

$l = 8 π mm$

Ćwiczenie 5

Rozważmy koło o promieniu $r$ . Wiemy, że liczba wyrażająca pole tego koła (w ${dm}^{2}$ ) jest $5$ razy mniejsza, niż liczba opisująca długość łuku opartego na kącie środkowym $117 °$ (w $cm$ ). Oblicz długość łuku opartego na kącie środkowym $117 °$ .

Pamiętamy, że $1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2}$ .
Oznaczmy przez $P_{dm}$ pole powierzchni koła w ${dm}^{2}$ , zaś przez $P_{cm}$ powierzchnię wyrażoną w ${cm}^{2}$ . Wówczas $100 \cdot P_{dm} = P_{cm}$ .
Niech $r$ wyraża promień rozważanego okręgu w $cm$ .

Wówczas zależność podana w zadaniu może być zapisana jako $P_{d m} = \frac{1}{5} \cdot 2 π \cdot \frac{117}{360} \cdot r$ .

Ze wzoru na pole powierzchni koła mamy $P_{dm} = \frac{P_{cm}}{100} = \frac{π \cdot r^{2}}{100}$ .

Zatem:

$\frac{π \cdot r^{2}}{100} = \frac{2 π}{5} \cdot r \cdot \frac{117}{360}$ ,

$r = 40 \cdot \frac{13}{40} = 13 cm$ .

Zatem długość szukanego łuku wynosi:

$l = 2 π \cdot 13 \cdot \frac{117}{360} = \frac{169}{20} π = 8 \frac{9}{20} π cm$ .

$l = 8 \frac{9}{20} π cm$ .

Ćwiczenie 6

Z punktu $D$ poprowadzono styczne do okręgu o środku w punkcie $A$ , co obrazuje poniższy rysunek.

R13IEElI3zIXf

Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Większy z nich ma środek w punkcie A, mniejszy w punkcie D. Z punktu D poprowadzono styczne do większego okręgu. Punkty styczności na większym okręgu oznaczono jako B oraz C. Poprowadzono promień do punktu B oraz C. Na stycznej B D punkt przecięcia stycznej z mniejszym okręgiem oznaczono jako F, natomiast na stycznej C D punkt przecięcia stycznej z mniejszym okręgiem oznaczono jako E.

Ponadto, wiadomo jest, że: długość łuku $B C$ wynosi $2 π$ , kąt środkowy $∢ B A C$ ma miarę $120 °$ oraz $\frac{|B F|}{|F D|} = 8$ . Znajdź długość łuku $E F$ .

Zacznijmy od następującej obserwacji:

$∢ F D E = 360 ° - 90 ° - 90 ° - 120 ° = 60 °$ .

Pozostaje ustalić długość promienia $F D$ . Zauważmy, że długość promienia $A B$ wynosi

$|A B| = \frac{2 π}{2 π} \cdot \frac{360 °}{120 °} = 3$ .

Długość odcinka łączącego punkty $B$ i $C$ jesteśmy w stanie obliczyć wykorzystując wiedzę z zakresu trygonometrii. Zauważmy bowiem, że promień wychodzący z punktu $A$ i prostopadły do odcinka $B C$ dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ . Znajomość funkcji sin kąta $60 °$ pozwala nam zapisać:

$\frac{\frac{1}{2} |B C|}{|A B|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$|B C| = 3 \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że $∢ C B D = 90 ° - 30 ° = 60 °$ . Podobnie $∢ B C D = 60 °$ , co oznacza że trójkąt $B D C$ jest równoboczny. Wówczas $|B D| = 3 \sqrt{3}$ i korzystając z podanej w zadaniu informacji dotyczącej stosunku długości odcinków $B F$ i $F D$ mamy że

$|B D| = |F D| + |B F| = |F D| + 8 |F D| = 9 |F D|$

$3 \sqrt{3} = 9 |F D|$

$|F D| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ostatecznie długość łuku $F E$ wynosi:

$l = 2 π \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{60 °}{360 °}$

$l = \frac{\sqrt{3}}{9} π$ .

Ćwiczenie 7

Zapisana poniżej litera “S” składa się z dwóch łuków, przy czym $∢ E B C = ∢ C A D = 150 °$ . Wiedząc, że $|A C| \cdot |B C| = 6$ oraz ${|A B|}^{2} = 25$ , znajdź całkowitą długość litery “S” (czyli łączną długość łuków $E C$ i $C D$ ).

R181LfjOiTJNl

Ilustracja przedstawią literę S zbudowaną z dwóch fragmentów okręgu. Pierwszy fragment znajduje się u góry i jest mniejszy, ma środek w punkcie A, ma ramiona A D oraz A C. Punkt D jest to górna końcówka litery S. Drugi fragment jest większy. Znajduje się pod pierwszym fragmentem. Ma środek w punkcie B oraz ramiona B C oraz B E. Punkt E to dolna końcówka litery S. Fragmenty łączą się w punkcie C. Odcinek pomiędzy środkami fragmentów okręgów A B jest prosty, przechodzi on przez punkt C.

Łuk $E C$ oparty jest na kącie środkowym o mierze $360 ° - 150 ° = 210 °$ – podobnie łuk $C D$ . Widzimy, że $|A B| = |A C| + |B C|$ . Zatem

$\{\begin{cases} {(|A C| + |B C|)}^{2} = 25 \\ |A C| \cdot |B C| = 6 \end{cases}$

Wiemy jednak, że $|A C|$ , $|B C|$ są długościami odcinków, więc są nieujemne. Zatem

$\{\begin{cases} |A C| + |B C| = 5 \\ |A C| \cdot |B C| = 6 \end{cases}$

Z pierwszego równania możemy wywnioskować, że $|A C| = 5 - |B C|$ . Wstawiając tę własność do drugiej równości uzyskujemy równanie kwadratowe opisujące długość odcinka $|B C|$ .

$(5 - |B C|) \cdot |B C| = 6$ ,

$0 = 6 - 5 |B C| + {|B C|}^{2}$ ,

$0 = (3 - |B C|) (2 - |B C|)$ .

Zatem $|B C| = 2$ (a wówczas $|A C| = 3$ ) lub $|B C| = 3$ (wtedy $|A C| = 2$ ). Treść zadania nie precyzuje, który łuk jest dłuższym, a fakt ten nie ma znaczenia dla pozostałej części zadania – przyjmujemy więc (by pozostać zgodnym z rysunkiem), że $|B C| = 3$ , zaś $|A C| = 2$ .

Długość łuku $C E$ wynosi zatem

$l = 2 π \cdot 3 \cdot \frac{210 °}{360 °} = 6 π \cdot \frac{7}{12} = \frac{21 π}{6}$

z kolei dla łuku $C D$ mamy:

$l = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{210 °}{360 °} = 4 π \cdot \frac{7}{12} = \frac{14 π}{6}$ .

Ostatecznie otrzymujemy długość litery “S” wynosi $l = \frac{14 + 21}{6} π = 5 \frac{5}{6} π$ .

$l = \frac{14 + 21}{6} π = 5 \frac{5}{6} π$ .

Ćwiczenie 8

Domowy wiatrak składa się z trzech skrzydeł i osłaniającej oś obrotu tarczy, co obrazuje poniższy szkic.

Rwi9pDSR57kwT

Ilustracja przedstawia okrąg. Ma on środek w punkcie A. Na okręgu znajdują się trzy takie same zacieniowane wycinki oddalone w równych odległościach na okręgu. Końcówki łuku jednego wycinka oznaczono punktami B oraz C. Wewnątrz większego okręgu narysowano mniejsze zacieniowane koło o tym samym środku. Przecina ono odcinek A B w punkcie D.

Promień wewnętrznej tarczy wynosi $3 cm$ , zaś długość łuku okręgu, na którym oparte jest pojedyncze skrzydło wynosi $20 cm$ . Wiedząc, że średnica całego wiatraka wynosi $60 cm$ , oblicz pole powierzchni całego wiatraka (tj. całego zacieniowanego na rysunku obszaru).

Rozpoczynamy rozwiązywanie problemu od obliczenia pola powierzchni tarczy. Wiedząc że jej promień (na rysunku jest nim np. odcinek $A D$ ) ma długość $3 cm$ mamy:

$P_{t} = π {|A D|}^{2} = 9 π {cm}^{2}$

Dysponujemy informacją o średnicy całego wiatraka, co pozwala nam obliczyć promień koła, którego wycinkami są rozważane w zadaniu skrzydła wiatraka – wynosi on $30 cm$ . Znana jest nam też długość łuku odpowiadającego pojedynczemu skrzydłu – wynosi on $20 cm$ . Z zależności wiążącej długość łuku okręgu z kątem środkowym jesteśmy w stanie wyliczyć wartość kąta $α = ∢ B A C$ :

$20 cm = 2 π \cdot (30 cm) \cdot \frac{α}{360 °}$ ,

$\frac{1}{3 π} = \frac{α}{360 °}$ ,

$α = \frac{120 °}{π}$ .

Umożliwia nam to obliczenie powierzchni pojedynczego skrzydła – zgodnie ze wzorem otrzymujemy:

$P_{s} = π {(30 cm)}^{2} \cdot \frac{α}{360 °} = (900 π \cdot \frac{1}{3 π}) {cm}^{2} = 300 {cm}^{2}$

Mogłoby się wydawać, że wystarczy już do pola powierzchni tarczy dodać trzykrotność $P_{s}$ by otrzymać żądaną w zadaniu wielkość. Zauważmy jednak, że przy takim podejściu pewną część powierzchni tarczy uwzględnimy wówczas dwukrotnie. Musimy więc odjąć od pola powierzchni pojedynczego skrzydła tę powierzchnię, która zakrywana jest przez tarczę – wynosi ona

$P_{z} = π \cdot {(3 cm)}^{2} \cdot \frac{α}{360 °} = 3 {cm}^{2}$

Ostatecznie pole powierzchni całego wiatraka wynosi:

$P_{w} = P_{t} + 3 \cdot (P_{s} - P_{z}) = 9 π {cm}^{2} + 3 \cdot 297 {cm}^{2} = (9 π + 891) {cm}^{2}$ .

$(9 π + 891) {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 9

W kole zębatym powierzchnia wszystkich czterech zębów wynosi $19 π$ stanowi $5 %$ powierzchni całej zębatki. Stosunek długości zęba $|B C|$ do promienia całego koła zębatego $|A C|$ wynosi $\frac{|B C|}{|A C|} = \frac{1}{20}$ . Oblicz obwód zębatki.

R147EnHnAAnGq

Ilustracja przedstawia koło. Koło ma środek w punkcie A. Ma ono doczepione cztery identyczne zęby, czyli wycinki koła o większym promieniu wystające spod oryginalnego koła. Zęby są ustawione na krzyż, są w równych odległościach od siebie. Poprowadzono promień oryginalnego koła A B, w taki sposób, że po przedłużeniu tego odcinka wzdłuż ramienia wycinka zęba, otrzymamy punkt C, czyli A C to promień wycinka koła, z którego składa się ząb.

Informacja o tym, że $5 %$ powierzchni całej zębatki stanowią zęby pozwala nam wywnioskować, że pozostałe $95 %$ przypada na koło o promieniu $A B$ . Z proporcji możemy wywnioskować, że koło to ma pole

$P_{\circ} = \frac{95 %}{5 %} \cdot 19 π = 361 π$ .

Znajomość pola powierzchni pozwala nam obliczyć długość odcinka $A B$ – wynosi ona $19$ . Z informacji z treści zadania wnioskujemy, że

$\frac{|B C|}{|A C|} = \frac{|B C|}{|B C| + |A B|} = \frac{1}{20}$

$20 |B C| = |B C| + 19$

Zatem $|B C| = 1$ . Powierzchnia pojedynczego zęba wynosi $P_{z} = \frac{19 π}{4}$ . Pole to można obliczyć poprzez odjęcie od pola powierzchni wycinka o promieniu $A C$ analogicznego pola wycinka o promieniu $A B$ , opartego na tym samym kącie środkowym. Stąd

$P_{z} = π {|A C|}^{2} \frac{α}{360 °} - π {|A B|}^{2} \frac{α}{360 °}$

$\frac{19}{4} π = \frac{π α}{360 °} (400 - 361)$

$\frac{19}{4} = \frac{39 α}{360 °}$

Stąd $α = \frac{570 °}{13}$ jest kątem środkowym odpowiadającym pojedynczemu zębowi w kole.

Zatem łączny obwód koła zębatego jest możliwy do obliczenia jako suma czterech długości łuków odpowiadających zębom, czterech długości łuków odpowiadających odcinkom między nimi dodanych do ośmiokrotnej długości odcinka $|B C|$ .

Długość łuku odpowiadającemu pojedynczemu zębowi wynosi:

$l_{z} = 2 π \cdot 20 \cdot \frac{\frac{570 °}{13}}{360 °} = \frac{190 π}{39}$

Łączna długość łuków odpowiadających odcinkom między zębami może być obliczona poprzez odjęcie od kąta pełnego czterokrotności $α$ i obliczeniu odpowiadającej takiemu kątowi środkowemu długości łuku okręgu o promieniu $|A B|$ . Zatem

$l_{k} = 2 π \cdot 19 \cdot \frac{360 ° - 4 \cdot \frac{570 °}{13}}{360 °} = 38 π \cdot \frac{20}{39} = \frac{760 π}{39}$ .

Zatem łączny obwód całego koła zębatego wynosi

$l = 4 \cdot \frac{190 π}{39} + \frac{760 π}{39} + 8 \cdot 1 = \frac{1520 π}{39} + 8 = 38 \frac{38}{39} π + 8$

$38 \frac{38}{39} π + 8$ .

Słownik

łuk okręgu

część okręgu wyznaczona przez ramiona kąta środkowego tego okręgu

kąt środkowy

kąt, którego wierzchołkiem jest środek tego okręgu, a ramionami są półproste zawierajace promienie tego okręgu

kąt pełny

kąt o mierze równej $360 °$

2. Pole wycinka koła

M_R_W13_M3 Pole koła

Słownik