• Określisz warunek, jaki muszą spełniać wzory funkcji liniowych, aby proste, będące  wykresami tych funkcji były równoległe.

• Wyznaczysz wartości parametrów we wzorach funkcji liniowych, dla których proste, będące wykresami tych funkcji są równoległe.

• Określisz warunek, jaki muszą spełniać wzory funkcji liniowych, aby proste, będące  wykresami tych funkcji były prostopadłe.

• Wskażesz na podstawie wzorów funkcji liniowych te, których wykresy są prostymi prostopadłymi.

• Zastosujesz warunek równoległości i prostopadłości prostych, będących wykresami funkcji liniowych,  do rozwiązywania problemów matematycznych.

Funkcję określoną wzorem

gdzie:
$a, b\in \mathrm{ℝ}$, nazywamy funkcją liniową.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f\left(x\right)=a_{1}x+b_1$ oraz $f\left(x\right)=a_{2}x+b_2$ są równoległe, gdy zachodzi warunek:

Na rysunku przedstawiono proste równoległe, będące wykresami funkcji liniowych. Wyznaczymy wzory tych funkcji.

RpdVotlLc0MH6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 3 do siedmiu i pionową osią Y od minus 4 do trzech. Zaznaczono dwie proste równoległe do siebie. Prosta f przecina oś X w punkcie 5 oraz ma wyraz wolny równy jeden. Prosta g ma wyraz wolny równy minus dwa.

Rozwiązanie

Niech $f\left(x\right)=ax+b$.

Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(5,0\right)$ i $\left(0,1\right)$, zatem wartości współczynników $a$ i $b$ możemy wyznaczyć z warunków:

$0=a·5+b$ oraz $1=a·0+b$.

Stąd $a=-\frac{1}{5}$ oraz $b=1$. Funkcja

$g$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{5}x+1$.

Niech $g\left(x\right)=ax+b_1$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są równoległe, zatem $a=-\frac{1}{5}$.

Wykres funkcji $g$ przecina oś rzędnych w punkcie $\left(0,-2\right)$, zatem $b_1=-2$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=-\frac{1}{5}x-2$.

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_1\left(x\right)=0,4x-2$, $f_2\left(x\right)=-\sqrt{2}x-2$, $f_3\left(x\right)=-\frac{2}{\sqrt{2}}x+3$, $f_4\left(x\right)=-x$, $f_5\left(x\right)=-x+8$, $f_6\left(x\right)=\frac{2}{5}x-3$.

Wypiszemy pary wzorów funkcji liniowych, których wykresy są prostymi równoległymi.

Rozwiązanie

Pary wzorów funkcji liniowych, których wykresy są prostymi równoległymi: $f_1$ i $f_6$, $f_2$ i $f_3$, $f_4$ i $f_5$.

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji liniowych zadanych wzorami $f\left(x\right)=\left(3m-2\right)x+5$ oraz $g\left(x\right)=\left(-m+3\right)x+1$ są równoległe.

Rozwiązanie

Proste, będące wykresami funkcji liniowych są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe $a$ we wzorach tych funkcji są takie same.

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3m-2=-m+3$, wobec tego $m=\frac{5}{4}$.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $g$, jeżeli prosta, będąca wykresem tej funkcji jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{4}x-1$ oraz do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(1,\frac{2}{3}\right)$.

Rozwiązanie

Oznaczmy funkcję $g$ wzorem $g\left(x\right)=ax+b$.

Ponieważ proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są równoległe, zatem $a=\frac{1}{4}$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{4}x+b$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(1,\frac{2}{3}\right)$ należy do wykresu funkcji $g$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2}{3}=\frac{1}{4}·1+b$, wobec tego $b=\frac{5}{12}$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{4}x+\frac{5}{12}$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$, $g$, $h$, $k$ po przecięciu w punktach $A$, $B$, $C$ i $D$ utworzyły romb $ABCD$, jak na poniższym rysunku.

Rbil9Y6o9elCd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 5 do pięciu i pionową osią Y od minus 5 do pięciu. Zaznaczono dwie pary prostych równoległych do siebie. Pierwsza para prostych f i g. Prosta f ma miejsce zerowe równe minus półtorej i wyraz wolny równy trzy. Prosta g ma miejsce zerowe równe półtorej oraz wyraz wolny równy minus trzy. Druga para prostych k i h. Prosta k ma miejsce zerowe równe minus półtorej i wyraz wolny równy minus trzy. Prosta h ma miejsce zerowe równe półtorej oraz wyraz wolny równy trzy. Proste przecinają się w miejscach zerowych oraz wyrazach wolnych tworząc punkty ABCD.

Wyznaczymy wzory tych funkcji.

Rozwiązanie

Wiemy, że proste, będące wykresami funkcji utworzyły romb. Mamy stąd dwie pary prostych równoległych, będących wykresami funkcji liniowych: $f$ i $g$ oraz $h$ i $k$.

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Niech $f\left(x\right)=ax+b$. Do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(0,3\right)$ i $\left(1,5\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ posłużą nam zależności:

$3=a·0+b$ oraz $5=a·1+b$.

Wobec tego $a=2$ i $b=3$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=2x+3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $g$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $f$ jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji $g$, to $a=2$.

Zatem $g\left(x\right)=2x+b$.

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(3,3\right)$, wobec tego do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$3=2·3+b$, zatem $b=-3$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=2x-3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $h$.

Niech $h\left(x\right)=ax+b$.

Do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $\left(0,3\right)$ i $\left(-1,5\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ skorzystamy z zależności:

$3=a·0+b$ oraz $5=a·\left(-1\right)+b$.

Stąd $a=-2$ oraz $b=3$.

Funkcja $h$ jest określona wzorem $h\left(x\right)=-2x+3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $k$.

Niech $k\left(x\right)=ax+b$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $f$ jest równoległa do prostej, będącej wykresem funkcji $g$, to $a=-2$.

Zatem $k\left(x\right)=-2x+b$.

Z wykresu funkcji możemy odczytać, że należy do niego punkt o współrzędnych $\left(-3,3\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$3=\left(-2\right)·\left(-3\right)+b$, wobec tego $b=-3$.

Funkcja $k$ wyraża się wzorem $k\left(x\right)=-2x-3$.

Proste, będące wykresami funkcji liniowych określonych wzorami $f\left(x\right)=a_{1}x+b_1$ oraz $g\left(x\right)=a_{2}x+b_2$ są prostopadłe, gdy zachodzi warunek:

Na rysunku przedstawiono proste, będące wykresami funkcji liniowych, które są prostopadłe. Wyznaczymy wzory tych funkcji.

R1Hk2tJIIajem

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X od minus trzech do siedmiu i pionową Y od minus trzech do sześciu . Zaznaczono dwie proste przecinające się w pierwszej ćwiartce pod kątem prostym.

Rozwiązanie:

Do prostej, będącej wykresem funkcji liniowej $f$ należą punkty o współrzędnych $\left(0,3\right)$ oraz $\left(5,2\right)$.

Jeżeli $f\left(x\right)=ax+b$, to do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ korzystamy z równości:

$3=a·0+b$ oraz $2=a·5+b$.

Wobec tego $a=-\frac{1}{5}$ oraz $b=3$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{5}x+3$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $g$ są prostopadłe, zatem funkcję $g$ zapisujemy wzorem $g\left(x\right)=5x+b$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem tej funkcji przecina oś rzędnych w punkcie $\left(0,-2\right)$, zatem $b=-2$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=5x-2$.

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_1\left(x\right)=\frac{3}{5}x-2$, $f_2\left(x\right)=\frac{1}{3}x+1$, $f_3\left(x\right)=\frac{2}{9}x-3$, $f_4\left(x\right)=-4,5x+1$, $f_5\left(x\right)=-3x+1$, $f_6\left(x\right)=-\frac{5}{3}x+2$.

Wypiszemy pary funkcji liniowych, których wykresy są prostymi prostopadłymi.

Rozwiązanie:

Funkcje liniowe, których wykresy są prostymi prostopadłymi: $f_1$ i $f_6$, $f_2$ i $f_5$, $f_3$ i $f_4$.

Wyznaczymy wzór funkcji liniowej $g$, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej, będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=-3x-1$, a do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$.

Rozwiązanie:

Określimy  funkcję $g$ wzorem $g\left(x\right)=ax+b$.

Ponieważ prosta, będąca wykresem funkcji $g$ jest prostopadła do prostej, będącej wykresem funkcji $f$, to $a=\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji $g$ zapisujemy w postaci $g\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$.

Ponieważ punkt o współrzędnych $\left(1,-3\right)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$-3=\frac{1}{3}·1+b$, wobec tego $b=-\frac{10}{3}$.

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$.

Określimy, dla jakiej wartości parametru $m$ proste, będące wykresami funkcji określonych wzorami $f\left(x\right)=-2x+4$ oraz $g\left(x\right)=\left(\frac{1}{2}m+3\right)x-1$ są prostopadłe.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste, będące wykresami funkcji liniowych to proste prostopadłeproste prostopadłeproste prostopadłe, gdy współczynniki $a$ w ich wzorach są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi:

Zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2}m+3=\frac{1}{2}$, wobec tego $m=-5$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$, $g$, $h$, $k$ na poniższym rysunku przecięły się w punktach $A$, $B$, $C$ i $D$ i utworzyły prostokąt $ABCD$.

R1E5bJfuhDDsq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X od minus pięciu do pięciu i pionową Y od minus pięciu do sześciu . Zaznaczono cztery proste przecinające się pod kątem prostym. Punkt A utworzony został z przecięcia prostej f i h w trzeciej ćwiartce. Punkt B utworzony został z przecięcia prostej g i h w czwartej ćwiartce. Punkt C powstał z przecięcia prostej g i k w pierwszej ćwiartce. Punkt D powstał z przecięcia prostej k i f w drugiej ćwiartce. Proste k i h oraz f i g są równoległe względem siebie.

Wyznaczymy wzory tych funkcji.

Rozwiązanie:

Wyznaczymy wzór funkcji $f$.

Niech $f\left(x\right)=ax+b$.

Z wykresu tej funkcji możemy odczytać, że należą do niego punkty o współrzędnych $\left(-1,-3\right)$ oraz $\left(0,-6\right)$.

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ mamy pomocne równości:

$-6=a·0+b$ oraz $-3=a·\left(-1\right)+b$.

Zatem $a=-3$ oraz $b=-6$.

Funkcja $f$ wyraża się wzorem $f\left(x\right)=-3x-6$.

Wyznaczymy wzór funkcji $h$.

Niech $h\left(x\right)=ax+b$.

Proste, będące wykresami funkcji $f$ i $h$ są prostopadłe, zatem $a=\frac{1}{3}$.

Wobec tego $h\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$.

Do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $\left(3,-1\right)$, zatem do wyznaczenia $b$ rozwiązujemy równanie:

$-1=\frac{1}{3}·3+b$, wobec tego $b=-2$.

Funkcja $h$ wyraża się wzorem $h\left(x\right)=\frac{1}{3}x-2$.

Wyznaczymy wzór funkcji $g$.

Niech $g\left(x\right)=ax+b$.

Proste, będące wykresami funkcji $g$ i $h$ są prostopadłe, zatem $a=-3$.

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $g\left(x\right)=-3x+b$.

Ponieważ do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(2,-3\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$-3=-3·2+b$, wobec tego $b=3$.

Funkcja $g$ wyraża się wzorem $g\left(x\right)=-3x+3$.

Wyznaczymy wzór funkcji $k$.

Niech $k\left(x\right)=ax+b$.

Proste, będące wykresami funkcji $g$ i $k$ są prostopadłe, zatem $a=\frac{1}{3}$.

Wzór funkcji zapisujemy w postaci $k\left(x\right)=\frac{1}{3}x+b$.

Ponieważ do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $\left(3,3\right)$, zatem do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$3=\frac{1}{3}·3+b$, wobec tego $b=2$.

Funkcja $k$ wyraża się wzorem $k\left(x\right)=\frac{1}{3}x+2$.

Wykażemy, że jeśli proste, będące wykresami funkcji liniowych $f$ i $g$ określonych wzorami $f\left(x\right)=ax$ oraz $g\left(x\right)=-ax$ są prostymi prostopadłymi, to $a=1$ lub $a=-1$.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste, które są wykresami funkcji liniowych, są prostopadłe, gdy ich współczynniki kierunkowe są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi.

Zauważmy, że współczynniki liniowe prostych będących wykresami funkcji liniowych $f$ i $g$ wynoszą odpowiednio: $a$ oraz $-a$.

Z warunku prostopadłości tych prostych układamy i rozwiązujemy równanie:

$a·(-a)=-1$

$a^2=1$

Zatem $a=1$ lub $a=-1$.

wykresy funkcji liniowych o takim samym współczynniku kierunkowym 

wykresy funkcji liniowych, określonych wzorami, w których współczynniki kierunkowe  są liczbami przeciwnymi i odwrotnymi