1. Równania kwadratowe - wprowadzenie - Równania i nierówności kwadratowe

RDFBMQKZ1EBMC

1. Równania kwadratowe - wprowadzenie

Aby opisać zjawiska generujące dzisiejszy świat, wygodnie jest dysponować narzędziami, które ułatwiają te opisy. Do nich niewątpliwie należą równania. Dzięki nim możemy obliczyć na przykład, na jakiej wysokości od ziemi będzie piłka po $2$ sekundach spadania z okna, które jest na wysokości $80 m$ od ziemi.
Dzięki równaniom kwadratowym możemy również rozwiązywać problemy teoretyczne. Czy wiadomo, ile jest liczb, których kwadrat jest równy $121$ ? Czy istnieje liczba, której kwadrat jest równy – $16$ ?

Odpowiedzi na te i inne pytania znajdziesz w materiałach dotyczących pojęcia równania kwadratowego i metod jego rozwiązania.

Twoje cele

Rozpoznasz równanie drugiego stopnia z jedną niewiadomą.
Odróżnisz równania kwadratowe zupełne od niezupełnych.
Opiszesz za pomocą równania kwadratowego sytuację przedstawioną słownie.
Rozwiążesz równanie kwadratowe z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Definicja: Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi zupełnymi.

Równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy równanie $x \cdot (x + 4) = 2 \cdot (1 + 2 x)$ , po zapisaniu w najprostszej postaci, będzie równaniem kwadratowym niezupełnym.

Przekształcimy równoważnie równanie.

$x \cdot (x + 4) = 2 \cdot (1 + 2 x)$

$x^{2} + 4 x = 2 + 4 x$

$x^{2} = 2$

$x^{2} - 2 = 0$

Zatem otrzymaliśmy równanie kwadratowe z jedną niewiadomąrównanie kwadratowe z jedną niewiadomą, w którym $b = 0$ , postaci $a x^{2} + c = 0$ .

Jest to równanie kwadratowe niezupełne.

Równania postaci $a x^{2} + c = 0$ gdy $a \neq 0$

Przykład 2

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $3 x^{2} - 27 = 0$ .

Przeniesiemy najpierw liczbę na drugą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny.

$3 x^{2} = 27$

Podzielimy obie strony równania przez $3$ .

$x^{2} = 9$

Pierwiastkujemy obie strony równania.

$\sqrt{x^{2}} = 3$

Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną.

$|x| = 3$

Czyli $x = - 3$ lub $x = 3$ .

Rozwiązaniem równania są liczby $x \in \{- 3, 3\}$ .

W rozwiązaniu kolejnego przykładu skorzystamy z następującego twierdzenia.

Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

Twierdzenie: Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

Dla dowolnych liczb $a, b \in ℝ$ , $a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $2 x^{2} - 9 = 0$ .

Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$(\sqrt{2} x - 3) (\sqrt{2} x + 3) = 0$

Zgodnie z twierdzeniem $(\sqrt{2} x - 3) = 0$ lub $(\sqrt{2} x + 3) = 0$

$\sqrt{2} x = 3$ lub $\sqrt{2} x = - 3$

$x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ lub $x = - \frac{3}{\sqrt{2}}$

Po usunięciu niewymierności z mianownika każdego ułamka otrzymujemy:

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ lub $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $- x^{2} - 4 = 0$ .

$x^{2} = - 4$

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze liczbą nieujemną.

Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie ${(\sqrt{5} x - 2)}^{2} = 16$ .

${(\sqrt{5} x - 2)}^{2} = 16$

$\sqrt{{(\sqrt{5} x - 2)}^{2}} = \sqrt{16}$

Wiemy, że $\sqrt{x^{2}} = |x|$ .

$|\sqrt{5} x - 2| = 4$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\sqrt{5} x - 2 = 4$ lub $\sqrt{5} x - 2 = - 4$

$\sqrt{5} x = 6$ lub $\sqrt{5} x = - 2$

$x = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ lub $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$x \in \{- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{6 \sqrt{5}}{5}\}$

Równania postaci $a x^{2} + b x = 0$ gdy $a \neq 0$

Przykład 6

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

Wyłączymy $3 x$ przed nawias.

$3 x (x - 2) = 0$

Skorzystamy z twierdzenia.

Dla dowolnych liczb $a, b \in ℝ$ , $a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

$3 x = 0$ lub $x - 2 = 0$

$x = 0$ lub $x = 2$

Rozwiązanie równania: $x \in \{0, 2\}$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $x^{2} = \sqrt{2} x$ .

Przenosimy wyraz z niewiadomą na lewą stronę równania.

$x^{2} - \sqrt{2} x = 0$

Wyłączymy $x$ przed nawias.

$x (x - \sqrt{2}) = 0$

$x = 0$ lub $x - \sqrt{2} = 0$

$x = 0$ lub $x = \sqrt{2}$

Rozwiązanie równania: $x \in \{0, \sqrt{2}\}$ .

Przykład 8

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $- \frac{x^{2}}{5} = 3 x$ .

Pomnożymy obie strony równania przez $5$ .

$- x^{2} = 15 x$

Przenosimy wyraz z niewiadomą na lewą stronę równania.

$- x^{2} - 15 x = 0$

Wyłączymy $- x$ przed nawias.

$- x (x + 15) = 0$

$- x = 0$ lub $x + 15 = 0$

$x = 0$ lub $x = - 15$

Rozwiązanie równania: $x \in \{- 15, 0\}$ .

Przykład 9

Wyznaczymy taką liczbę całkowitą dodatnią, której kwadrat jest równy trzykrotności tej liczby.

Zapiszemy równanie opisujące sytuację podaną w treści zadania.

$x^{2} = 3 x$

$x^{2} - 3 x = 0$

$x (x - 3) = 0$

$x = 0$ lub $x - 3 = 0$

$x = 0$ lub $x = 3$

Ponieważ szukana liczba ma być całkowita dodatnia, więc rozwiązaniem jest liczba $x = 3$ .

Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia do rozwiązywania równań kwadratowych

Przykład 10

Rozwiążemy równanie $3 x^{2} - 4 = 0$ .

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$3 x^{2} - 4 = 0$

$(\sqrt{3} x - 2) (\sqrt{3} x + 2) = 0$

$\sqrt{3} x - 2 = 0$ lub $\sqrt{3} x + 2 = 0$

$\sqrt{3} x = 2$ lub $\sqrt{3} x = - 2$

$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ lub $x = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ lub $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Przykład 11

Rozwiążemy równanie $9 x^{2} - {(x - 3)}^{2} = 0$ .

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$9 x^{2} - {(x - 3)}^{2} = 0$

$[3 x - (x - 3)] \cdot [3 x + (x - 3)] = 0$

$(3 x - x + 3) (3 x + x - 3) = 0$

$(2 x + 3) (4 x - 3) = 0$

$(2 x + 3) = 0$ lub $(4 x - 3) = 0$

$2 x = - 3$ lub $4 x = 3$

$x = - 1 \frac{1}{2}$ lub $x = \frac{3}{4}$

Rozwiązanie równania: $\{- 1 \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\}$ .

Przykład 12

Rozwiążemy równanie $(3 x - 1) (3 x + 1) = {(x - 3)}^{2} - 18 x - 28$ .

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń i wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

$(3 x - 1) (3 x + 1) = {(x - 3)}^{2} - 18 x - 28$

$9 x^{2} - 1 = x^{2} - 6 x + 9 - 18 x - 28$

$8 x^{2} + 24 x + 18 = 0 | : 2$

$4 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x = - 1 \frac{1}{2}$

Rozwiązaniem równania jest liczba $- 1 \frac{1}{2}$ .

Przykład 13

Rozwiążemy równanie kwadratowe $4 x^{2} - 4 x - 15 = 0$ z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia.

$4 x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 16 = 0$

${(2 x - 1)}^{2} = 16$

$2 x - 1 = - 4$ lub $2 x - 1 = 4$

$2 x = - 3$ lub $2 x = 5$

$x = - 1 \frac{1}{2}$ lub $x = 2 \frac{1}{2}$

Schemat interaktywny

Polecenie 1

Poniżej zamieszczony jest schemat interaktywny przedstawiający klasyfikację równań kwadratowych na równania kwadratowe zupełne i niezupełne (uwzględniamy przypadki, gdy tylko jeden ze współczynników $b$ lub $c$ będzie zerem).

Zapoznaj się z omówioną poniżej klasyfikacją równań kwadratowych na równania kwadratowe zupełne i niezupełne.

R1HOQTCQ1X1NA1

Mając równianie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , za wyrazy $a, b$ i $c$ możemy podstawić dowolne liczby rzeczywiste. Rozpatrzymy kilka interesujących przypadków.

Jeżeli za wyrazy $a, b$ i $c$ podstawimy dowolne liczby różne od zera, otrzymamy równanie kwadratowe zupełne, na przykład weźmy $a = 2, b = \frac{1}{5}, c = \sqrt{11}$ . Wtedy nasze równanie będzie postaci $2 x^{2} + \frac{1}{5} x + \sqrt{11} = 0$ .
Jeśli wyraz $a$ będzie zerem, wtedy nasze równanie nie będzie kwadratowe, na przykład dla $a = 0, b = \frac{1}{5}, c = \sqrt{11}$ równanie przyjmie postać $\frac{1}{5} x + \sqrt{11} = 0$ .
Jeżeli środkowy wyraz będzie zerem, otrzymamy równanie kwadratowe niezupełne, na przykład dla $a = 2, b = 0, c = \sqrt{11}$ równianie przyjmie postać $2 x^{2} + \sqrt{11} = 0$ .
Jeżeli ostatni wyraz będzie zerem, otrzymamy równanie kwadratowe kwadratowe niezupełne, na przykład dla $a = 2, b = \frac{1}{5}, c = 0$ równanie przyjmie postać $2 x^{2} + \frac{1}{5} x = 0$ .
Jeżeli $b$ i $c$ jednocześnie będą zerami, również nasze równanie będzie niezupełne.

Polecenie 2

RE1JD52JT8EOC

Przenieś równania do odpowiednich obszarów. równania kwadratowe niezupełne a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, równa się, zero gdzie a, przecinek, b, nie równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć x, 7. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć x równania kwadratowe niezupełne a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, c, równa się, zero gdzie a, przecinek, c, nie równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć x, 7. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć x równania kwadratowe zupełne Możliwe odpowiedzi: 1. minus, x nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, cztery, 5. nawias, dwa x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 6. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sześć x, 7. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, pięć x, plus, jeden, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, równa się, trzy nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć x

Polecenie 3

W poniższym schemacie przygotuj algorytm przedstawiający klasyfikację równań kwadratowych postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ na równania kwadratowe zupełne i niezupełne.

R13HE71HT8SCV

Przygotuj algorytm w języku PHP przedstawiający klasyfikację równań kwadratowych postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ na równania kwadratowe zupełne i niezupełne.

Przykładowe rozwiązanie.

R16QPUP2DF16C1

Animacja multimedialna

Zapoznaj się ze sposobem rozwiązywania równań kwadratowych niezupełnych. Zwróć uwagę na związek znaków współczynników równania kwadratowego ze znakiem niezerowego pierwiastka równania.

R19N5A36K81EQ

Polecenie 4

Stosując sposób przedstawiony w animacji, rozwiąż równanie ${(x + 2)}^{2} - 7 x - 14 = 0$ .

Zapisz równanie w postaci $(x + 2)^{2} - 7 (x + 2) = 0$ .

$x = - 2, x = 5$

Infografika

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą sposób rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

R1OBC62Z95AAC1

Ilustracja przedstawia rozwiązania trzech równań. Równanie pierwsze. dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, dwa, równa się, zero Rozwiązanie. Zauważmy, że lewa strona równania jest kwadratem różnicy dwóch wyrażeń. Zwiniemy teraz równanie do postaci kwadratu różnicy, otrzymując nawias, trzy x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero. Kwadrat dowolnego wyrażenia jest równy zero, jeżeli to wyrażenie jest równe zero. Możemy zatem uprościć zapis do postaci trzy x, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, równa się, zero. Dodajemy pierwiastek kwadratowy z dwóch do obu stron równania, otrzymując trzy x, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Po podzieleniu obu stron przez trzy, otrzymujemy wynik. x, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka Rozwiązaniem równania jest liczba początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Przykład drugi. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, dziewięć, równa się, zero Rozwiązanie. Przekształcimy równoważnie równanie, aby lewą stronę równania zapisać w postaci kwadratu różnicy. Otrzymujemy początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, cztery, równa się, minus, pięć. Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, pięć. Równanie nie posiada rozwiązania, bo kwadrat dowolnego wyrażenia jest zawsze liczbą nieujemną. Przykład trzeci. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, dwa, równa się, zero Rozwiązanie. Przekształcimy równoważnie równanie, aby lewą stronę równania zapisać jako kwadrat różnicy. Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, cztery, równa się, dwa Otrzymujemy więc nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa. Równanie ma dwa rozwiązania. x, minus, dwa, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka lub x, minus, dwa, równa się, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka . Zatem ostatecznie otrzymujemy, że x, równa się, dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka lub x, równa się, dwa, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka.

Polecenie 5

Rozwiąż równania, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

a) $4 x^{2} + 4 \sqrt{3} x + 3 = 0$

b) $x^{2} - x + 1 = 0$

c) $x^{2} + 6 x + 8 = 0$

a) $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) brak rozwiązań

c) $x = - 4$ , $x = - 2$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

RMJNBNGMBTBJD2

Ćwiczenie 1

R1R1O6SAVHA1L21

Ćwiczenie 2

Połącz w pary stwierdzenie z odpowiadającym mu równaniem. Związek między bokami trójkąta prostokątnego, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Związek między bokami trójkąta prostokątnego, którego długości boków są kolejnymi liczbami parzystymi. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa sto dziewięćdziesiąt cztery. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych jest równa dwieście. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Pole prostokąta jest równe sto czterdzieści trzy cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a jeden bok jest o dwa cm dłuższy od drugiego boku. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście Pole trójkąta jest równe sto czterdzieści trzy cm indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, a wysokość poprowadzona do boku n jest o dwa cm dłuższa od tego boku. Możliwe odpowiedzi: 1. n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 2. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, sto dziewięćdziesiąt cztery, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, n nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, równa się, sto czterdzieści trzy, 4. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, n, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, nawias, n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 6. nawias, dwa n, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, dwa n, plus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwieście

R11UKMGGR4XQ51

Ćwiczenie 3

R1T259NA4FE7R1

Ćwiczenie 4

RLAQSOA2KBBRV2

Ćwiczenie 5

R11UDD51C9BTC2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równanie z odpowiadającym mu rozwiązaniem. cztery, minus, sto x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego dwa, minus, osiemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, sześć, przecinek, sześć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego

RGX6JFP1VKM8F2

Ćwiczenie 7

R1M23R4HZ34FL2

Ćwiczenie 8

R1U2QAT1KT1NO3

Ćwiczenie 9

R1QT9ASCC6DPZ1

Ćwiczenie 10

R1V785SX5F61D2

Ćwiczenie 11

RT1J8BFMC4FQS2

Ćwiczenie 12

R9J7BC18TG48Q2

Ćwiczenie 13

Połącz w pary równanie z odpowiadającym mu rozwiązaniem. cztery x, minus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego x, minus, osiemnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, nawias klamrowy, minus, zero, przecinek, osiem, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. x, należy do, nawias klamrowy, minus, dwadzieścia siedem, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. x, należy do, nawias klamrowy, zero, przecinek, osiemnaście, zamknięcie nawiasu klamrowego

RMQ7V232535TH2

Ćwiczenie 14

R1ZJE3O4BHROF3

Ćwiczenie 15

R1QLMZAQKT6NR1

Ćwiczenie 16

Połącz równanie kwadratowe z pierwiastkami równania. minus, trzy, razy, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego pięć, razy, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego minus, trzy, razy, nawias, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. zbiór pusty, 4. nawias klamrowy, minus, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu klamrowego, 6. nawias klamrowy, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu klamrowego

R1SKKPKE8XQFM1

Ćwiczenie 17

RS6P8NDT79A482

Ćwiczenie 18

R1DZC7EATPHOZ2

Ćwiczenie 19

R7NQR4H3UHB4R2

Ćwiczenie 20

Ułóż etapy rozwiązania równania pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero w odpowiedniej kolejności. Elementy do uszeregowania: 1. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 2. x nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden lub x nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, 3. nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero lub nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, zero, 4. x, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, 5. pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, zero, 6. x, równa się, początek ułamka, minus, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, minus, jeden, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, pięć, minus, jeden, koniec ułamka, 7. nawias kwadratowy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, razy, nawias kwadratowy, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, zero, 8. pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, minus, x, równa się, minus, jeden lub pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka x, plus, x, równa się, jeden, 9. x, równa się, początek ułamka, minus, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, jeden, razy, nawias, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. x, równa się, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka lub x, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka

RRJCSC4T8C6UH3

Ćwiczenie 21

R14C3SOQHNMBH3

Ćwiczenie 22

Słownik

równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$

równania kwadratowe niezupełne

równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$

kwadrat sumy dwóch wyrażeń

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

2. Równania kwadratowe

Równania i nierówności kwadratowe