2. Kwadrat różnicy

RhL9vKyUt6RnM

Poznamy teraz kolejny wzór skróconego mnożenia, który pozwoli na szybką zamianę pewnych iloczynów na sumy algebraiczne. Będziemy też wykonywać dużo trudniejsze zadania, związane z zamianą niektórych sum na iloczyny. Umiejętności te bardzo przydadzą się, gdy będziemy przekształcać wyrażenia algebraiczne.

Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy pozwoli na obliczenie kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, bez konieczności redukcji wyrazów podobnych.

Twoje cele

Poznasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.
Zapiszesz kwadrat różnicy dwóch wyrażeń w postaci sumy.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w obliczeniach arytmetycznych.
Zastosujesz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w przekształceniach algebraicznych.

Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

R4mPF6WY1mFSJ

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a. Kwadrat podzielony jest wewnętrznie na cztery figury za pomocą dwóch prostopadłych względem siebie odcinków. W lewym górnym rogu mamy mały kwadrat o boku o długości a-b. W prawym górnym rogu mamy prostokąt o bokach o długości a-b oraz b. W prawym dolnym rogu mamy większy kwadrat o boku o długości b. W lewym dolnym rogu mamy prostokąt taki sam, jak wcześniej opisany, o bokach o długości a-b oraz b, przy czym pierwszy opisany prostokąt jest ustawiony poziomo, czyli dłuższy bok jest odcinkiem poziomym, a drugi prostokąt jest ustawiony pionowo, czyli krótszy bok jest odcinkiem poziomym. — Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Bok kwadratu ma długość $a$ , zatem $P = a^{2}$ .

Rv9OkpbUMp0jN

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a - b$ , kwadratu o boku długości $b$ , dwóch prostokątów o bokach długości $a - b$ i $b$ .

P = (a - b)^{2} + b (a - b) + b (a - b) + b^{2} = (a - b)^{2} + a b - b^{2} + a b - b^{2} + b^{2}

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

a^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b - b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat różnicy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

$(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

$(a - \sqrt{3})^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2} = a^{2} - 2 \sqrt{3} a + 3$

${(x^{2} - 4)}^{2} = x^{4} - 2 \cdot x^{2} \cdot 4 + 4^{2} = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

$(2 x - 3 a)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 a + (3 a)^{2} = 4 x^{2} - 12 a x + 9 a^{2}$

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat różnicy.

$(x y - 2 \sqrt{3})^{2} = (x y)^{2} - 2 \cdot x y \cdot 2 \sqrt{3} + (2 \sqrt{3})^{2} = x^{2} y^{2} - 4 \sqrt{3} x y + 12$

${(a^{4} x^{3} - 0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} - 2 \cdot a^{4} x^{3} \cdot 0, 1 + (0, 1)^{2} = a^{8} x^{6} - 0, 2 a^{4} x^{3} + 0, 01$

Wykorzystanie wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{3}$ .

$2 (x - 1)^{2} - [(- x + 1) (1 - x) - 2 x] =$

$= 2 (x^{2} - 2 x + 1) - [(1 - x) (1 - x) - 2 x] =$

$= 2 x^{2} - 4 x + 2 - (1 - 2 x + x^{2} - 2 x) = x^{2} + 1$

$(- \sqrt{3})^{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 4.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

RZyauW9VvjoQC

Ilustracja przedstawia działanie, w którym liczby zastąpiono figurami geometrycznymi: kołem i kwadratem. Działanie ma postać: kwadrat do potęgi drugiej odjąć dwa razy kwadrat razy koło dodać koło do kwadratu równa się nawias okrągły kwadrat odjąć koło. Po nawiasie razy następny nawias okrągły, a w nim różnica kwadratu i koła. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

$9 x^{2} - 48 x y + 64 y^{2} = (3 x - 8 y) (3 x - 8 y)$

$3 a^{2} - 18 a c + 27 c^{2} = (\sqrt{3} a - \sqrt{27} c) (\sqrt{3} a - \sqrt{27} c)$

$k^{2} - \sqrt{3} k m + 0, 75 m^{2} = (k - 0, 5 \sqrt{3} m) (k - 0, 5 \sqrt{3} m)$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy można zastosować, obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

$(3 - \sqrt{3})^{2} + 6 \sqrt{3} = 9 - 6 \sqrt{3} + 3 + 6 \sqrt{3} = 12$

$(\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} - {(42 - 8 \sqrt{5})}^{2} = (\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} - (\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} = 0$

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, rozwiązując samodzielnie podane przykłady, a następnie sprawdź ich rozwiązania.

Zapoznaj się z przykładami rozwiązanymi w galerii zdjęć interaktywnych.

RYr1kE69Y0oRi

R1f1FsPmDZkFu

R1KAz8Ht3UwZy

RMS4crWt6CeW1

R1RZiChgWLAGl

RJPnmD7BC2drm

RE20YrpjAUD6z

Polecenie 2

Podaj ilustrację geometryczną wzoru ${(x - 4)}^{2}$ .

R1L4C0Zm9FbPG

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku x podzielony wewnętrznie na dwa różne kwadraty i dwa identyczne prostokąty. Mniejszy kwadrat znjaduje się w górnym prawym rogu i ma wymiary 4 na 4. We wnętrzu małego kwadratu zapisana jest wielkość jego pola, czyli liczba 16. Prostokąt znajdujący się po jego lewej stronie ma wymiary 4 na x-4. We wnętrzu prostokąta znajduje się wzór opisujący jego pole, czyli 4x-4. Poniżej prostokąta znajduje się większy kwadrat wewnętrzny o wymiarach x-4 na x-4. Jest opisany we wnętrzu wzorem określającym jego pole, czyli x-42. Prostokąt po jego lewej stronie nie jest opisany. Wskazuje na niego strzałka, pod którą zapisany jest wzór na pole prostokąta: 4x-4. Pod ilustracją zapisane jest następujące działanie: x-42=x2-8x+16.

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia kwadratów niektórych liczb.

Przykład 6

Aby obliczyć kwadraty liczb $37, 98, 2992$ , zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

37^{2} = {(40 - 3)}^{2} = 40^{2} - 240 + 9 = 1609 - 240 = 1369

98^{2} = (100 - 2)^{2} = 100^{2} - 400 + 4 = 10004 - 400 = 9604

2992^{2} = (3000 - 8)^{2} = 3000^{2} - 16 \cdot 3000 + 8^{2} =

= 9000000 - 48000 + 64 = 8952064

Przykład 7

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych $4 \frac{7}{8}$ , $5 \frac{1}{4}$ .

{(4 \frac{7}{8})}^{2} = {(5 - \frac{1}{8})}^{2} = 5^{2} - \frac{10}{8} + {(\frac{1}{8})}^{2} = 25 - 1 \frac{1}{4} + \frac{1}{64} = 23 \frac{49}{64}

{(5 \frac{1}{4})}^{2} = {(6 - \frac{3}{4})}^{2} = 6^{2} - 9 + {(\frac{3}{4})}^{2} = 36 - 9 + \frac{9}{16} = 27 \frac{9}{16}

Przykład 8

Wykażemy, że liczba $K = \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4 \sqrt{2}}$ jest liczbą całkowitą.

Przedstawiamy liczby $11 - 6 \sqrt{2}$ i $6 - 4 \sqrt{2}$ jako kwadraty liczb rzeczywistych i korzystamy z równości $\sqrt{x^{2}} = | x |$ .

11 - 6 \sqrt{2} = 9 - 6 \sqrt{2} + 2 = (3 - \sqrt{2})^{2}

6 - 4 \sqrt{2} = 4 - 4 \sqrt{2} + 2 = (2 - \sqrt{2})^{2}

Stąd:

$\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^{2}} = | 3 - \sqrt{2} |$

$\sqrt{6 - 4 \sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^{2}} = | 2 - \sqrt{2} |$

Zapisujmy wyrażenie określające liczbę $K$ w prostszej postaci.

$K = \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4 \sqrt{2}} = 3 - \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 1$

Liczba $1$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $K$ jest liczbą całkowitą, co należało wykazać.

Wzór $(a - b)^{2}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania.

Przykład 9

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 10 x + 25 = 0$ .

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Stąd:

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Rozwiązaniem równania jest liczba $5$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie.

4 x^{2} - 4 x + 5 = 0

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

4 x^{2} - 4 x + 1 + 4 = 0

{(2 x - 1)}^{2} = - 4

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Wzór $(a - b)^{2}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 11

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K = \frac{18 x^{2} + 8 y^{2} - 24 x y}{6 y - 9 x}$ , gdy $2 y \neq 3 x$ .

Wyłączyliśmy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K = \frac{18 x^{2} + 8 y^{2} - 24 x y}{6 y - 9 x} = \frac{2 (9 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x y)}{3 (2 y - 3 x)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

K = \frac{{2 (3 x - 2 y)}^{2}}{3 (3 x - 2 y)}

Skracamy.

K = \frac{2 {(3 x - 2 y)}^{}}{3}

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 12

Uzasadnimy, że jeśli $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi takimi, że x > y , $x - y = 4$ i $x^{2} + y^{2} = 26$ to $x \cdot y = 5$ . Wartość iloczynu $x \cdot y$ znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy liczb $x$ i $y$ .

{(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Do wzoru podstawiamy: za $x - y$ liczbę 4, za $x^{2} + y^{2}$ liczbę 26.

4^{2} = - 2 x y + 26

Stąd:

2 x y = 10

x y = 5

Zatem $x y = 5$ , co należało udowodnić.

Przykład 13

Wykażemy, że jeśli $a$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba $M = \frac{a^{4}}{4} - \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{2}}{4}$ jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.

Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.

M = \frac{a^{4}}{4} - \frac{a^{3}}{2} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{4} - 2 a^{3} + a^{2}}{4}

W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

M = \frac{a^{4} - 2 a^{3} + a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} (a^{2} - 2 a + 1) = \frac{a^{2}}{4} (a - 1)^{2}

Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.

M = {[\frac{a (a - 1)}{2}]}^{2}

Wykazaliśmy, że liczba $M$ jest kwadratem liczby $\frac{a (a - 1)}{2}$ .

Polecenie 3

Rozwiąż zadania. Odczytaj hasło – imię i nazwisko szesnastowiecznego włoskiego matematyka, który stosował algebrę do rozwiązywania problemów z różnych dziedzin wiedzy.

R1VosVQH8dFJC1

Rozwiąż test jednokrotnego wyboru składający się z dwunastu pytań.

RutLPcjv0u2BV

RVIQpXGmTVWry

RBgxwl8gMGHne

RhV9gjp5NBFUE

R1HSFoltkKu2P

Rk997djINDENz

R1ODrPNIKiJkV

R1Noj7cN6tXkD

R1CVCg8zUcRFI

R1PgGjP1ZMCl0

R119YjqkyyZS5

R15RCYdMQYIAH

Polecenie 4

Zapisz w prostszej postaci wyrażenie $\sqrt{x^{2} + 9 - 6 x} + \sqrt{16 + x^{2} - 8 x} + 2 x$ dla $x \in (- \infty, - 1)$ .

$\sqrt{x^{2} + 9 - 6 x} + \sqrt{16 + x^{2} - 8 x} + 2 x =$

$= | x - 3 | + | x - 4 | + 2 x = - x + 3 - x + 4 + 2 x = 7 - 2 x$

Polecenie 5

Oblicz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy $99^{2} - 98^{2}$ .

${(100 - 1)}^{2} - {(100 - 2)}^{2} = 100^{2} - 200 + 1 - 100^{2} + 400 - 4 = 197$

R1YSrDzNAUVsC1

Ćwiczenie 1

R16BOMxi8eonm1

Ćwiczenie 2

Dopasuj działanie do wyniku. nawias a, minus, dziesięć b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b nawias dziesięć a, minus, b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b nawias, minus, dziesięć a, plus, dziesięć b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b nawias dziesięć a, minus, zero przecinek jeden b zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b, 2. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sto b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwieście a b, 3. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, zero przecinek zero jeden b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a b, 4. sto a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia a b

Rg71wwaxpHIkA2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

R1D6szv8iIPrN

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1dyNXLhNh2XJ

R1RDOoKXJUmVI2

Ćwiczenie 5

R1UpHMPHqygNI2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równe liczby. nawias trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu nawias dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu nawias sześć pierwiastek kwadratowy z siedem koniec pierwiastka, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka nawias dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. sześć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 2. trzydzieści, minus, dwanaście pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, 3. dziewięć, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, 4. dwieście sześćdziesiąt, minus, dwadzieścia cztery pierwiastek kwadratowy z czternaście koniec pierwiastka

R1RlbJLTxAVvh3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wykaż, że suma kwadratu liczby naturalnej parzystej dodatniej i kwadratu liczby o $1$ od niej mniejszej, w dzieleniu przez $4$ daje resztę $1$ .

$2 n$ , gdy $n \in N_{+}$ – liczba parzysta,

$2 n - 1$ – liczba o $1$ mniejsza od liczby $2 n$ ,

$(2 n)^{2}$ – kwadrat liczby $2 n$ ,

$(2 n - 1)^{2}$ – kwadrat liczby o $1$ mniejszej od $2 n$ ,

$(2 n)^{2} + (2 n - 1)^{2} = 4 n^{2} + 4 n^{2} - 4 n + 1 = 8 n^{2} - 4 n + 1 = 4 (2 n^{2} - n) + 1$ .

RuAtCBBRCnGnP1

Ćwiczenie 9

R2xNMzrBPNjEx1

Ćwiczenie 10

R1U9yOO8KZIhQ1

Ćwiczenie 11

R1ZOaseMftEYh2

Ćwiczenie 12

Ricc30vKtS1Kn2

Ćwiczenie 13

Roh0YkaJARDwt2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Wykaż, że wyrażenie $2 x^{2} - 28 x + 100$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartość dodatnią.

2 x^{2} - 28 x + 100 = 2 x^{2} - 28 x + 98 + 2 =

= 2 (x^{2} - 14 x + 49) + 2 = 2 {(x - 7)}^{2} + 2

Wyrażenie $2 {(x - 7)}^{2}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ przyjmuje wartości nieujemne, liczba 2 jest dodatnia.

Czyli:

$2 {(x - 7)}^{2} + 2 > 0$ , stąd $2 x^{2} - 28 x + 100 = 2 {(x - 7)}^{2} + 2 > 0$ , co należało wykazać.

Ćwiczenie 16

Wiadomo, że $x \cdot y = 10$ i $x^{2} + y^{2} = 29$ . Wyznacz $x - y$ .

Do wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy podstawiamy dane liczby.

{(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y

{(x - y)}^{2} = 29 - 2 \cdot 10 = 9

x - y = 3

lub

x - y = - 3

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

1. Kwadrat sumy

3. Różnica kwadratów

2. Kwadrat różnicy

Słownik