1. Nierówności kwadratowe - wprowadzenie - M_R_W10_M5 Nierówności kwadratowe

R6lhIYXOCyG6D

Aby opisać zjawiska generujące dzisiejszy świat, wygodnie jest dysponować narzędziami, które ułatwiają te opisy. Do nich niewątpliwie należą równania i nierówności. W tym materiale poznasz zasadnicze różnice między zbiorem rozwiązań równania kwadratowego i nierówności kwadratowej. Do rozwiązania nierówności kwadratowej wykorzystamy wykres funkcji kwadratowej.

Twoje cele

Wyznaczysz wszystkie argumenty, dla których wartości funkcji są większe (mniejsze) od podanej liczby.
Korzystając z wykresu funkcji kwadratowej, wyznaczysz zbiór rozwiązań nierówności.
Odczytasz z wykresu, dla jakich argumentów funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.

Nierówność kwadratowa

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci:

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , lub $a x^{2} + b x + c < 0$ , lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$ ,

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , dla $a \neq 0$ jest parabola. Wykres funkcji kwadratowej może mieć z osią $X$ dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie posiadać punktów wspólnych. Położenie paraboli w układzie współrzędnych jest uzależnione od współczynnika $a$ oraz liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

Podczas rozwiązywania nierówności kwadratowej pomocne jest odczytywanie z wykresu, dla jakich argumentów odpowiednia funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne, dodatnie, nieujemne lub niedodatnie.

Interpretacja graficzna rozwiązań nierówności kwadratowej $a x^{2} + b x + c > 0$ :

R1bGX9dAIrBYT

Grafika przedstawia interpretacje graficzne rozwiązań nierówności kwadratowej. Wzór rozpatrywanej nierówności kwadratowej: ax^2+bx+c>0. Wymienione zostało 6 przypadków rozwiązań. Każdy z rysunków, które odpowiadają przypadkom znajduje się na układzie współrzędnych, gdzie oś pionowa podpisana jest literą y, a oś pozioma podpisana jest literą x. Przypadek 1: Δ>0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2-4ac, oraz a>0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się po prawej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się pod osią x i jest zaznaczona na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się nad osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈(-∞,x_1 )∪(x_2,+∞).Przypadek 2: Δ>0, x_1=(-b-√Δ)/2a , x_2=(-b+√Δ)/2, Δ=b^2-4ac, oraz a<0. W tym przypadku na osi x zaznaczone zostały dwa punkty x_1 oraz x_2. Punkt x_1 znajduje się po lewej stronie osi y. Punkt x_2 znajduje się na przecięciu osi x oraz y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 oraz x_2. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_1 znajduje się pod osią x i jest zaznaczona kolorem niebieskim. Pomiędzy tymi punktami x_1 i x_2 parabola znajduje się nad osią x i jest zaznaczona na kolor różowy, obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Za punktem x_2 parabola znajduje się pod osią x i ma kolor niebieski. Obok rysunku znajduje się podpis: x∈(x_1,x_2 ). Przypadek 3: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a>0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Część paraboli znajdująca się przed punktem x_0 znajduje się nad osią x i jest zaznaczona kolorem różowym. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Za punktem x_0 parabola również znajduje się nad osią x i ma kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony kolorem niebieskim. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R∖(x_0 ). Przypadek 4: Δ=0, x_0=(-b)/2a oraz a<0. W tym przypadku na osi x zaznaczony został jeden punkt x_0.Punkt x_0 znajduje się po lewej stronie osi y. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Cała parabola znajduje się pod osią x i ma kolor niebieski. Obok rysunku znajduje się podpis: nie ma rozwiązań. Przypadek 5: Δ0. Parabola znajduje się ponad osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Parabola ma ramiona skierowane do góry i kolor różowy. Obszar pomiędzy parabolą a osią x jest zaznaczony na kolor niebieski. Pod rysunkiem znajduje się podpis: x∈R. Przypadek 6: Δ<0 oraz a<0. W tym przypadku cała parabola znajduje się pod osią x i nie ma z nią żadnych punktów wspólnych. Ramiona paraboli są skierowane w dół i ma ona kolor niebieski. Obok rysunku jest napis: nie ma rozwiązań.

Interpretacja graficzna rozwiązań nierówności kwadratowej $a x^{2} + b x + c < 0$ :

RxXddwQ4UJjf7

Przykład 1

Korzystając z wykresu funkcji f rozwiążemy nierówność $f (x) > 0$ .

R14WZudfnzNCT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 i pionową osią y od minus 3 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty x_1 i x_2 oraz parabola. Punkt x_1 ma współrzędne: minus 1, 0. Punkt x_2 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez punkty x_1 i x_2. Parabola jest podpisana literą f.

ParabolaparabolaParabola ma dwa punkty wspólne z osią odciętych - funkcja ma dwa miejsca zerowe $- 1$ i $2$ , czyli $∆ > 0$ . Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się powyżej osi $X$ .

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in (- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 2

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ odczytamy, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich wartości funkcji są ujemne.

R1U5TOdcMgvys

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Parabola przecina poziomą oś w punktach o współrzędnych: 2;0, 3;0.

Miejsca zerowe funkcji $f$ odczytujemy z wykresu funkcji- są to takie argumenty, dla których wartość funkcji jest równa zero.

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ lub $x = 3$

Pod osią $X$ znajdują się takie punkty należące do wykresu funkcji $f$ , których druga współrzędna jest ujemna. Zapisujemy odpowiednią nierówność.

$f (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (2, 3) x^{2} - 5 x + 6 < 0 \Leftrightarrow x \in (2, 3)$

Nad osią $X$ znajdują się takie punkty należące do wykresu funkcji $f$ , których druga współrzędna jest dodatnia.

$f (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty) x^{2} - 5 x + 6 > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 2) \cup (3, \infty)$ .

Przykład 3

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej $g (x) = - (x - 3) (x + 2)$ odczytamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość zero, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich wartości funkcji są ujemne.

R1LXhf5aczVDf

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w dół. Parabola przecina poziomą oś w punktach o współrzędnych: -2;0, 3;0 oraz pionową oś w punkcie o współrzędnych 0;6.

Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji $g$ , czyli pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osią $X$ .

Są to liczby $x = - 2$ , $x = 3$ .

$g (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ lub $x = 3$

Funkcja $g$ przyjmuje wartości dodatnie dla punktów znajdujących się na wykresie funkcji powyżej osi $X$ .

$g (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 2, 3) - (x - 3) (x + 2) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 2, 3)$

Funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne dla takich $x$ , dla których $g (x) < 0$ .

$g (x) = - (x - 3) (x + 2) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

Przykład 4

Korzystając z wykresu funkcji f rozwiążemy nierówność ${(x - 4)}^{2} > 0$ .

RGOkmhaBIThLv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 7 i pionową osią y od minus 2 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt x_0 oraz parabola. Punkt x_0 ma współrzędne: 4, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i jej wierzchołek znajduje się w punkcie x_0. Parabola jest podpisana literą f.

Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe równe $4$ , czyli $∆ = 0$ .

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się powyżej osi $X$ .

Zatem zbiorem rozwiązań nierówności są wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in (- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

Zbiór rozwiązań możemy zapisać również w postaci $x \in ℝ ∖ \{4\}$ .

Przykład 5

Rozwiążemy nierówność $- x^{2} + 4 \leq 0$ , korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji.

RurX2vrt64iGg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do 5. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty x_1 i x_2 oraz parabola. Punkt x_1 ma współrzędne: minus 2, 0. Punkt x_2 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do dołu i przechodzi przez punkty x_1 i x_2. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0, 4. Parabola jest podpisana literą f.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem $a < 0$ .

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe $- 2$ i $2$ , czyli $∆ > 0$ .

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się poniżej osi $X$ wraz z punktami leżącymi na osi $X$ .

Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in (- \infty, - 2⟩ \cup ⟨2, \infty)$ .

Przykład 6

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej $h (x) = x^{2} + 2$ odczytamy, dla jakich argumentów funkcja $h$ przyjmuje wartość zero, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich wartości funkcji są ujemne.

R1UBywT9OAqRt

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Parabola znajduje się tylko w pierwszej i w drugiej ćwiartce i nie przecina osi poziomej. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 0;2.

Wykres funkcji $h$ nie przecina osi $X$ , zatem funkcja nie posiada miejsc zerowych.

$h (x) = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset$

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego $x \in ℝ$ , ponieważ cały wykres funkcji znajduje się powyżej osi $X$ .

$h (x) > 0 \Leftrightarrow x \in ℝ x^{2} + 2 > 0 \Leftrightarrow x \in ℝ$

Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

$h (x) < 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset x^{2} + 2 < 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset$

Przykład 7

Rozwiążemy nierówność $- x^{2} - 4 < 0$ , korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji.

Rl07Cr4KCnzpV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 7 do 1. Na płaszczyźnie zaznaczona jest parabola. Parabola ma ramiona skierowane do dołu. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0, minus 4. Parabola jest podpisana literą f.

Ramiona paraboliparabolaparaboli są skierowane do dołu, zatem $a < 0$ .

Funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych, czyli $∆ < 0$ .

Uwzględniając znak nierówności interesuje nas ten fragment wykresu, który znajduje się poniżej osi $X$ .

Zatem zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że $x \in ℝ$ .

Przykład 8

Korzystając z wykresu funkcji $f$ , obliczymy wartość parametru $m$ i rozwiążemy nierówność ${- x}^{2} + m x - 9 < 0$ .

R1K8SCbSVUh0w

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 7 i pionową osią y od minus 5 do 1. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt x_0 oraz parabola. Punkt x_0 ma współrzędne: 3, 0. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się punkcie x_0. Parabola w całości znajduje się pod osią x, obszar pomiędzy osią x a parabola jest zaznaczony kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.

Z wykresu odczytujemy, że miejscem zerowym funkcji kwadratowej $f (x) = {- x}^{2} + m x - 9$ jest liczba $3$ , natomiast współczynnik $a = - 1$ .

Zatem funkcja kwadratowa ma postać $f (x) = - {(x - 3)}^{2}$ .

Czyli nierówność kwadratowa to $- {(x - 3)}^{2} < 0$ .

Przekształcając równoważnie wzór funkcji otrzymujemy:

$f (x) = - {(x - 3)}^{2} = - (x^{2} - 6 x + 9) = - x^{2} + 6 x - 9$

Z treści zadania wiemy, że nierówność ma postać

${- x}^{2} + m x - 9 < 0$ .

Czyli $m = 6$ .

Polecenie 1

Obejrzyj aplet pokazujący sposoby odczytywania z rysunku wartości dodatnich lub ujemnych funkcji kwadratowej.

Zapoznaj się z opisem apletu pokazującym sposoby odczytywania z rysunku wartości dodatnich lub ujemnych funkcji kwadratowej.

RmZiZz8QshlPe

Polecenie 2

Korzystając z apletu, rozwiąż nierówność.

a) $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ ,

b) $- x^{2} + 5 x > 0$ ,

c) $2 x^{2} - 8 > 0$ ,

d) $3 x^{2} + 1 > 0$ .

a) $x \in (2, 3)$ ,

b) $x \in (0, 5)$ ,

c) $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ ,

d) $x \in ℝ$ .

Rtbal6OlsvQvk1

Ćwiczenie 1

R1Q5XTUKw6eTA1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Mając podany wykres funkcji kwadratowej $f$ jak na poniższym rysunku, odczytaj, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

R1Yi0JyOVZ8Xr

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do trzech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Parabola przecina poziomą oś w punktach o współrzędnych: -2;0, 2;0. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych 0;-4.

R13W2bH9vHu4q

R1OiW0sRHdJSc2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Na podstawie wykresu funkcji $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ określ odpowiedni zbiór rozwiązań dla każdej z danych nierówności.

RpiaLW1dHy5xz

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych: 1;0. Lewe ramię paraboli przcina pionową oś w punkcie o współrzędnych 0;1.

R1GXS2UhpIZjI

RbigjhZLjyu2y2

Ćwiczenie 6

R17SwayzKzaN53

Ćwiczenie 7

R1bdy2fAQ7WCW3

Ćwiczenie 8

Zbiorem rozwiązań nierówności x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, cztery, mniejszy niż, zero jest przedział nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu. Korzystając z informacji w zadaniu, połącz nierówność z odpowiadającym jej zbiorem rozwiązań. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, minus, cztery, mniejszy równy, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, większy niż, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, cztery, mniejszy równy, zero Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, większy niż, minus, cztery Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, nawias, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, 2. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu ostrego, suma zbiorów nawias ostry, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 3. x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, cztery, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu, 4. x, należy do, nawias ostry, minus, jeden, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu ostrego

Ćwiczenie 9

Na rysunku przedstawione jest rozwiązanie nierówności:

R108OGyjSGKxt

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 2 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwa punkty o współrzędnych kolejno: minus 2, 0 i 3, 0. Parabola ma ramiona skierowane do góry i przechodzi przez obydwa punkty. Obszar znajdujący się pod osią x, pomiędzy punktami jest zaznaczona kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.

RLeX6GShIfeLW

Ćwiczenie 10

RQTFszufzD74d1

Rj2GzlEN4KPpK

Ćwiczenie 11

Interpretacja graficzna której nierówności jest przedstawiona na rysunku?

R1NhlGgqA4EJn

Ilustracja przedstawia oś x. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt o współrzędnej minus 2. Parabola ma ramiona skierowane do góry i zaznaczony punkt jest jej wierzchołkiem. Obszar znajdujący się nad osią x, a pod parabolą zaznaczony jest kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.

R2XH72Ak0Pqn8

Ćwiczenie 12

RazOWOavyOcJm

Ćwiczenie 13

Poniższy rysunek jest interpretację geometryczną nierówności:

Rl5wQSHPZtQUs

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa zamalowane punkty o współrzędnych: 0 oraz dwa. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w dół. Obszar znajdujący się nad osią x, pomiędzy punktami jest zaznaczony na niebiesko. Parabola jest podpisana literą f.

R9kwQHX6voGsa

Ćwiczenie 14

R12Q1ISrapRVy21

R11kCTaLYxB2N

Ćwiczenie 15

Przeciągnij w wyznaczone miejsce odpowiednią liczbę.

RuNXtGMRRp6Vk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 6 i pionową osią y od minus 5 do 1. Na płaszczyźnie zaznaczony jest jeden punkt x_0 oraz parabola. Punkt x_0 ma współrzędne: 2, 0. Parabola ma ramiona skierowane do dołu a jej wierzchołek znajduje się punkcie x_0. Parabola w całości znajduje się pod osią x, obszar pomiędzy osią x a parabola jest zaznaczony kolorem niebieskim. Parabola podpisana jest literą f.

R1QGNa5P87OM2

Ćwiczenie 16

Korzystając z rysunku, na którym przedstawiony jest wykres funkcji $f$ , wybierz rozwiązanie nierówności $f (x) \geq 0$ .

RradqIBOdCX18

Ilustracja przedstawia oś x. Na tej osi zaznaczone są dwa zamalowane punkty x_1 i x_2 o współrzędnych kolejno: minus 1 oraz 4. Przez te punkty przechodzi parabola o ramionach skierowanych w górę. Parabola jest podpisana literą f.

R1ANhhfbvNeh5

Słownik

nierówność kwadratowa z niewiadomą x

jest to każda nierówność postaci:

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$

parabola

wykres funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , dla $a \neq 0$

2. Nierówności kwadratowe

M_R_W10_M5 Nierówności kwadratowe

Słownik