4. Przystawanie figur

Z pewnością niejednokrotnie zdarzyło Ci się zachwycać wyglądem pałacowych parkietów, na przykład takich, jak na poniższym rysunku.

Ryx5M3c2vjcWC

Na ilustracji przedstawiono parkiet w ośmiokąty i kwadraty wypełnione wzorami kwiatów.

Zazwyczaj można dostrzec w nich pewną regularność – w szczególności powtarzające się kształty i motywy. Są one także przedmiotem zainteresowania matematyków – to oni, aby uniknąć mówienia o układaniu parkietu, wprowadzili pojęcie parkietażu, czyli pokrycia płaszczyzny (a nawet powierzchni w przestrzeni) przylegającymi do siebie figurami (płytkami), najczęściej w kształcie wielokątów. Możemy mówić o parkietażach foremnych, gdy składają się one z wielokątów foremnych, których jednakowa liczba schodzi się w każdym wierzchołku, albo np. o parkietażach półforemnych, które składają się z różnych wielokątów foremnych o identycznych wierzchołkach.

R1s3TQnqybUwI

Na ilustracji przedstawiono parkiet zbudowany z zielonych sześciokątów, stycznych do siebie bokami.

R1d6bZKylIS2l

Na ilustracji przedstawiono parkiet zbudowany z niebieskich sześciokątów. Do każdego boku sześciokąta znajduje się styczny fioletowy trójkąt równoboczny.

Warto zauważyć, że można ułożyć parkiet (stworzyć parkietaż) pokrywając go motywem w kształcie dowolnego trójkąta. Wystarczy, że pierwszy z trójkątów odbijemy symetrycznie względem środka dowolnego z jego boków – powstaje wówczas równoległobok, który wystarczy odpowiednio przesuwać.

R1YAKOESswG0W

Na ilustracji przedstawiono parkiet w kształcie równoległoboku. Wypełniony jest trójkątami, na przemian niebieskimi i różowymi.

Użyte do powyższego pokrycia wielokąty są trójkątami przystającymi, które gwarantują powtarzalność i niewielką złożoność otrzymanego wzoru. Okazuje się jednak, co pokazują prace Mauritsa Cornelisa Eschera, że powtarzalność (przystawanie) jednego elementu nie musi wcale oznaczać prostoty całego ornamentu.

R2dCiS0rV2hby

Na ilustracji przedstawiono parkiet złożony z przystających do siebie kształtów w kolorze czarnym i białym. Kształt przypomina zwierzę z parą oczu, o czterech odnóżach.

Analizując przykłady zawarte w tym materiale poznasz definicję, przykłady oraz własności figur przystających. Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Figury przystające

R19X5vL6uJXe51

Animacja przedstawia jakie figury możemy nazywać figurami przystającymi.

Animacja przedstawia jakie figury możemy nazywać figurami przystającymi.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R19X5vL6uJXe5

Animacja przedstawia jakie figury możemy nazywać figurami przystającymi.

R1SGdAGx1OfZU1

Animacja przedstawia jak wygląda obraz pewnej figury figury w symetrii osiowej i obraz tej figury w symetrii środkowej.

Animacja przedstawia jak wygląda obraz pewnej figury figury w symetrii osiowej i obraz tej figury w symetrii środkowej.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1SGdAGx1OfZU

Animacja przedstawia jak wygląda obraz pewnej figury figury w symetrii osiowej i obraz tej figury w symetrii środkowej.

Przykłady figur przystających

Ćwiczenie 1

Zastanówmy się, jakie długości muszą mieć promienie dwóch kół, aby te koła były przystające.

R159f5oQaxhsq1

Po lewej stronie ilustracji widzimy niebieskie koło, a po prawej stronie dwa koła współśrodkowe, mniejsze zielone i większe pomarańczowe.

R1CqLQvi88jN5

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Jeśli promienie dwóch kół są równe, to zawsze można znaleźć takie przekształcenie, aby okręgi pokrywały się.

Pokaż odpowiedź

Dwa koła, których promienie są równe są przystające.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawione są odcinki przystające. Zbadaj ich długości.

Wyciągnij wniosek i sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa odcinki, aby były przystające.

Na rysunku przedstawione są odcinki przystające. Co można powiedzieć o ich długości? Wyciągnij wniosek i sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa odcinki, aby były przystające.

REJFwvOC1WeCr1

Rysunek sześciu odcinków przystających. Odcinek pierwszy ma długość 2 cm i jest pionowy, odcinek drugi ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem $30°$, odcinek trzeci ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem $45°$, odcinek czwarty ma długość 2 cm i jest poziomy, odcinek piąty ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem $60°$, odcinek szósty ma długość 2 cm i jest nachylony do poziomu pod kątem $75°$.

R8HE0VkTrpzWi

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Ułożenie odcinków nie ma wpływu na to, że są przystające.

Pokaż odpowiedź

Odcinki przystające przedstawione na rysunku są równej długości. Wynika stąd, że aby dwa odcinki były przystające, to ich długość musi być taka sama.

Ćwiczenie 3

Wskaż odcinki przystające.

RUpEeUSJqLJHU1

Rysunek pięciu odcinków na płaszczyźnie. Odcinek $AB$ jest ukośny i ma długość 6,5 kratki, odcinek $CD$ jest ukośny i ma długość około 4,5 kratki, odcinek $E$ $F$ jest pionowy i ma długość około 4,5 kratki, odcinek $GH$ jest ukośny i ma długość około 4,5 kratki, odcinek $IJ$ jest poziomy i ma długość 6,5 kratki.

R1XITHqx3tmSf

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Porównaj długości odcinków.

Pokaż odpowiedź

Przystające są odcinki $AB$ i $IJ$ oraz $CD$, $EF$ i $GH$.

Ćwiczenie 4

Wskaż pary kątów przystających.

R1G1jqqOnz9zH1

Rysunek trzech par kątów.

R9h2cD48ThraK

(Uzupełnij).

Wskaż pary kątów przystających. Przyjmij, że $\pi$ oznacza kąt $180°$. Pierwszy kąt ma miarę $30°$, drugi kąt ma miarę $60°$, trzeci kąt ma miarę $120°$, czwarty kąt ma miarę $\frac{2·\pi }{3}$, piąty kąt ma miarę $\frac{\pi }{6}$ i szósty kąt ma miarę $\frac{\pi }{3}$.

Pokaż podpowiedź

Kąty przystające są równe.

Pokaż odpowiedź

Pary kątów przystających to: $3$ i $4$, $1$ i $5$ oraz $6$ i $2$.

Ćwiczenie 5

Rysunki przedstawiają pary wielokątów przystających. Porównaj miary kątów i długości boków wielokątów każdej pary. Co zauważasz?

Rax8x7DQCTxJ91

Rysunek trzech par wielokątów przystających. Pierwsza para to dwa takie same dziesięciokąty w kształcie obustronnej strzałki. Jeden dziesięciokąt znajduje się niżej i jest obrócony względem drugiego. Druga para to dwa takie same sześciokąty foremne. Jeden sześciokąt foremny jest obrócony względem drugiego. Trzecia para to dwa takie same sześciokąty. Jeden znajduje się na prawo od drugiego.

Rv51kAblNAZIs

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Zauważ, że figury różnią się tylko położeniem.

Pokaż odpowiedź

Długości odpowiednich boków są równe, miary odpowiednich kątów są równe.

Wielokąty przystające

Definicja: Wielokąty przystające

Wielokąty przystające mają odpowiadające sobie boki równej długości oraz równe miary odpowiadających sobie kątów.

R12Es2jKvGpyK1

Rysunek dwóch przystających pięciokątów o bokach a, b, c, d, e. Między bokami e i a kąt alfa, między bokami a i b kąt beta, między bokami b i c kąt gamma, między bokami c i d kąt delta i między bokami d i e kąt epsilon.

Ćwiczenie 6

Wielokąty na rysunku mają równe, odpowiadające sobie kąty. Zbadaj, czy są przystające.

R1R1EHIxDtpAO1

Rysunek dwóch par wielokątów. W podpunkcie a znadjują się dwa kwadraty o boku długości a i kątach alfa. Drugi kwadrat jest obrócony względem pierwszego. W podpunkcie b znajdują się dwa sześciokąty o bokach długości b. Drugi sześciokąt jest obrócony względem pierwszego.

RoUfDjeBDFijX

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Wielokąty mają równe odpowiadające sobie miary kątów i długości boków.

Pokaż odpowiedź

Wielokąty są przystające.

Przykład 3

Prostokąty $ABCD$ i $DEFG$ są przystające. Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy $26\mathrm{ cm}$. Różnica długości i szerokości prostokąta $DEFG$ jest równa $3\mathrm{ cm}$. Ile wynosi pole prostokąta $ABCD$?

RLBbzP2nSDb7Y1

Rysunek prostokątów A B C D oraz D E F G. Prostokąt D E F G ma boki długości x, x dodać trzy.

Obwody prostokątów przystających są równe, zatem obwód prostokąta $DEFG$ jest równy $26\mathrm{ cm}$.

Oznaczmy: $x$ – szerokość prostokąta $DEFG$ (w $\mathrm{cm}$), a $x+3$ – długość prostokąta $DEFG$ (w $\mathrm{cm}$).

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie, które pozwoli na obliczenie szerokości prostokąta $DEFG$.

$$2\left(x+x+3\right)=26 |:2$$

$$x+x+3=13$$

$$2x+3=13$$

$$2x=13-3$$

$$2x=10 |:2$$

$$x=5 \left(\mathrm{cm}\right)$$.

Obliczamy długość prostokąta $DEFG$: $x+3=5+3=8$.

Pole prostokąta $DEFG$ wynosi

$$5\cdot 8=40 \left({\mathrm{cm}}^2\right)$$.

Pola prostokątów przystających są równe. Pole prostokąta $ABCD$ jest więc równe $40 {\mathrm{cm}}^2$.

Ciekawostka

Z  figur przystających często tworzone są wzory na tapetach, posadzkach czy tkaninach.

R1F2FUkFYap6e1

Rysunek tapety, posadzki i tkaniny. Zauważyć można, że powtarzające się wzory to figury przystające.

Ćwiczenie 8

Narysuj dwa przystające:

Opisz dwa przystające:

1. prostokąty,

2. romby,

3. równoległoboki.

R1AykRKljDElr

RpCOPuV6PxBdv

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Narysuj dwie identyczne figury o wybranych przez siebie wymiarach.

Opisz dwie identyczne figury o wybranych przez siebie wymiarach.

Pokaż przykładową odpowiedź

RGsKsZiPnM950

1. Dwa prostokąty w których długość wynosi $4 \text{cm}$, a szerokość $3 \text{cm}$.

2. Dwa romby, w których dłuższe przekątne mają $8 \text{cm}$, a krótsze przekątne mają $6 \text{cm}$.

3. Dwa równoległoboki, w których dłuższe boki  mają $10 \text{cm}$, a krótsze $9 \text{cm}$. Kąt ostry w obydwóch równoległobokach ma miarę $65°$.

Ćwiczenie 10

Wskaż pary figur przystających.

R1S6X3RNC4Mmy1

Rysunek sześciu pięciokątów foremnych. Pierwszy pięciokąt o boku długości 2 cm, drugi pięciokąt o boku długości 3 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 190 stopni w prawo, trzeci pięciokąt o boku długości 1 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 90 stopni w lewo, czwarty pięciokąt o boku długości 3 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 15 stopni w lewo, piąty pięciokąt o boku długości 1 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 180 stopni w prawo, szósty pięciokąt o boku długości 2 cm obrócony względem pierwszego pięciokąta o 90 stopni w prawo.

RcKK0dE5wsloE

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Porównaj długości odpowiadających sobie boków i miary odpowiadających sobie kątów w wielokątach.

Pokaż odpowiedź

Pary figur przystających to: $1$ i $6$, $2$ i $4$, $3$ i $5$.

Ćwiczenie 11

Zaproponuj sposób podziału kąta na $2$ kąty przystające.

R17Q1xaP8oV7I

Rli6x5EWCAX0w

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Przypomnij sobie, jak nazywała się półprosta dzieląca kąt na dwie równe połowy.

Pokaż odpowiedź

Wystarczy narysować dwusieczną kąta.

R1N11d2YcFX2D1

Rysunek kąta ostrego z poprowadzoną dwusieczną kąta. Rozwiązanie zadania.

Ćwiczenie 17

Narysuj dowolny czworokąt. Skonstruuj odcinek równy sumie przekątnych tego czworokąta.

R1Z495Veu7qZa

Dany jest pewien kwadrat. Chcemy skonstruować kwadrat do niego przystający. Czy wystarczy, że skonstruowany kwadrat będzie miał boki równe bokom podanego kwadratu?

RtzCAc9zrqIr4

(Uzupełnij).

Pokaż podpowiedź

Do konstrukcji odcinków równych wykorzystaj linijkę i cyrkiel.

Zastanów się, czy spełnione będą pozostałe warunki przystawania figur.

Pokaż odpowiedź

R1T6cqjzeHgGO

Tak, ponieważ dowolny kwadrat ma wszystkie kąty proste, więc równe będą zarówno boki jak i kąty.

Ćwiczenie 18

Narysuj dwa dowolne kąty $\alpha$ i $\beta$. Skonstruuj kąt

1. przystający do kąta $\alpha ,$

2. $\alpha +\beta ,$

3. $2\beta .$

R1BmlzFoxmYs2

Podaj przykład kątów $\alpha$ i $\beta$, a następnie odpowiedz na pytania:

1. Jaką miarę będzie miał kąt przystający do kąta $\alpha$?

2. Jaką miarę będzie miał kąt $\alpha +\beta$?

3. Jaką miarę będzie miał kąt $2·\beta$?

Pokaż podpowiedź

Do konstrukcji kątów przystających wykorzystaj linijkę i cyrkiel.

Wybierz jako kąty $\alpha$ i $\beta$ dwie różne wartości, na przykład $20°$ i $40°$.

Pokaż przykładową odpowiedź

RI3nTTdUVfsCr

Niech kąt $\alpha$ ma miarę $20°$, a kąt $\beta$ ma miarę $40°$.

1. Kąt przystający do kąta $\alpha$ ma miarę $20°$.

2. Kąt $\alpha +\beta$ ma miarę $60°$.

3. Kąt $2·\beta$ ma miarę $80°$.

Ćwiczenie 19

Narysuj dowolny siedmiokąt. Skonstruuj kąt przystający do największego kąta narysowanego siedmiokąta.

RIbJp2qaiybzu

Pokaż podpowiedź

Wybierz największy kąt wewnętrzny narysowanego siedmiokąta. Do konstrukcji kąta przystającego wykorzystaj linijkę i cyrkiel.

Pokaż odpowiedź

RNjJqhtYuyf6J

RAxXHePDdMFEg

Ćwiczenie 19

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąty o różnej mierze nie mogą być przystające., 2. Kąty wierzchołkowe są kątami przystającymi., 3. Kąty odpowiadające są kątami przystającymi., 4. Kąty przyległe są kątami przystającymi.

Ćwiczenie 23

Czworokąty na rysunku są przystające. Oblicz miary ich kątów.

R17CVxgA6iYas1

Rysunek dwóch czworokątów przystających ABCD i EFGH. Odpowiadające sobie boki to A i E, B i F, C i G oraz D i H. W pierwszym czworokącie kąt wewnętrzny ABC ma miarę 110 stopni. Kąt o mierze 80 stopni to kąt przyległy do kąta wewnętrznego BCD, leżącego przy tym samym boku, co kąt 110 stopni. W drugim czworokącie zaznaczony kąt o mierze 50 stopni jest wierzchołkowy do kąta wewnętrznego DEF.

RsFQqrlQapX4C

Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Miary tych kątów wynoszą Tu uzupełnij$°$, Tu uzupełnij$°$, Tu uzupełnij$°$, Tu uzupełnij$°$.

Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Miary tych kątów wynoszą Tu uzupełnij$°$, Tu uzupełnij$°$, Tu uzupełnij$°$, Tu uzupełnij$°$.

Informacje do zadań 31, 32, 33

Taras w domu pana Bronka ma kształt taki, jak na rysunku. Przyjmijmy, że długość kratki jest równa $0,5 \mathrm{m}$.

RNnlzUISHBBwz1

Rysunek figury podzielonej na małe kwadraty. Figura złożona z trapezu prostokątnego o podstawach równych 11 i 20 kratek i wysokości 9 kratek oraz z prostokąta o wymiarach równych 4 i 8 kratek. Prostokąt przylega swoim dłuższym bokiem do dłuższej podstawy trapezu tak, że jego krótszy bok i pionowe ramię trapezu znajdują się w jednej linii.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.