Dotarcie do idealnego prawa gazowego

Ponad trzy stulecia temu naukowcy przeprowadzali eksperymenty, aby sprawdzić, jak zachowują się gazy, jeśli ich ciśnienie lub temperatura ulegną zmianie. Na podstawie badań sformułowano prawa dla hipotetycznego gazu, zwanego „gazem doskonałymgaz doskonałygazem doskonałym”. Poniżej zapisano wnioski, które wynikają z tych praw.

Prawo Boyle’a

W $\mathrm{1661}$ r. zostało sformułowane prawo Boyle’a. Naukowiec Robert Boyle (czyt. boil) odkrył, że tak długo, jak temperatura gazu pozostaje stała (przemiana izotermicznaprzemiana izotermicznaprzemiana izotermiczna), wzrost ciśnienia gazu powoduje zmniejszenie objętości gazu. Prawo zakłada, że ciśnienie gazu (w stałej temperaturze) jest odwrotnie proporcjonalne do jego objętości – W formie matematycznej można to przedstawić jako:

Gdzie:

• $p$ – ciśnienie;

• $V$ – objętość;

• $~$ – znak oznaczający „jest proporcjonalne do”.

R169OvXKZdU65

Ilustracja przedstawia wykres funkcji ciśnienia od objętości. Przebieg funkcji oznaczonej niebieską krzywą maleje wykładniczo wraz ze wzrostem objętości T=constans.

Wykres funkcji ciśnienia od objętości nazywa się izotermąizotermaizotermą ($T=\mathit{\text{const}}$).

Prawo Charles’a

Jacques Charles (czyt. szarl) zbadał zależność temperatury ($T$) gazu i jego objętości. Prawo sformułowane przez naukowca zakłada, że w izochorycznejprzemiana izochorycznaizochorycznej przemianie stałej masy gazu doskonałego, jego ciśnienie ($p$) zależy wprost proporcjonalnie od temperatury bezwzględnejtemperatura bezwzględnatemperatury bezwzględnej.

R8dsbLLnStzqM

Ilustracja przedstawia wykres funkcji zależności ciśnienia od czasu. Przebieg funkcji oznaczonej niebieską krzywą rośnie proporcjonalnie wraz ze wzrostem czasu - V=constans.

Wykres funkcji ciśnienia od czasu nazywa się izochorąizochoraizochorą ($V=\mathit{\text{const}}$).

Prawo Gay‑Lussaca

Prawo sformułowane przez francuskiego chemika i fizyka Louisa Gay‑Lussaca mówi, że w trakcie przeprowadzania procesu izobarycznego, stosunek objętości do temperatury ($T$) jest stały – objętość ($V$) i temperatura są w tym procesie wielkościami proporcjonalnymi.

R1dsGzYCA0uvc

Ilustracja przedstawia wykres funkcji objętości od czasu. Przebieg funkcji oznaczonej niebieską krzywą rośnie proporcjonalnie wraz ze wzrostem czasu p=constans.

Wykres funkcji objętości od czasu nazywamy izobarąizobaraizobarą ($p=\mathit{\text{const}}$).

Równanie Clapeyrona (równanie stanu gazu doskonałego)

jest kombinacją wszystkich omówionych praw gazowych:

Gdzie:

• $p$ – ciśnienie gazu;

• $V$ – objętość;

• $n$ – liczba moli gazu;

• $T$ – temperatura bezwzględna (w Kelwinach);

• $R$ – stała gazowa; $\mathrm{8,3143}·{10}^3 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}·\mathrm{mol}}=\mathrm{83,14} \frac{\mathrm{hPa}·{\mathrm{dm}}^3}{\mathrm{mol}·\mathrm{K}}$.

W obliczeniach należy zwrócić uwagę na warunki, w jakich znajduje się gaz (warunki standardowe dla gazówwarunki standardowe dla gazówwarunki standardowe dla gazów albo warunki normalnewarunki normalnewarunki normalne).

Do przeliczenia temperatury ($T$) wyrażonej w stopniach Celsjusza ($°\mathrm{C}$) na wyrażoną w kelwinach ($\mathrm{K}$), należy posługiwać się zależnością:

Symulacja 1

Zapoznaj się z symulacją, która ilustruje równanie Clapeyrona oraz zmiany parametrów układu. Zwróć uwagę, że poruszające się w zamkniętych pojemnikach kulki prezentują model cząsteczek gazu doskonałego, natomiast kształt cząsteczek gazów rzeczywistych może różnić się od zaprezentowanego poniżej. 
Za pomocą suwaków dołączonych do wykresów zmieniaj parametry układu, a następnie odpowiedz na pytania zamieszczone pod symulacją.

RGun9Z8NZGTaF

W górnej części ekranu, pośrodku pojawia się równanie klapejrona. Po najechaniu myszką na odpowiedni symbol wzoru, wyświetla się wyjaśnienie.Równanie klapejrona pe razy fał równa się en razy er razy teWyjaśnienie symboli równania klapejronaPe – ciśnienie gazuFał - objętość En – liczba moli gazuEr – temperatura bezwzględnaTe – temperatura gazuPoniżej w symulacji umieszczone są dwa układy współrzędnych, na których rysowane są funkcje: ciśnienia od objętości oraz objętości od temperatury. Funkcje są będą wykreślane poprzez zmianę odpowiednich parametrów. Na wykresie funkcji ciśnienia od objętości temperatura jest wartością stałą. Na wykresie funkcji objętości od temperatury ciśnienie jest wartością stałą.Obok każdego z wykresów przedstawiono zbiorniki z gazem. Zbiorniki mają tłok zmieniający objętość gazu oraz palnik mogący zmienić temperaturę gazu.Na wykresie funkcji ciśnienia od objętości za pomocą suwaka można wybrać objętość. Wraz ze wzrostem objętości podnosi się tłoczek w zbiorniku z gazem zwiększając objętość gazu. Im większa objętość zadana przez tłoczek tym większą objętość w zbiorniku zajmuje gaz. Palnik jest wyłączony.Na wykresie funkcji objętości od temperatury za pomocą suwaka można zmienić temperaturę układu. Wzrost temperatury symbolizuje rosnący płomień palnika. Wraz ze zwiększaniem temperatury podnosi się tłok zwiększając objętość układu. Im wyższa temperatura, tym szybciej poruszają się cząsteczki gazu w układzie.

W górnej części ekranu, pośrodku pojawia się równanie klapejrona. Po najechaniu myszką na odpowiedni symbol wzoru, wyświetla się wyjaśnienie.Równanie klapejrona pe razy fał równa się en razy er razy teWyjaśnienie symboli równania klapejronaPe – ciśnienie gazuFał - objętość En – liczba moli gazuEr – temperatura bezwzględnaTe – temperatura gazuPoniżej w symulacji umieszczone są dwa układy współrzędnych, na których rysowane są funkcje: ciśnienia od objętości oraz objętości od temperatury. Funkcje są będą wykreślane poprzez zmianę odpowiednich parametrów. Na wykresie funkcji ciśnienia od objętości temperatura jest wartością stałą. Na wykresie funkcji objętości od temperatury ciśnienie jest wartością stałą.Obok każdego z wykresów przedstawiono zbiorniki z gazem. Zbiorniki mają tłok zmieniający objętość gazu oraz palnik mogący zmienić temperaturę gazu.Na wykresie funkcji ciśnienia od objętości za pomocą suwaka można wybrać objętość. Wraz ze wzrostem objętości podnosi się tłoczek w zbiorniku z gazem zwiększając objętość gazu. Im większa objętość zadana przez tłoczek tym większą objętość w zbiorniku zajmuje gaz. Palnik jest wyłączony.Na wykresie funkcji objętości od temperatury za pomocą suwaka można zmienić temperaturę układu. Wzrost temperatury symbolizuje rosnący płomień palnika. Wraz ze zwiększaniem temperatury podnosi się tłok zwiększając objętość układu. Im wyższa temperatura, tym szybciej poruszają się cząsteczki gazu w układzie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8H417D2S

Podpowiedźwhite

Podpowiedź

Pamiętaj, że równanie Clapeyrona stosowane jest w obliczeniach dotyczących różnych przemian gazowych, gdy gaz zmienia swoją objętość, ciśnienie lub temperaturę. Ponadto, po przekształceniu oraz przy założeniu stałych warunków, równanie Clapeyrona pozwala na wyznaczenie wielu różnych wielkości, takich jak:

• liczba moli (n)

  $$\mathrm{n}=\frac{\mathrm{pV}}{\mathrm{RT}}$$

• masa (m)

  $$\mathrm{m}=\frac{\mathrm{MpV}}{\mathrm{RT}}$$

• masa molowa (M)

  $$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{RTm}}{\mathrm{pV}}$$

• gęstość (d)

  $$\mathrm{d}=\frac{\mathrm{Mp}}{\mathrm{RT}}$$

• objętość (V)

  $$\mathrm{V}=\frac{\mathrm{nRT}}{p}$$

• ciśnienie (p)

  $$\mathrm{p}=\frac{\mathrm{nRT}}{V}$$

• temperatura bezwzględna (T)

  $$\mathrm{T}=\frac{\mathrm{pV}}{\mathrm{nR}}$$

  Uwaga! Pamiętaj, że temperatura bezwzględna wyrażona jest w Kelwinach. W codziennym życiu nie posługujemy się tą jednostką, w związku z czym odczytaną z termometru temperaturę (wyrażoną w stopniach Celsjusza) należy odpowiednie przeliczyć:

  $$T\left[\mathrm{K}\right]=t\left[°\mathrm{C}\right]+\mathrm{273,16}$$

Równanie Clapeyrona (równanie stanu gazu doskonałego)

jest kombinacją wszystkich omówionych praw gazowych:

$$pV=nRT$$

Gdzie:

• $p$ – ciśnienie gazu;

• $V$ – objętość;

• $n$ – liczba moli gazu;

• $T$ – temperatura bezwzględna (w Kelwinach);

• $R$ – stała gazowa; $\mathrm{8,3143}·{10}^3 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}·\mathrm{mol}}=\mathrm{83,14} \frac{\mathrm{hPa}·{\mathrm{dm}}^3}{\mathrm{mol}·\mathrm{K}}$.

Polecenie 1

R4D7P8k0lddAH

(Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

Należy wykorzystać równanie Clapeyrona, które mówi:

$$pV=nRT$$

Po przekształceniu:

$$p=\frac{nRT}{V}$$

Nasze dane:

$$V=\mathrm{98,4} {\mathrm{dm}}^3=\mathrm{98,4}·{10}^{-3} {\mathrm{m}}^3$$

$$n=\mathrm{3,93} \text{mole}$$

$$T=\left(24+273\right) \mathrm{K}=297 \mathrm{K}$$

$$R=\mathrm{8,31} \mathrm{Pa}·{\mathrm{m}}^3·{\mathrm{K}}^{-1}·{\mathrm{mol}}^{-1}$$

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

$$p=\frac{\left(\mathrm{3,93} \mathrm{mole}\right)·\left(\mathrm{8,31} \mathrm{Pa}·{\mathrm{m}}^3·{\mathrm{K}}^{-1}·{\mathrm{mol}}^{-1}\right)·\left(297 \mathrm{K}\right)}{\mathrm{98,4}·{10}^{-3} {\mathrm{m}}^3}=\mathrm{9,86}·{10}^4 \mathrm{Pa}$$

Ciśnienie gazu wynosi $\mathrm{9,86}·{10}^4 \mathrm{Pa}$.

Jak wyprowadzić prawa gazowe z równania stanu gazu doskonałego?

Równanie Clapeyrona stosuje się, gdy gaz zmienia swoją objętość, ciśnienie lub temperaturę. Pozwala ono obliczać te wielkości fizyczne w różnych przemianach gazowych.  Przekształcając równanie Clapeyrona, możemy również wyznaczyć wielkości w stałych warunkach:

R1GnCGDa4Egj5

Schemat. W centrum schematu znajduje się zielone koło z równaniem Clapeyrona o wzorze: pV=nRT. Wokół koła umieszczone są rozgałęzienia w postaci białych prostokątów, w których wpisane są wielkości i wzory na ich wyliczenie. Wzory są następujące: 1. liczba moli (n), wzór: $n=\frac{pV}{RT}$; masa (m), wzór: $m=\frac{MpV}{RT}$; masa molowa (M), wzór: $M=\frac{RTm}{pV}$; gęstość (d), wzór: $d=\frac{Mp}{RT}$; objętość (V), wzór: $V=\frac{nRT}{p}$; ciśnienie (p), wzór: $p=\frac{nRT}{V}$; temperatura (T), wzór: $T=\frac{pV}{nR}$.

Mamy początkowe wartości dla stanu gazu:

W innych warunkach, kiedy zmieniamy stan gazu, liczba cząsteczek/atomów nie zmienia się w trakcie przemiany ($n=\mathit{\text{const}}$).

Gdy ciśnienie gazu jest stałe ($p=\mathit{\text{const}}$), otrzymujemy:

Dzielimy dwie strony równania przez $p$ i dotarliśmy do prawa Gay‑Lussaca:

Zastosowanie równania gazu doskonałego (równanie Clapeyrona)

Spójrz na poniższe problemy, aby zapoznać się z różnymi przykładami zastosowań równania Clapeyrona. Najpierw spróbuj rozwiązać je samodzielnie, a jeśli potrzebujesz pomocy – rozwiązania są ukryte tuż pod nimi.