1. Środkowe w trójkącie

R1Q9ZLG4FHXZ6

Narysuj na kartonie dowolny trójkąt.
Wyznacz punkt przecięcia dwóch środkowych tego trójkąta. Uwaga! Dla większej dokładności skonstruuj środki dwóch boków.
Wytnij starannie narysowany trójkąt.
Spróbuj ustawić ten trójkąt na czubku ołówka lub długopisu, tak aby czubek podpierał trójkąt w punkcie przecięcia środkowych.
Jeśli wykonałeś dokładnie to zadanie, trójkąt powinien utrzymać się w poziomie.

Punkt przecięcia środkowych trójkąta, ze względu na analogie fizyczne, nazywany jest środkiem ciężkości (barycentrum) tego trójkąta.

Twoje cele

Poznasz własności środkowych w trójkącie i w jakiej proporcji dzieli je punkt przecięcia oraz gdzie leży i jakie ma własności środek ciężkości trójkąta.
Poznasz własności pól trójkątów wyznaczonych przez środkowe w trójkącie.
Wyznaczysz współrzędne środka ciężkości trójkąta, w którym podane są współrzędne wierzchołków.
Zastosujesz własności środkowych trójkąta w problemach praktycznych i zagadnieniach matematycznych.

Narysujmy dowolny trójkąt i wyznaczmy w nim środek każdego z boków. Połączmy każdy ze środków boku z przeciwległym wierzchołkiem. Omówimy własności tych odcinków i punktu ich przecięcia.

R1ADEUJAU9ODA

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka A, poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku C B. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku A C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku A B.

środkowa trójkąta

Definicja: środkowa trójkąta

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Oczywiście w każdym trójkącie są trzy środkowe, zaznaczone na rysunku kolorami.

o środkowej

Twierdzenie: o środkowej

Dowolna środkowa trójkątaśrodkowa trójkątaśrodkowa trójkąta dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Dowód

Weźmy dowolną środkową trójkąta $A B C$ , na przykład $C E$ . Wtedy trójkąty $A C E$ i $B C E$ mają wspólną wysokość i podstawy równej długości, więc mają równe pola.

Przykład 1

Na rysunku na przedłużeniu boku $A B$ zaznaczono punkt $A^{'}$ taki, że $|A B| = |A^{'} B|$ .

RJ7JZJ16N1DTU

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C, z kątem rozwartym przy wierzchołku B. Linią przerywaną przedłużono dwukrotnie podstawę A B trójkąta i zaznaczono punkt A z indeksem prim. Wierzchołek C połączono z wierzchołkiem A. Powstał trójkąt A A prim C.

Pokażemy, że pole trójkąta $A A^{'} C$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Rzeczywiście, z równości $|A B| = |A^{'} B|$ wynika $C B$ jest środkową trójkąta $A A^{'} C$ , więc $P_{A B C} = P_{A^{'} B C}$ . Stąd $P_{A A^{'} C} = P_{A B C} + P_{A^{'} B C} = 2 P_{A B C}$ .

Przykład 2

Pokażemy, że jeśli punkt $P$ leży na środkowej $C D$ trójkąta $A B C$ to pola trójkątów $A P D$ i $B P D$ są równe.

R1PPS6TB8JKMJ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku A B. Z wierzchołka A poprowadzono środkową boku C B do punktu P, leżącego na środkowej C D. Z wierzchołka B poprowadzono środkową boku A C, do punku P.

Rozwiązanie

Ponieważ odcinek $C D$ jest środkową trójkąta $A B C$ , a punkt $P$ leży na tej środkowej, to punkt $D$ jest środkiem boku $A B$ trójkąta $A B P$ . Stąd odcinek $P D$ jest środkową trójkąta $A B P$ . Stąd dzieli on ten trójkąta na dwa trójkąty $A P D$ i $B P D$ o równych polach.

Zanim przejdziemy do głównego twierdzenia w tym materiale, przypomnimy własności linii środkowej w trójkącie, czyli odcinka, który łączy środki dwóch boków w trójkącie.

o linii środkowej w trójkącie

Twierdzenie: o linii środkowej w trójkącie

Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy.

o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie

Twierdzenie: o punkcie przecięcia środkowych w trójkącie

Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i punkt ten dzieli środkowe w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołków trójkąta.

Dowód

Niech $D$ będzie punktem przecięcia środkowych $A A_{1}$ , $B B_{1}$ i $C C_{1}$
w trójkącie $A B C$ .

R1ZNOBCGX8T5N

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu A indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, leżącego na boku B C. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu B indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, leżącego na boku A C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu C indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, leżącego na boku A B. Zaznaczono punkt D w miejscu przecięcia wszystkich środkowych tego trójkąta.

Wyznaczamy na boku $A B$ punkt $E$ taki, że $A_{1} E ∥ C C_{1}$ .

RFN2HBOO374ZS

Z twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{|B E|}{|B C_{1}|} = \frac{|B A_{1}|}{|B C|} = \frac{1}{2}$ , co oznacza, że $|B E| = |E C_{1}|$ . Stąd: $|E C_{1}| = \frac{1}{4} |A B|$ .

Stostując twierdzenie Talesa do trójkąta $A E A_{1}$ i wykorzystując powyższą równość otrzymujemy:

$\frac{|A D|}{|D A_{1}|} = \frac{|A C_{1}|}{|C_{1} E|} = \frac{\frac{1}{2} |A B|}{\frac{1}{4} |A B|} = 2$ .

Zatem: $|A D| = 2 |D A_{1}|$ .

Wnioskujemy stąd, że punkt przecięcia środkowych dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ (od strony wierzchołka). To należało udowodnić.

Przykład 3

Środkowe $B E$ i $C D$ trójkąta $A B C$ są prostopadłe, $|B E| = 12$ , $|C D| = 8$ . Wyznaczymy długości boków trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Popatrzmy na rysunek.

R1SVDK36KG7QF

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku A C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku A B. Środkowe przecinają się pod kątem prostym w punkcie S.

Ponieważ $S$ dzieli środkowe w stosunku $2 : 1$ , to:

$|C S| = \frac{2}{3} \cdot |C D| = \frac{16}{3}$

$|S D| = \frac{1}{3} \cdot |C D| = \frac{8}{3}$

$|B S| = \frac{2}{3} \cdot |B E| = 8$

$|E S| = \frac{1}{3} \cdot |B E| = 4$

Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości odpowiednich odcinków:

${|C E|}^{2} = {(\frac{16}{3})}^{2} + 4^{2} = \frac{400}{9}$ , więc $|C E| = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}$ i stąd $|A C| = 2 |C E| = \frac{40}{3}$

${|B C|}^{2} = {(\frac{16}{3})}^{2} + 8^{2} = \frac{832}{9}$ , więc $|B C| = \sqrt{\frac{832}{9}} = \frac{8 \sqrt{13}}{3}$

$| B D |^{2} = (\frac{8}{3})^{2} + 8^{2} = \frac{640}{9}$ , więc $| B D | = \sqrt{\frac{640}{9}} = \frac{8 \sqrt{10}}{3}$ i stąd $| A B | = 2 \cdot | B D | = \frac{16 \sqrt{10}}{3}$

Kolejne twierdzenie możemy zastosować w sytuacji, gdy znane są współrzędne wierzchołków trójkąta.

o współrzędnych punktu ciężkości trójkąta

Twierdzenie: o współrzędnych punktu ciężkości trójkąta

Jeżeli wierzchołki trójkąta mają współrzędne $A = (a_{1}, a_{2})$ , $B = (b_{1}, b_{2})$ , $C = (c_{1}, c_{2})$ to środek ciężkości $S$ tego trójkąta ma współrzędne $S = (\frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}, \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3})$ .

Przykład 4

Współrzędne wierzchołków trójkąta $A B C$ wynoszą $A = (1, 1)$ , $B = (3, 4)$ , $C = (5, - 2)$ . Wyznaczymy odległość punktu ciężkościśrodek ciężkości trójkątapunktu ciężkości $S$ tego trójkąta od wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ .

Rozwiązanie

Z powyższego twierdzenia $S = (\frac{9}{3}, \frac{3}{3}) = (3, 1)$ .

Odległości od wierzchołków trójkąta są długościami odcinków:

$|A S| = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = 2$

$|B S| = \sqrt{{(3 - 3)}^{2} + {(1 - 4)}^{2}} = 3$

$|C S| = \sqrt{{(3 - 5)}^{2} + (1 - (- 2))^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Symulacja interaktywna

W symulacji interaktywnej widać trójkąt $A B C$ w układzie współrzędnych. Środkowe tego trójkąta są wyróżnione kolorem różowym. Widać również współrzędne punktów $A$ , $B$ , $C$ . Poruszaj punktami $A$ , $B$ , $C$ . Obserwuj gdzie znajduje się środek ciężkości. Czy może on być położony poza trójkątem?

R77NHPBE63BOL

Polecenie 1

Oblicz współrzędne środka ciężkości i porównaj z jego położeniem w układzie współrzędnych.
Ustaw punkty $A$ , $B$ , $C$ tak, by punkt $S$ oraz $A$ leżały na jednej z osi i oblicz stosunek długości odcinków $A S$ i $S F$ .
Ustaw punkty $A$ , $B$ , $C$ tak, by powstał trójkąt prostokątny i porównaj długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka przy kącie prostym z długością przeciwprostokątnej.

Polecenie 2

R19K7OT4E1UV2

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fullpage

Pokaż ćwiczenia:

RHGVAEUJU9DFG1

Ćwiczenie 1

RH7EAS8DZ12XC1

Ćwiczenie 2

RG82EXZET7AFS1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt $A B C$ oraz jego środkowe $A F$ i $C E$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia środkowych, a punkty $D$ i $G$ leżą na odpowiednich środkowych.

R7GAN9RK4TXTU

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku B C. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku A B. Środkowe przecinają się w punkcie S. Z wierzchołka A, oraz B, poprowadzono proste do punktu G, leżącego na odcinku S E. Z punktu B poprowadzono prostą do punktu S. Z punktu C, oraz B, poprowadzono proste do punktu D, leżącego na odcinku S F.

RTMG2FVR71L8N

Ćwiczenie 5

Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego równoramiennego trójkąta prostokątnego ma długość $5$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Niech $a$ oznacza przyprostokątną tego trójkąta. Na rysunku przedstawione są informacje z zadania oraz fakt, że środkowa dzieli bok na połowy.

R18C2DAHSCA6P

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C, z kątem prostym przy wierzchołku C. Bok A C ma długość równą a. Z wierzchołka A poprowadzono środkową o długości pięć do punktu F, leżącego na boku B C.

Pole trójkąta $P = \frac{a^{2}}{2}$ . Wyznaczymy wartość $a^{2}$ z twierdzenia Pitagorasa tzn. $5^{2} = a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{5 a^{2}}{4}$ . Stąd $a^{2} = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20$ .

Zatem $P = \frac{20}{2} = 10$ .

Ćwiczenie 6

Oblicz odległość środka ciężkości w trójkącie prostokątnym od wierzchołka najmniejszego kąta trójkąta, jeśli przyprostokątne mają długości $16$ i $20$ .

Najmniejszy z kątów trójkąta leży naprzeciw najkrótszego boku, czyli środkowa dzieli bok o długości 16. Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy długość środkowej $c^{2} = 8^{2} + 20^{2} = 464$ , więc $c = 4 \sqrt{29}$ . Wtedy odległość środka ciężkości od wierzchołka kąta wynosi $\frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{29} = \frac{8 \sqrt{29}}{3}$ .

Ćwiczenie 7

Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość $a$ . Wyznacz długość wysokości poprowadzonej do podstawy.

Zauważ, że w trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy pokrywa się z wysokością, więc punkt przecięcia środkowych dzieli tę wysokość w stosunku $2 : 1$ .

W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy pokrywa się z wysokością poprowadzoną do podstawy, więc punkt przecięcia środkowych dzieli tę wysokość w stosunku $2 : 1$ . Popatrzmy na rysunek, gdzie zapisane są długości odpowiednich odcinków.

R2EEAJUGA7Q9S

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny A B C. Zaznaczono środkowe boków A C, oraz B C, które przecinają się w punkcie S. Z wierzchołka C poprowadzono linią przerywaną, wysokość trójkąta, przechodzącą przez punkt S. Spodek wysokości leży w punkcie D. Odcinek S D jest równy początek ułamka, h, mianownik, trzy, koniec ułamka, natomiast S B wynosi początek ułamka, dwa a, mianownik, trzy, koniec ułamka.

Z twierdzenia Pitagorasa ${(\frac{h}{3})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = {(\frac{2 a}{3})}^{2}$ , więc $\frac{h^{2}}{9} = \frac{4 a^{2}}{9} - \frac{a^{2}}{4}$ . Stąd $h = \frac{a \sqrt{7}}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Na rysunku $|B M| = |A L|$ . Pokaż, że $C D$ jest środkową trójkąta $A B C$ .

R1M8Q72TUNZ7S

Na ilustracji przedstawiono trójkąt A B C. Na boku A B zaznaczono punkt D. Zaznaczono także punkt M, taki że prosta C M przechodząca przez punkt D, jest prostopadła do odcinka M B, zaznaczonego linią przerywaną. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek prostopadły do prostej C M, w punkcie L.

Zauważ, że odcinki $A L$ i $B M$ są do siebie równoległe i można stosować uogólnione twierdzenie Talesa.

Ponieważ $A L$ i $B M$ są prostopadłe do odcinka $C M$ , to są równoległe do siebie. Z założenia, że $|B M| = |A L|$ i z uogólnienia twierdzenia Talesa wynika, że:

$|A D| : |D B| = |A L| : |B M| = 1$ . Stąd $|A D| = |D B|$ .

Słownik

środkowa trójkąta

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

linia środkowa w trójkącie

odcinek, który łączy środki dwóch boków w trójkącie

środek ciężkości trójkąta

punkt przecięcia środkowych trójkąta

2. Wysokości w trójkącie

Ortocentrum i środek ciężkości w trójkącie