4. Działania na ułamkach algebraicznych

RUQVhvTAIyLad

W przyjętym sposobie zapisu czterech podstawowych działań znak działania wstawiamy pomiędzy wyrażeniami, których dotyczy. Na przykład jeśli dodajemy liczby $4$ i $5$ , zapiszemy to jako $4 + 5$ . W przypadku zapisu zawierającego więcej działań, np. $5 - 7 + 4$ , potrzebna jest jakaś umowa co do kolejności ich wykonania. W naszym przykładzie zgodnie z umową znak odejmowania dotyczy liczb $5$ i $7$ , zaś znak dodawania odnosi się do liczb $(- 2)$ (wynik wykonanego wcześniej odejmowania) i $4$ . Inaczej będzie, gdy np. wprowadzimy nawias i zapiszemy $5 - (7 + 4)$ .

Taki sposób zapisu działań i przyjęta kolejność ich wykonywania to pewien rodzaj umowy. Warto wyszukać np. w internecie wiadomości o dwóch innych metodach zapisu działań: zaprezentowanej w $1924$ roku przez polskiego logika Jana Łukasiewicza notacji polskiej (NP) oraz mającej swoje zastosowania w naukach komputerowych wprowadzonej w połowie $XX$ wieku odwrotnej notacji polskiej (ONP). Te dwa sposoby nie wymagają stosowania nawiasów.

Znamy podstawowe umowy dotyczące stosowania kolejności działań przy wyrażeniach arytmetycznych i algebraicznych. Pokażemy, jak je stosować przy wyrażeniach wymiernych.

Twoje cele

Zastosujesz znane Ci zasady związane z kolejnością wykonywania działań w zadaniach z wyrażeniami wymiernymi.
Zaplanujesz optymalną kolejność obliczeń w przykładach.

Znamy ogólne umowy dotyczące kolejności wykonywania działań na wyrażeniach algebraicznychwyrażenie algebraicznewyrażeniach algebraicznych Przypomnijmy:

Kolejność wykonywania działań

Reguła: Kolejność wykonywania działań

wyrażenia w nawiasach;
potęgowanie i pierwiastkowanie;
mnożenie i dzielenie;
dodawanie i odejmowanie.

Należy również pamiętać o podstawowych własnościach działań na wyrażeniach algebraicznych:

Prawa działań

Reguła: Prawa działań

przemienność dodawania
$A + B = B + A$

przemienność mnożenia
$A \cdot B = B \cdot A$

łączność dodawania
$(A + B) + C = A + (B + C)$

łączność mnożenia
$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$

rozdzielność mnożenia względem dodawania
$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

odejmowanie można zastąpić dodawaniem wyrażenia przeciwnego
$A - B = A + (- B)$

dzielenie można zastąpić mnożeniem przez odwrotność
$A : B = A \cdot \frac{1}{B}$

Wykonując działania na wyrażeniach wymiernych, możemy stosować wszystkie powyższe prawa. Trzeba też pamiętać podczas określania dziedziny wyrażeniadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny wyrażenia o uwzględnieniu założeń wynikających z niemożności dzielenia przez $0$ .

Każdy z poniższych przykładów zawiera zapis rozwiązania. Stosując odpowiednie prawa działań, wiele z nich można rozwiązać innymi metodami – możemy wybrać drogę, która nam najbardziej odpowiada.

Warto przez przeglądnięciem rozwiązania, spróbować wykonać przynajmniej część przykładów samodzielnie, być może inną niż przedstawiona tutaj metodą. Jeśli wszystko wykonamy poprawie, powinniśmy uzyskać zgodne z podanymi wyniki i założenia.

Przykład 1

Obliczmy $(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) \cdot \frac{18 x}{x - 3}$ .

Na początek wykonamy odejmowanie w nawiasie.
$(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}) \cdot \frac{18 x}{x - 3} =$
$= (\frac{x^{2}}{3 x} - \frac{9}{3 x}) \cdot \frac{18 x}{x - 3} =$
$= \frac{x^{2} - 9}{3 x} \cdot \frac{18 x}{x - 3} = (i)$

Mnożenie zaczniemy od zapisania różnicy kwadratów w postaci iloczynu i skracania.

$(i) = \frac{(x + 3) (x - 3)}{3 x} \cdot \frac{18 x}{x - 3} =$
$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{3 x} \cdot \frac{18 x 6}{x - 3} =$
$= 6 (x + 3)$

Określmy założenia, uwzglęniając wszystkie miejsca zerowe mianowników (przed skracaniem): $x \in ℝ ∖ \{0; 3\}$ .

Przykład 2

Obliczmy $(\frac{2 x}{x - 1} + 1) : (x + \frac{2 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} - 1})$ .

Na początek wykonajmy dodawania w nawiasach. Zauważmy, że ułamek w drugim nawiasie można skrócić.

$(\frac{2 x}{x - 1} + 1) : (x + \frac{2 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} - 1}) =$
$= (\frac{2 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x - 1}) : (x + \frac{2 x^{2} (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}) =$
$= \frac{2 x + x - 1}{x - 1} : (\frac{x^{2} - x}{x - 1} + \frac{2 x^{2}}{x - 1}) =$
$= \frac{3 x - 1}{x - 1} : \frac{3 x^{2} - x}{x - 1} = (i)$
Dzielenie możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność. Pamiętajmy o skracaniu tam, gdzie jest to możliwe.

$(i) = \frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x (3 x - 1)} =$
$= \frac{3 x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x (3 x - 1)} =$
$= \frac{1}{x}$

Podajmy potrzebne założenia: $x \in ℝ ∖ \{- 1; 0; \frac{1}{3}; 1\}$ .

Przykład 3

Obliczmy $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{1 + \frac{1}{x + 1}}$ .

Jako pierwsze wykonamy działanie w mianowniku drugiego ułamka.

$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{1 + \frac{1}{x + 1}} =$
$= \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}} =$
$= \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{\frac{x + 2}{x + 1}} = (i)$

Potraktujmy główną kreskę ułamkową w drugim ułamku jako znak dzielenia i zapiszmy to dzielenie jako mnożenie przez odwrotność:

$(i) = \frac{1}{x + 2} + 1 : \frac{x + 2}{x + 1} =$
$= \frac{1}{x + 2} + 1 \cdot \frac{x + 1}{x + 2} =$
$= \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 1}{x + 2} =$
$= \frac{x + 2}{x + 2} =$
$= 1$

Określmy założenia: $x \in ℝ ∖ \{- 2; - 1\}$ .

Przykład 4

Obliczmy $\frac{x^{3} - 9 x + 1}{x^{2} - 9} - (x + 2) \cdot (\frac{x + 3}{x^{2} - x - 6} - \frac{x + 4}{x^{2} - 9})$ .

$\frac{x^{3} - 9 x + 1}{x^{2} - 9} - (x + 2) \cdot (\frac{x + 3}{x^{2} - x - 6} - \frac{x + 4}{x^{2} - 9}) = (i)$

Wykonajmy odejmowanie w ostatnim nawiasie.
$\frac{x + 3}{x^{2} - x - 6} - \frac{x + 4}{x^{2} - 9} =$
$= \frac{x + 3}{(x - 3) (x + 2)} - \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 3)} =$
$= \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)} - \frac{(x + 4) (x + 2)}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)} =$
$= \frac{x^{2} + 6 x + 9}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)} - \frac{x^{2} + 6 x + 8}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)} =$
$= \frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x - 8}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)} =$
$= \frac{1}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)}$

Podstawmy uzyskany wynik.

$(i) = \frac{x^{3} - 9 x + 1}{(x + 3) (x - 3)} - (x + 2) \cdot \frac{1}{(x + 3) (x - 3) (x + 2)} =$
$= \frac{x^{3} - 9 x + 1}{(x + 3) (x - 3)} -$ $(x + 2) \cdot \frac{1}{(x - 3) (x + 3) (x + 2)} =$
$= \frac{x^{3} - 9 x + 1}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} =$
$= \frac{x^{3} - 9 x}{(x + 3) (x - 3)} =$
$= \frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} =$
$= \frac{x (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} =$
$= x$

Określmy założenia: $x \in ℝ ∖ \{- 3; - 2; 3\}$ .

Przykład 5

Obliczmy $7 x + (\frac{x + 7}{x - 7} - x - 7) : \frac{x + 7}{7 x}$ .

Dzielenie możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność.

$7 x + (\frac{x + 7}{x - 7} - x - 7) : \frac{x + 7}{7 x} =$
$= 7 x + (\frac{x + 7}{x - 7} - x - 7) \cdot \frac{7 x}{x + 7} = (i)$

Wykonajmy obliczenia w nawiasie.
$\frac{x + 7}{x - 7} - x - 7 =$
$= \frac{x + 7}{x - 7} - \frac{x + 7}{1} =$
$= \frac{x + 7}{x - 7} - \frac{(x + 7) (x - 7)}{x - 7} =$
$= \frac{(x + 7) (1 - (x - 7))}{x - 7} =$
$= \frac{(x + 7) (1 - x + 7)}{x - 7} =$
$= \frac{(x + 7) (8 - x)}{x - 7}$

Wykorzystajmy uzyskany wynik.

$(i) = 7 x + \frac{(x + 7) (8 - x)}{x - 7} \cdot \frac{7 x}{x + 7} =$
$= 7 x + \frac{(x + 7) (8 - x)}{x - 7} \cdot \frac{7 x}{x + 7} = (i i)$

Możemy teraz wyłączyć $7 x$ przed nawias i dokończyć obliczenia.

$(i i) = 7 x (1 + \frac{8 - x}{x - 7}) =$
$= 7 x (\frac{x - 7}{x - 7} + \frac{8 - x}{x - 7}) =$
$= 7 x (\frac{x - 7 + 8 - x}{x - 7}) =$
$= 7 x \cdot \frac{1}{x - 7} =$
$= \frac{7 x}{x - 7}$

Podajmy na koniec założenia: $x \in ℝ ∖ \{- 7; 0; 7\}$ .

Przykład 6

Obliczmy $(\frac{x}{x + 4} + \frac{4}{x - 4} - \frac{8 x}{x^{2} - 16}) \cdot \frac{x}{x + 4} + (\frac{4}{x - 4} + \frac{8 x}{x^{2} - 16}) \cdot \frac{x - 4}{x + 4}$ .

$(\frac{x}{x + 4} + \frac{4}{x - 4} - \frac{8 x}{x^{2} - 16}) \cdot \frac{x}{x + 4} + (\frac{4}{x - 4} + \frac{8 x}{x^{2} - 16}) \cdot \frac{x - 4}{x + 4} = (i)$

Obliczmy wyrażenie w pierwszym nawiasie:
$\frac{x}{x + 4} + \frac{4}{x - 4} - \frac{8 x}{x^{2} - 16} =$
$= \frac{x (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{8 x}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x^{2} - 4 x + 4 x + 16 - 8 x}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x^{2} - 8 x + 16}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x - 4}{x + 4}$

Obliczmy wyrażenie w drugim nawiasie.
$\frac{4}{x - 4} + \frac{8 x}{x^{2} - 16} =$
$= \frac{4}{x - 4} + \frac{8 x}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{4 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 x}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{4 x + 16}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 x}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{12 x + 16}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{4 (3 x + 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Podstawmy uzyskane wyniki.

$(i) = \frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x}{x + 4} + \frac{4 (3 x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x - 4}{x + 4} = (i i)$

Skorzystajmy teraz z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania wyłączając przed nawias wspólny czynnik $\frac{x - 4}{x + 4}$ .

$(i i) = \frac{x - 4}{x + 4} (\frac{x}{x + 4} + \frac{4 (3 x + 4)}{(x + 4) (x - 4)}) = (i i i)$

Wykonajmy dodawanie w nawiasie:
$\frac{x}{x + 4} + \frac{4 (3 x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{4 (3 x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x^{2} - 4 x + 12 x + 16}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x^{2} + 8 x + 16}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{{(x + 4)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{(x + 4)^{2}}{(x + 4) (x - 4)} =$
$= \frac{x + 4}{x - 4}$

Zakończmy obliczenia, wykorzystując otrzymany wynik.

$(i i i) = \frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{x - 4} =$
$= \frac{x - 4}{x + 4} \cdot \frac{x + 4}{x - 4} =$
$= 1$

Określmy założenia uwzględniając wszystkie etapy obliczeń: $x \in ℝ ∖ \{- 4; 4\}$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawionymi w animacji przykładami mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych. Zwróć uwagę na kolejność wykonywanych czynności.

R1TPwRBAd9eZE

Polecenie 2

Oblicz $\frac{3 x - 6}{2 x - 6} \cdot (\frac{2 x - 6}{x^{2} - 4} - 2 x + 6)$ .
Pamiętaj o odpowiedniej kolejności działań i o skracaniu tam, gdzie to możliwe.
Podaj założenia.

Na początek oblicz wyrażenie w nawiasie.

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 4} - 2 x + 6 =$
$= \frac{2 x - 6}{x^{2} - 4} + \frac{(6 - 2 x) (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4} = (i)$

Po sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika w liczniku można wyłączyć przed nawias czynnik $2 x - 6$ .

$(i) = \frac{(2 x - 6) (1 - x^{2} + 4)}{x^{2} - 4} =$
$= \frac{2 (x - 3) (5 - x^{2})}{(x + 2) (x - 2)}$

$\frac{3 x - 6}{2 x - 6} \cdot (\frac{2 x - 6}{x^{2} - 4} - 2 x + 6) =$
$= \frac{3 (x - 2)}{2 (x - 3)} \cdot \frac{2 (x - 3) (5 - x^{2})}{(x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{3 (x - 2)}{2 (x - 3)} \cdot \frac{2 (x - 3) (5 - x^{2})}{(x + 2) (x - 2)} =$
$= \frac{3 (5 - x^{2})}{x + 2}$

Założenia: $x \in ℝ ∖ \{- 2; 2; 3\}$ .

Polecenie 3

Oblicz $(\frac{2 x + 1}{x + 5} - \frac{10 x + 5}{25 - x^{2}}) : \frac{2 x + 1}{x - 5}$ .
Pamiętaj o odpowiedniej kolejności działań i o skracaniu tam, gdzie to możliwe.
Podaj założenia.

Na początek oblicz wyrażenie w nawiasie. Zauważ, że $25 - x^{2} = - (x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{2 x + 1}{x + 5} - \frac{10 x + 5}{25 - x^{2}} =$
$= \frac{(2 x + 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{10 x + 5}{(x + 5) (x - 5)} =$
$= \frac{2 x^{2} - 9 x - 5 + 10 x + 5}{(x + 5) (x - 5)} =$
$= \frac{2 x^{2} + x}{(x + 5) (x - 5)} =$
$= \frac{x (2 x + 1)}{(x + 5) (x - 5)}$

$(\frac{2 x + 1}{x + 5} - \frac{10 x + 5}{25 - x^{2}}) : \frac{2 x + 1}{x - 5} =$
$= \frac{x (2 x + 1)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{2 x + 1} =$
$= \frac{x (2 x + 1)}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{2 x + 1} =$
$= \frac{x}{x + 5}$

Założenia: $x \in ℝ ∖ \{- 5; - \frac{1}{2}; 5\}$ .

R6ELKvQ0oznEX1

Ćwiczenie 1

RbKirCQq2Nwe81

Ćwiczenie 2

R17hd1AwyYLqP1

Ćwiczenie 3

RM60cAKai74Vb2

Ćwiczenie 4

R1dOVr23DKDzo2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary wyrażenie i jego dziedzinę. nawias, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, minus, cztery, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, plus, pięć, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, podzielić na, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, pięć, średnik, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, liczby rzeczywiste nawias, początek ułamka, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwanaście, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, plus, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, dwadzieścia pięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, pięć, średnik, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, liczby rzeczywiste nawias, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jedenaście x, minus, jeden, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziewięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, podzielić na, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, pięć, średnik, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, liczby rzeczywiste nawias, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, siedem x, plus, dziesięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, siedem x, plus, dziesięć, koniec ułamka, minus, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, początek ułamka, x, plus, dwa, mianownik, x, minus, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, minus, pięć, średnik, minus, dwa, średnik, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias klamrowy, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. x, należy do, liczby rzeczywiste

RMlMBWERgjRiC2

Ćwiczenie 6

R1Wkfr5fJQRpe2

Ćwiczenie 7

R1QcLB2V3czCg3

Ćwiczenie 8

R1PnfSK4Ji7rl3

Ćwiczenie 9

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy

wyrażenie algebraiczne

wyrażenie, które można zapisać w postaci ilorazu wielomianów

3. Mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych

5*. Nierówność Cauchy'ego (DODATEK)

4. Działania na ułamkach algebraicznych

Słownik