Animacja 3D

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie rozwiąż zadania umieszczone w Poleceniach 2 i 3.

R16x9G9D5Qmgb

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D8jZVvjN0

Film przedstawia rozwiązania zadań dotyczących wyznaczania długości odcinków w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym. Ostatnie zadanie jest do samodzielnego rozwiązania.

Polecenie 2

Długość krawędzi bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa wysokości trójkąta w podstawie. Przekątna ściany bocznej ma długość $2 \sqrt{21}$ . Oblicz długość krawędzi podstawy.

RfN0fYEaCoREB

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCA'B'C' tak, że wierzchołek A znajduje się pod wierzchołkiem A prim, wierzchołek B pod wierzchołkiem B prim oraz wierzchołek C pod wierzchołkiem C prim. Krawędź podstawy ma długość a. Długość krawędzi bocznej wynosi x. Poprowadzono przekątną ściany bocznej A B A prim B prim, łączącą wierzchołek A i B prim. Przekątna ma długość dwa pierwiastki z 21. Zaznaczono również wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w dolnej podstawie. Wysokość poprowadzono z wierzchołka A na krawędź B C tak, że spodek wysokości oznaczono przez punkt E. Długość tej wysokości jest również równa x.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku powyżej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A A' B'$ otrzymujemy równanie:

$a^{2} + x^{2} = {(2 \sqrt{21})}^{2}$ .

Jednocześnie wiemy, że wysokość w trójkącie równobocznym o boku $a$ jest równa
$x$ , zatem zachodzi zależność

$x = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$a = \frac{2 x}{\sqrt{3}}$ .

Wstawiając ją do wcześniejszego równania otrzymujemy:

${(\frac{2 x}{\sqrt{3}})}^{2} + x^{2} = 4 \cdot 21$

$\frac{7}{3} x^{2} = 84$

$x^{2} = 36$

$x = 6$

$a = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}$ .

Odpowiedź:

Długość krawędzi podstawy $a = 4 \sqrt{3}$ .

Polecenie 3

Przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ma długość $7 \sqrt{3}$ i jest o $\sqrt{3}$ dłuższa od długości przekątnej prostokąta, który jest połową ściany bocznej (patrz rysunek). Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa.

R1VXN2zLYizqk

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$|B B'| = h$

$|A B| = |B C| = |A C| = a$ .

Z treści zadania wiemy, że $|A B'| = 7 \sqrt{3}$ i $|B' D| = 6 \sqrt{3}$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach $A B B'$ i $B D B'$ otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

$\{\begin{array}{l} a^{2} + h^{2} = {(7 \sqrt{3})}^{2} \\ {(\frac{a}{2})}^{2} + h^{2} = {(6 \sqrt{3})}^{2} \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{l} a^{2} + h^{2} = 147 \\ \frac{a^{2}}{4} + h^{2} = 108 \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} h^{2} = 147 - a^{2} \\ h^{2} = 108 - \frac{a^{2}}{4} \end{cases}$ .

Z powyższego układu wyznaczymy długość krwędzi $a$ .

$147 - a^{2} = 108 - \frac{a^{2}}{4}$

$588 - 4 a^{2} = 432 - a^{2}$

$3 a^{2} = 156$

$a^{2} = 52$

$a = 2 \sqrt{13}$ .

Odpowiedź:

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa $a = 2 \sqrt{13}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się