• Naszkicujesz wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ dla $a\ne 0$.

• Odczytasz własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ dla $a\ne 0$ z wykresu.

• Wyznaczysz asymptoty wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, $x\ne 0$ na podstawie wykresu tej funkcji.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$.

Rozwiązanie

Aby narysować wykres funkcji należy wyznaczyć współrzędne kilku punktów, które należą do jego wykresu, czyli np. wykonać tabelkę:

R1YIvXnIJSvnA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się dwa przez x. Wykres składa się z dwóch nieskończonych łuków. Pierwszy z nich znajduje się z trzeciej ćwiartce i jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do ujemnej półosi OX, a prawe do ujemnej półosi OY. Łuk lewy przechodzi między innymi przez punkty $\left(-2;-1\right), \left(-1;-2\right)$. Drugi z nich znajduje się z pierwszej ćwiartce i również jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do dodatniej półosi OY, a prawe do dodatniej półosi OY. Prawy łuk przechodzi między innymi przez punkty $\left(1;2\right), \left(2;1\right)$.

Odczytamy z wykresu własności funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$.

Rozwiązanie

• Wykresem funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$ jest hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

• Dziedzina funkcji: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Funkcja nie ma miejsc zerowych.

• Wykres funkcji nie przecina osi $Y$.

• Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ;0\right)$, $\left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(0;\infty \right)$.

• $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(-\infty ;0\right)$.

• Funkcja jest różnowartościowa.

• Funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu $\left(0;0\right)$.

• Wykres funkcji jest symetryczny względem prostej $y=x$ oraz $y=-x$.

• Wykres funkcji ma asymptotęasymptotaasymptotę poziomą o równaniu: $y=0$, która pokrywa się z osią $X$.

• Wykres funkcji ma asymptotę pionową o równaniu: $x=0$, która pokrywa się z osią $Y$.

Wiedząc, że do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ należy punkt $\left(\frac{1}{10};5\right)$ wyznaczymy kilka innych punktów, które również należą do wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:

$5=\frac{a}{{\displaystyle \frac{1}{10}}}$

$a=\frac{1}{2}$

czyli wszystkie pary $\left(x;y\right)$, dla których $xy=\frac{1}{2}$ również należą do wykresu tej funkcji. Są to np. $\left(-1;-\frac{1}{2}\right)$; $\left(4;\frac{1}{8}\right)$, $\left(\frac{3}{2};\frac{1}{3}\right)$, $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Inny sposób wyznaczania punktów, które należą do wykresu funkcji:

Jeśli znamy wzór funkcji $f\left(x\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{x}$, to aby obliczyć $f\left(x\right)$ należy pod $x$ podstawić daną wartość i obliczyć. Np.

$f\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{8}}}=\frac{1}{2}·\frac{8}{1}=4$, czyli punkt $\left(\frac{1}{8};4\right)$ też należy do wykresu tej funkcji.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$ wiedząc, że do jej wykresu należy punkt $(\sqrt{7}-\sqrt{2};\sqrt{7}+\sqrt{2})$.

Rozwiązanie

Należy najpierw wyznaczyć współczynnik we wzorze funkcji.

Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru funkcji:

$\sqrt{7}+\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

$(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})=a$

$a=5$

Zatem należy narysować wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$.

Rk4triJBa3uYw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się 5 przez x. Wykres składa się z dwóch nieskończonych łuków. Pierwszy z nich znajduje się z trzeciej ćwiartce i jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do ujemnej półosi OX, a prawe do ujemnej półosi OY. Łuk lewy przechodzi między innymi przez punkty $\left(-5;-1\right), \left(-1;-5\right)$. Drugi z nich znajduje się z pierwszej ćwiartce i również jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do dodatniej półosi OY, a prawe do dodatniej półosi OY. Łuk prawy przechodzi między innymi przez punkty $\left(1;5\right), \left(5;1\right)$.

Wykorzystajmy wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$ do rozwiązania nierówności $\frac{4}{x}<4$.

ReknQYLmznJFl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się 4 przez x oraz zaznaczono linią przerywaną poziomą prostą o równaniu y równa się 4 i zaznaczono kolorowym tłem całą półpłaszczyznę znajdującą się pod tą prostą. Wykres funkcji y równa się 4 przez x składa się z dwóch nieskończonych łuków. Pierwszy z nich znajduje się z trzeciej ćwiartce i jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do ujemnej półosi OX, a prawe do ujemnej półosi OY. Łuk lewy przechodzi między innymi przez punkty $\left(-4;-1\right), \left(-1;-4\right)$. Drugi z nich znajduje się z pierwszej ćwiartce i również jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do dodatniej półosi OY, a prawe do dodatniej półosi OY. Prawy łuk przechodzi między innymi przez punkty $\left(1;4\right), \left(4;1\right)$.

Odpowiedź:

$x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(1;\infty \right)$

Obliczymy pole każdego z prostokątów, którego dwa boki zawarte są w osiach układu współrzędnych, a jeden z wierzchołków należy do wykresu funkcji
$f\left(x\right)=\frac{8}{x}$.

Rozwiązanie

R1NWPfKayv0BZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dziewięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się 8 przez x, kilka punktów i obszarów. Wykres funkcji y równa się 8 przez x składa się z dwóch nieskończonych łuków. Pierwszy z nich znajduje się z trzeciej ćwiartce i jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do ujemnej półosi OX, a prawe do ujemnej półosi OY. Łuk lewy przechodzi między innymi przez punkty $\left(-8;-1\right), \left(-1;-8\right)$. Drugi z nich znajduje się z pierwszej ćwiartce i również jest wybrzuszony w kierunku początku układu współrzędnych. Jego nieskończone ramiona wypłaszczają się: lewe do dodatniej półosi OY, a prawe do dodatniej półosi OY. Łuk prawy przechodzi między innymi przez punkty $\left(1;8\right), \left(8;1\right)$. Punkty zaznaczone na płaszczyźnie to punkty leżące na wykresie funkcji oraz ich rzuty. Punkty te wraz z osiami wyznaczają pewne obszary. Na lewym łuku wykresu zaznaczono punkt $N=\left(-8;-1\right)$. Rzut tego punktu na oś X to punkt $M=\left(-8;0\right)$, a rzut punktu N na oś Y to punkt $L=\left(0;-1\right)$. Punkty te wraz z początkiem układu współrzędnych wyznaczają prostokąt o bokach 8 i 1. Prostokąt jest wewnątrz zamalowany. Na prawym łuku wykresu zaznaczono dwa punkty. Punkt pierwszy to punkt $C=\left(2;4\right)$. Rzut tego punktu na oś X to punkt $F=\left(2;0\right)$, a rzut punktu C na oś Y to punkt $E=\left(0;4\right)$. Wraz z początkiem układu punkty E, F i C wyznaczają prostokąt o bokach 2 i 4, który jest wypełniony kolorem. Drugi punkt zaznaczony na prawym łuku wykresu to punkt $A=\left(4;2\right)$. Rzut tego punktu na oś X to punkt $D=\left(4;0\right)$, a na oś Y to punkt $B=\left(0;2\right)$. Punkty B, A i D wraz z początkiem układu współrzędnych wyznaczają prostokąt o bokach 2 i 4, który jest zamalowany wewnątrz.

Rozwiążmy zadanie dla prostokąta $ABOD$. Zauważmy, że wierzchołek $A$, który należy do wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{8}{x}$ ma współrzędne $A=\left(x;\frac{8}{x}\right)$. Zatem długość jednego boku prostokąta wynosi $\left|OD\right|=\left|x\right|$, a drugiego $\left|AD\right|=\left|\frac{8}{x}\right|$.

Obliczamy pole:

$P=\left|OD\right|·\left|AD\right|=\left|x\right|·\left|\frac{8}{x}\right|=\left|x·\frac{8}{x}\right|=\left|8\right|=8$.

Analogicznie można obliczyć pole prostokąta $CEOF$ oraz $MNLO$

Z powyższych obliczeń wynika, że pole każdego utworzonego w ten sposób prostokąta zawsze jest równe $8$.

Prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera. Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Intuicyjnie można przyjąć, że asymptota wykresu funkcji, to prosta, do której wykres się zbliża, jeśli oddalamy się od początku układu współrzędnych.

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{5}{x}$. Wyznaczymy równania asymptot.

RQ5ww45z5MxGY

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y, od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano hiperbolę o równaniu $y=\frac{5}{x}$, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Wykres funkcji posiada dwie asymptoty – pionową – o równaniu $x=0$ (zielona przerywana linia), oraz poziomą – o równaniu $y=0$ (żółta przerywana linia).

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}$. Wyznaczymy równania asymptot.

R8NdLlKmo6gCb

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y, od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano hiperbolę o równaniu $y=\frac{-3}{x}$, której gałęzie znajdują się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i zmierzają do zera.

Rozwiązanie

Wykres funkcji posiada dwie asymptoty – pionową – o równaniu $x=0$ (zielona przerywana linia), oraz poziomą – o równaniu $y=0$ (żółta przerywana linia).

Wyznaczymy dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, $a\ne 0$.

Rozwiązanie

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

$Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$

Zauważmy, że funkcja nie jest określona dla $x=0$ i właśnie prosta o równaniu $x=0$ jest asymptotą pionową. Podobnie funkcja nie przyjmuje wartości $y=0$ i prosta $y=0$ jest asymptotą poziomą.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x-1}$.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x-1}$ powstaje w wyniku translacjitranslacjatranslacji wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{2}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[1,0\right]$. Przesunięciu ulegają również asymptoty. Zauważmy, że równanie asymptoty poziomej nie zmieni się, natomiast asymptota pionowa będzie miała inne równanie.

Odpowiedź:

Równanie asymptoty pionowej: $x=1$

Równanie asymptoty poziomej: $y=0$

Poniższy rysunek przedstawia opisaną sytuację.

RmGvjvVgx5tDK

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y, od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wykres funkcji $y=\frac{2}{x}$ ma asymptotę pionową o równaniu $x=0$, oraz poziomą $y=0$. Gałęzie hiperboli znajdują się w pierwszej oraz trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji $y=\frac{2}{x-1}$, stanowi przesunięcie pierwszego wykresu o jedną jednostkę w prawo. Stąd, asymptota pionowa funkcji ma równanie $x=1$. Wykres leży w pierwszej, trzeciej, oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Zauważmy, że zmianie uległa dziedzina funkcji, tzn. $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$, oraz przedziały monotoniczności funkcji, funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $\left(-\infty ,1\right)$, $\left(1,\infty \right)$.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}-2$.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}-2$ powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{-1}{x}$ o wektor $\overrightarrow{v}=\left[0,-2\right]$. Przesunięciu ulegają również asymptoty. Zauważmy, że równanie asymptoty pionowej nie zmieni się, natomiast asymptota pozioma będzie miała inne równanie.

Odpowiedź:

Równanie asymptoty pionowej: $x=0$

Równanie asymptoty poziomej: $y=-2$

Poniższy rysunek przedstawia opisaną sytuację.

R1CHejlpTZRMA

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus pięciu do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji $y=-\frac{1}{x}$ ma asymptotę ma asymptotę pionową o równianiu $x=0$, oraz poziomą $y=0$. Gałęzie hiperboli znajdują się w drugiej oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Wykres funkcji $y=-\frac{1}{x}-2$, stanowi przesunięcie wykresu pierwszego o dwie jednostki w dół. Stąd asymptota pozioma funkcji ma równanie $y=-2$. Wykres po przesunięciu znajduje się w drugiej, trzeciej, oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

Zauważmy, że zmianie uległ zbiór wartości funkcji, tzn. $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{3}{x+2}+4$.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{3}{x+2}+4$ powstaje w wyniku translacji wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{3}{x}$ o wektor $\overrightarrow{u}=\left[-2,4\right]$. Przesunięciu ulegają również asymptoty.

Odpowiedź:

Równanie asymptoty pionowej: $x=-2$

Równanie asymptoty poziomej: $y=4$

Poniższy rysunek przedstawia opisaną sytuację.

RIEMFzTKobSkF

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu, oraz z pionową osią Y od minus trzech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Wykres funkcji $y=\frac{3}{x}$ to hiperbola, której gałęzie znajdują się w pierwszej oraz trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Asymptotę pionową tego wykresu opisuje równanie $x=0$, natomiast asymptotę poziomą $y=0$. Wykres funkcji $y=\frac{3}{x+2}+4$ stanowi przesunięcie wykresu pierwszego o dwie jednostki w lewo, oraz cztery jednostki w górę. Stąd asymptotę pionową tego wykresu opisuje równanie $x=-2$, natomiast asymptotę poziomą $y=4$.

Zauważmy, że wraz z przesunięciem wykresu funkcji zmianie uległa dziedzina i zbiór wartości funkcji, więc i asymptoty.

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\right\}$

$Z{W}_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{4\right\}$

zależność między dwiema zmiennymi wielkościami $x$ i $y$, przy której iloczyn $x·y$ jest wielkością stałą, tzn., że istnieje taka stała $a$, dla której $x·y=a$ lub równoważnie $y=\frac{a}{x}$; wielkości $x$ i $y$ nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi

wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, gdzie $a\ne 0$

każda z dwóch rozłącznych krzywych, z których składa się hiperbola

prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera, asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji

przesunięcie każdego punktu figury bądź przestrzeni o tę samą odległość w ustalonym kierunku