Pierwszym krokiem znajdowania przybliżonej wartości danej liczby jest zapisanie jej w takiej postaci, aby występowała we ona wzorze jakiejś znanej, nieskomplikowanej funkcji.

Jeżeli, na przykład, będziemy próbować szacować wartość liczby $\pi$, możemy ją zapisać jako $f\left(\pi \right)=\sin \pi =0$, używając funkcji $f\left(x\right)=\sin x$, a gdy chcemy wyznaczyć przybliżoną wartość pierwiastka z $3$, to możemy podobnie zapisać go jako $g\left(\sqrt{3}\right)={\sqrt{3}}^2-3=0$. Dla wygody dalszego postępowania będziemy chcieli za każdym razem otrzymać równanie, w którym po prawej stronie będzie zero, więc w przypadku $\sqrt{3}$ musieliśmy użyć funkcji kwadratowej, przesuniętej w dół.

Naszym głównym narzędziem będzie twierdzenie Darboux.

Twierdzenie to mówi, że każda funkcja ciągła, określona na przedziale domkniętym, przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy wartościami na swoich brzegach, i taką cechę nazywamy własnością Darboux.

Dowiedzmy się teraz, jak go użyć do przybliżania wartości pewnych liczb.

Metoda bisekcji

Jak już ustaliliśmy wcześniej, będziemy próbować wyznaczać przybliżenie nieznanej liczby $x_0$ poprzez zapisanie jej w postaci $f\left(x_0\right)=0$, gdzie $f$ będzie pewną znaną funkcją ciągłą na przedziale domkniętym $⟨a;b⟩$. Przedział musimy dobrać tak, aby wartości funkcji na jego brzegach miały różne znaki. Niestety, jeżeli są tych samych znaków, musimy poszukać innego przedziału – czasami warto narysować najpierw wykres funkcji $f$, żeby wyznaczyć potrzebny przedział. Załóżmy, że mamy taki przedział, w którym znaki wartości funkcji w punktach $a$ i $b$ są różne. Zdefiniujmy, jak w twierdzeniu Darboux, liczbę $m$ jako mniejszą z wartości $f\left(a\right)$ i $f\left(b\right)$, a $M$ jako większą z nich. Ponieważ wiemy, że znaki wartości $f\left(a\right)$ i $f\left(b\right)$ są różne, wiemy teraz, że $m$ jest liczbą ujemną, a $M$ liczbą dodatnią. Jeżeli jako wartość $h$ przyjmiemy zero, widzimy, że jest to na pewno wartość pomiędzy $m$ i $M$, więc używając twierdzenia Darboux zdobywamy pewność, że istnieje argument $c$ pomiędzy $a$ i $b$ taki, że $f\left(c\right)=0$.

Pokazaliśmy, że na pewno istnieje rozwiązanie naszego równania $f\left(x\right)=0$ pomiędzy $a$ i $b$, teraz spróbujmy przybliżyć jego wartość.

Utworzymy ciąg $\left(x_n\right)$ kolejnych przybliżeń wartości $x_0$. Na początek przyjmijmy, że pierwszym naszym przybliżeniem będzie środek przedziału $⟨a;b⟩$, czyli

$x_1=\frac{a+b}{2}$.

Jeżeli $f\left(x_1\right)=0$, to znaczy, że znaleźliśmy dokładną wartość liczby $x_0$ i możemy zakończyć nasze poszukiwania.

Zazwyczaj jednak tak nie będzie i $f\left(x_1\right)$ będzie albo dodatnie, albo ujemne. Popatrzmy teraz na znaki wartości funkcji $f$ na brzegach, jedna jest dodatnia, druga ujemna. Tym samym w każdej sytuacji albo wartość $f\left(a\right)$ jest takiego samego znaku, jak wartość $f\left(x_1\right)$, a wartość $f\left(b\right)$ jest innego znaku, albo na odwrót.

Możemy zatem zawęzić nasz obszar poszukiwań liczby $x_0$ do połowy poprzedniego przedziału, wybierając jedną z połówek: $a⩽x⩽x_1$ lub $x_1⩽x⩽b$ tak, by znaki wartości funkcji na brzegach nowego, krótszego o połowę przedziału, były różne.

Oznaczmy odpowiednio brzegi nowego przedziału przez $a_1$ i $b_1$, to znaczy

$a_1=\left\{\begin{array}{l}a \mathrm{jeżeli} \mathrm{znaki} \mathrm{wartości} f\left(a\right) \mathrm{i} f\left(x_1\right) \mathrm{są} \mathrm{różne}\\ x_1 \mathrm{w} \mathrm{przeciwnym} \mathrm{przypadku}\end{array}\right.$

oraz

$b_1=\left\{\begin{array}{l}{x}_1 \mathrm{jeżeli} \mathrm{znaki} \mathrm{wartości} f\left(a\right) \mathrm{i} f\left(x_1\right) \mathrm{są} \mathrm{różne}\\ b \mathrm{w} \mathrm{przeciwnym} \mathrm{przypadku}\end{array}\right.$.

Możemy teraz rozpatrzyć tę samą funkcję $f$, co wcześniej, ale na dwukrotnie węższym przedziale, $a_1⩽x⩽b_1$.

Jesteśmy pewni, że znaki wartości funkcji na brzegach są różne, więc ponownie dzięki twierdzeniu Darboux możemy być pewni, że w tym przedziale zawiera się rozwiązanie równania $f\left(x\right)=0$.

Wybierzmy następnie drugie przybliżenie naszej wartości, $x_2$, ponownie jako środek przedziału $⟨a_1; b_1⟩$.

Tę procedurę możemy kontynuować, za każdym razem skracając dwukrotnie długość przeszukiwanego przedziału, tworząc ciąg przybliżeń $x_1$, $x_2$, $x_3$, $\dots$ oraz ciągi lewych i prawych krańców rozpatrywanych przedziałów, $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$ oraz $b_1$, $b_2$, $b_3$, $\dots$ odpowiednio.

W ten sposób poznaliśmy metodę bisekcji (czyli połowienia) poszukiwania kolejnych przybliżeń nieznanych wartości zerowych funkcji.

Przykład 1

Użyjemy metody bisekcji do znalezienia przybliżenia liczby $\frac{1}{3}$.

Rozwiązanie

Zapiszmy tę wartość jako miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)=3x-1$.

Wybierzmy końce rozważanego przedziału: $a=0$ i $b=1$, i sprawdźmy założenia twierdzenia Darboux:

1. funkcja $f$ jest ciągła na przedziale $⟨0; 1⟩$;

2. wartości na końcach mają różne znaki: $f\left(a\right)=-1$, $f\left(b\right)=2$.

Zatem pomiędzy $0$ a $1$ znajduje się poszukiwana wartość.

Pierwszym przybliżeniem będzie środek przedziału, $x_1=0,5$.

Zauważmy, że: $f\left(0,5\right)=0,5$, więc $a_1=a=0$; $b_1=x_1=0,5$ oraz $f\left(a_1\right)=-1$, $f\left(b_1\right)=0,5$.

Drugim przybliżeniem będzie środek obecnie rozważanego przedziału, czyli $x_2=0,25$. Wartość funkcji $f$ dla tego argumentu jest ujemna: $f\left(0,25\right)=-0,25$, więc $a_2=x_2=0,25$ i $b_2=b_1=0,5$. Sprawdźmy znaki na brzegu, $f\left(a_2\right)=-0,25$, $f\left(b_2\right)=0,5$.

Trzecim przybliżeniem będzie środek aktualnie wybranego przedziału, czyli liczba $x_3=\frac{0,25+0,5}{2}=0,375$. Wartość funkcji $f$ dla tego argumentu wynosi $f\left(0,375\right)=0,125$, czyli jest dodatnia. Zatem $a_3=a_2=0,25$ i $b_3=x_3=0,375$.

Proces moglibyśmy kontynuować, ale już po dwóch krokach z wartości pierwszego przybliżenia, równego $0,5$, wyznaczonego z błędem $0,16667$, otrzymaliśmy wartość trzeciego przybliżenia równą $0,375$, czyli wyznaczoną z czterokrotnie mniejszym błędem $0,04167$. Im więcej wykonamy kroków, tym otrzymamy lepsze przybliżenie.

R146D7BD1SC63

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D9LFCDRBP

Proces ten możemy również obejrzeć, używając poniższego apletu.

Proces ten możemy również zaobserwować w poniższym aplecie.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do dwóch. W aplecie przedstawiono pięć przypadków.

Przypadek pierwszy:
Na płaszczyźnie linią przerywaną narysowano ukośną prostą określoną wzorem $y=3x-1$. Na prostej wyróżniono trzy zamalowane punkty: $\left(0;-1\right)$ będący początkiem odcinka, $\left(\frac{1}{3};0\right)$ oraz $\left(1;2\right)$ będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: $a_0$, $x_1$, oraz $b_0$, pod układem znajdują się zapisy $a_0=0$, $f\left(a_0\right)=-1<0$, $b_0=1$, a $f\left(b_0\right)=2>0$ oraz $x_1=\frac{a_0+b_0}{2}=0.5$.

W przypadku drugim na płaszczyźnie również narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem $y=3x-1$. Na prostej wyróżniono trzy punkty: $\left(0;-1\right)$ będący początkiem odcinka, $\left(\frac{1}{3};0\right)$ oraz $(0,5;0,5)$ będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: $a_0$, $x_1$, oraz $b_0$, pod układem znajdują się zapisy $a_0=0$, $f\left(a_0\right)=-1<0$, $b_1=0.5$, a $f\left(b_1\right)=0.5>0$ oraz $x_2=\frac{a_1+b_1}{2}=0.25$.

Przypadek trzeci:

Na płaszczyźnie narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem $y=3x-1$. Na prostej wyróżniono trzy punkty $(0,25;-0,25)$ będący początkiem odcinka, $(0,375;0)$ oraz $(0,5;0,5)$ będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: $a_2$, $x_3$, oraz $b_2$, pod układem znajdują się zapisy $a_2=0.25$, $f\left(a_2\right)=-0.25<0$, $b_2=0.5$, a $f\left(b_2\right)=0.5>0$ oraz $x_3=\frac{a_2+b_2}{2}=0.375$.

W przypadku czwartym na płaszczyźnie narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem $y=3x-1$. Na prostej wyróżniono trzy punkty $(0,25;-0,25)$ będący początkiem odcinka, $(0,3125;0)$ oraz $(0,375;0,125)$ będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: $a_3$, $x_4$, oraz $b_3$, pod układem znajdują się zapisy $a_3=0.25$, $f\left(a_3\right)=-0.25<0$, $b_3=0.375$, a $f\left(b_3\right)=0.125>0$ oraz $x_4=\frac{a_3+b_3}{2}=0.3125$.

W ostatnim piątym przypadku na płaszczyźnie narysowano przerywaną ukośną prostą określoną wzorem $y=3x-1$. Na prostej wyróżniono trzy punkty $(0,3125;-0,0625)$ będący początkiem odcinka, $(0,34375;0)$ oraz $(0,375;0,125)$ będący końcem odcinka. Na osi X zaznaczono punkty: $a_4$, $x_5$, oraz $b_4$, pod układem znajdują się zapisy $a_4=0.3125$, $f\left(a_4\right)=-0.0625<0$, $b_4=0.375$, a $f\left(b_4\right)=0.125>0$ oraz $x_5=\frac{a_4+b_4}{2}=0.34375$.