3. Współczynnik kierunkowy prostej

R10HBzFP5yiW0

Każdą prostą umieszczoną w prostokątnym układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi $Y$ , opisuje się tzw. równaniem kierunkowym $y = a x + b$ . Jego współczynniki $a$ i $b$ mają ścisły związek z położeniem tej prostej. W tej lekcji dowiesz się, czym jest kąt nachylenia prostej do osi $X$ , jaki jest jego związek ze współczynnikiem kierunkowym $a$ prostej oraz w jaki sposób współczynnik kierunkowy decyduje o kierunku prostej.

Twoje cele

Obliczysz współczynnik kierunkowy prostej, znając jej kąt nachylenia do osi $X$ i odwrotnie.
Wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty o danych współrzędnych.
Wyznaczysz równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym, do której należy dany punkt.
Zastosujesz wzór na równanie prostej, do której należą dwa różne punkty.
Zastosujesz poznane wzory do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.

Kąt nachylenia prostej do osi $X$

Najpierw dowiesz się, czym jest kąt nachylenia prostejkąt nachylenia prostejkąt nachylenia prostej do osi $X$ .

Naszkicujmy prostą o równaniu $y = a x + b$ w prostokątnym układzie współrzędnych. Kątem nachylenia prostej do osi $X$ nazwiemy kąt o wierzchołku w punkcie przecięcia tej prostej z osią $X$ . Jedno z ramion zawiera się w osi $X$ i jest zwrócone w tę stronę, w którą odcięte rosną, zaś drugie ramię zawiera się w tej części prostej, która leży nad osią $X$ .

Dodajmy, że na rysunkach poniżej widzimy tzw. kąty skierowane, których pewna właściwość jest dla nas istotna. Otóż kątem skierowanym nazwiemy kąt wykreślony przez dwie uporządkowane półproste, z których jedna (tu część osi $X$ ) jest ramieniem początkowym, a druga ramieniem końcowym (część prostej). Wierzchołkiem tego kąta jest punkt wspólny półprostych, które go tworzą. Kąt taki jest dodatni, jeśli ramię końcowe „przesuwa się” przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jak na rysunku). Kąt skierowany ujemny natomiast jest zakreślony w przeciwną stronę (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Aby określić kąt nachylenia prostej do osi $X$ , będziemy rozpatrywać jedynie kąty skierowane dodatnie.

RC3lhlvJXLXBk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przecina oś X w punkcie minus 2 i dwie dziesiąte zero i oś Y w punkcie 0 3. Prosta tworzy z osią X kąt ostry alfa.

RobCxPrHR3uDN

Jak można zauważyć z powyższych rysunków, kąt ten ma miarę z przedziału od $0^{\circ}$ do $180^{\circ}$ .

R91DNHgMx3SOx

Wszystkie proste nachylone do osi $X$ pod tym samym kątem są równoległe, co możemy zauważyć na powyższym rysunku. Dlatego też w dalszej części rozważymy proste nierównoległe, przechodzące przez początek układu współrzędnych, których wyraz wolny $b$ jest równy zero. To pozwoli nam zauważyć zależność między współczynnikiem kierunkowym prostej a jej nachyleniem do osi $X$ .

Rozważmy prostą o równaniu $y = a x$ i wybierzmy w niej jeden punkt o współrzędnych $(x_{0}, y_{0})$ leżący na tej części prostej, która znajduje się ponad osią $X$ . Wówczas punkt ten spełnia równanie prostej, zatem otrzymujemy równość $y_{0} = a x_{0}$ , która jest równoważna równości $a = \frac{y_{0}}{x_{0}}$ . Z lekcji o funkcjach trygonometrycznych kąta dowolnego wiemy, że $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ to tangens kąta. Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że o ile kąt nachylenia prostejkąt nachylenia prostejkąt nachylenia prostej do osi $X$ nie jest prosty, to jego tangens jest równy współczynnikowi kierunkowemu tej prostej.

Ważne!

Dla prostej o równaniu $y = a x + b$ i kącie $α$ nachylenia do osi $X$ zachodzi związek: $a = tg α$ , gdzie $α \in (0 °, 90 °) \cup (90 °, 180 °)$ .

RqPdbT6qL8b9I

Przykład 1

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych nachylonej do osi $X$ pod kątem:

a) $α = 60 °$

RS5rJSZSr7Rww

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przechodzi przez punkt 0 0 i tworzy z osią X kąt alfa równy 60 stopni.

Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to ma równanie kierunkowe postaci $y = a x$ . Kąt nachylenia tej prostej to $60 °$ , zatem $a = tg 60^{\circ} = \sqrt{3}$ , czyli prosta ma równanie $y = \sqrt{3} x$ .

b) $β = 150 °$

R170vFWOEscLm

Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to ma równanie kierunkowe postaci $y = a x$ . Kąt nachylenia tej prostej to $150 °$ , zatem $a = tg 150 ° = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli prosta ma równanie $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .

Przykład 2

Wyznaczymy kąty nachylenia do osi $X$ prostych o podanych równaniach.

a) $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$

Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej jest dodatni i równy $\frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz jej kąt nachylenia do osi $X$ jest między $0 °$ a $180 °$ , więc szukany kąt jest ostry. Kąt ostry, którego tangens jest równy $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , ma miarę $30 °$ .

b) $y = - \sqrt{3} x - 3$

Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej jest ujemny i równy $- \sqrt{3}$ oraz jej kąt nachylenia do osi $X$ jest między <math”> a $180 °$ , więc szukany kąt jest rozwarty. Kąt rozwarty, którego tangens jest równy $- \sqrt{3}$ , ma miarę $120 °$ .

Rzeczywiście $tg 120 ° = tg (90 ° + 30 °) = - ctg 30 ° = - \sqrt{3}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy równanie prostej nachylonej do osi $X$ pod kątem $135 °$ , która przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej $- 3$ .

RDwWyHUT4reJc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przechodzi przez punkt minus 3 0 i tworzy z osią X kąt równy 135 stopni.

Ponieważ prosta nie jest równoległa do osi $Y$ , wystarczy rozważyć równanie kierunkowe $y = a x + b$ tej prostej. Skorzystamy z interpretacji współczynnika kierunkowego jako tangensa kąta nachylenia. Wynika z niej, że: $a = tg 135 ° = tg (90 ° + 45 °) = - ctg 45 ° = - 1$ . Zatem prosta ma równanie postaci $y = - x + b$ . Wyraz wolny $b$ możemy wyznaczyć, korzystając z faktu, że prosta przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ . Z interpretacji graficznej współczynnika $b$ możemy wywnioskować, że $b = - 3$ . Zatem szukane równanie prostej to $y = - x - 3$ .

Przykład 4

Wyznaczymy równanie prostej nachylonej do osi $X$ pod kątem $150 °$ , która przechodzi przez punkt o współrzędnych $(3, 1)$ .

RVFCVHO30Lm5h

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przechodzi przez punkt cztery i siedem dziesiątych 0 i tworzy z osią X kąt równy 150 stopni. Na prostej zaznaczony jest punkt o współrzędnych 3 1.

Ponieważ prosta nie jest pionowa, wystarczy rozważyć równanie kierunkowe $y = a x + b$ tej prostej. Skorzystamy z interpretacji współczynnika kierunkowego jako tangensa kąta nachylenia.

Wynika z niego, że: $a = tg 150 ° = tg (90 ° + 60 °) = - ctg 60 ° = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zatem prosta ma równanie postaci $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ . Wyraz wolny $b$ możemy wyznaczyć, korzystając z faktu, że prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych $(3, 1)$ . Możemy do równania $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ podstawić $x = 3$ oraz $y = 1$ :

$1 = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 3 + b$

$1 = - \sqrt{3} + b$

$\sqrt{3} + 1 = b$ .

Zatem szukane równanie prostej to $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \sqrt{3} + 1$ .

Zastosujemy teraz interpretację współczynnika kierunkowego prostej do rozwiązania problemu z geometrii analitycznej.

Przykład 5

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta równoramiennego $A B C$ znajdują się na paraboli o równaniu $y = \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2}$ oraz na prostej równoległej do osi $X$ . Punkt $C$ jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli. Wyznacz współrzędne punktów $A$ , $B$ , $C$ jeśli wiadomo, że kąt rozwarty tego trójkąta ma miarę $120 °$ .

R10MtuTElGANx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, która przechodzi przez punkty 0 minus dwa i trzy dziesiąte oraz cztery zero. Prosta tworzy z osią X kąt alfa równy 30 stopni. Na płaszczyźnie narysowana jest także parabola o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie C o współrzędnych 4 0. Na prostej zaznaczone są dwa punkty przecięcia z parabolą: punkt C oraz punkt A na prawym ramieniu paraboli. Na lewym ramieniu paraboli zaznaczony jest również punkt B, który jest symetryczny do punktu A względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli o równaniu X równa się 4. Punkty A, B i C są połączone odcinkami tworzącymi trójkąt równoramienny CAB.

Po pierwsze obliczymy współrzędne punktów szczególnych paraboli: punktów jej przecięcia z osią $X$ oraz wierzchołka:

Z podanego równania możemy odczytać, że jedynym punktem wspólnym paraboli z osią $X$ jest punkt o współrzędnych $(4, 0)$ . Są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli oraz punktu $C$ , który jest wierzchołkiem kąta o mierze $120 °$ .

Po drugie wyznaczymy równanie prostej $A C$ :

Zauważmy, że prosta $A C$ jest nachylona do osi $X$ pod kątem $30 °$ , zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy $a = tg 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Zatem równanie prostej ma postać $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ .
Wyraz wolny $b$ prostej $A C$ możemy wyznaczyć podstawiając do równania $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ współrzędne punktu $C = (4, 0)$ : $0 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 + b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ . Równanie prostej $A C$ to $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Po trzecie wyznaczymy współrzędne punktu $A$ :

Ponieważ punkt $A$ leży i na prostej $A C$ , i na paraboli, więc jego współrzędne możemy wyznaczyć, rozwiązując układ równań $\{\begin{cases} y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \\ y = \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} \end{cases}$ .
Z układu równań wynika równanie: $\frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ , które jest równoważne z równaniem: $3 x^{2} + (- 24 - 4 \sqrt{3}) x + 48 + 16 \sqrt{3} = 0$ .
Obliczymy pierwiastki tego równania: $∆ = {(- 24 - 4 \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (48 + 16 \sqrt{3}) = 48 = {(4 \sqrt{3})}^{2}$ . Pierwiastkami powyższego równania kwadratowego są liczby $x_{1} = \frac{(24 + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3})}{6} = 4$ i $x_{2} = \frac{(24 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3})}{6} = 4 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .
Drugą współrzędną punktu $A$ obliczymy podstawiając $x = 4 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ do równania paraboli: $y = \frac{1}{4} {(4 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 4)}^{2} = \frac{4}{3}$ .
Zatem współrzędne punktów przecięcia prostej $A C$ i paraboli to $C = (4, 0)$ i $A = (4 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3})$ .
Ponieważ punkty $A$ i $B$ są położone symetrycznie względem prostej o równaniu $x = 4$ , więc punkt $B$ ma współrzędne $(4 - \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4}{3})$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem. Zmieniaj suwakiem kąt nachylenia prostej do dodatniej półosi $X$ . Obserwuj zależność między współczynnikiem kierunkowym prostej a tangensem tego kąta. Pamiętaj, że wartości pokazywane przez aplet nie są dokładne (tangens dla większości kątów o miarach wyrażających się liczbą całkowitą jest liczbą niewymierną).

Zapoznaj się z poniższym apletem i poznaj zależność między współczynnikiem kierunkowym a kątem nachylenia prostej do osi $X$ . Zwróć uwagę na położenie prostej w układzie współrzędnych w zależności od wartości tego kąta.

RDmOH0N86bzsy

Polecenie 2

R16jS0s4SLYkV

Na podstawie informacji z poprzedniego polecenia, ustal dla podanych prostych, w jakim przedziale może znajdować się wartość kąta nachylenia prostych do osi odciętych.

Możliwe przedziały dla kąta $α$ : $α \in ⟨ 0 °, 45 °), α \in ⟨ 45 °, 90 °), α \in (90 °, 135 °), α \in ⟨ 135 °, 180 ° ⟩$ .

Równania prostych: $y = - 0, 15 x + 3, y = 0, 2589 x, y = - 285 x + 300, y = 0, 9999 x + 1, y = 20, x = 0$ .

RvhAG0kklanPE

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty

Jeden z aksjomatów geometrii mówi, że przez dwa punkty można przeprowadzić dokładnie jedną prostą. W tej lekcji dowiesz się, jak wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty umieszczone w układzie współrzędnych.

Naszym celem jest wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punktywspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty w układzie współrzędnych. Zauważmy, że jeśli punkty mają równe odcięte (pierwsze współrzędne), to prosta przez nie przechodząca jest równoległa do osi $Y$ , zatem nie można jej opisać równaniem kierunkowym. W dalszej części będziemy rozważać punkty, które mają różne pierwsze współrzędne.

Rozważmy prostą przechodzącą przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Wiemy już, że jej współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta jaki tworzy ta prosta z dodatnią półosią $X$ .

R1JWx2H1gQbU2

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Rysunek składa się głównie z pierwszej ćwiartki układu, na osiach brak współrzędnych liczbowych. Na płaszczyźnie wykreślono ukośną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, nachyloną pod ostrym kątem α do osi X. Na prostej zaznaczono punkt A o współrzędnych xA;yA oraz poprowadzono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obie osie. Wyżej na prostej zaznaczono punkt B o współrzędnych xB;yB. Również zaznaczono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obu osiach. Z punktu A linią przerywaną poprowadzono poziomy odcinek o długości xB-xA. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny o podstawie xB-xA, pionowej przyprostokątnej yB-yA oraz przeciwprostokątnej będącej odcinkiem AB, należącym do prostej.

Z powyższego rysunku wynika, że $tg α = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}$ .

Zatem współczynnik kierunkowy prostejwspółczynnik kierunkowy prostejwspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych tych punktów przez różnicę pierwszych współrzędnych tych punktów.

Przykład 6

Wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A = (2; 3)$ i $B = (- 1; - 2)$ .

Zgodnie z wyprowadzonym powyżej wzorem współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{- 2 - 3}{- 1 - 2} = \frac{- 5}{- 3} = \frac{5}{3}$ .

Przykład 7

Dany jest punkt $A = (2; - 3)$ i $B$ . Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy $\frac{3}{2}$ .

Wyznaczymy współrzędne przykładowych punktów $B$ spełniających warunki zadania.

Niech $B = (x_{B}; y_{B})$ . Na podstawie powyższej zależności możemy zapisać równanie $\frac{y_{B} + 3}{x_{B} - 2} = \frac{3}{2}$ , które po przekształceniu przyjmuje postać $3 x_{B} - 6 = 2 y_{B} + 6$ , co oznacza, że $x_{B} = \frac{2}{3} y_{B} + 4$ .

W poniższej tabelce otrzymaliśmy współrzędne kilku punktów spełniających warunki zadania:

$y_{B}$	$1$	$-1$	$3$	$- 3$
$x_{B} = \frac{2}{3} y_{B} + 4$	$4 \frac{2}{3}$	$3 \frac{1}{3}$	$6$	$2$

Polecenie 3

Przeanalizuj informacje zawarte w infografice i na ich podstawie rozwiąż zadanie.

Rp2qVQ2Ah6PoH1

Infografika składa się z czterech rysunków. Rysunek pierwszy. Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Ilustracja składa się głównie z pierwszej ćwiartki układu, na osiach brak współrzędnych liczbowych. Na płaszczyźnie wykreślono ukośną prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, nachyloną pod ostrym kątem alfa do osi X. Na prostej zaznaczono punkt A o współrzędnych nawias, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, średnik, y indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu oraz poprowadzono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obie osie. Wyżej na prostej zaznaczono punkt B o współrzędnych nawias, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, średnik, y indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Również zaznaczono linią przerywaną rzuty współrzędnych tego punktu na obu osiach. Z punktu A linią przerywaną poprowadzono poziomy odcinek o długości x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego. W ten sposób powstał trójkąt prostokątny o podstawie x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, pionowej przyprostokątnej y indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, minus, y indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego oraz przeciwprostokątnej będącej odcinkiem A B, należącym do prostej. Nad prostą zapisany jest wzór na współczynnik kierunkowy prostej a, równa się, tangens alfa. Oznacza to, że współczynnik kierunkowy prostej jest tangensem kąta nachylenia tej prostej do osi X. Dla podanych i opisanych wcześniej punktów, współczynnik kierunkowy możemy obliczyć ze wzoru: a, równa się, początek ułamka, y indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, minus, y indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, mianownik, x indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego, minus, x indeks dolny, A, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka. Rysunek drugi. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do siedmiu oraz pionową osią Y od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta A B, przy czym współrzędne punktów są następujące: A, równa się, nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu oraz B, równa się, nawias, sześć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Współczynnik kierunkowy prostej wynosi: a, równa się, początek ułamka, pięć, minus, jeden, mianownik, sześć, minus, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, cztery, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się, jeden. Rysunek trzeci. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do siedmiu oraz pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta A B, przy czym współrzędne punktów są następujące: A, równa się, nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu oraz B, równa się, nawias, sześć, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Współczynnik kierunkowy prostej wynosi: a, równa się, początek ułamka, dwa, minus, dwa, mianownik, sześć, minus, jeden, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, zero, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, zero. Rysunek czwarty. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do siedmiu oraz pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta A B, przy czym współrzędne punktów są następujące: A, równa się, nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu oraz B, równa się, nawias, pięć, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Współczynnik kierunkowy prostej wynosi: a, równa się, początek ułamka, minus, trzy, minus, dwa, mianownik, pięć, minus, jeden, koniec ułamka, =- początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka.

Polecenie 4

RqCQJBrcHVbhS

Wyznaczanie równania prostej o poznanych własnościach

RqgbewVOuCxYi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -4 do dziesięć oraz z pionową osią od -4 do cztery. Przez pierwszą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych poprowadzono ukośną prostą y=kx. Jest ona nachylona do osi X pod kątem alfa. Zapisano również informację, że: k=tgα. Zaznaczono punkt w środku układu współrzędnych, przez który przechodzi prosta. Następnie przesunięto ten punkt wektorem x0;y0. Nowy punkt ma współrzędne x0;y0. Przez nowy punkt poprowadzono identyczną prostą równoległą do poprzedniej. Jest ona również nachylona do osi X pod kątem alfa.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że prosta o współczynniku kierunkowym $k$ przechodząca przez punkt o współrzędnych $(x_{0}; y_{0})$ powstaje z prostej o równaniu $y = k \cdot x$ przez przesunięcie (translację) o wektor $[x_{0}; y_{0}]$ .

Przykład 8

Równanie prostej o współczynniku kierunkowym $(- 3)$ przechodzącej przez punkt $(- 3; 2)$ ma postać $y - 2 = - 3 (x - (- 3))$ , co jest równoważne kolejno:

$y - 2 = - 3 (x + 3)$
$y = - 3 (x + 3) + 2$
$y = - 3 x - 9 + 2$
$y = - 3 x - 7$

Przykład 9

Dany jest trójkąt o wierzchołkach w punktach $A = (1; 3)$ , $B = (4; 1)$ , $C = (- 1; - 2)$ . Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez środki boków $A B$ i $B C$ tego trójkąta. Przypomnijmy, że odcinek łączący środki boków $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ jest równoległy do boku $A C$ . Wynika stąd, że prosta przechodząca przez środki boków $A B$ i $B C$ ma taki sam współczynnik kierunkowy jak prosta $A C$ , czyli:
$\frac{- 2 - 3}{- 1 - 1} = \frac{- 5}{- 2} = \frac{5}{2}$ .

Środek boku $A B$ ma współrzędne
$(\frac{4 + 1}{2}; \frac{1 + 3}{2}) = (2, 5; 2)$ .
Zatem szukane równanie ma postać:
$y - 2 = \frac{5}{2} (x - 2, 5)$
$y = \frac{5}{2} x - \frac{25}{4} + 2$
$y = \frac{5}{2} x - \frac{17}{4}$ .

Polecenie 5

Obejrzyj animację i dowiedz się, jak wyznaczyć równania kierunkowej prostej o danym współczynniku kierunkowym, do której należy dany punkt.

Zapoznaj się z opisem animacji i dowiedz się, jak wyznaczyć równania kierunkowej prostej o danym współczynniku kierunkowym, do której należy dany punkt.

RsCaAjtXAZCWg

Polecenie 6

Rozwiąż test.

Re8vGG3NFTJpP

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ jest równy $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$ . Na podstawie wzoru na równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez punkt o danych współrzędnych możemy podać równanie prostej $A B$ wykorzystując współrzędne punktu $A = (x_{A}; y_{A})$

$y = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} \cdot x + y_{A} - \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} \cdot x_{A}$ ,

co zwykle zapisujemy w postaci

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ .

Zwróćmy uwagę, że powyższy wzór obejmuje również przypadek, kiedy prosta $A B$ jest pionowa. Rzeczywiście jeśli $x_{A} = x_{B}$ , to równanie przyjmuje postać $0 = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ , z czego wynika, że $x = x_{A}$ .

Jako ćwiczenie pozostawiamy udowodnienie faktu, że dokładnie ten sam wzór uzyskamy wykorzystując współrzędne punktu $B$ zamiast współrzędnych punktu $A$ .

Przykład 10

Korzystając z powyższego wzoru wyznaczymy równania prostych przechodzących przez wskazane punkty.

$A = (3; - 2)$ , $B = (- 5; 2)$

R1ZunOXp2UWhj

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych trzy minus dwa oraz B o współrzędnych minus pięć dwa.

$(- 5 - 3) (y - ((- 2)) = (2 - (- 2)) (x - 3)$

$- 8 (y + 2) = 4 (x - 3)$

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

$A = (- 4; 2)$ , $B = (5; 2)$ :

REOeCOSWdINRj

$(5 - (- 4)) (y - 2) = (2 - 2) (x - (- 4))$

$9 (y - 2) = 0$

$y = 2$

$A = (- 3; 5)$ , $B = (- 3; - 2)$ :

RrzSkHNdU1j2d

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do czterech oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych minus trzy pięć oraz B o współrzędnych minus trzy minus dwa.

$(- 3 - (- 3)) (y - 5) = (- 2 - 5) (x - (- 3))$

$0 = - 7 (x + 3)$

$x = - 3$

Przykład 11

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punktyrównanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, którymi są środki boków $A B$ i $B C$ trójkąta o wierzchołkach $A = (2; 5)$ , $B = (- 3; - 1)$ , $C = (5; - 2)$ .

RlJ2iIwbiGl9P

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta z zaznaczonymi na niej punktami, które są punktami przecięcia z trójkątem ABC. Punkty te mają współrzędne około minus cztery piąte dwa oraz jeden minus trzy drugie. Wierzchołki trójkąta to: A o współrzędnych dwa pięć, B o współrzędnych minus trzy minus jeden oraz C o współrzędnych pięć minus dwa.

Współrzędne środka $M$ boku $A B$ to $(\frac{2 - 3}{2}; \frac{5 - 1}{2}) = (- \frac{1}{2}; 2)$ , zaś współrzędne środka $N$ boku $B C$ to $(\frac{- 3 + 5}{2}; \frac{- 1 - 2}{2}) = (1; - \frac{3}{2})$ .

Równanie prostej $M N$ ma postać:

$(1 - (- \frac{1}{2})) (y - 2) = (- \frac{3}{2} - 2) (x - (- \frac{1}{2}))$ ,

$\frac{3}{2} (y - 2) = - \frac{7}{2} (x + \frac{1}{2})$ ,

$y = - \frac{7}{3} x + \frac{5}{6}$ .

Polecenie 7

Zapoznaj się z animacją i dowiedz się, jak wyznaczyć równanie prostej, przechodzącej przez dwa punkty.

R1cfAGiPgKgwn

Polecenie 8

RiP9u5ccItbWz1

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi w każdym wariancie. Wariant pierwszy: Równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych A, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, cztery zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu ma postać: Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, trzy x, minus, dziewięć, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, trzy, 3. y, równa się, minus, trzy x, minus, pięć. Wariant drugi: Równanie prostej przechodzącej przez punkt A, równa się, nawias dwa, średnik, minus, trzy zamknięcie nawiasu i środek odcinka o końcach B, równa się, nawias jeden, średnik, jeden zamknięcie nawiasu i C, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, x, plus, jeden, 2. y, równa się, minus, x, minus, jeden, 3. y, równa się, x, minus, jeden. Wariant trzeci: Równanie prostej, która dzieli odcinek o końcach A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu i B, równa się, nawias cztery, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu w stosunku jeden, podzielić na, dwa i przechodzi przez punkt C, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, siedem zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, osiem x, plus, jeden, 2. y, równa się, trzy x, minus, osiem, 3. y, równa się, trzy przecinek dwa pięć x, minus, trzy przecinek siedem pięć. Wariant czwarty: Równanie prostej, która przechodzi przez środki boków A B i B C trójkąta o wierzchołkach A, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu to. Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, minus, dwa przecinek pięć x, plus, jeden przecinek dwa pięć, 2. y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. y, równa się, minus, dwa przecinek pięć x, minus, pięć przecinek siedem pięć.

RQEFwWajWbGJA1

Ćwiczenie 1

RdGN6bMA0fauS1

Ćwiczenie 2

R7UxNWfCXVHXQ2

Ćwiczenie 3

Rl4N2jZ5Xp1ZQ2

Ćwiczenie 4

R1XRijedXN7xo21

Ćwiczenie 5

R1B9SgGzdz1TP21

Ćwiczenie 6

R1GrcZz0UeDva31

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

RpW6Aom01ogIl

RkYC8BZ5acNML

Uporządkuj poniższe zdania w takiej kolejności, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Z układu równań wynika równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, które jest równoważne z równaniem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, sześć, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x, plus, dziewięć, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, zero., 2. Pierwiastkami powyższego równania kwadratowego są liczby x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zatem współrzędne punktów przecięcia prostej A C i paraboli p to C, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu i A, równa się, nawias, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu., 3. Po drugie wyznaczymy równanie prostej A C., 4. Z postaci iloczynowej y, równa się, x nawias, x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu widać, że parabola przecina oś X w punktach o współrzędnych nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, sześć przecinek zero, zamknięcie nawiasu., 5. Zauważmy, że prosta A C jest nachylona do osi X pod kątem sześćdziesiąt stopni, zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy a, równa się, tangens sześćdziesiąt stopni, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Zatem równanie prostej ma postać y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, b., 6. Wierzchołek C leży dokładnie na osi symetrii paraboli, więc pierwsza współrzędna wierzchołka C to p, równa się, początek ułamka, nawias, zero, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, trzy. Druga współrzędna wierzchołka C to q, równa się, trzy nawias, trzy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dziewięć., 7. Wyraz wolny b prostej A C możemy wyznaczyć, podstawiając do równania y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, b współrzędne punktu C, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, podzielić na, minus, dziewięć, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, b wtedy i tylko wtedy, gdy b, równa się, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Równanie prostej A C to y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka., 8. Po trzecie wyznaczymy współrzędne punktu A. Ponieważ punkt A leży i na prostej A C, i na paraboli p, więc jego współrzędne możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dziewięć, koniec równania, koniec układu równań., 9. Ponieważ punkty A i B są położone symetrycznie względem prostej o równaniu x, równa się, trzy, więc punkt B ma współrzędne nawias, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu., 10. Po pierwsze obliczymy współrzędne punktów szczególnych paraboli: punktów przecięcia z osią X oraz wierzchołka.

Dana jest parabola $p$ o równaniu $y = x (x - 6)$ . Wpisano w nią trójkąt równoboczny $A B C$ w taki sposób, że punkt $C$ znajduje się w wierzchołku paraboli, zaś punkty $B$ i $A$ leżą na prostej równoległej do osi $X$ oraz na paraboli $p$ . Wyznacz współrzędne punktów $B$ i $A$ . Wiemy, że współrzędne punktu $C$ to $3$ , minus $9$ , a prosta przechodząca przez punkty $B$ i $A$ , gdzie $A$ leży na prawym ramieniu paraboli, jest nachylona do osi $X$ pod kątem sześćdziesięciu stopni. Parabola przecina oś $X$ w punktach zero oraz sześć. Wiemy też, że punkty $A$ i $B$ leżą na wysokości minus $6$ .

RjOpogYaL0twx

Ćwiczenie 9

Ru392u5id96Ti11

Rpb7TRJaOorAX

RTLYkMrCTkCLD1

Ćwiczenie 10

R1bfZsyCl3HRJ2

Ćwiczenie 11

Połącz w pary zestawy punktówA i B z zestawami punktów C i D, które wyznaczają proste o takich samych współczynnikach kierunkowych. A, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias trzy, średnik, zero zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. C, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu, 2. C, równa się, nawias zero, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu, 3. C, równa się, nawias, minus, osiem, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, 4. C, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, jeden zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. C, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu, 2. C, równa się, nawias zero, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu, 3. C, równa się, nawias, minus, osiem, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, 4. C, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, jeden zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, trzy, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, minus, jeden, średnik, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. C, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu, 2. C, równa się, nawias zero, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu, 3. C, równa się, nawias, minus, osiem, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, 4. C, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, jeden zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias jeden, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. C, równa się, nawias, minus, dwa, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, cztery zamknięcie nawiasu, 2. C, równa się, nawias zero, średnik, minus, pięć zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu, 3. C, równa się, nawias, minus, osiem, średnik, zero zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, dwa zamknięcie nawiasu, 4. C, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, trzy zamknięcie nawiasu, przecinek, D, równa się, nawias dwa, średnik, jeden zamknięcie nawiasu

RVTtQgF2K6SKG2

Ćwiczenie 12

Dany jest współczynnik kierunkowy prostej A B oraz współrzędne punktu A. Wybierz przykładowe współrzędne punktu B. Wariant pierwszy. Współczynnik kierunkowy prostej A B wynosi dwa. Współrzędne punktu A to nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu B to. Możliwe odpowiedzi. a) nawias, dwa, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, minus, siedem, zamknięcie nawiasu; b) nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu; c) nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu; d) nawias, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Wariant drugi. Współczynnik kierunkowy prostej A B wynosi początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka. Współrzędne punktu A to nawias, cztery, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu B to. Możliwe odpowiedzi. a) nawias, dwa, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, minus, siedem, zamknięcie nawiasu; b) nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu; c) nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu; d) nawias, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Wariant trzeci. Współczynnik kierunkowy prostej A B wynosi minus, trzy. Współrzędne punktu A to nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Współrzędne punktu B to. Możliwe odpowiedzi. a) nawias, dwa, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, minus, siedem, zamknięcie nawiasu; b) nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu; c) nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu; d) nawias, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Wariant czwarty. Współczynnik kierunkowy prostej A B wynosi minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka. Współrzędne punktu A to nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.. Współrzędne punktu B to. Możliwe odpowiedzi. a) nawias, dwa, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, minus, siedem, zamknięcie nawiasu; b) nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu; c) nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu; d) nawias, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.

R7aBCeOz8BnvS2

Ćwiczenie 13

Wyznacz współczynniki kierunkowe podanych prostych A B. Pierwsza prosta przechodzi przez punkty: A, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Jej współczynnik kierunkowy to. Możliwe odpowiedzi: a) jeden; b) dwa; c) trzy; d) początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Druga prosta przechodzi przez punkty: A, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Jej współczynnik kierunkowy to. Możliwe odpowiedzi: a) jeden; b) dwa; c) trzy; d) początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Trzecia prosta przechodzi przez punkty: A, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści osiem koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwadzieścia siedem koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu. Jej współczynnik kierunkowy to. Możliwe odpowiedzi: a) jeden; b) dwa; c) trzy; d) początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka. Czwarta prosta przechodzi przez punkty: A, równa się, nawias, pierwiastek kwadratowy z dwanaście koniec pierwiastka, średnik, pierwiastek kwadratowy z czterdzieści osiem koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, przecinek, B, równa się, nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Jej współczynnik kierunkowy to. Możliwe odpowiedzi: a) jeden; b) dwa; c) trzy; d) początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka.

RCgrcA1dvDtSd2

Ćwiczenie 14

RQM44cFZQMzWt31

Ćwiczenie 15

R19MAFYEmAJH53

Ćwiczenie 16

R1dY0x6xuI9Md1

Ćwiczenie 17

RauI11RBJnBKN1

Ćwiczenie 18

R1RnclPzaZxGW2

Ćwiczenie 19

Ćwiczenie 20

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki ramion trapezu o wierzchołkach $A = (- 5; - 6)$ , $B = (7; 2)$ , $C = (3; 3)$ , $D = (0; 1)$ .

Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ to
$\frac{- 6 - 2}{- 5 - 7} = \frac{- 8}{- 12} = \frac{2}{3}$ ,
zaś współczynnik kierunkowy prostej $C D$ to
$\frac{3 - 1}{3 - 0} = \frac{2}{3}$ .
Zatem odcinki $A B$ i $C D$ to podstawy trapezu. Ponieważ prosta przechodząca przez środki ramion trapezu jest równoległa do podstaw, więc jej współczynnik kierunkowy również jest równy $\frac{2}{3}$ . Ponadto środek ramienia $C B$ ma współrzędne
$(\frac{3 + 7}{2}; \frac{3 + 2}{2}) = (5; \frac{5}{2})$ .
Zatem równanie prostej przechodzącej przez środki ramion trapezu to
$y - \frac{5}{2} = \frac{2}{3} (x - 5)$ ,
czyli
$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{6}$ .

Ćwiczenie 21

Rozwiąż test.

RHvFwiqFHm5Jx

Rgydq9Bqvk2Sw

Re8HWLpEugWaP

R1N5dGKKNifSM

Ćwiczenie 22

Dany jest równoległobok $A B C D$ o wierzchołkach $A = (- 5; 3)$ , $B = (- 2; 4)$ , $C = (1; - 2)$ . Wyznacz współrzędne punktu $D$ .

Współczynnik kierunkowy prostej $A B$ jest równy
$\frac{4 - 3}{- 2 + 5} = \frac{1}{3}$ .
Prosta $C D$ jest równoległa do prostej $A B$ , zatem jej współczynnik kierunkowy też jest równy $\frac{1}{3}$ , zatem równanie prostej $C D$ to
$y + 2 = \frac{1}{3} (x - 1)$ ,
czyli
$y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3}$ .
Współczynnik kierunkowy prostej $A D$ jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej $B C$ i wynosi
$\frac{- 2 - 4}{1 - (- 2)} = \frac{- 6}{3} = - 2$ .
Ponieważ do prostej $A D$ należy punkt $A$ , to jej równanie ma postać
$y - 3 = - 2 (x + 5)$ ,
czyli
$y = - 2 x - 7$ .
Współrzędne punktu $D$ uzyskamy, rozwiązując układ równań
$\{\begin{cases} y = \frac{1}{3} x - \frac{7}{3} \\ y = - 2 x - 7 \end{cases}$ ,
który spełniają liczby
$x = - 2$ , $y = - 3$ .

Ćwiczenie 23

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (4; 5)$ , $B = (5; 1)$ , $C = (1; 3)$ . Wyznacz równania prostych, które dzielą trójkąt $A B C$ na trapez i trójkąt podobny do trójkąta $A B C$ w skali $1 : 4$ .

Zauważmy, że jedna z szukanych prostych jest równoległa do boku $A B$ i przecina boki $A C$ i $B C$ w punktach dzielących je w stosunku $1 : 3$ , licząc od wierzchołka $C$ .

RntwzCQoe7g4u

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -2 do osiem oraz z pionową osią od -1 do sześć. Zaznaczono punkty: A=4;5, B=5;1, C=1;3. Następnie połączono te punkty, tworząc trójkąt. W połowie odcinka A C zaznaczono punkt K, w połowie odcinka A B zaznaczono punkt L, w połowie odcinka B C zaznaczono punkt M. Następnie zaznaczono kolejne punkty: punkt Y w połowie odcinka A L, punkt Z w połowie odcinka C M, punkt X w połowie odcinka B M. Zaznaczono pojedynczymi krótkimi kreskami przecinającymi odcinki M X oraz X B. Oznaczenie to wskazuje, że odcinki są równej długości. Następnie podwójną analogiczną kreską oznaczono dwa kolejne równe odcinki A Y oraz Y L.

Niech punkt $Z$ dzieli odcinek $B C$ w stosunku $1 : 3$ , licząc od wierzchołka.

R1NqRAAnFrYi7

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych z poziomą osią X od -2 do osiem i pionową osią Y od -1 do sześć. Zaznaczono punkty : A=4;5, B=5;1, C=1;3. Połączono ze sobą punkty, tworząc trójkąt A B C. Odcinek A C podzielono na dwa równe odcinki za pomocą punktu K. Na odcinku A B zaznaczono jego środek, oznaczono go jako L, następnie oznaczono również środek nowego odcinka A L, oznaczono go jako Y. Odcinek B C podzielono na cztery równe części, punkty kolejno od wierzchołka C do wierzchołka B to: Z M X. Przez punkt Z poprowadzono ukośną prostą, która jest równoległa do odcinka A B. Prosta ta dzieli odcinek B C w stosunku 1 do trzy licząc od wierzchołka C.

Punkt będący środkiem odcinka $B C$ oznaczmy przez $M$ . Jego współrzędne to
$(\frac{5 + 1}{2}; \frac{1 + 3}{2}) = (3; 2)$ .
Zatem punkt $Z$ jest środkiem odcinka $C M$ , więc ma współrzędne
$(\frac{1 + 3}{2}; \frac{3 + 2}{2}) = (2; 2, 5)$ .
Szukana prosta jest równoległa do boku $A B$ , zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy
$\frac{1 - 5}{5 - 4} = - 4$ .
Równanie prostej przechodzącej przez punkt
$Z = (2; 2, 5)$
o współczynniku kierunkowym równym $(- 4)$ to
$y - 2, 5 = - 4 (x - 2)$ ,
czyli
$y = - 4 x + 10, 5$ .

Analogicznie wyznaczamy współrzędne punktu $X$ , który dzieli bok $B C$ w stosunku $1 : 3$ , licząc od punktu
$B = (4; 1, 5)$ .
Prosta $A C$ ma współczynnik kierunkowy równy
$\frac{5 - 3}{4 - 1} = \frac{2}{3}$ .
Zatem prosta równoległa do odcinka $A C$ przechodząca przez punkt
$X = (4; 1, 5)$
ma równanie
$y - 1, 5 = \frac{2}{3} (x - 4)$ ,
czyli
$y = \frac{2}{3} x - \frac{7}{6}$ .
Współrzędne punktu $Y$ dzielącego bok $A B$ w stosunku $1 : 3$ , licząc od wierzchołka $A$ , są równe
$(4, 25; 4)$ ,
zaś współczynnik kierunkowy prostej $B C$ to $- \frac{1}{2}$ .
Zatem równanie kierunkowe prostej równoległej do odcinka $B C$ przechodzącej przez punkt
$Y = (4, 25; 4)$
to
$y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 4, 25)$ ,
czyli
$y = - \frac{1}{2} x + \frac{49}{8}$ .

Odpowiedź: $y = - 4 x + 10, 5$ ; $y = \frac{2}{3} x - \frac{7}{6}$ ; $y = - \frac{1}{2} x + \frac{49}{8}$ .

Ćwiczenie 24

Rozwiąż test.

Ra56Q19KtJOcA

R1VIOaVkBFd9O

R15pkWzH4kta6

Ćwiczenie 25

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ wyraża się wzorem: $(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ . Udowodnij, że jeśli zamienimy miejscami punkty $A$ i $B$ , to otrzymamy to samo równanie prostej.

Wyjściowe równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$ ,

można przekształcić do postaci

$(x_{B} - x_{A}) y = (y_{B} - y_{A}) x - x_{A} y_{B} + y_{A} x_{B}$ .

Zamieńmy miejscami punkty $A$ i $B$ we wzorze. Wówczas otrzymamy równanie

$(x_{B} - x_{A}) (y - y_{B}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{B})$ ,

które przekształca się do postaci

$(x_{B} - x_{A}) y = (y_{B} - y_{A}) x + x_{B} y_{A} - x_{A} y_{B}$ .

Porównując oba równania otrzymujemy wniosek, że są równoważne, zatem opisują tę samą prostą.

R123cmpOrQwhE1

Ćwiczenie 26

R1RfdLqMLFppq2

Ćwiczenie 27

Wyznacz równania prostych przechodzących przez wierzchołek A, równa się, nawias jeden, średnik, pięć zamknięcie nawiasu trójkąta A B C oraz przez punkt dzielący bok B C o końcach B, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias sześć, średnik, jeden zamknięcie nawiasu w stosunku jeden do trzech. Rozważ dwa przypadki. Uporządkuj wypowiedzi w takiej kolejności, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zacznijmy od wyznaczenia współrzędnych środka boku B C. Punkt M, będący środkiem, ma współrzędne nawias, początek ułamka, sześć, minus, cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, jeden, minus, dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias jeden, średnik, minus, zero przecinek pięć zamknięcie nawiasu., 2. Jako pierwsze wyznaczymy równanie prostej A K: y, minus, pięć, równa się, początek ułamka, minus, jeden przecinek dwa pięć, minus, pięć, mianownik, minus, jeden przecinek pięć, minus, jeden, koniec ułamka, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, czyli y, równa się, dwa przecinek pięć x, plus, dwa przecinek pięć., 3. Teraz możemy wyznaczyć środki K i L odcinków B M i M C: K, równa się, nawias, początek ułamka, minus, cztery, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, minus, dwa, minus, zero przecinek pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, minus, jeden przecinek pięć, średnik, minus, jeden przecinek dwa pięć zamknięcie nawiasu, L, równa się, nawias, początek ułamka, jeden, plus, sześć, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, początek ułamka, minus, zero przecinek pięć, plus, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias trzy przecinek pięć, średnik, zero przecinek dwa pięć zamknięcie nawiasu., 4. Pozostało do wyznaczenia równanie prostej A L: y, minus, pięć, równa się, początek ułamka, zero przecinek dwa pięć, minus, pięć, mianownik, trzy przecinek pięć, minus, jeden, koniec ułamka, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu, czyli y, równa się, minus, jeden przecinek dziewięć x, plus, sześć przecinek dziewięć.

R4q7G1VTFjRRV2

Ćwiczenie 28

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.
Dany jest trójkąt o wierzchołkach A, równa się, nawias dwa, średnik, minus, dwa zamknięcie nawiasu, B, równa się, nawias sześć, średnik, sześć zamknięcie nawiasu, C, równa się, nawias, minus, cztery, średnik, jeden zamknięcie nawiasu.

Prosta przechodząca przez punkt C i dzieląca bok A B w stosunku jeden do jeden ma równanie:
y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka
Prosta przechodząca przez punkt B i dzieląca bok A C w stosunku jeden do dwóch ma równanie:
y, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, trzynaście, mianownik, czternaście, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, sześć, koniec ułamka, x, minus, jeden
Prosta przechodząca przez punkt C i dzieląca bok A B w stosunku jeden do trzech ma równanie:
y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka
Prosta przechodząca przez punkt A i dzieląca bok B C w stosunku trzy do dwóch ma równanie:
x, równa się, dwa y, równa się, minus, dwa przecinek pięć x, plus, trzy y, równa się, minus, x

Ćwiczenie 29

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (- 3; - 1)$ , $B = (3; 1)$ , $C = (- 1; 4)$ . Wyznacz równanie prostej dzielącej trójkąt $A B C$ na trójkąt $K L C$ do niego podobny w skali $1 : 4$ i trapez $A B L K$ .

Wyznaczymy współrzędne środków $M$ , $N$ odcinków $A C$ i $B C$ :

$M = (\frac{- 3 - 1}{2}; \frac{- 1 + 4}{2}) = (- 2; 1, 5)$ ,

$N = (\frac{- 1 + 3}{2}; \frac{4 + 1}{2}) = (1; 2; 5)$ .

Teraz wyznaczymy środki $K$ i $L$ odcinków $C M$ i $C N$ :

$K = (\frac{- 1 - 2}{2}; \frac{4 + 1, 5}{2}) = (- 1, 5; 2, 75)$ ,

$L = (\frac{1 - 2}{2}; \frac{4 + 2, 5}{2}) = (0; 3, 25)$ .

Równanie prostej $K L$ otrzymamy wykorzystując wzór $(x_{L} - x_{K}) (y - y_{K}) = (y_{L} - y_{K}) (x - x_{K})$ :

$(0 - (- 1, 5)) (y - 2, 75) = (3, 25 - 2, 75) (x + 1, 5)$ ,

co po przekształceniu daje $y = \frac{1}{3} x + 3 \frac{1}{4}$ .

Ćwiczenie 30

Dany jest trapez o wierzchołkach $A = (2; 5)$ , $B = (- 2; 1)$ , $C = (1; - 2)$ , $D = (8; 5)$ . Wyznacz równania prostych, które dzielą ramiona tego trapezu w stosunku $1 : 2$ .

Współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w stosunku $1 : 2$ licząc od punktu $A$ to $(\frac{2 x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{2 y_{A} + y_{B}}{3})$ .

Zauważmy najpierw, że odcinek $A B$ jest równoległy do odcinka $C D$ . Zatem ramionami są odcinki $A D$ i $B C$ . Wyznaczmy współrzędne punktów dzielących ramiona w stosunku $1 : 2$ . Będą cztery takie punkty - po dwa na każdym ramieniu.

Na ramieniu $B C$ będą to punkty:

$K = (\frac{- 4 + 1}{3}; \frac{2 - 2}{3}) = (- 1; 0)$ i $L = (\frac{- 2 + 2}{3}; \frac{1 - 4}{3}) = (0; - 1)$ ,

zaś na ramieniu $A D$ punkty:

$M = (\frac{4 + 8}{3}; \frac{10 + 5}{3}) = (4; 5)$ i $N = (\frac{2 + 16}{3}; \frac{5 + 10}{3}) = (6; 5)$ .

Teraz wystarczy wyznaczyć równania prostych:

$K N$ : $y = \frac{5}{7} x + \frac{5}{7}$ ,

$K M$ : $y = x + 1$ ,

$L M$ : $y = \frac{3}{2} x - 1$ ,

$L N$ : $y = x - 1$ .

Ćwiczenie 31

Wyznacz równania prostych zawierających przekątne kwadratu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach $A = (1; 2)$ , $B = (4; - 2)$ , $C = (1; - 2)$ .

Zauważmy, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Wyznaczymy teraz długość boku kwadratu. Jeśli oznaczymy długość boku tego kwadratu przez $a$ , wówczas zachodzi proporcja $\frac{4 - a}{a} = \frac{4}{3}$ . Z tego równania wynika, że $a = \frac{12}{7}$ .

Zatem wierzchołki kwadratu mają współrzędne:

$C = (1; - 2)$ ,

$X = (1 + \frac{12}{7}; - 2) (\frac{19}{7}; - 2)$ ,

$Z = (1; - 2 + \frac{12}{7}) = (1; - \frac{2}{7})$ ,

$Y = (1 + \frac{12}{7}; - 2 + \frac{12}{7}) = (\frac{19}{7}; - \frac{2}{7})$ .

Przekątne kwadratu zawierają się w prostych $C Y$ i $X Z$ . Ich równania to:

$C Y$ : $(1 - \frac{19}{7}) (y + 2) = (- 2 + \frac{2}{7}) (x - 1)$ , czyli $y = x - 3$ ,

$X Z$ : $(\frac{19}{7} - 1) (y + 2) = (- 2 + \frac{2}{7}) (x - \frac{19}{7})$ , czyli $y = - x + \frac{5}{7}$ .

Ćwiczenie 32

Wyznacz równania prostych przechodzących przez wierzchołek $C$ , które dzielą trójkąt o wierzchołkach $A = (6; 1)$ , $B = (1; - 5)$ , $C = (- 2; 3)$ na trzy trójkąty o równych polach.

Współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ , $B = (x_{B}; y_{B})$ w stosunku $1 : 2$ licząc od punktu $A$ to $(\frac{2 x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{2 y_{A} + y_{B}}{3})$ .

Ponieważ wszystkie trójkąty o wspólnym wierzchołku $C$ mają podstawę zawartą w boku $A B$ trójkąta, więc wszystkie one mają tę samą wysokość. Zatem, aby pola były równe, podstawy również muszą być równej długości. Wynika stąd, że każda z nich ma długość równą $\frac{1}{3}$ długości boku $A B$ .

Wobec tego szukane proste przechodzą przez punkty, które dzielą bok $A B$ na trzy odcinki o równych długościach. Wyznaczmy współrzędne szukanych punktów

$X = (\frac{12 + 1}{3}; \frac{1 - 5}{3}) = (\frac{13}{3}; - \frac{4}{3})$ ,

$Y = (\frac{6 + 2}{3}; \frac{1 - 10}{3}) = (\frac{8}{3}; - 3)$ .

Równanie prostej $C X$ ma postać $y - 3 = \frac{3 + \frac{4}{3}}{- 2 - \frac{13}{3}} (x + 2)$ , czyli $y = - \frac{13}{19} x + \frac{31}{19}$ .

Równanie prostej $C Y$ ma postać $y - 3 = \frac{3 + 3}{- 2 - \frac{8}{3}} (x + 2)$ , czyli $y = - \frac{9}{7} x + \frac{3}{7}$ .

Słownik

kąt nachylenia prostej

kąt jaki tworzy prosta z dodatnią półosią $X$ .

współczynnik kierunkowy prostej

współczynnik $a$ w równaniu kierunkowym prostej $y = a x + b$

współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty

jeśli dane są dwa punkty o różnych pierwszych współrzędnych, to współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez te punkty jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych tych punktów przez różnicę ich pierwszych współrzędnych. Jeśli $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ i $x_{A} \neq x_{B}$ , to współczynnik kierunkowy prostej $A B$ wyraża się wzorem $\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}$

współczynnik kierunkowy prostych równoległych

proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe

proste o równaniach postaci

y = k \cdot x

proste o równaniach postaci

y = k \cdot x

przechodzą przez początek układu współrzędnych, czyli punkt o współrzędnych $(0; 0)$ . Ich współczynnik kierunkowy $k$ jest równy tangensowi kąta ich nachylenia do dodatniej półosi $X$

równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ ma postać $y - y_{A} = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} (x - x_{A})$ , o ile prosta $A B$ nie jest pionowa; równanie ogólne prostej $A B$ ma postać $(x_{B} - x_{A}) (y - y_{A}) = (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A})$

2. Równanie kierunkowe prostej

4. Równoległość i prostopadłość prostych