2. Kąty w graniastosłupach

RjkyzfMMgaTni

Na pewno niejednokrotnie byłeś na basenie. Część z nich ma różną głębokość w różnych miejscach - można wykorzystać wówczas zbiornik w kształcie graniastosłupa prostego czworokątnego o podstawie trapezu prostokątnego.

RyQWze3gjd0OT

Ilustracja przedstawiająca basen sportowy. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Aby basen miał określone głębokości w najpłytszym i najgłębszym miejscu, jego dno (ściana boczna), musi być nachylone pod odpowiednim kątem do dwóch równoległych do siebie ścian bocznych graniastosłupa. W tym materiale przeanalizujemy różne typy kątów w graniastosłupie: kąty między płaszczyznami, między odcinkami i płaszczyznami oraz między odcinkami.

Twoje cele

Wskażesz kąty między płaszczyznami w graniastosłupie.
Wyznaczysz kąty między odcinkami w graniastosłupie.
Wskażesz kąty między odcinkami i płaszczyznami w graniastosłupie.
Obliczysz miary kątów w graniastosłupie, korzystając z podstawowych własności i twierdzeń geometrycznych.

Kąty między płaszczyznami w graniastosłupie

Będziemy mówić o dwóch rodzajach kątów pomiędzy płaszczyznami w graniastosłupach: kącie pomiędzy ścianą boczną a podstawą oraz kącie pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi.

Oczywiste jest, że w graniastosłupie prostymgraniastosłup prostygraniastosłupie prostym kąt między ścianą boczną a podstawą jest kątem prostym. W graniastosłupach pochyłych kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy ma miarę taką, jak kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej opuszczoną na krawędź podstawy, która jest wspólna dla danej ściany bocznej i podstawy, a odcinkiem znajdującym się w płaszczyźnie podstawy prostopadłym do tej samej krawędzi podstawy. Za kąt pomiędzy tymi płaszczyznami będziemy uznawać kąt ostry, który powstanie w ten sposób.

Przykład 1

W graniastosłupie $A B C D E F G H I J$ na rysunku kąt pomiędzy ścianą $A B G F$ a podstawą ma miarę taką, jak kąt $α$ .

R30Rlnllj0yhY

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J. Z górnej podstawy z wierzchołka F poprowadzono odcinek kierujący się do połowy krawędzi dolnej podstawy. Tworzy on z dolną podstawą kąt 90 stopni. Powstał wierzchołek K. Wyprowadzono z niego odcinek K L. Punkt L jest umiejscowiony na odcinku DC. Kąt między odcinkiem F K a K L ma miarę alfa.

W graniastosłupie prostym kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę taką, jak kąt pomiędzy krawędziami podstawy, które należą do tych ścian bocznych.

Przykład 2

W graniastosłupie $A B C A' B' C'$ na rysunku kąt między ścianami $A A^{'} B^{'} B$ i $B B^{'} C^{'} C$ ma miarę $25 °$ . Wyznaczymy miarę kąta między ścianą $B C C' B'$ i ścianą $C A A' C'$ oraz miarę kąta między ścianami $C A A' C'$ i $A B B' A'$ .

R1BvZKASF0Mpe

Ilustracja przedstawiająca graniastosłup A B C A' B' C' o podstawie trójkąta. Kąt przy wierzchołku A dolnej podstawy ma miarę 54°, a przy wierzchołku B miarę 25°

Rozwiązanie

Kąt między ścianą $B C C' B'$ i ścianą $C A A' C'$ ma miarę

$180 ° - 25 ° - 54 ° = 101 °$ ,

a kąt między ścianami $C A A' C'$ i $A B B' A'$ ma miarę $54 °$ .

Przykład 3

Wróćmy do zagadnienia poruszonego we Wprowadzeniu. Weźmy basen w kształcie graniastosłupa prostego czworokątnego o podstawie trapezu prostokątnego. Długość basenu wynosi $20 m$ , a szerokość $10 m$ . W najpłytszym miejscu basen ma głębokość 1m, a w najgłębszym $1, 6 m$ . Obliczymy, jaką miarę ma kąt nachylenia dna basenu do ściany bocznej, z którą tworzy kąt ostry.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R3Gn4Y635EQMu

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty czworokątny o podstawie trapezu prostokątnego. Jedna ściana boczna pochylona jest do krawędzi podstawy o kąt alfa. Wysokość tej ściany bocznej wynosi jeden przecinek 6 metra, a jej długość to 10 metrów. Wysokość przeciwległej ściany bocznej to jeden metr. Szerokość całego graniastosłupa ma miarę 20 metrów.

Szukany kąt nachylenia ścian bocznych jest kątem ostrym w trapezie, który jest podstawą tego graniastosłupa.

RcBwrYcjUMMW4

Ilustracja przedstawia trapez o wysokości 20 metrów. Wysokość trapezu dzieli górną podstawę na dwa odcinki, jeden o długości zero przecinek 6 metra. Kąt między ścianą boczną, a krawędzią podstawy wynosi alfa.

Mamy $tg α = \frac{20}{0, 6} \approx 33, 3333$ .

A stąd $α \approx 88, 3 °$ .

Miara kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w graniastosłupie pochyłym jest równa mierze kąta pomiędzy wysokościami tych ścian bocznych poprowadzonymi na wspólną krawędź boczną tych ścian.

Przykład 4

Rz2YykYQzBgsI

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H I J. Poprowadzono wysokości ścian bocznych A B F G oraz A E F J. Wysokości BK oraz L K spotykają się we wspólnym punkcie K. Tworzą między sobą kąt alfa.

Miara kąta pomiędzy ścianami $A F J E$ i $A F G B$ w graniastosłupie powyżej wynosi $α$ .

Kąty między odcinkami a płaszczyznami w graniastosłupach

Przypomnijmy, że kąt między prostą a płaszczyzną jest kątem pomiędzy prostą a rzutem prostokątnym tej prostej na płaszczyznę.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy w graniastosłupie prostym ma miarę $90 °$ . W graniastosłupie pochyłym wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem ostrym.

Przykład 5

Na rysunku poniżej zilustrowaliśmy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w graniastosłupie pochyłym pięciokątnym

R1PH3ZFo8UuX2

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły pięciokątny A B C D E F G H I J. Zaznaczono kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy graniastosłupa. Kąt oznaczono jako alfa.

Przykład 6

W graniastosłupie pochyłym czworokątnym $A B C D E F G H$ podstawy $A B C D$ i $E F G H$ są kwadratami o boku długości $4$ . Wysokość tego graniastosłupa wynosi $2 \sqrt{2}$ . Rzutem prostokątnym krawędzi $A E$ na podstawę $A B C D$ jest odcinek $A S$ , gdzie $S$ jest środkiem przekątnej podstawy. Obliczymy miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Przekątna tego kwadratu ma długość $4 \sqrt{2}$ . A zatem

$|A S| = 2 \sqrt{2}$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy. Oznaczmy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy przez $α$ .

R14FkuwJX91Gq

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H. Zaznaczono kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy graniastosłupa. Kąt nachylenia zaznaczono jako alfa. Wysokość graniastosłupa to odcinek E S.

$E S$ jest wysokością tego graniastosłupa, czyli

$|E S| = 2 \sqrt{2}$ .

A zatem trójkąt $S A E$ jest prostokątny równoramienny. Stąd kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę $45 °$ .

Kąt nachylenia przekątnej ściany bocznejprzekątna ściany bocznejprzekątnej ściany bocznej do podstawy w graniastosłupie prostym jest kątem pomiędzy tą przekątną a krawędzią podstawy.

R1DFzT3q8JTYC

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trapezu A B C D A’ C’ D’ J. Zaznaczono krawędź podstawy AB oraz przekątną ściany bocznej A’ B. Kąt między krawędziami wynosi alfa.

Przykład 7

Na rysunku poniżej zaznaczyliśmy kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej $C F$ a płaszczyzną podstawy w graniastosłupie pochyłym.

R1DZ4Y0FRvJbX

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H. Zaznaczono przekątną ściany bocznej C F oraz wysokość graniastosłupa I F. Zaznaczono kąt między odcinkami CF i IF.

W graniastosłupie prostym (który w podstawie ma co najmniej czworokąt) kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy jest kątem pomiędzy przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa a przekątną podstawy.

Przykład 8

Na rysunku poniżej kąt pomiędzy przekątną $A_{1} C$ graniastosłupa prostego a podstawą został oznaczony przez $α$ .

RkpgLVik42zWj

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D A indeks dolny 1 koniec indeksu B indeks dolny 1 koniec indeksu C indeks dolny 1 koniec indeksu D indeks dolny 1 koniec indeksu. Zaznaczono przekątną A indeks dolny 1 koniec indeksu C. oraz dolną podstawą. Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy ma miarę alfa.

Uwaga!

Trójkąt, którego bokami są: przekątna podstawy, przekątna graniastosłupa i krawędź boczna, jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 9

Zobaczmy teraz jak wygląda kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy w graniastosłupie pochyłym.

R13DX0nyNDAGN

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H. Zaznaczono wysokość graniastosłupa E I oraz przekątną graniastosłupa E C. Zaznaczono kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do dolnej podstawy graniastosłupa.

Kąty pomiędzy odcinkami w graniastosłupach

Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy

Przykład 10

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej $C F$ i krawędzią podstawy $B C$ .

RuCzSx8ZV7LeE

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono przekątną ściany bocznej B C F G. Kąt między przekątną a krawędzią podstawy A B ma miarę alfa.

Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią boczną

Przykład 11

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej $C F$ i krawędzią podstawy $B F$ .

RyaFNvq3iu24f

Uwaga!

W graniastosłupie prostym suma miar kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy oraz kąta między tą samą przekątną ściany bocznej a krawędzią boczną wynosi $90 °$ .

Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych

Przykład 12

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątnymi $D G$ i $B G$ .

R7ocEE9wSKmPv

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie trapezu A B C D E F G H. Zaznaczono przekątną ściany bocznej B C F G oraz przekątną ściany bocznej C D G H. Przekątne mają wspólny wierzchołek G. Kąt między przekątnymi ma miarę alfa.

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną

Przykład 13

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną $D F$ graniastosłupa a krawędzią boczną $B F$ .

R8gGd1gl98C3z

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa D F. Kąt między przekątną, a krawędzią ściany bocznej B F ma miarę alfa.

Uwaga!

W graniastosłupie prostym suma miar kątów pomiędzy przekątną graniastosłupa i krawędzią boczną oraz kąta nachylenia tej samej przekątnej graniastosłupa do podstawy wynosi $90 °$ .

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy

Przykład 14

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną $D F$ graniastosłupa a krawędzią podstawy $D C$ .

R6Mh3nHRgC590

Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej

Przykład 15

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną $D F$ graniastosłupa a przekątną ściany bocznej $F C$ .

RntF4jHsyrAcq

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa D F oraz przekątną ściany bocznej CF. Kąt między przekątnymi ma miarę gamma.

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem i wykonaj przedstawione w nim zadania. Sprawdź poprawność odpowiedzi.

R18vJyVkHCTY0

Polecenie 2

Nazwij kąty $∢ F B H$ oraz $∢ D J B$ w graniastosłupie przedstawionym w aplecie.

Kąt między przekątnymi ścian bocznych – $F B$ i $B H$ , kąt między przekątną ściany bocznej – $D J$ i przekątną graniastosłupa – $J B$ .

Graniastosłup trójkątny

Na poniższych rysunkach zaznaczono kilka najczęściej rozważanych kątów między odcinkami graniastosłupa trójkątnego.

RBqwCvc9EdHiA

Ilustracja pierwsza przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono na nim kąt FAB między krawędzią boczną a krawędzią podstawy.

Ilustracja druga przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono na nim kąt FAG między krawędzią boczną a wysokością podstawy.

Ilustracja trzecia przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono na nim kąt AFB między krawędzią boczną a przekątną ściany bocznej.

Ilustracja czwarta przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono na nim kąt ABF między przekątną ściany bocznej graniastosłupa a krawędzią podstawy.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że w niektórych graniastosłupach pewne odcinki pokrywają się, zaś w innych są zupełnie różne. Dobrym przykładem jest krawędź boczna i wysokość graniastosłupa, które pokrywają się w graniastosłupach prostych, ale są różnymi odcinkami w graniastosłupach pochyłych. Poniżej galeria kątów między odcinkami w graniastosłupie trójkątnym pochyłym. Porównaj je z kątami zaznaczonymi wyżej między odcinkami w graniastosłupie trójkątnym prostym.

RVeQAiyKa3UXU

Ilustracja pierwsza przedstawia graniastosłup pochyły AB C D E F o podstawie trójkąta. Zaznaczono na nim kąt AFG między wysokością graniastosłupa, a jego krawędzią boczną.

Ilustracja druga przedstawia graniastosłup pochyły AB C D E F o podstawie trójkąta. Zaznaczono na nim kąt FAB między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy graniastosłupa.

Ilustracja trzecia przedstawia graniastosłup pochyły AB C D E F o podstawie trójkąta. Zaznaczono na nim kąt ABF między przekątną ściany bocznej, a krawędzią podstawy graniastosłupa.

Ilustracja czwarta przedstawia graniastosłup pochyły AB C D E F o podstawie trójkąta. Zaznaczono na nim kąt DBF między przekątną ściany bocznej, a krawędzią boczną graniastosłupa.

Przykład 16

Dany jest graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym wysokość podstawy jest równa $6 \sqrt{3}$ . Kąt między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka ma miarę $40 °$ . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Zacznijmy od wykonania rysunku i zaznaczenia kąta między przekątnymi ścian bocznych.

RUd0VJBlWU8K4

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny A B C D E F. Zaznaczono przekątne ścian bocznych A E i B E. Przekątne te tworzą kąt alfa.

Ponieważ podstawa jest trójkątem równobocznym o wysokości $6 \sqrt{3}$ , więc krawędź podstawy ma długość $12$ . Zauważmy, że trójkąt $A B E$ jest równoramienny, zatem jego wysokość poprowadzona z wierzchołka $E$ pada pod kątem prostym do $A B$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $A E B$ .

RDHrvangSPQc8

Z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $B E G$ mamy $\sin \frac{α}{2} = \frac{|G B|}{|B E|}$ , czyli $\sin 20 ° = \frac{6}{|B E|}$ .

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy przybliżyć wartość $\sin 20 ° \approx 0, 342$ :

$0, 342 \approx \frac{6}{|B E|}$

$|B E| \approx 17, 54$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $B D E$ mamy

$|B D| = \sqrt{{|B E|}^{2} - {|E D|}^{2}} \approx \sqrt{17, 54^{2} - 12^{2}} \approx 12, 79$ .

Zatem objętość rozważanego graniastosłupa to $V = \frac{{|A B|}^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot |B D| \approx \frac{144 \sqrt{3}}{4} \cdot 12, 79 \approx 797, 5$

Graniastosłup czworokątny

W graniastosłupie czworokątnym wysokość i krawędź boczna również mogą się pokrywać lub być różnymi odcinkami – w zależności od tego, czy graniastosłup jest prosty, czy pochyły.

Przeanalizuj różnicę między obydwoma graniastosłupami na poniższych rysunkach.

Opis	Graniastosłup prosty	Graniastosłup pochyły
Kąt $A E B$ między wysokością a przekątną ściany bocznej graniastosłupa.	RSMWzsLVo3gzM	RDro8B1EHBvBb
Kąt $A E I$ między wysokością a krawędzią boczną graniastosłupa.	$\|∢ A E I\| = 0 °$ R27GbKU6Ngs9g	R8UuXdsu4y3O9
Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy graniastosłupa.	R1VF9OztwPGBG	R97zJqHsxyd5f
Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej.	RgFowg7yKPJZ0	R1b8BbrkLW9F9
Kąt między przekątnymi graniastosłupa.	REqmdc6pzQ70G	R5qLvH6qdiB2p

Przykład 17

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $27 \sqrt{6}$ . Kąt między przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa a przekątną podstawy wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę $60 °$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zaczniemy od rysunku.

R1CbtHdUGd81O

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej ABCD, oraz górnej HEFG. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, nad wierzchołkiem C, wierzchołek F i nad wierzchołkiem D, wierzchołek G. Zaznaczono przerywaną linią przekątną AC dolnej podstawy oraz przekątną HC graniastosłupa. Przekątne AC i HC tworzą kąt alfa.

Jeśli przez $x$ oznaczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa, to jej przekątna ma długość $x \sqrt{2}$ . Ponieważ trójkąt $A C H$ ma kąty o miarach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ , więc $|A H| = |A C| \cdot \sqrt{3} = x \sqrt{6}$ .

Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości, więc mamy równanie:

$27 \sqrt{6} = x^{2} \cdot x \sqrt{6}$

$x = 3$

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa to:

$P_{p c} = 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x \cdot x \sqrt{6} = 2 \cdot 9 + 4 \cdot 9 \sqrt{6} = 18 (1 + 2 \sqrt{6})$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj kąty między odcinkami graniastosłupów. Na ich podstawie wykonaj polecenie 2.

R3G7EJcJTHak2

Polecenie 4

Rozwiąż test.

RzyiYPLk2JaN8

R5HMEEE4zzfFZ

R1RjxUaIFwWLU

RIaMHscs0oHXk

Przypomnijmy definicję kąta między prostą a płaszczyzną.

Kąt między prostą a płaszczyzną

Definicja: Kąt między prostą a płaszczyzną

Jeśli prosta $k$ jest równoległa do płaszczyzny $π$ (ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych albo nie ma żadnego), to przyjmujemy, że kąt między $k$ a $π$ jest równy $0 °$ .

Jeśli prosta $k$ przebija płaszczyznę $π$ (ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny), to kąt między $k$ a $π$ definiujemy jako kąt między $k$ a rzutem prostokątnym $k$ na $π$ .

RubkDxpQU2XoN

Na ilustracji przedstawiono płaszczyznę pi, na której zaznaczono prostą p. Zaznaczono także prostą k, która przecina płaszczyznę w punkcie B na prostej p, pod kątem alfa. Na prostej k zaznaczono punkt A, który zrzutowano na prostą p pod kątem prostym, i na prostej p zaznaczono punkt A prim.

Graniastosłup trójkątny

Najprostszy graniastosłupgraniastosłupgraniastosłup to ten o podstawie trójkąta. Nie ma on przekątnych, bo wszystkie odcinki łączące wierzchołki graniastosłupa trójkątnego zawierają się w jego powierzchni, co czyni je przekątnymi ścian bocznych lub krawędziami.

Na poniższym rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy. Aby poprawnie zaznaczyć ten kąt, potrzebujemy rzutu prostokątnego tej przekątnej na płaszczyznę podstawy. Ponieważ graniastosłup jest prosty, rzut ten zawiera krawędź podstawy.

Graniastosłup trójkątny $A B C G H I$ i przekątna $A I$ ściany bocznej	Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy
RKOIWk6Wp7CP5	REPZ0BWKLeShC

Sytuacja wygląda nieco inaczej, gdy graniastosłup jest pochyłygraniastosłup pochyłypochyły. Wówczas rzut przekątnej na płaszczyznę podstawy może nie zawierać krawędzi.

Graniastosłup pochyły trójkątny $A B C D E F$ i przekątna $C E$ ściany bocznej	Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy
RGSazbtsnxCFu	R1bdXyRbNdnJG Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły trójkątny o podstawie dolnej $A B C$ , oraz górnej $D E F$ . Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, oraz nad wierzchołkiem C, znajduje się wierzchołek F. Z wierzchołka E poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny podstawy i zaznaczono punkt E prim. Kąt $E C E'$ stanowi jest kątem między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy i oznaczono go alfa.

Graniastosłup pochyły trójkątny $A B C D E F$ i przekątna $C E$ ściany bocznej

Kąt między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy

RGSazbtsnxCFu

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły trójkątny o podstawie dolnej ABC, oraz górnej DEF. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek D, nad wierzchołkiem B, wierzchołek E, oraz nad wierzchołkiem C, znajduje się wierzchołek F. Zaznaczono przekątną CE ściany bocznej.

R1bdXyRbNdnJG

Graniastosłup czworokątny

W graniastosłupie czworokątnym pojawia się przekątna graniastosłupa – odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa, ale nie zawarty w jego powierzchni.

Poniżej ilustrujemy kąty między przekątną graniastosłupa prostegograniastosłup prostygraniastosłupa prostego o podstawie trapezu a płaszczyzną ścian bocznych albo podstawą. W każdym przypadku najpierw rzutujemy prostokątnie przekątną na rozważaną płaszczyznę.

Graniastosłup czworokątny $A B C D E F G H$ i jego przekątna $C H$	Kąt między przekątną $C H$ graniastosłupa a płaszczyzną podstawy
R1Q9HWbUqTWH9 Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H.	Rnfvq5zByANSS Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H, oraz przekątną $A C$ dolnej podstawy. Między przekątnymi zaznaczono kąt alfa.

Graniastosłup czworokątny $A B C D E F G H$ i jego przekątna $C H$

Kąt między przekątną $C H$ graniastosłupa a płaszczyzną podstawy

R1Q9HWbUqTWH9

Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H.

Rnfvq5zByANSS

Kąt między przekątną $C H$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $A D G H$	Kąt między przekątną $B G$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $B C F E$
RBKdblyzxsYmH Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Na prostej AD zaznaczono punkt C prim, tak, że kąt $C C' H$ jest równy 90 stopni. Zaznaczono przekątną graniastosłupa, łączącą wierzchołki C i H. Kąt $C H C'$ oznaczono alfa.	RKRBYDewFE393 Na ilustracji zaznaczono graniastosłup czworokątny, który w podstawie ma trapez. Podstawę dolną oznaczono literami od A do D, natomiast górną literami od H do E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono przekątną $B G$ graniastosłupa. Z wierzchołka G, poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny ściany $B C F E$ , oraz zaznaczono punkt G prim. Kąt między przekątną $B G$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $B C F E$ oznaczono alfa.

Kąt między przekątną $C H$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $A D G H$

Kąt między przekątną $B G$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany $B C F E$

RBKdblyzxsYmH

RKRBYDewFE393

Choć analiza powyższych przykładów może być interesująca, dużo częściej będziemy zajmować się prostopadłościanem. Na poniższym rysunku zaznaczono kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą. Na wszystkich rysunkach znajduje się ten sam prostopadłościan widziany z różnych stron.

Przyjęto oznaczenia:
$α$ – kąt między przekątną $B G$ a płaszczyzną podstawy $A B C D$ ,
$β$ – kąt między przekątną $B G$ a płaszczyzną ściany $B C F E$ ,
$γ$ – kąt między przekątną $B G$ a płaszczyzną ściany $A B E H$ .

W tym przypadku kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną jest równy kątowi między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Analogicznie dla kątów między przekątną graniastosłupa a ścianami bocznymi.

Kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą
R158YhfKy3OYq Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $A B C D$ , oraz górnej $E F G H$ . Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Kąt beta między przekątną BG prostopadłościanu a przekątną BF ściany bocznej, oraz kąt gamma między przekątną BG prostopadłościanu przekątną BH ściany bocznej.	RKD097UtJWXas Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $A B C D$ , oraz górnej $E F G H$ . Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Zaznaczono kąt beta między przekątną BF ściany bocznej a przekątną BG graniastosłupa, oraz kąt gamma między przekątną BH ściany bocznej a przekątną BG prostopadłościanu.
R1GbgSlWUKD0B Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $A B C D$ , oraz górnej $E F G H$ . Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną DF ściany bocznej a przekątną DG prostopadłościanu. Zaznaczono kąt beta między przekątną DH ściany bocznej a przekątną DG prostopadłościanu, oraz kąt gamma między przekątną BD podstawy a przekątną DG prostopadłościanu.	R1UDlG6HVf7Ps Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej $A B C D$ , oraz górnej $E F G H$ . Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Zaznaczono kąt beta między przekątną BF ściany bocznej a przekątną BG prostopadłościanu, oraz kąt gamma między przekątną BH ściany bocznej a przekątną BG prostopadłościanu.

Kąty między przekątną prostopadłościanu a ścianami bocznymi i podstawą

R158YhfKy3OYq

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej ABCD, oraz górnej EFGH. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem B wierzchołek E, nad wierzchołkiem C wierzchołek F, nad wierzchołkiem D wierzchołek G. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BD podstawy a przekątną BG prostopadłościanu. Kąt beta między przekątną BG prostopadłościanu a przekątną BF ściany bocznej, oraz kąt gamma między przekątną BG prostopadłościanu przekątną BH ściany bocznej.

RKD097UtJWXas

R1GbgSlWUKD0B

R1UDlG6HVf7Ps

Ponownie sytuacja wygląda inaczej, gdy graniastosłup jest pochyły.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa pochyłego o podstawie kwadratu a płaszczyzną podstawy.
Rkw95vrNZohym	RY1H8m7CVv8Ln

Przykład 18

Dany jest graniastosłupgraniastosłupgraniastosłup o podstawie rombu. Dłuższa przekątna tego graniastosłupa ma długość $12$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $30 °$ . Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość $4 \sqrt{3}$ . Wyznaczymy miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

R101Plo38tRmf

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie rombu. Dolną podstawę oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, natomiast górną wielkimi literami od E do H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G, nad wierzchołkiem D wierzchołek H. Zaznaczono kąt alfa między przekątną BH graniastosłupa a przekątną BD podstawy. Zaznaczono kąt alfa równy trzydzieści stopni, między przekątną AC podstawy a przekątną CE graniastosłupa.

Przyjmijmy oznaczenia jak na powyższym rysunku. Zauważmy, że z trójkąta prostokątnego $E A C$ możemy wyznaczyć wysokość $A E$ graniastosłupa: $|A E| = 6$ .

Z trójkąta prostokątnego $D B H$ mamy:

$|B D| = \sqrt{{|B H|}^{2} - {|D H|}^{2}} = \sqrt{{(4 \sqrt{3})}^{2} - 6^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

Zatem $D B H$ jest trójkątem prostokątnym o bokach długości $6$ , $2 \sqrt{3}$ , $4 \sqrt{3}$ . Oznacza to, że jest to trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Zatem kąt między przekątną $B H$ graniastosłupa a jego podstawą ma miarę $60 °$ .

Graniastosłup sześciokątny

Im więcej krawędzi w podstawie graniastosłupa, tym więcej możliwości – wszak każda przekątna graniastosłupa tworzy jakiś kąt z każdą ścianą tego graniastosłupa.

Rozważmy graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąty pomiędzy przekątnymi (są dwie różne) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego a jego podstawą.
RgDQBQzjL7iVH Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono zielonym kolorem kąt alfa między krótszą przekątną AE podstawy a krótszą przekątną AJ graniastosłupa. Zaznaczono różowym kolorem kąt beta między dłuższą przekątną AD podstawy a dłuższą przekątną AI graniastosłupa.	R1B5VygysGNfj Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono różowym kolorem kąt alfa między krótszą przekątną AE podstawy a krótszą przekątną AJ graniastosłupa. Zaznaczono zielonym kolorem kąt beta między dłuższą przekątną AD podstawy a dłuższą przekątną AI graniastosłupa.

Na poniższych rysunkach zaznaczono kąty pomiędzy przekątnymi (są dwie różne) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego a jego podstawą.

RgDQBQzjL7iVH

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono zielonym kolorem kąt alfa między krótszą przekątną AE podstawy a krótszą przekątną AJ graniastosłupa. Zaznaczono różowym kolorem kąt beta między dłuższą przekątną AD podstawy a dłuższą przekątną AI graniastosłupa.

R1B5VygysGNfj

Zaznaczamy jeszcze kąt między przekątną tego graniastosłupa a ścianą boczną zawierającą jeden z końców przekątnej.

Kąt między krótszą przekątną $A J$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej $A F K L$	Kąt między dłuższą przekątną $A I$ graniastosłupa a ścianą boczną $A B G L$
RkYsTuMuJU5dl Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Z wierzchołka J poprowadzono prostą prostopadłą do płaszczyzny ściany bocznej $A F K L$ w punkcie J prim. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku A, w trójkącie $J A J'$ .	Rbt9iIKCaPxpG Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Dolną podstawę graniastosłupa oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek L, nad wierzchołkiem B wierzchołek G, nad wierzchołkiem C wierzchołek H, nad wierzchołkiem D wierzchołek I, nad wierzchołkiem E wierzchołek J, nad wierzchołkiem F wierzchołek K. Zaznaczono krótszą przekątną GI górnej podstawy, oraz przekątną AG ściany bocznej. Pomiędzy zaznaczonymi przekątnymi jest kąt prosty. Zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku A, w trójkącie prostokątnym $A G I$ .

Kąt między krótszą przekątną $A J$ graniastosłupa a płaszczyzną ściany bocznej $A F K L$

Kąt między dłuższą przekątną $A I$ graniastosłupa a ścianą boczną $A B G L$

RkYsTuMuJU5dl

Rbt9iIKCaPxpG

Przykład 19

Dany jest graniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowygraniastosłup prawidłowy sześciokątny. O krawędzi podstawy $4$ i wysokości $4 \sqrt{2}$ . Wyznaczymy miarę kąta między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

R1ZrE6GOOE7Nf

Rozważmy kąt między przekątną $A G$ ściany $A B G L$ , a płaszczyzną ściany $A F K L$ . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $B A G$ możemy wyznaczyć długość przekątnej $A G$ :

$|A G| = \sqrt{{|A B|}^{2} + {|B G|}^{2}} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$

Niech $G'$ będzie rzutem prostokątnym $G$ na płaszczyznę ściany $A F K L$ . Wówczas kąt $G G' L$ jest prosty. Ponadto można zauważyć, że $|∢ G L G'| = 60 °$ , stąd $|∢ L G G'| = 30 °$ . Ponieważ $|L G'| = 2$ , więc $|G G'| = 2 \sqrt{3}$ .

Z trójkąta prostokątnego $A L G'$ mamy:

$|A G'| = \sqrt{{|A L|}^{2} + {|L G'|}^{2}} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Trójkąt prostokątny $A G G'$ ma boki długości $|A G'| = 6$ , $|A G| = 4 \sqrt{3}$ oraz $|G G'| = 2 \sqrt{3}$ .

Wynika stąd, że jest to trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ , więc $|G A G'| = 30 °$ .

Polecenie 5

W poniższej prezentacji multimedialnej przedstawiono kąty między odcinkami graniastosłupów prawidłowych a płaszczyznami zawierającymi ich ściany. Przeanalizuj poszczególne rysunki. Na ich podstawie wykonaj Polecenie 2.

RtHS1ZBlYcYmM

Polecenie 6

Rozwiąż poniższy test jednokrotnego wyboru.

R14IddWIsMF0e

R1UqjeXHw7xwK

R29cOOUt0jJrU

R4zZQtlXNJLki

R2TvWdhpb1O2j

ROGRE4OzYGtLS

Ćwiczenie 1

REUr5R25Xb6bu

R3sLuP7UeKglP

Graniastosłup jest prawidłowy. Połącz nazwę kąta w graniastosłupie z jego opisem. Kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych. Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych. Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych.

Rv6UXwWvCgJCs1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

R1564DXPlrfxq

RM1MbYRYakeen

R1Ok83F3aQY7H2

Ćwiczenie 4

RN4Sk0cbq8nNt2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dany jest graniastosłup pochyły pięciokątny jak na rysunku.

R1PMnSXPYfdSz

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie będącej pięciokątem i o pochyłych ścianach. Dolna podstawa to pięciokąt A B C D E. Górna podstawa ma następujące wierzchołki: nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek F, nad B znajduje się G, nad C znajduje się H, nad D znajduje się I oraz nad E znajduje się J. Zaznaczono środek górnej podstawy jako punkt K oraz dwa kąty: kąt alga to kąt A F C oraz kąt beta to kąt K I C.

R7WkFcw0XmT9X

Ćwiczenie 7

Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $4$ i wysokości $3$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R8HybOY9bs9fS

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $C D D_{1}$ i $C B B_{1}$ otrzymujemy, że

$|C D_{1}| = |C B_{1}| = 5$ .

Odcinek $B_{1} D_{1}$ jest przekątną kwadratu, czyli

$|B_{1} D_{1}| = 4 \sqrt{2}$ .

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $C D_{1} B_{1}$ , mamy:

${(4 \sqrt{2})}^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cos (∢ B_{1} C D_{1})$ , a stąd

$50 \cos (∢ B_{1} C D_{1}) = 18$ i ostatecznie:

$\cos (∢ B_{1} C D_{1}) = 0, 36$ .

Odczytując z tablic wartości trygonometrycznych, otrzymujemy, że kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych w tym graniastosłupie ma miarę około $69 °$ .

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie pochyłym o podstawie rombu (rysunek) wysokość bryły wynosi
$4$ , przekątna podstawy $B D$ ma długość $8$ , a krawędź podstawy $5$ . Przekątna $E C$ tego graniastosłupa ma długość $4$ . Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w tym graniastosłupie.

RCys96FW3eBd0

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H o podstawie rombu.

Zauważmy, że przekątna $E C$ graniastosłupa ma długość taką, jak wysokość tego graniastosłupa, czyli jest również jego wysokością.

Zauważmy, że trójkąt w podstawie, którego bokami są połowy przekątnych podstawy i krawędź podstawy jest trójkątem pitagorejskim o bokach: $3, 4, 5$ , a zatem

$|A C| = 6$ .

Uzupełnijmy rysunek o dane, które już mamy.

ROhXSZjhCwnd6

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H o podstawie rombu. Zaznaczono przekątną podstawy równą sześć oraz wysokość graniastosłupa równą cztery. Kąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę alfa.

Szukamy cosinusa kąta $α$ .

Trójkąt $A C E$ jest prostokątny, więc wystarczy zastosować definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Obliczmy najpierw długość krawędzi bocznej w tym graniastosłupie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

${|A E|}^{2} = 6^{2} + 4^{2}$ , a stąd

$|A E| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ , a zatem

$\cos α = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ .

Ćwiczenie 9

R1Zd2AzX1oYLg

RN4dDygzJSP8r

Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa Kąt między przekątnymi graniastosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych., 2. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątnymi graniastosłupa., 3. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej CBGF., 4. Ilustracja przedstawiająca graniastosłup o podstawie pięciokąta A B C D E F G H I J. Zaznaczono na nim kąt między przekątną podstawy, BD a przekątną graniastosłupa

Ćwiczenie 10

RXi4RsKcTH8GM

RQjxJRpFIEwJj

Kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego wnętrzu Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną ściany bocznej Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a krótszą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD. Kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI oraz krótszą przekątną podstawy A E, 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa AI ,a dłuższą przekątną podstawy AD, 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa AI oraz przekątną ściany bocznej A G., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a krótszą przekątną podstawy AE., 5. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa wychodzącymi z jednego wierzchołka., 6. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między przekątnymi graniastosłupa przecinającymi się w jego środku., 7. Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie sześciokąta A B C D E F G H I J K L. Zaznaczono kąt między krótszą przekątną graniastosłupa AJ a dłuższa przekątną podstawy AD.

RyjKpzuGPz17z11

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Rozwiąż test.

RHe2MjxN6TC9P

R13DmRlkYm94B

RZh0HEfS915vg

R1aOMiTI6hWbR

Ćwiczenie 13

Przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się w punkcie $I$ pod kątem o mierze $60 °$ . Oblicz odległość punktu $I$ od płaszczyzny podstawy, jeśli krawędź podstawy ma długość $6$ .

Zauważmy, że mamy dwie możliwości:

Kąt o mierze $60 °$ może znajdować się “od strony” ścian bocznych	Kąt o mierze $60 °$ może znajdować się “od strony” podstaw
R12XDLYXrywzG	R16KD01wQkaGz
W tym przypadku $\|∢ J I C\| = 60 °$ , $\|J C\| = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ . Wówczas $\|I J\| \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$ . Stąd $\|I J\| = \sqrt{6}$ .	W tym przypadku $\|∢ J I C\| = 30 °$ , $\|J C\| = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ . Wówczas $\|I J\| = \|J C\| \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 14

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Kąt między przekątnymi o długości $10$ ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę $50 °$ . Oblicz wysokość graniastosłupa.

RpwTT8yeHejyd

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F o podstawie trójkąta. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych.

Z trygonometrii w trójkącie $E G B$ mamy $\sin 25 ° = \frac{|G B|}{|B E|}$ . Stąd $|G B| = |B E| \cdot \sin 25 ° \approx 10 \cdot 0, 4226 = 4, 226$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $B C E$ mamy

$|E C| = \sqrt{{(10)}^{2} - {(2 \cdot 4, 226)}^{2}} \approx 5, 34$ .

Ćwiczenie 15

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy $a$ i wysokości $2 a \sqrt{2}$ . Wyznacz miarę kąta między dłuższą przekątną graniastosłupa i krótszą przekątną podstawy wychodzącymi z tego samego wierzchołka.

R1LfL0ggO2rMk

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J K L o podstawie sześciokąta. zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa oraz przekątną podstawy BD, tworzą one między sobą kąt alfa. Zaznaczono również przekątną ściany bocznej D J

Zauważmy, że długość krótszej przekątnej podstawy to $a \sqrt{3}$ (dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku $a$ ).

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $E D J$ mamy

$|D J| = \sqrt{a^{2} + {(2 a \sqrt{2})}^{2}} = 3 a$ .

Zatem trójkąt $B D J$ jest trójkątem prostokątnym $(|∢ B D J| = 90 °)$ o przyprostokątnych $|B D| = a \sqrt{3}$ i $|D J| = 3 a$ . Czyli $B D J$ jest połową trójkąta równobocznego, więc $|∢ D B J| = 60 °$ .

Ćwiczenie 16

Dany jest graniastosłup prawidłowy pięciokątny o krawędzi podstawy $2$ . Kąt między przekątnymi tego graniastosłupa wychodzącymi z tego samego wierzchołka ma miarę $30 °$ . Oblicz wysokość graniastosłupa.

R1TZSMptR8kAU

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J o podstawie pięciokąta. Zaznaczono na nim dwie przekątne graniastosłupa A H oraz B H tworzą one ze sobą kąt alfa. Zaznaczono również przekątne podstawy AD oraz BD.

Niech $d$ oznacza długość przekątnej graniastosłupa.

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A B H$ mamy:

${|A B|}^{2} = {|A H|}^{2} + {|B H|}^{2} - 2 |A H| \cdot |B H| \cdot \cos (∢ A H B)$ , czyli $2^{2} = d^{2} + d^{2} - 2 d^{2} \cos 30 °$ . Stąd

$4 = 2 d^{2} - d^{2} \cdot \sqrt{3}$

$d^{2} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}} = 4 (2 + \sqrt{3}) = 8 + 4 \sqrt{3}$

Z podobieństwa odpowiednich trójkątów (lub z trygonometrii) można wyznaczyć długość $p$ przekątnej pięciokąta foremnego w zależności od jego boku $a$ :

$p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a$

W naszym przypadku $p = 1 + \sqrt{5}$ .

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A D H$ mamy:

$|D H| = \sqrt{{|A H|}^{2} - {|A D|}^{2}} = \sqrt{d^{2} - p^{2}} = \sqrt{8 + 4 \sqrt{3} - {(1 + \sqrt{5})}^{2}} =$

$= \sqrt{8 + 4 \sqrt{3} - 6 - 2 \sqrt{5}} = \sqrt{2 + 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5}}$ .

Ćwiczenie 17

RA38NZadf84Nb

R1ZmdIAPEMoiM

Na rysunkach zaznaczono kąty między odcinkami a płaszczyznami w graniastosłupach prostych. Połącz w pary odpowiadające sobie opisy. Kąt między przekątną ściany bocznej a podstawą. Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt J A K oznaczono alfa., 2. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt C A K oznaczono alfa., 3. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Z wierzchołka G opuszczono wysokość górnej podstawy G H I, i zaznaczono punkt D. Zaznaczono trójkąt prostokątny B D G, z kątem alfa przy wierzchołku B., 4. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Kąt A B G oznaczono alfa. Kąt między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną. Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt J A K oznaczono alfa., 2. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt C A K oznaczono alfa., 3. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Z wierzchołka G opuszczono wysokość górnej podstawy G H I, i zaznaczono punkt D. Zaznaczono trójkąt prostokątny B D G, z kątem alfa przy wierzchołku B., 4. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Kąt A B G oznaczono alfa. Kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt J A K oznaczono alfa., 2. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt C A K oznaczono alfa., 3. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Z wierzchołka G opuszczono wysokość górnej podstawy G H I, i zaznaczono punkt D. Zaznaczono trójkąt prostokątny B D G, z kątem alfa przy wierzchołku B., 4. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Kąt A B G oznaczono alfa. Kąt między przekątną graniastosłupa a ścianą boczną. Możliwe odpowiedzi: 1. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt J A K oznaczono alfa., 2. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty czworokątny o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek I, nad wierzchołkiem B wierzchołek J, nad wierzchołkiem C wierzchołek K, nad wierzchołkiem D wierzchołek L. Kąt C A K oznaczono alfa., 3. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Z wierzchołka G opuszczono wysokość górnej podstawy G H I, i zaznaczono punkt D. Zaznaczono trójkąt prostokątny B D G, z kątem alfa przy wierzchołku B., 4. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty trójkątny, o podstawie dolnej A B C, oraz górnej G H I. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się wierzchołek H, nad wierzchołkiem C wierzchołek I. Kąt A B G oznaczono alfa.

Ćwiczenie 18

RI27dQPWGjBSN

RhSnKudNWOJGu

Ćwiczenie 19

R1arUIJiIYL9M

REO65jPbx9jM6

RR4wjSiGGFN1A

R1cXX7PR9WC4u

R1Hut5Tb4mQCZ

Rm8qOY3xhE1Kh

Ćwiczenie 20

Ra1nroWfSTFdl

R1HRgZlLYDukL

Połącz w pary opisy rysunków z odpowiednimi kątami, które są na nich przedstawione. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły czworokątny, o krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. A prim jest rzutem prostokątnym wierzchołka A na płaszczyznę G F B C. Kąt kąt A F A prim oznaczono alfa. Możliwe odpowiedzi: 1. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jednej ze ścian bocznych., 2. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 3. Na rysunku zaznaczono kąt pomiędzy wysokością graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 4. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej, a płaszczyzną sąsiedniej ściany bocznej. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły czworokątny, o krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Na płaszczyźnie G F B C zaznaczono punkt I. Kąt I C E oznaczono alfa. Możliwe odpowiedzi: 1. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jednej ze ścian bocznych., 2. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 3. Na rysunku zaznaczono kąt pomiędzy wysokością graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 4. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej, a płaszczyzną sąsiedniej ściany bocznej. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły czworokątny, o krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. E prim jest rzutem prostokątnym wierzchołka E na płaszczyznę A B C D. kąt E E prim C jest kątem prostym. Możliwe odpowiedzi: 1. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jednej ze ścian bocznych., 2. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 3. Na rysunku zaznaczono kąt pomiędzy wysokością graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 4. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej, a płaszczyzną sąsiedniej ściany bocznej. Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły czworokątny, o krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Na płaszczyźnie podstawy A B C D zaznaczono punkt I. Kąt G A I zaznaczono alfa. Możliwe odpowiedzi: 1. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jednej ze ścian bocznych., 2. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 3. Na rysunku zaznaczono kąt pomiędzy wysokością graniastosłupa, a płaszczyzną jego podstawy., 4. Na rysunku zaznaczono kąt między przekątną ściany bocznej, a płaszczyzną sąsiedniej ściany bocznej.

Ćwiczenie 21

Krawędź boczna długości $10 cm$ graniastosłupa pochyłego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $α = 30 °$ . Oblicz wysokość tego graniastosłupa.

Zauważmy najpierw, że wielokąt w podstawie tego graniastosłupa nie ma znaczenia – wysokość graniastosłupa będzie zależeć tylko od długości krawędzi bocznej i kąta jej nachylenia do płaszczyzny podstawy.

RkDQSX1BbxM77

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup pochyły o podstawie dolnej ABCD, oraz górnej EFGH. Z wierzchołka G opuszczono wysokość do płaszczyzny podstawy ABCD i zaznaczono punkt G prim. Zaznaczono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych GG', CG', oraz przeciwprostokątnej stanowiącej krawędź CG graniastosłupa. Zaznaczono kąt alfa między przeciwprostokątną a przyprostokątną CG'.

Przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej mamy $\sin α = \frac{|G G'|}{|G C|}$ , czyli $\sin 30 ° = \frac{|G G'|}{10}$ . Stąd otrzymujemy równanie $\frac{1}{2} = \frac{|G G'|}{10}$ , więc $|G G'| = 5$ .

Ćwiczenie 22

Podstawą graniastosłupa jest romb o boku długości $6$ i kącie ostrym $α = 60 °$ . Wysokość graniastosłupa jest równa $6$ . Wyznacz kąty między przekątnymi graniastosłupa a płaszczyzną jego podstawy.

R1S7yOCvKuqly

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie rombu. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od I do L. Zaznaczono kąt alfa między przekątną AC podstawy, oraz przekątną CI graniastosłupa.

Niech $A C$ oznacza dłuższą przekątną rombu $A B C D$ . Wówczas $|A C| = 2 \cdot \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$ . Zatem $tg α = \frac{|I A|}{|A C|} = \frac{6}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , czyli $α = 30 °$ .

R2VBf5FMa3Rvj

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie rombu. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do D, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od I do L. Zaznaczono kąt beta między krótszą przekątną BD podstawy a przekątną DJ graniastosłupa.

Niech $B D$ oznacza krótszą przekątną rombu $A B C D$ . Wówczas $|B D| = 6$ . Zatem $tg β = \frac{|J B|}{|B D|} = \frac{6}{6} = 1$ , czyli $β = 45 °$ .

Ćwiczenie 23

Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku długości $5$ , ściany boczne są kwadratami. Oblicz sinusy kątów między przekątnymi graniastosłupa a jego podstawą.

R1RAEChKDQ0vB

Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny. Podstawę dolną oznaczono wielkimi literami alfabetu od A do F, natomiast górną wielkimi literami alfabetu od G do L. Zaznaczono kąt alfa między dłuższą przekątną AD podstawy, a dłuższą przekątną LD graniastosłupa.

Niech $L D$ oznacza dłuższą przekątną graniastosłupa. Jej rzut prostokątny na podstawę $A B C D E F$ to $A D$ , czyli dłuższa przekątna sześciokąta. Ponieważ $|A D| = 10$ , więc z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A D L$ mamy:

$|D L| = \sqrt{{|A D|}^{2} + {|A L|}^{2}} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}$ . Zatem $\sin α = \frac{5}{5 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

R15iASkourOjh

Niech $D K$ oznacza krótszą przekątną graniastosłupa. Jej rzut prostokątny na podstawę do $D F$ , czyli krótsza przekątna sześciokąta. Zatem $|D F| = 2 \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$ . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $D F K$ mamy:

$|D K| = \sqrt{{|D F|}^{2} + {|K F|}^{2}} = \sqrt{75 + 25} = 10$ . Zatem $\sin β = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 24

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy $4$ i wysokości $4 \sqrt{2}$ . Wyznacz kąt między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną.

R7pmMToo5Xv5x

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny, o krawędziach bocznych AG, CI, BH. Punkt D zaznaczono na ramieniu podstawy IGH w taki sposób, że odcinek DG stanowi jej wysokość. Kąt ∠DCG oznaczono alfa.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A C G$ mamy:

$|C G| = \sqrt{{|A C|}^{2} + {|A G|}^{2}} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ .

Ponadto $|D G| = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$ .

Zatem $\sin α = \frac{|D G|}{|C G|} = \frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ . Stąd $α = 30 °$ .

Słownik

graniastosłup prosty

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstawy

przekątna ściany bocznej

przekątna równoległoboku, który jest ścianą boczną graniastosłupa

przekątna graniastosłupa

odcinek łączący dwa wierzchołki różnych podstaw nie leżące na jednej ścianie graniastosłupa

graniastosłup prawidłowy

graniastosłup prosty, w którego podstawie znajduje się wielokąt foremny

graniastosłup

wielościan, którego dwie ściany są równoległymi wielokątami przystającymi, zaś pozostałe ściany są równoległobokami; równoległe ściany nazywamy podstawami graniastosłupa, zaś pozostałe to ściany boczne

graniastosłup pochyły

graniastosłup, w którym istnieją ściany boczne, które nie są prostokątami

1.Graniastosłupy - wprowadzenie

3. Ostrosłupy - wprowadzenie