2. Równania kwadratowe

R1VJEC8UN16FR

Czy wiesz, ile rozwiązań może mieć równanie kwadratowe zupełne?
Czy może ich być nieskończenie wiele?

W tym materiale dowiesz się od czego zależy liczba rozwiązań równania kwadratowego zupełnego. Poznasz również wzór na wyróżnik trójmianu kwadratowego.

R1EHUUAH44NAS

Na rysunku przedstawiona jest tablica szkolna z napisanym na niej równaniem: delta równa się B kwadrat odjąć cztery A C, a pod równaniem widnieje napis: z delty rozwiążę każdy problem.

Twoje cele

Obliczysz wyróżnik trójmianu kwadratowego.
Określisz liczbę rozwiązań równania kwadratowego zupełnego w zależności od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego.
Rozwiążesz równania kwadratowe.

Równanie $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ nazywamy równaniem kwadratowym.

Rozwiązanie równania z niewiadomą $x$ polega na wyznaczeniu wszystkich wartości $x$ , które spełniają to równanie. Zbiór wszystkich takich liczb $x$ nazywamy zbiorem rozwiązań równania. Rozwiązania równania nazywa się również pierwiastkami równania.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Rozważmy równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa pierwiastki $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jeden pierwiastek, nazwany podwójnym pierwiastkiem $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma pierwiastków.

Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego

RP61S6JA287JQ

Interpretacja równania kwadratowego zupełnego przedstawiona jest w formie podobnej do tabeli trzy na trzy. Rozpatrzone są tu kolejne przypadki dla różnych wartości A oraz delty. Do każdego wariantu zamieszczony jest schematyczny rysunek wykresu funkcji kwadratowej na płaszczyźnie iks igrek z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Dla A i delty dodatnich, funkcja przyjmie dwa miejsca zerowe: X jeden i X dwa, a wykresem funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do góry, przecinających oś X. Miejsca zerowe opisane są wzorami: x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, minus, pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, mianownik, dwa a, koniec ułamka oraz x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, plus, pierwiastek kwadratowy z DELTA koniec pierwiastka, mianownik, dwa a, koniec ułamka, przy czym DELTA, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a c. Takie same wzory na miejsca zerowe i deltę opisują sytuację, w której mamy ujemne A i dodatnią deltę, z tą różnicą, że wykresem funkcji jest tu parabola z ramionami skierowanymi do dołu, przecinającymi oś X w dwóch miejscach zerowych. Dla A dodatniego i delty równej zero funkcja przyjmuje jedno miejsce zerowe X zero będące wierzchołkiem paraboli o ramionach zwróconych do góry. Miejsce zerowe opisane jest wzorem: x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, mianownik, dwa a, koniec ułamka. Analogicznie jest w przypadku, gdy A jest ujemne, a delta równa zero. Miejsce zerowe opisane jest takim samym wzorem, a wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku położonym na osi X, jednak w tym przypadku jej ramiona skierowane są w dół. Dla A dodatniego oraz ujemnej delty funkcja nie przyjmuje miejsc zerowych, a jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych do góry, leżąca nad osią X. Dla ujemnych A oraz delty funkcja również nie przyjmuje miejsc zerowych, a jej wykresem jest parabola leżąca pod osią X z ramionami skierowanym w dół.

Przykład 1

Sprawdzimy, ile rozwiązań ma równanie $x^{2} - 3 x + 8 = 0$

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 8$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = - 23$

Ponieważ $∆ < 0$ zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Obliczymy, jeżeli istnieją, pierwiastki równaniapierwiastki równaniapierwiastki równania $9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$ .

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = 9$ , $b = - 12$ , $c = 4$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 12)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$

Ponieważ $∆ = 0$ zatem równanie posiada jeden pierwiastek podwójny.

$x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

$x_{0} = \frac{- (- 12)}{2 \cdot 9}$

$x_{0} = \frac{12}{18}$

$x_{0} = \frac{2}{3}$

Równanie posiada jeden pierwiastek podwójny $x_{0} = \frac{2}{3}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Ponieważ $∆ > 0$ zatem $\sqrt{∆} = 1$ .

Równanie posiada dwa pierwiastki $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = \frac{4}{2}$

$x_{1} = 2$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = \frac{6}{2}$

$x_{1} = 3$

Zbiór rozwiązań równania: $\{2, 3\}$ .

Przykład 4

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} - 5 x - 2$ . Rozwiążemy równanie $f (x - 1) = 1 - f (2 - x)$ .

Zapiszemy równanie:

${(x - 1)}^{2} - 5 (x - 1) - 2 = 1 - [{(2 - x)}^{2} - 5 (2 - x) - 2]$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 5 x + 5 - 2 = 1 - (4 - 4 x + x^{2} - 10 + 5 x - 2)$

$x^{2} - 7 x + 4 = 1 - (x^{2} + x - 8)$

$x^{2} - 7 x + 4 = 1 - x^{2} - x + 8$

$2 x^{2} - 6 x - 5 = 0$

$Δ = 36 - 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = 36 + 40 = 76$

$\sqrt{Δ} = 2 \sqrt{19}$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{6 - 2 \sqrt{19}}{4}$

$x_{1} = \frac{3 - \sqrt{19}}{2}$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{6 + 2 \sqrt{19}}{4}$

$x_{2} = \frac{3 + \sqrt{19}}{2}$

Rozwiązaniem równania są liczby $x = \frac{3 - \sqrt{19}}{2}, x = \frac{3 + \sqrt{19}}{2} .$

Przykład 5

Wyznaczymy taką wartość parametru $z$ , aby liczba $x_{0} = - 1$ spełniała równanie $- 4 x^{2} + (z^{2} - 3) x + 2 z^{2} + 4 z + 1 = 0$ .

Ponieważ $- 1$ jest pierwiastkiem równania, więc możemy zapisać zależność:

$- 4 {(- 1)}^{2} + (z^{2} - 3) (- 1) + 2 z^{2} + 4 z + 1 = 0$ .

$- 4 - z^{2} + 3 + 2 z^{2} + 4 z + 1 = 0$

$z^{2} + 4 z = 0$

$z (z + 4) = 0$

$z = 0$ lub $(z + 4) = 0$

$z = 0$ lub $z = - 4$

Aby rozwiązaniem równania była liczbaliczba spełniająca równanierozwiązaniem równania była liczba $x_0=-1$ , musi zachodzić jedna z równości: $z=0$ lub $z=-4$ .

Przykład 6

Podamy przyklad takich liczb $a$ i $b$ , aby równania $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ i $|x - a| = b$ posiadały taki sam zbiór rozwiązań.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem pierwszego równania, które rozwiążemy korzystając z własności wartości bezwzględnej.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 4$

$\sqrt{{(x + 1)}^{2}} = 2$

$|x + 1| = 2$

Uwzględniając równanie $|x - a| = b$ możemy powiedzieć, że $a = - 1$ i $b = 2$ .

Aby równania posiadały taki sam zbiór rozwiązań $a = - 1$ i $b = 2$ .

Infografika

Zapoznaj się z infografiką przedstawiającą klasyfikację równań kwadratowych ze względu na liczbę rozwiązań.

R1HNEB2ZHOT14

Polecenie 1

Narysuj mapę myśli prezentującą rodzaje równań kwadratowych ze względu na liczbę rozwiązań. Do każdego z rodzajów napisz po minimum trzy przykłady równań.

Zaproponuj po trzy przykłady równań kwadratowych, dla których wyróżnik trójmianu kwadratowego będzie dodatni, równy zero i ujemny.

R3Q2C3V3E4TP1

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, w którym przedstawione są sposoby rozwiązywania równań kwadratowych z wykorzystaniem „delty”.

RC9FFD9SE2SRP

Polecenie 2

Rozwiąż równanie. Zastosuj sposoby rozwiązania równania pokazane w filmie samouczku.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$ ,
$25 x^{2} + 20 x + 4 = 0$ ,
$x^{2} + 4 x + 5 = 0$ .

$x = - 5$ lub $x = 3$ ,
$x = - \frac{2}{5}$ ,
brak rozwiązań.

Schemat interaktywny

Polecenie 3

Zapoznaj się ze schematem interaktywnym pokazującym sposób obliczania pierwiastków równania kwadratowego w zależności od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Aby określić pierwiastki równania kwadratowego oraz ich ilość, najpierw należy policzyć wyróżnik trójmianu kwadratowego, który obliczamy ze współczynników równania kwadratowego postaci a x kwadrat dodać b x dodać c równa się 0. Wzór na trójmian kwadratowy to delta równa się b kwadrat odjąć 4 a c. Zanim jednak zaczniemy obliczenia, sprawdzamy najpierw wartość współczynnika a, ponieważ jeśli jest on równy zero, to równanie nie jest kwadratowe i dalsze obliczenia nie mają sensu. Jeżeli współczynnik a jest niezerowy, możemy obliczyć wyznacznik delta. Jeśli będzie on ujemny, wtedy równanie nie posiada pierwiastków. Jeżeli wyznacznik trójmianu delta wynosi zero, wtedy równanie posiada jeden pierwiastek. Jeżeli z kolei wyznacznik jest dodatni, to równianie posiada dwa pierwiastki. Zauważmy, że znaki współczynników równania mają wpływ na znak wyróżnika. O ile akurat współczynnik b nie wpływa na znak, ponieważ w przytoczonym wzorze na deltę b podnosimy do kwadratu (więc ta część wzoru jest zawsze nieujemna), to znaki współczynników a i c mają wpływ na znak wyróżnika. Zauważmy, że we wzorze odejmujemy od b kwadrat iloczyn a i c. Jeżeli więc liczby a i c są obie jednocześnie dodatnie lub obie jednocześnie ujemne, to nadal znak wyróżnika może być dodatni, jeśli iloczyn a i c nie jest większy od b kwadrat. Jeśli są równe, wyznacznik jest zerowy – mamy jeden pierwiastek, jeśli iloczyn jest większy, nie mamy pierwiastków. Jeżeli jednak jedna z liczb a albo c jest ujemna, a druga jest dodatnia, to od razu możemy wywnioskować, że mamy dwa pierwiastki, ponieważ wyznacznik jest dodatni.

R1KTMLAKDAL7T

Polecenie 4

Rozwiąż równania, wpisując współczynniki trójmianu kwadratowego do schematu blokowego. Czy potrafisz sformułować wniosek dotyczący liczby pierwiastków równania $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ w zależności od znaku iloczynu współczynników $a$ i $c$ ?

a) $2 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

b) $2 x^{2} + 5 x + 6 = 0$

c) $2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

d) $2 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

e) $- 3 x^{2} + x - 2 = 0$

f) $3 x^{2} + x - 2 = 0$

Jeżeli $a \cdot c < 0$ to równanie ma dwa różne rozwiązania.

Polecenie 5

Stwórz algorytm obliczający pierwiastki równania kwadratowego postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , w zależności od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego.

RB3XBZB2BLRSR

Wykonaj polecenie stosując język PHP.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1J5PTJHZ8ZEM1

Ćwiczenie 1

R1917VOHJ15NS1

Ćwiczenie 2

R1MJ777R1X5XX2

Ćwiczenie 3

RRTBJ8PCKMZ782

Ćwiczenie 4

Przeciągnij równanie do odpowiedniego okienka. Brak rozwiązań Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, jeden, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa, równa się, zero, 4. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, równa się, zero, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, równa się, minus, trzy, 6. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, zero, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, równa się, zero, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, jeden, równa się, zero, 9. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, dwa x, plus, sześć Jedno rozwiązanie Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, jeden, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa, równa się, zero, 4. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, równa się, zero, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, równa się, minus, trzy, 6. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, zero, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, równa się, zero, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, jeden, równa się, zero, 9. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, dwa x, plus, sześć Dwa rozwiązania Możliwe odpowiedzi: 1. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, x, plus, trzy, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, jeden, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa, równa się, zero, 4. cztery x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, równa się, zero, 5. dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, równa się, minus, trzy, 6. trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, równa się, zero, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, równa się, zero, 8. pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, jeden, równa się, zero, 9. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, minus, dwa x, plus, sześć

RHCDBKTQQRC4N2

Ćwiczenie 5

RBAOP2HRM5DJK2

Ćwiczenie 6

R14JO7AVKE1D93

Ćwiczenie 7

R13V6QMCCB3781

Ćwiczenie 8

Połącz równanie kwadratowe ze zbiorem rozwiązań równania. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, trzy x, plus, dwa, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, dwa, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwa, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy x, plus, dwa, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, cztery, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 2. nawias klamrowy, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego, 3. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 4. nawias klamrowy, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu klamrowego, 5. nawias klamrowy, dwa, zamknięcie nawiasu klamrowego

RSPV5M7GC9FZK1

Ćwiczenie 9

R98MAVCVNNU522

Ćwiczenie 10

RBOSHTADF3D6U2

Ćwiczenie 11

R1MARTQE3G9VJ2

Ćwiczenie 12

R1AQLCXPCGGR22

Ćwiczenie 13

RNLJET878RGNP2

Ćwiczenie 14

RRDFJP1PDP7992

Ćwiczenie 15

R1U55GA9UOAS82

Ćwiczenie 16

R12UP5KZF2M5X2

Ćwiczenie 17

RS3K3AMF9XR3A2

Ćwiczenie 18

RR7JL1OZEXNM22

Ćwiczenie 19

R1P59PFPQZ2182

Ćwiczenie 20

RJQAKJ6RSGZ5Z3

Ćwiczenie 21

RGZZDRLT9KO3O3

Ćwiczenie 22

Przenieś równania do odpowiedniego obszaru. DELTA, większy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, jeden, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x, plus, dwadzieścia trzy, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, dwadzieścia pięć, równa się, zero, 4. minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, siedem, równa się, zero, 5. szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, jeden, równa się, zero, 6. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, sześć, równa się, zero DELTA, równa się, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, jeden, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x, plus, dwadzieścia trzy, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, dwadzieścia pięć, równa się, zero, 4. minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, siedem, równa się, zero, 5. szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, jeden, równa się, zero, 6. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, sześć, równa się, zero DELTA, mniejszy niż, zero Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, minus, jeden, równa się, zero, 2. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć x, plus, dwadzieścia trzy, równa się, zero, 3. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x, plus, dwadzieścia pięć, równa się, zero, 4. minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, siedem, równa się, zero, 5. szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, jeden, równa się, zero, 6. x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, sześć, równa się, zero

RVPEEMZTKLO1Q2

Ćwiczenie 23

RXMBEGNKTXBZB3

Ćwiczenie 24

R1MKSCG9E4XQH3

Ćwiczenie 25

Słownik

równanie kwadratowe

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ dla $a \neq 0$

wyróżnik trójmianu kwadratowego

wyraża się wzorem $∆ = b^{2} - 4 a c$

pierwiastki równania

liczby spełniające równanie

liczba spełniająca równanie

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą

1. Równania kwadratowe - wprowadzenie

3. Nierówności kwadratowe - wprowadzenie