1. Okrąg opisany na trójkącie

RVUT2LPE11OPS

Wyobraźmy sobie sytuację, gdy chcemy odnaleźć np. źródło sygnału, niech to będzie radar lub ukryty skarb. Dysponując wiedzą o trzech różnych, skrajnych punktach, do których dochodzi sygnał oraz umiejętnością wyznaczenia punktu przecięcia symetralnych, możemy odnaleźć źródło sygnału.

R1LtXUv4F20je

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg. Wierzchołki trójkąta są podpisane: sygnał 1, sygnał 2 i sygnał trzy. W trójkącie liniami przerywanymi zaznaczono symetralne jego boków. Środek okręgu leżący w punkcie przecięcia symetralnych jest podpisany: źródło sygnału.

Ten i wiele innych problemów m.in. w geodezji można rozwiązać wykorzystując symetralne odcinków.

Twoje cele

Określisz położenie środka okręgu opisanego na trójkącie.
Uzasadnisz, że na każdym trójkącie można opisać okrąg.
Wyznaczysz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Wykorzystasz poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przypomnijmy definicję symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka.

symetralna odcinka

Definicja: symetralna odcinka

Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek.

R5nxpfqJMHhwL

Ilustracja przedstawia odcinek A B oraz prostą k przecinające się pod kątem prostym w punkcie M.

Jak wiadomo, symetralna odcinka jest miejscem geometrycznym punktów równoodległych od jego końców.

o punkcie leżącym na symetralnej odcinka

Twierdzenie: o punkcie leżącym na symetralnej odcinka

Jeżeli punkt $P$ leży na symetralnej $k$ odcinka $A B$ , to $|A P| = |B P|$ .

R1Vq3ALgNbXZP

Ilustracja przedstawia trójkąt A B P oraz prostą k przecinającą odcinek A B się pod kątem prostym w punkcie M. Prosta k przechodzi przez wierzchołek trójkąta P.

Dowód twierdzenia

Załóżmy, że $P$ jest dowolnym punktem leżącym na symetralnej $k$ odcinka $A B$ . Jeśli $P$ jest środkiem odcinka $A B$ , to oczywiście $|A P| = |B P|$ . Jeśli natomiast $P$ nie jest środkiem odcinka $A B$ , to wtedy trójkąty $A P M$ i $B P M$ , gdzie $M$ oznacza środek odcinka $A B$ , są przystające. Wynika to z cechy $b k b$ przystawania trójkątów (odcinek $P M$ jest wspólnym bokiem tych trójkątów, kąty $A M P$ i $B M P$ są proste oraz $|A M| = |B M|$ ). To kończy dowód.

o przecięciu symetralnych trzech boków trójkąta

Twierdzenie: o przecięciu symetralnych trzech boków trójkąta

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest równoodległy od jego wierzchołków.

R12NLV6PN9KOU

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C, przez każdy z boków poprowadzono symetralną , symetralną boku AB podpisano literą k, symetralną boku BC podpisano literą l. Punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt ten połączono liniami przerywanymi z wierzchołkami trójkąta.

Dowód twierdzenia

Niech $△ A B C$ będzie dowolnym trójkątem. Niech $k$ i $l$ będą symetralnymi boków $A B$ i $B C$ . Niech też $S$ będzie punktem wspólnym tych prostych. Taki punkt istnieje i jest jedyny.

Wówczas na mocy poprzedniego twierdzenia mamy $|A S| = |B S| = |C S|$ . Zatem, znów na mocy tego twierdzenia, punkt $S$ należy do symetralnej odcinka $C A$ .

Wniosek

Dla każdego trójkąta istnieje dokładnie jeden okrągokrągokrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie

Definicja: Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie to okrąg, który zawiera wszystkie wierzchołki trójkąta na którym jest opisany.

R1O9OVA7SD5B7

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg. Przez każdy z boków poprowadzono symetralną, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt S leży wewnątrz trójkąta.

Trójkąt wpisany w okrąg

Definicja: Trójkąt wpisany w okrąg

Trójkąt wpisany w okrąg to trójkąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu.

Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie, to trójkąt jest wpisany w okrąg.

Ważne!

Promień okręgu opisanego na trójkącie oznaczamy $R$ .

$R$ – jest odległością środka okręgu od wierzchołków trójkąta.

Przeanalizujmy, gdzie położony jest środek okręgu w zależności od rodzaju trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie ostrokątnym. Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie ostrokątnym, to środek okręgu leży wewnątrz trójkąta.

R1BPUTZKN8FC1

Wynika to z faktu, że symetralne boków trójkąta ostrokątnego przecinają się w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym. Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie prostokątnym, to środek okręgu leży w punkcie, który dzieli przeciwprostokątną trójkąta na dwa odcinki równej długości.

R13S2BJRLLXQH

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C wpisany w okrąg. Kąt BAC jest kątem prostym. Przez każdy z boków poprowadzono symetralną, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt S leży na przeciwprostokątnej.

Wynika to z faktu, że symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie będącym środkiem przeciwprostokątnej trójkąta.

Okrąg opisany na trójkącie rozwartokątnym. Jeżeli okrąg jest opisany na trójkącie rozwartokątnym, to środek okręgu leży na zewnątrz tego trójkąta.

R5A24M17MB12Z

Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C wpisany w okrąg. Kąt BAC jest kątem rozwartym. Przez każdy z boków poprowadzono symetralną, punkt przecięcia się symetralnych podpisano literą S. Punkt S leży poza trójkatem.

Wynika to z faktu, że symetralne boków trójkąta rozwartokątnego przecinają się w punkcie leżącym na zewnątrz trójkąta.

Przykład 1

Obliczymy pole trójkąta równoramiennego przedstawionego na rysunku, jeżeli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $6$ .

R1UQTXT49VN69

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny wpisany w okrąg, najdłuższy poziomy bok ma długość osiem.

Rozwiązanie

Dorysujmy promienie okręgu oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1C24J5KPELUM

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny wpisany w okrąg, w trójkącie zaznaczono jego wysokość h, która podzieliła podstawę na dwie części o długości cztery. Na rysunku dorysowano promienie o długości sześć. Odcinek od środka okręgu do spodka wysokości trójkąta podpisano literą x.

Wobec tego długość odcinka $x$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$x^{2} + 4^{2} = 6^{2}$

$x^{2} = 20$ , czyli $x = 2 \sqrt{5}$ .

Zatem wysokość trójkąta jest równa:

$h = 6 - 2 \sqrt{5}$ .

Pole trójkąta wynosi:

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (6 - 2 \sqrt{5}) = 24 - 8 \sqrt{5}$ .

Przykład 2

Trójkąt $A B C$ jest trójkątem równoramiennym. Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś $D$ – spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na podstawę $A B$ . Obliczymy długość promienia tego okręgu, jeśli:

a) $|C D| = 5$ i $|A B| = 4$ ,

b) $|C D| = 3$ i $|A B| = 8$ .

Rozwiązanie

a) Skoro $|C D| = 5$ i $|A B| = 4$ , to trójkąt $A B C$ jest trójkątem ostrokątnym:

R3NLUX8QEEO2Z

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, który jest wpisany w okrąg. Z wierzchołka C linią przerywaną poprowadzono wysokość, spodek wysokości podpisano literą D. Odcinek AD oraz BD ma długość 2. Środek okręgu podpisano literą O, leży on na wysokości CD. Odcinek AO podpisano literą R.

Zwróćmy uwagę, że $|O D| = |C D| - |C O| = 5 - R$

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $A D O$ , otrzymujemy:

$R^{2} = {(5 - R)}^{2} + 2^{2}$

$R^{2} = 25 - 10 R + R^{2} + 4$

$10 R = 29$

$R = 2, 9$

b) Skoro $|C D| = 3$ i $|A B| = 8$ , to trójkąt $A B C$ jest trójkątem rozwartokątnym:

R159A23ZL8A42

Z ilustracji graficznej widzimy, że $|O C| = R$ , zaś $|O D| = R - 3$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego $A D O$ otrzymujemy:

$R^{2} = {(R - 3)}^{2} + 4^{2}$

$R^{2} = R^{2} - 6 R + 9 + 16$

$6 R = 25$

$R = 4 \frac{1}{6}$

Przykład 3

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:

a) równoramiennym o przyprostokątnej długości $6 cm$ ,

b) o przyprostokątnych długości $15 cm$ i $8 cm$ .

Rozwiązanie

a) Skoro mamy trójkąt prostokątny, to wiemy już, że środek okręgu opisanego na trójkącieokrąg opisany na trójkącieokręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej, zatem długość promienia tego okręgu równa jest połowie długości przeciwprostokątnej.

$R = \frac{1}{2} c$ , gdzie $c$ jest długością przeciwprostokątnej.

Na początek przypomnijmy sobie zależności, jakie są charakterystyczne dla trójkąta prostokątnego równoramiennego.

R1QXDGUEHNBNH

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, który jest wpisany w okrąg. Odcinki AC i BC mają długość a, przeciwprostokątna AB ma długość a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka. Na odcinku AB leży punkt O będący środkiem okręgu.

Nasze przyprostokątne są długości $6 cm$ , zatem przeciwprostokątna jest długości $6 \sqrt{2} cm$ .

$R = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2} [cm]$

b) Wiemy, że potrzebujemy długości przeciwprostokątnej, zatem stosujemy twierdzenie Pitagorasa, by ją obliczyć.

Załóżmy, że nasza przeciwprostokątna, to $c$ , wówczas otrzymujemy:

$c^{2} = 15^{2} + 8^{2}$

$c^{2} = 225 + 64$

$c^{2} = 289$

$c = 17 [cm]$

Znając długość przeciwprostokątnej, obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

$R = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8, 5 [cm]$ .

Przykład 4

Obliczymy długość wysokości trójkąta prostokątnego wychodzącej z wierzchołka kąta prostego, jeśli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $6$ , a jedna z przyprostokątnych ma długość $4 \sqrt{6}$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RVROKOXLXHKR4

Ilustracja przedstawia trójkąt prosotkątny A B C,gdzie kąt BAC jest kątem prostym, bok AC podpisano literą a, bok AB podpisano b, równa się, cztery pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, bok BC podpisano literą c. Z wierzchołka A na bok BC opuszczono wysokość h, jej spodek podpisano literą E. Z wierzchołka A poprowadzono promień r, równa się, sześć, punkt przecięcia się promienia z bokiem c podpisano literą D.

Odcinek $A D$ jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym $A B C$ , zatem $c = |B C| = 12$ . Wyznaczamy długość przyprostokątnej $a$ :

$a^{2} = 12^{2} - {(4 \sqrt{6})}^{2}$

$a^{2} = 48$

$a = 4 \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że:

$\frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{6} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot h$

Stąd:

$h = 4 \sqrt{2}$

Przykład 5

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $A B C$ . Kąt $A C O$ jest cztery razy większy od kąta $B A O$ , a miara kąta $C B O$ jest o $12 °$ większa od miary kąta $A B O$ . Obliczymy miary kątów trójkąta $A B C$ .

Rozwiązanie

Narysujmy okrąg o środku w punkcie $O$ opisany na trójkącie $A B C$ i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1ZZUR5DMSJ3N

Ilustracja przedstawia trójkąt A b C wpisany w okrąg, środek okręgu podpisano literą O. Z każdego z wierzchołków poprowadzono odcinek do punktu O.

Niech $|∢ B A O| = α$ .

Wobec tego $|∢ A C O| = 4 α$ .

Zauważmy, że trójkąty $A B O$ , $B C O$ oraz $A C O$ są równoramienne.

Zatem:

$|∢ A C O| = |∢ C A O| = 4 α$

$|∢ B A O| = |∢ A B O| = α$

$|∢ B C O| = |∢ C B O| = α + 12 °$

Wobec faktu, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180 °$ , by wyznaczyć wartość $α$ , rozwiązujemy równanie:

$4 α + 4 α + α + α + α + 12 ° + α + 12 ° = 180 °$

$12 α = 156 °$

$α = 13 °$

Zatem miary kątów trójkąta $A B C$ wynoszą:

$|∢ B A C| = 13 ° + 52 ° = 65 °$

$|∢ A C B| = 52 ° + 25 ° = 77 °$

$|∢ A B C| = 13 ° + 25 ° = 38 °$

Przeanalizujemy jeszcze raz własności okręgu opisanego na trójkącie.

RMVHPQ3SLXQXX

Przykład 6

Obliczymy długość promienia okręgu opisanego na trójkąciepromienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie $8 cm$ i ramieniu długości $4 \sqrt{5} cm$ .

Rozwiązanie

Sprawdzimy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach, by poprawnie wykonać rysunek pomocniczy:

${(4 \sqrt{5})}^{2} + 8^{2} > {(4 \sqrt{5})}^{2}$ , zatem jest to trójkąt ostrokątny, środek okręgu opisanego na nim leży wewnątrz trójkąta.

$I$ sposób:

R1H98U8EBVFSL

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg. Środek okręgu podpisano literą O. Punk o leży na wysokości trójkąta opuszczonej na bok o długości osiem. Pozostałe boki trójkąta mają długość cztery pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę:

$h^{2} + 4^{2} = {(4 \sqrt{5})}^{2}$

$h^{2} + 16 = 80$

$h^{2} = 64$

$h = 8 [cm]$

Możemy już obliczyć pole tego trójkąta

$P = \frac{8 \cdot 8}{2} = 32 [{cm}^{2}]$

Przekształcając poznany wzór $P = \frac{a b c}{4 R}$ , obliczymy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie

$R = \frac{a b c}{4 P}$

$R = \frac{4 \sqrt{5} \cdot 4 \sqrt{5} \cdot 8}{4 \cdot 32} = 5 [cm]$

$II$ sposób:

R7Z9UFQ1P7GQA

Zauważmy, że mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h - R = 8 - R$ , $4$ oraz przeciwprostokątnej $R$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

${(8 - R)}^{2} + 4^{2} = R^{2}$

$64 - 16 R + R^{2} + 16 = R^{2}$

$80 = 16 R$

$R = 5 [cm]$

Przykład 7

Wykorzystując własności kątów wpisanych udowodnimy, że pole trójkąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ wpisanego w okrąg o promieniu $R$ wyraża się wzorem:

P = \frac{a b c}{4 R}

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RBF1OFOVVZ78A

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, który został wpisany w okrąg o środku O. Z wierzchołka A przez punkt O poprowadzono odcinek, którego koniec leży na okręgu i jest podpisany literą E. Z wierzchołka A na bok BC opuszczono wysokość h, której spodek podpisano literą D. Odcinek AB podpisano literą c. Odcinek BC podpisano literą a. Odcinek AC podpisano literą b. Odcinek AO podpisano literą R. Kąt BAC podpisano literą alfa. Kąt CBA podpisano literą beta. Kąt EC podpisano literą gamma. Wierzchołki A C E tworzą trójkąt.

Trójkąt $A B C$ o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ i promieniu $R$ . Odcinek $A D$ jest wysokością trójkąta, a odcinek $A E$ jest średnicą okręgu. Kąty $A B C$ oraz $A E C$ są kątami wpisanymi, opartymi na tym samym łuku, zatem mają takie same miary. Stąd trójkąty $A B D$ i $A E C$ są podobne, czyli: $\frac{h}{c} = \frac{b}{2 R}$ , zatem $h = \frac{b c}{2 R}$ .

P = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot \frac{b c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R}

Warto przypomnieć wzór Herona, który pozwala obliczyć pole dowolnego trójkąta, gdy znamy długości wszystkich jego boków.

Jeżeli $0 < a \leq b \leq c$ są długościami boków trójkąta oraz $p = \frac{a + b + c}{2}$ , to pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:

P_{△} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Przykład 8

Obliczymy pole trójkąta wpisanego w okrąg,trójkąt wpisany w okrągtrójkąta wpisanego w okrąg, którego boki są długości: $4 cm$ , $13 cm$ i $15 cm$ , wiedząc, że promień tego okręgu jest równy $8, 125 cm$ .

Rozwiązanie

$I$ sposób:

Korzystając ze wzoru $P = \frac{a b c}{4 R}$ , otrzymujemy:

$P = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 8, 125} = \frac{780}{32, 5} = 24 [{cm}^{2}]$

$II$ sposób:

R1AXAJA93851M

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Bok AB ma długość 4, bok AC ma długość 15, a bok BC ma długość trzynaście.

Korzystając ze wzoru Herona najpierw obliczymy $p = \frac{4 + 13 + 15}{2} = 16 [cm]$ .

Zatem pole tego trójkąta jest równe:

$P_{△} = \sqrt{16 (16 - 4) (16 - 13) (16 - 15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} =$

$= 4 \cdot 6 = 24 [{cm}^{2}]$ .

Aplet

Polecenie 1

Przeanalizuj działanie apletu. Za każdym razem określ położenie środka okręgu opisanego na trójkącie, w zależności od wybranego rodzaju trójkąta.

R1PZHJ6NSV16V

Polecenie 2

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę $40 °$ . Określ położenie środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Ponieważ jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma miarę $40 °$ , zatem musimy przeanalizować dwa przypadki:

gdy podany kąt jest kątem w wierzchołku trójkąta:
RHRJD4MTOBM3T
Wówczas miara $α$ jest równa:
$α = (180 ° - 40 °) : 2 = 70 °$
Trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta.

gdy podany kąt jest kątem przy podstawie trójkąta:
R1MSBQV5VEQMV
Wówczas miara $α$ jest równa:
$α = 180 ° - 2 \cdot 40 ° = 100 °$ .
Trójkąt jest rozwartokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na zewnątrz tego trójkąta.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1VC97DOQJTUM1

Ćwiczenie 1

R6FP7CMGCVOJM1

Ćwiczenie 2

R13KTBATZSSHT1

Ćwiczenie 3

R1XMHM3MNRH271

Ćwiczenie 4

RF4MO9N26PCC92

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że jeden z kątów w trójkącie równoramiennym ma miarę $70 °$ . Określ położenie środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozpatrzmy dwa przypadki:

gdy podany kąt jest kątem przy wierzchołku trójkąta równoramiennego:
RQFLSPT2N43AC
Wówczas miara kąta $α$ wynosi:
$α = (180 ° - 70 °) : 2 = 55 °$ .
Zatem trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

gdy podany kąt jest kątem przy podstawie trójkąta równoramiennego:
R15DZBGOCB7CS
Wówczas miara kąta $α$ wynosi:
$α = 180 ° - 2 \cdot 70 ° = 40 °$ .
Zatem trójkąt jest ostrokątny, wobec tego środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta.

Ćwiczenie 7

Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie prostokątnym o krótszej przyprostokątnej długości $6 cm$ i kącie ostrym o mierze $60 °$ .

Zauważ, że krótsza przyprostokątna musi leżeć na przeciw kąta o mierze $30^{0}$ . Zastanów się jaką długość ma w tym przypadku przeciwprostokątna.

W rozwiązaniu przyda nam się rysunek pomocniczy.

Skoro krótsza przyprostokątna ma długość $6 cm$ , to leży naprzeciw kąta o mierze $30^{0}$ .

RH8S2FDFBGBRU

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna ma długość sześć. Kąt przy tej przyprostokątnej ma miarę 60 stopni, a drugi z kątów ostrych ma miarę 30 stopni.

Potrzebujemy długości przeciwprostokątnej, która jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, zatem przeciwprostokątna jest długości $12 cm$ .

Obliczyć mamy obwód koła, więc skorzystamy z faktu, że $L = dπ$ , gdzie $d$ jest średnicą tego koła.

Przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą koła, zatem $d = 12 cm$ i wówczas $L = 12 π c m$ .

$L = 12 π cm$

Ćwiczenie 8

R19DZ42GT8VVV

R1HXQ487K28D7

R517DZMARNXNT1

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie 10

R162ANBO67118

RE818JBDMUN7R

R1N2KMRT5G1XO2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Odcinek $A C$ jest średnicą okręgu o środku w punkcie $O$ . Punkt $B$ leży na tym okręgu. Wyznacz miary kątów tego trójkąta, jeżeli wiadomo, że $2 α - β = 60 °$ .

RNG6S13PF7BQR

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg, każdy z boków został przedłużony poza krawędź okręgu. Kąt BAC podpisano literą alfa. Kąt BCA podpisano literą beta. Środek okręgu O leży na boku AC.

Zauważ, że okrąg o środku w punkcie $O$ jest opisany na trójkącie $A B C$ . Ponieważ odcinek $A C$ jest średnicą tego okręgu, zatem trójkąt $A B C$ jest prostokątny. Ułóż układ równań pozwalający obliczyć kąty ostre tego trójkąta.

Okrąg o środku w punkcie $O$ jest opisany na trójkącie $A B C$ . Ponieważ odcinek $A C$ jest średnicą tego okręgu, zatem trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

Wobec tego do wyznaczenia miar kątów $α$ i $β$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 α - β = 60 ° \\ α + β = 90 ° \end{cases}$ .

Zatem $α = 50 °$ oraz $β = 40 °$ .

Ćwiczenie 13

Na trójkącie o bokach $\sqrt{10}$ , $\sqrt{13}$ , $\sqrt{23}$ opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Sprawdzamy jakim trójkątem jest trójkąt o podanych długościach boków, porównując sumę kwadratów dwóch krótszych boków z kwadratem długości najdłuższego boku

${\sqrt{10}}^{2} + {\sqrt{13}}^{2} = 10 + 13 = 23 = {\sqrt{23}}^{2}$

Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym, zatem $R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{23}$

$R = \frac{\sqrt{23}}{2}$

Ćwiczenie 14

Punkt $O$ jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Oblicz długość promienia $R$ okręgu i pole tego trójkąta.

RJN5O7Q6RC3T1

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C wpisany w okrąg. Środek okręgu podpisano literą O, punkt ten leży na wysokości opuszczonej z wierzchołka B na odcinek AC, spodek tej wysokości podpisano literą E. Punkt leżący na przecięciu przedłużenia tej wysokości i okręgu podpisano literą D. Odcinek AB , ma długość cztery pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, odcinek AE ma długość cztery.

Zastosuj dwukrotnie twierdzenie Pitagorasa, do trójkątów $B E A$ i $O E A$ .

Stosując twierdzenie Pitagorasa obliczymy wysokość $|BE|$

${| B E |}^{2} + 4^{2} = {(4 \sqrt{3})}^{2}$

${| B E |}^{2} + 16 = 48$

$|B E| = 4 \sqrt{2}$

Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $O E A$ otrzymujemy:

${(4 \sqrt{2} - R)}^{2} + 4^{2} = R^{2}$

$32 - 8 \sqrt{2} R + R^{2} + 16 = R^{2}$

$8 \sqrt{2} R = 48$

$R = 3 \sqrt{2}$

$P_{△} = \frac{8 \cdot 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{32 \sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2}$

$R = 3 \sqrt{2}$

$P_{△} = 16 \sqrt{2}$

RN4CQLPRURHX62

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Trójkąt równoramienny, którego wysokość opuszczona na podstawę ma długość $12$ wpisano w koło o średnicy $\frac{100}{3}$ . Wyznacz długość podstawy tego trójkąta.

Wykorzystaj wzory na pole trójkąta $P = \frac{a b c}{4 R}$ i $P = \frac{1}{2} a h$ oraz twierdzenie Pitagorasa do ułożenia dwóch zależności pomiędzy ramionami i podstawą tego trójkąta.

Przyjmnij oznaczenie jak na rysunku:

R7NEFZDCS4USB

Ilustracja przedstawia trójkąt, w którym narysowano wysokość o długości 12, dzieli ona jeden bok na dwa odcinki o długości a. Drugi bok ma długość b.

Zauważmy, że: $a^{2} + 12^{2} = b^{2}$ oraz $\frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot 12 = \frac{2 a \cdot b \cdot b}{4 R}$ , gdzie $R = \frac{50}{3}$ .
Mamy zatem:
$b^{2} = a^{2} + 144$ i $6 = \frac{b^{2}}{\frac{200}{3}}$
Stąd: $a^{2} + 144 = 400$ , czyli $a^{2} = 256$ , co daje: $a = 16$ .

Zatem podstawa tego trójkąta ma długość $32$ .

Słownik

okrąg

zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu nazywanego środkiem o odległość nazywaną promieniem

ortocentrum

punkt przecięcia wysokości trójkąta

symetralna

symetralna boku to prosta prostopadła do tego boku, przechodząca przez jego środek; istotną własnością symetralnej jest fakt, że punkt leżący na niej jest równooddalony od końców tego odcinka

okrąg opisany na trójkącie

okrąg jest opisany na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu; wówczas powiemy, że trójkąt jest wpisany w okrąg

własności kątów wpisanych i środkowych w kole

miara kąta środkowego jest dwa razy większa niż miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku
miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe

trójkąt wpisany w okrąg

trójkąt jest wpisany w okrąg, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu; mówimy wówczas, że okrąg jest opisany na trójkącie; promień takiego okręgu oznaczamy przez $R$

promień okręgu opisanego na trójkącie

jest to długość odcinka łączącego środek tego okręgu z dowolnym wierzchołkiem trójkąta, oznaczamy go przez $R$

2. Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie