3. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda przeciwnych współczynników - Rozwiązywanie układów równań liniowych

R1VGD3USX4PZQ

3. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda przeciwnych współczynników

Suma dwóch liczb przeciwnych jest równa zero. Jeśli dodamy do siebie wyrażenia podobne, w których odpowiednie współczynniki są liczbami przeciwnymi, to wyrażenia te się zredukują. Własność tę wykorzystujemy podczas rozwiazywania układów równań metodą przeciwnych współczynników. Pozwala ona szybko określać, ile rozwiązań ma układ równań oraz wyznaczać te rozwiązania.

Twoje cele

Przekształcisz równoważnie układ równań tak, aby otrzymać układ równań postaci $\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ .
Rozwiążesz układ równań liniowych metodą przeciwnych współczynników.

Równoważny układ równań

Twierdzenie: Równoważny układ równań

Jeśli obie strony każdego z równań (lub jednego z nich) danego układu równań pomnożymy przez dowolne liczby różne od zera, a następnie równania te dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy jedno z równań układu, to otrzymany układ równań jest równoważny danemurównoważne układy równańukład równań jest równoważny danemu.

Ten fakt wykorzystujemy rozwiązując układy równań metodą przeciwnych współczynników – mnożymy jedno z równań przez taką liczbę, by współczynniki przy jednej ze zmiennych były liczbami przeciwnymi a następnie dodajemy równania stronami.

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań liniowych metodą przeciwnych współczynników.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ 2 y + 3 x = 2 \end{cases}$

Porządkujemy kolejność niewiadomych w układzie równań.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ 3 x + 2 y = 2 \end{cases}$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $(- 3)$ , a obie strony drugiego równania przez liczbę $2$ .

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 | \cdot (- 3) \\ 3 x + 2 y = 2 | \cdot 2 \end{cases}$

Wówczas współczynniki liczbowe przy niewiadomej $x$ będą liczbami przeciwnymi.

Otrzymane równania dodajemy stronami.

$+ \{\begin{cases} - 6 x - 9 y = 3 \\ 6 x + 4 y = 4 \end{cases} - 5 y = 7 : (- 5)$

Rozwiązujemy równanie z niewiadomą $y$ .

$y = - 1 \frac{2}{5}$

Otrzymanym w ten sposób równaniem możemy zastąpić pierwsze z równań układu.

$\{\begin{cases} y = - 1 \frac{2}{5} \\ 3 x + 2 y = 2 \end{cases}$

Postawiamy otrzymaną wartość $y$ do drugiego z równań układu.

$\{\begin{cases} y = - 1 \frac{2}{5} \\ 3 x - 2 \cdot 1 \frac{2}{5} = 2 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} y = - 1 \frac{2}{5} \\ 3 x - 2 \frac{4}{5} = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - 1 \frac{2}{5} \\ 3 x = 2 + 2 \frac{4}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = - 1 \frac{2}{5} \\ x = 4 \frac{4}{5} : 3 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb będącą rozwiązaniem danego układu równań.

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ y = - 1 \frac{2}{5} \end{cases}$

(Sprawdź!)

Przykład 2

Zauważmy, że ten sam układ równań liniowychukład równań liniowych możemy rozwiązać redukując niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 \\ 3 x + 2 y = 2 \end{cases}$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $(- 2)$ , a obie strony drugiego równania przez liczbę $3$ .

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = - 1 | \cdot (- 2) \\ 3 x + 2 y = 2 | \cdot 3 \end{cases}$

Wówczas współczynniki przy niewiadomej $y$ będą liczbami przeciwnymi.

Otrzymane równania dodajemy stronami.

$+ \{\begin{cases} - 4 x - 6 y = 2 \\ 9 x + 6 y = 6 \end{cases} 5 x = 8 : 5$

Rozwiązujemy równanie z niewiadomą $x$ .

$x = \frac{8}{5}$

Otrzymanym w ten sposób równaniem możemy zastąpić pierwsze z równań układu.

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ 3 x + 2 y = 2 \end{cases}$

Postawiamy otrzymaną wartość $x$ do drugiego z równań układu.

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ 3 \cdot \frac{8}{5} + 2 y = 2 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ \frac{24}{5} + 2 y = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ 2 y = 2 - 4 \frac{4}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ y = - 1 \frac{2}{5} \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb będącą rozwiązaniem danego układu równań.

$\{\begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ y = - 1 \frac{2}{5} \end{cases}$ .

Ważne!

Rozwiazywanie układów równań metodą przeciwnych współczynnikówmetoda przeciwnych współczynnikówmetodą przeciwnych współczynników polega na:

pomnożeniu obu stron jednego lub każdego równania przez dowolną liczbę różną od zera, tak aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki;
dodaniu do siebie równań stronami i obliczeniu jednej z niewiadomych;
zapisaniu układu równań, w którym jedno z równań zastępujemy otrzymanym równaniem;
obliczeniu jednej niewiadomej;
podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do drugiego równania;
obliczeniu wartości drugiej niewiadomej.

Przykład 3

Rozwiążemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

$\{\begin{cases} - 2 x + y = 3 \\ x + y = 9 \end{cases}$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $(- 1)$ .

$\{\begin{cases} - 2 x + y = 3 | \cdot (- 1) \\ x + y = 9 \end{cases}$

Równania dodajemy stronami. Rozwiązujemy otrzymane równanie.

$+ \{\begin{cases} 2 x - y = - 3 \\ x + y = 9 \end{cases}$
$3 x = 6 : 3$

$x = 2$

Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy pierwsze z równań układu.

$\{\begin{cases} x = 2 \\ x + y = 9 \end{cases}$

Postawiamy otrzymaną wartość $x$ do drugiego z równań układu.

$\{\begin{cases} x = 2 \\ 2 + y = 9 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 7 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb będącą rozwiązaniem danego układu równań.

(Sprawdź!)

Przykład 4

Aby rozwiązać bardziej skomplikowany układ dwóch równań liniowych, musimy każde z równań układu doprowadzić do najprostszej postaci. Możemy dodawać do obu stron równania to samo wyrażenie oraz mnożyć obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie.

Rozwiążemy układ równańukład równań

$\{\begin{cases} \frac{x + y}{2} + \frac{4 x - y}{3} = 1 \\ 2 (x - y) + 3 = x - 3 y + 1 \end{cases}$

Mnożymy obie strony pierwszego równania przez liczbę $6$ , a w drugim równaniu opuszczamy nawias.

$\{\begin{cases} 3 x + 3 y + 8 x - 2 y = 6 \\ 2 x - 2 y + 3 = x - 3 y + 1 \end{cases}$

Redukujemy wyrazy podobne w każdym z równań.

$\{\begin{cases} 11 x + y = 6 \\ x + y = - 2 \end{cases}$

Po doprowadzeniu układu równań do najprostszej postaci, znajdziemy jego rozwiązanie stosując metodę przeciwnych współczynników.

Mnożymy więc drugie równanie przez liczbę $(- 1)$ .

$\{\begin{cases} 11 x + y = 6 \\ x + y = - 2 | \cdot (- 1) \end{cases}$

Otrzymane równania dodajemy stronami. Rozwiązujemy równanie z niewiadomą $y$ .

$+ \{\begin{cases} 11 x + y = 6 \\ - x - y = 2 \end{cases}$

$10 x = 8 : 10$

$x = 0, 8$

Otrzymanym w ten sposób równaniem zastępujemy jedno z równań układu.

$\{\begin{cases} x + y = - 2 \\ x = 0, 8 \end{cases}$

Postawiamy otrzymaną wartość $x$ do drugiego z równań układu.

$\{\begin{cases} y + 0, 8 = - 2 \\ x = 0, 8 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} y = - 2, 8 \\ x = 0, 8 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb

$\{\begin{cases} y = - 2, 8 \\ x = 0, 8 \end{cases}$

będącą rozwiązaniem danego układu równań.

Przykład 5

Rozwiążemy układ równań

$\{\begin{cases} - \sqrt{3} x + 2 y = 3 \\ x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} y = - \sqrt{3} \end{cases}$ .

Mnożymy obie strony drugiego równania przez $\sqrt{3}$ .

$\{\begin{cases} - \sqrt{3} x + 2 y = 3 \\ \sqrt{3} x - 2 y = - 3 \end{cases}$

Dodajemy równania stronami.

$+ \{\begin{cases} - \sqrt{3} x + 2 y = 3 \\ \sqrt{3} x - 2 y = - 3 \end{cases}$
$0 = 0$

Otrzymaliśmy tożsamość $0 = 0$ .

Oznacza to, że układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci

$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3}{2} \end{cases}$

Jest to układ równań nieoznaczony (układ równań zależnych).

Przykład 6

Znajdź rozwiązania układu równań

$\{\begin{cases} \frac{2 x + y}{3} - \frac{2 y + 3 x}{5} = \frac{1}{15} \\ {(x + 1)}^{2} - {(y + 1)}^{2} = x^{2} - y^{2} + 15 \end{cases}$ .

Przekształcając równoważnie każde z równań, doprowadzamy układ równań do najprostszej postaci.

$\{\begin{cases} \frac{2 x + y}{3} - \frac{2 y + 3 x}{5} = \frac{1}{15} | \cdot 15 \\ x^{2} + 2 x + 1 - y^{2} - 2 y - 1 = x^{2} - y^{2} + 15 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 10 x + 5 y - 6 y - 9 x = 1 \\ 2 x - 2 y = 15 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - y = 1 \\ 2 x - 2 y = 15 \end{cases}$

Zastosujemy teraz metodę przeciwnych współczynników, aby znaleźć rozwiązanie tego układu.

Aby otrzymać przeciwne współczynniki przy niewiadomej $x$ , pomnożymy pierwsze równanie przez liczbę $(- 2)$ .

$\{\begin{cases} x - y = 1 | \cdot (- 2) \\ 2 x - 2 y = 15 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 x + 2 y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 15 \end{cases}$

Otrzymaliśmy układ równań, w którym przeciwne współczynniki znajdują się zarówno przy niewiadomej $x$ , jak i przy niewiadomej $y$ .

Dodając równania stronami otrzymujemy:

$+ \{\begin{cases} - 2 x + 2 y = - 2 \\ 2 x - 2 y = 15 \end{cases}$
$0 = 13$

A zatem ten układ równań jest sprzeczny i nie posiada rozwiązania.

Przykład 7

Obliczymy długości boków trójkąta równoramiennego $A B C$ przedstawionego na poniższym rysunku, wiedząc, że podstawa $A B$ jest o $5$ dłuższa od jednego z ramion.

R1FMSSRCA49HK

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Długości konkretnych odcinków zostały oznaczone wyrażeniami z dwoma niewiadomymi. Odcinek A B jako podstawa o długości x, plus, dwa, razy, y, plus, jeden, odcinek B C od długości y, plus, trzy oraz odcinek A C o długości trzy, razy, x, plus, dwa.

Zapisujemy i porządkujemy odpowiedni układ równań.

$\{\begin{cases} 3 x + 2 = y + 3 \\ x + 2 y + 1 = y + 3 + 5 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x - y = 3 - 2 \\ x + 2 y - y = 8 - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases}$

W tym układzie równań, przed niewiadomą $y$ znajdują się przeciwne współczynniki, a zatem możemy dodać równania stronami i rozwiązać ten układ metodą przeciwnych współczynnikówmetoda przeciwnych współczynnikówmetodą przeciwnych współczynników.

$+ \{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ x + y = 7 \end{cases} 4 x = 8$

$x = 2$

Obliczamy teraz niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} x = 2 \\ x + y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \\ 2 + y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 5 \end{cases}$

Możemy teraz obliczyć długości boków trójkąta $A B C$ .

$|A B| = x + 2 y + 1 = 13$

$|B C| = y + 3 = 8$

$|A C| = 3 x + 2 = 8$ .

Przykład 8

Korzystając z metody przeciwnych współczynników, wyznaczymy liczbę rozwiązań układów równań liniowych.

$\{\begin{cases} 3 x + 12 y = 4 \\ - x - 4 y = 4 \end{cases}$
$\{\begin{cases} 3 x + 12 y = 4 \\ - x - 4 y = 4 | \cdot 3 \end{cases}$
$+ \{\begin{cases} 3 x + 12 y = 4 \\ - 3 x - 12 y = 12 \end{cases} 0 = 16$
Jest to układ sprzecznyukład równań sprzecznyukład sprzeczny. Taki układ równań nie posiada rozwiązań.
$\{\begin{cases} - 2 x + 6 y = 10 \\ x - 3 y = - 5 \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 2 x + 6 y = 10 \\ x - 3 y = - 5 | \cdot 2 \end{cases}$
$+ \{\begin{cases} - 2 x + 6 y = 10 \\ 2 x - 6 y = - 10 \end{cases} 0 = 0$
Jest to układ nieoznaczonyukład równań nieoznaczonyukład nieoznaczony. Posiada on nieskończenie wiele rozwiązań postaci
$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} \end{cases}$ .
$\{\begin{cases} x - 4 y = 3 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases}$
Redukujemy niewiadomą $x$ .
$\{\begin{cases} x - 4 y = 3 | \cdot (- 2) \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases}$
Dodajemy równania stronami.
$+ \{\begin{cases} - 2 x + 8 y = - 6 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases} 5 y = - 5$
Obliczmy wartość niewiadomej $y$ .
$y = - 1$
$\{\begin{cases} x - 4 y = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$
Podstawimy otrzymaną wartość $y$ do pierwszego równania i obliczamy niewiadomą $x$ .
$\{\begin{cases} x - 4 \cdot (- 1) = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x + 4 = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases}$
Jest to układ oznaczonyukład równań oznaczonyukład oznaczony. Posiada on jedno rozwiązanie postaci $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

Przykład 9

Zbadamy, dla jakich wartości parametru $k$ , rozwiązaniami układu równań

$\{\begin{cases} 2 x + y = k + 1 \\ x - 2 y = k \end{cases}$

są pary liczb dodatnich.

Aby wyznaczyć rozwiązanie układu równań, możemy pomnożyć drugie równanie przez liczbę $(- 2)$ . Otrzymamy wtedy przeciwne współczynniki przy niewidomej $x$ .

$\{\begin{cases} 2 x + y = k + 1 \\ x - 2 y = k | \cdot (- 2) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x + y = k + 1 \\ - 2 x + 4 y = - 2 k \end{cases}$

Dodajemy równania stronami i wyznaczamy niewiadomą $y$ .

$+ \{\begin{cases} 2 x + y = k + 1 \\ - 2 x + 4 y = - 2 k \end{cases} 5 y = 1 - k$

$y = \frac{1 - k}{5}$

Możemy zastąpić otrzymaną równością pierwsze z równań układu. Następnie wyznaczamy niewiadomą $x$ .

$\{\begin{cases} y = \frac{1 - k}{5} \\ x - 2 y = k \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{1 - k}{5} \\ x - 2 \cdot \frac{1 - k}{5} = k \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{1 - k}{5} \\ x = k + 2 \cdot \frac{1 - k}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{1 - k}{5} \\ x = \frac{5 k}{5} + \frac{2 - 2 k}{5} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = \frac{1 - k}{5} \\ x = \frac{2 + 3 k}{5} \end{cases}$

Sprawdzamy dla jakich $k$ liczby $x$ i $y$ są liczbami dodatnimi.

$y = \frac{1 - k}{5} > 0 \Leftrightarrow 1 - k > 0 \Leftrightarrow k < 1$

$x = \frac{2 + 3 k}{5} > 0 \Leftrightarrow 2 + 3 k > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{2}{3}$

A zatem $\{\begin{cases} y > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow k \in (- \frac{2}{3}, 1)$ .

Prezentacja multimedialna

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną przedstawiającą zasadę rozwiązywania układów równań metodą przeciwnych współczynników.

RaGI5GiecRWu2

Polecenie 1

Rozwiąż układ równań

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ 2 x - 4 y = - 2 \end{cases}$

metodą przeciwnych współczynników:

redukując niewiadomą $x$ ;
redukując niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 | \cdot 2 \\ 2 x - 4 y = - 2 | \cdot 3 \end{cases}$
$+ \{\begin{cases} - 6 x + 4 y = 10 \\ 6 x - 12 y = - 6 \end{cases} - 8 y = 4 : (- 8)$
$y = - \frac{1}{2}$
$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 3 x + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 5 \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 3 x = 5 + 1 \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}$
$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 | \cdot 2 \\ 2 x - 4 y = - 2 \end{cases}$
$+ \{\begin{cases} - 6 x + 4 y = 10 \\ 2 x - 4 y = - 2 \end{cases} - 4 x = 8 : (- 4)$
$x = - 2$
$\{\begin{cases} x = - 2 \\ 2 x - 4 y = - 2 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = - 2 \\ 2 \cdot (- 2) - 4 y = - 2 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = - 2 \\ - 4 y = - 2 + 4 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Odpowiedź:

$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Animacja multimedialna

Zapoznaj się z przykładami zastosowania metody przeciwnych współczynników do rozwiązywania układów równań.

R1211QTSSQ6Z3

Polecenie 2

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = \frac{5}{6} \\ x - y = 0, 5 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 0, 5 \end{cases}$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

fulpage

Pokaż ćwiczenia:

R1ZNMJ7HZ4SM11

Ćwiczenie 1

Połącz w pary równoważne układy równań. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, drugie równanie, trzy x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, plus, osiem y, równa się, minus, dwadzieścia, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, minus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, trzy x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, drugie równanie, minus, dwa x, plus, cztery y, równa się, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dziewięć x, plus, trzy y, równa się, sześć, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, minus, dwa y, równa się, pięć, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, plus, osiem y, równa się, minus, dwadzieścia, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, minus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, trzy x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, drugie równanie, minus, dwa x, plus, cztery y, równa się, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dziewięć x, plus, trzy y, równa się, sześć, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, drugie równanie, x, minus, dwa y, równa się, pięć, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, plus, osiem y, równa się, minus, dwadzieścia, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, minus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, trzy x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, drugie równanie, minus, dwa x, plus, cztery y, równa się, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dziewięć x, plus, trzy y, równa się, sześć, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, koniec układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, cztery x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, drugie równanie, trzy x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, plus, osiem y, równa się, minus, dwadzieścia, koniec równania, drugie równanie, cztery x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, cztery x, minus, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, drugie równanie, trzy x, plus, y, równa się, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, drugie równanie, minus, dwa x, plus, cztery y, równa się, minus, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dziewięć x, plus, trzy y, równa się, sześć, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, trzy y, równa się, siedem, koniec równania, koniec układu równań

R16DJ1QEP3CG71

Ćwiczenie 2

R8ZV5BMMT2H381

Ćwiczenie 3

R19K91U6NDU4C2

Ćwiczenie 4

R1BHSLAUOZNG92

Ćwiczenie 5

Uporządkuj układy równań tak, aby przedstawiały kolejne kroki rozwiązania układu równań nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, y, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, dwa nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, minus, y, równa się, sześć, koniec równania, koniec układu równań. Elementy do uszeregowania: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, trzy y, równa się, sześć, równanie mnożymy obustronnie przez, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, y, równa się, sześć, plus, osiem, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, y, równa się, jeden, równanie mnożymy obustronnie przez, sześć, koniec równania, drugie równanie, dwa nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, minus, y, równa się, sześć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, minus, y, równa się, czternaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, trzy y, równa się, sześć, koniec równania, drugie równanie, dwa x, minus, osiem, minus, y, równa się, sześć, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, równa się, sześć, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 7. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa x, plus, dwa, równa się, czternaście, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań, 8. dodajemy do siebie dwa równania z układu czyli do równania minus 2 x odjąć 3 y równa się minus 6 dodajemy równanie 2 x odjąć y równa się 14 stąd minus 4 y równa się 8 podzielić obie strony na minus 4

Ćwiczenie 6

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

$\{\begin{cases} \frac{y + x}{2} + \frac{- 2 x - 1}{5} = 1 \\ (x - 1) (y + 2) = x y - 11 \end{cases}$ .

$\{\begin{cases} \frac{y + x}{2} + \frac{- 2 x - 1}{5} = 1 | \cdot 10 \\ (x - 1) (y + 2) = x y - 11 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 y + 5 x - 4 x - 2 = 10 \\ x y + 2 x - y - 2 = x y - 11 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + 5 y = 12 | \cdot (- 2) \\ 2 x - y = - 9 \end{cases}$

$+ \{\begin{cases} - 2 x - 10 y = - 24 \\ 2 x - y = - 9 \end{cases} - 11 y = - 33 : (- 11)$

$y = 3$

$\{\begin{cases} x + 5 y = 12 \\ y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + 15 = 12 \\ y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 3 \\ y = 3 \end{cases}$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz miary kątów trójkąta $A B C$ , wiedząc, że $|A C| = |B C|$ oraz $|∢ A B C| = x + 3 y$ , $|∢ A C B| = 60 - 2 y$ , $|∢ B A C| = 2 x + 20$ .

Ułóż odpowiednie układy równań i rozwiąż je metodą przeciwnych współczynników.

Rozwiąż układ równań:

$\{\begin{cases} 2 x + 20 = x + 3 y \\ 2 x + 20 + x + 3 y + 60 - 2 y = 180 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - 3 y = - 20 | \cdot (- 3) \\ 3 x + y = 100 \end{cases}$

$+ \{\begin{cases} - 3 x + 9 y = 60 \\ 3 x + y = 100 \end{cases} 10 y = 160 : 10$

$y = 16$

$\{\begin{cases} x - 3 y = - 20 \\ y = 16 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - 48 = - 20 \\ y = 16 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 28 \\ y = 16 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 28 ° \\ y = 16 ° \end{cases}$

$|∢ A B C| = 76 °$

$|∢ A C B| = 28 °$

$|∢ B A C| = 76 °$ .

Ćwiczenie 8

Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta, którego boki zawierają się w prostych $a$ , $b$ , $c$ danych równaniami:

$a : x - 5 y = 8$ ,

$b : x = - 2$ ,

$c : 4 x + 5 y = 7$ .

Punkt $A$ :

$\{\begin{cases} x = - 2 | \cdot (- 4) \\ 4 x + 5 y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 3 \end{cases}$

Punkt $B$ :

$\{\begin{cases} x - 5 y = 8 | \cdot (- 4) \\ 4 x + 5 y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$

Punkt $C$ :

$\{\begin{cases} x - 5 y = 8 | \cdot (- 1) \\ x = - 2 \end{cases}$

${\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 2 \end{cases}$

$(- 2, 3)$ , $(3, - 1)$ , $(- 2, - 2)$ .

RQ77GVASMPZ3C1

Ćwiczenie 9

R9HHZRCKL29TH1

Ćwiczenie 10

RPMKHCMCK4T1U1

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

$\{\begin{cases} - 7 x + 4 y = 2 \\ 3 x - y = 7 \end{cases}$ .

Wymnóż drugie z równań przez taką liczbę, by następnie zredukować niewiadomą $y$ .

$\{\begin{cases} - 7 x + 4 y = 2 \\ 3 x - y = 7 | \cdot 4 \end{cases}$

$+ \{\begin{cases} - 7 x + 4 y = 2 \\ 12 x - 4 y = 28 \end{cases} 5 x = 30$

$x = 6$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ 3 x - y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ 3 \cdot 6 - y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ 18 - y = 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ - y = - 11 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 11 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 6 \\ y = 11 \end{cases}$ .

R1HFQ3UOZDQJB2

Ćwiczenie 13

Sprawdź metodą przeciwnych współczynników, czy układ jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny. Przeciągnij odpowiednie układy do właściwych grup. Układy oznaczone Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, dziewięćdziesiąt x, plus, sto dwadzieścia y, równa się, dziewięćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, minus, sześć x, minus, dziesięć y, równa się, minus, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, minus, czterdzieści x, plus, trzydzieści y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, trzy x, minus, pięć y, równa się, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, czterdzieści x, minus, trzydzieści y, równa się, sześćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, minus, sześć x, minus, dziesięć y, równa się, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań Układy nieoznaczone Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, dziewięćdziesiąt x, plus, sto dwadzieścia y, równa się, dziewięćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, minus, sześć x, minus, dziesięć y, równa się, minus, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, minus, czterdzieści x, plus, trzydzieści y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, trzy x, minus, pięć y, równa się, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, czterdzieści x, minus, trzydzieści y, równa się, sześćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, minus, sześć x, minus, dziesięć y, równa się, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań Układy sprzeczne Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, dziewięćdziesiąt x, plus, sto dwadzieścia y, równa się, dziewięćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, minus, sześć x, minus, dziesięć y, równa się, minus, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, minus, czterdzieści x, plus, trzydzieści y, równa się, dziesięć, koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, trzy x, minus, pięć y, równa się, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań, 5. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, sto dwadzieścia x, plus, dziewięćdziesiąt y, równa się, trzydzieści, koniec równania, drugie równanie, czterdzieści x, minus, trzydzieści y, równa się, sześćdziesiąt, koniec równania, koniec układu równań, 6. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, trzy x, plus, pięć y, równa się, dwanaście, koniec równania, drugie równanie, minus, sześć x, minus, dziesięć y, równa się, dwadzieścia cztery, koniec równania, koniec układu równań

Ćwiczenie 14

Czworokąt $A B C D$ , przedstawiony na rysunku, jest prostokątem.

R1TV5NT7V6ORG

Ilustracja przedstawia prostokąt A B C D. Długości boków są oznaczone wyrażeniami z dwiema niewiadomymi. Odcinek A B y, plus, trzy, odcinek B C dwa, razy, ×, minus, y, plus, pięć, odcinek C D dwa, plus, × oraz odcinek A D ×, plus, y.

RE5VO7LOAMGTD

R1GG5XPVJFCPA

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

równoważne układy równań

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

metoda przeciwnych współczynników

metoda polegająca na pomnożeniu obu stron jednego lub każdego równania przez dowolną liczbę różną od zera, tak aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki, dzięki czemu po dodaniu do siebie równań stronami można obliczyć jedną z niewiadomych

2. Rozwiązywanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi - metoda podstawiania

4. Wiedza z plusem - metoda wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi