• Określisz, jaką figurą jest przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez wskazane punkty.

• Obliczysz długości boków i pola różnych przekrojów graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i sześciokątnego.

• Obliczysz pola powierzchni przekrojów graniastosłupów prawidłowych czworokątnych i sześciokątnych.

• Wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przekrojem bryły płaszczyzną nazywamy figurę, która jest częścią wspólną płaszczyzny i tej bryły.

Graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami, nazywamy graniastosłupem prawidłowym czworokątnym.

RdNrgjJpjP1Cy

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną literą h.

Obliczymy długości boków przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku, wiedząc o tym, że płaszczyzna przekroju przechodzi przez środki krawędzi bocznych.

R96zJZdhTV5JO

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy wynoszą osiem, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi $3\sqrt{10}$. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi prostokąt, którego jedna para boków jest równa długości krawędzi podstawy, natomiast drugą parę boków stanowią odcinki, których długość jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i $\frac{3\sqrt{10}}{2}$.

Rozwiązanie:

Przekrój przedstawiony na rysunku jest prostokątem o jednym boku, będącym krawędzią podstawy graniastosłupa. Do wyznaczenia długości drugiego boku korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

R3os3s1b0IkSK

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości osiem i $\frac{3\sqrt{10}}{2}$. Długość przeciwprostokątnej oznaczono literą x.

Zatem:

${\left(\frac{3}{2}\sqrt{10}\right)}^2+8^2=x^2$

$x^2=\frac{90}{4}+64=\frac{346}{4}$

$x=\sqrt{\frac{346}{4}}=\frac{\sqrt{346}}{2}$

Wobec tego przedstawiony przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest prostokątem o bokach $8$ i $\frac{\sqrt{346}}{2}$.

Wyznaczymy długości boków przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy graniastosłupa pod kątem $60°$, a pole podstawy graniastosłupa wynosi $18$.

R1CkLZVBUaJv4

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią krawędzie podstaw graniastosłupa, oraz przekątne przeciwległych ścian bocznych graniastosłupa. Zaznaczono kąt nachylenia 60 stopni przekątnej ściany bocznej do krawędzi a.

Rozwiązanie:

Narysowany przekrój graniastosłupa jest prostokątem o bokach równych długości krawędzi podstawy oraz przekątnej ściany bocznej graniastosłupa.

Ponieważ pole podstawy graniastosłupa jest równe $18$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^2=18$

$a=3\sqrt{2}$

Do wyznaczenia długości przekątnej ściany bocznej graniastosłupa rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

Rz85urZuvCBVx

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i h, oraz przeciwprostokątnej długości x. Kąt naprzeciw przyprostokątnej h wynosi 60 stopni.

Wobec tego $x=2·a=2·3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Zatem omawiany przekrój jest prostokątem o bokach $3\sqrt{2}$ i $6\sqrt{2}$.

Obliczymy długość wysokości w trójkącie, będącym przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku, jeżeli wiadomo, że krawędź podstawy ma długość $4\sqrt{2}$, a pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi $64+160\sqrt{2}$.

RgSHkRVMsLJ0q

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy mają długość $4\sqrt{2}$ , natomiast krawędź boczną oznaczono literą h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy.

Rozwiązanie:

Zaznaczmy na rysunku szukaną wysokość przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Rdju54b3enjJr

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy mają długość $4\sqrt{2}$ , natomiast krawędź boczną oznaczono literą h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy. Zielonym kolorem zaznaczono wysokość trójkąta, oznaczoną literą y, natomiast długości ramion oznaczono literą x.

Zauważmy, że narysowany przekrój jest trójkątem równoramiennym.

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa.

Wobec tego $a=4\sqrt{2}$.

Ponieważ pole powierzchni całkowitej graniastosłupa z rysunku jest równe $64+160\sqrt{2}$, zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$64+160\sqrt{2}=2·{\left(4\sqrt{2}\right)}^2+4·4\sqrt{2}·h$

$64+160\sqrt{2}=64+16\sqrt{2}h$

$160\sqrt{2}=16\sqrt{2}h$

$h=\frac{160\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}=10$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, do wyznaczenia długości $x$, będącej przekątną ściany bocznej graniastosłupa, rozwiązujemy równanie:

$x^2=a^2+h^2$

$x^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+{10}^2$

$x^2=32+100=132$

$x=\sqrt{132}=2\sqrt{33}$

Do wyznaczenia wysokości $y$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

R1DJc0kPAnCeE

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ oraz y. Długość przeciwprostokątnej oznaczono literą x.

Zatem:

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+y^2=x^2$

${\left(\frac{4\sqrt{2}·\sqrt{2}}{2}\right)}^2+y^2={\left(2\sqrt{33}\right)}^2$

$16+y^2=132$

$y^2=116$

$y=2\sqrt{29}$

Wysokość omawianego przekroju ma długość $2\sqrt{29}$.

Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $2\sqrt{3}$, a krawędź boczna $6$. Obliczymy obwód i pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i środek krawędzi bocznej.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, omawiany przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

Ro1cgno99I7x1

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny. Podstawa trójkąta jest przekątną podstawy graniastosłupa, natomiast ramiona są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i jedna druga h. Długości ramion trójkąta oznaczono literą x, natomiast długość podstawy literą d.

Z treści zadania wiadomo, że $a=2\sqrt{3}$ oraz $h=6$.

Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości $d$ i ramionach długości $x$.

Zauważmy, że $d=a\sqrt{2}=2\sqrt{3}·\sqrt{2}=2\sqrt{6}$.

Do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2=a^2+{\left(\frac{1}{2}h\right)}^2$

$x^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+3^2$

$x=\sqrt{21}$

Zatem obwód trójkąta wynosi:

$L=2\sqrt{6}+2\sqrt{21}=2·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)$.

Do wyznaczenia wartości pola powierzchni przekroju użyjemy wzoru Herona, za pomocą którego oblicza się pole trójkąta, gdy dane są długości jego trzech boków: $a, b, c$.

$P=\sqrt{p·\left(p-a\right)·\left(p-b\right)·\left(p-c\right)}$, gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$

Wobec tego:

$p=\frac{2·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)}{2}=\sqrt{6}+\sqrt{21}$

$P=\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}-2\sqrt{6}\right)·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}-\sqrt{21}\right)·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}-\sqrt{21}\right)}$

$=\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)·\left(\sqrt{21}-\sqrt{6}\right)·\sqrt{6}·\sqrt{6}}=\sqrt{15·6}=3\sqrt{10}$

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą przekątne jego podstaw. Obliczymy sinus kąta nachylenia przekątnej tego przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa, jeżeli wiadomo, że długości przekątnej podstawy, krawędzi bocznej oraz przekątnej graniastosłupa są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $2$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój oraz kąt nachylenia i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RkaDBIQ3tSkgW

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią przekątne podstaw graniastosłupa, oraz przeciwległe krawędzie boczne bryły. Zielonym kolorem zaznaczono przekątną prostokąta, a zarazem przekątną graniastosłupa i oznaczono ją literą d. Długość boku stanowiącego przekątną podstawy oznaczono literą x. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x, h oraz przeciwprostokątnej d. Kąt między przekątną d, a płaszczyzną podstawy oznaczono alfa.

Ponieważ długości przekątnej podstawy, krawędzi bocznej oraz przekątnej graniastosłupa są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $2$, to:

$h=x+2$

$d=x+4$

Wobec tego, korzystając z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x^2+{\left(x+2\right)}^2={\left(x+4\right)}^2$

$x^2+x^2+4x+4=x^2+8x+16$

$x^2-4x-12=0$

$∆={\left(-4\right)}^2-4·\left(-12\right)=64$

$x_1=\frac{4-8}{2}=-2<0$

$x_2=\frac{4+8}{2}=6>0$

Zatem $h=8$ oraz $d=10$.

Jeżeli zastosujemy definicję funkcji trygonometrycznej sinus, to:

$\sin \alpha =\frac{h}{d}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $a$ i wysokości trzy razy dłuższej od krawędzi podstawy przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem$\alpha \in \left(0°,90°\right.⟩$. Określimy, jaką figurą jest przekrój graniastołupa prawidłowego czworokątnego, w zależności od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju.

Rozwiązanie:

Mamy następujące przypadki:

I. jeżeli $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|BD\right|}{\left|SB\right|}\le \frac{3a}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}}=3\sqrt{2}$, to $\alpha \in \left(0°,77°\right.⟩$, przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkąt równoramienny.

RTB8lfrJaf07x

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Trzy kolejne wierzchołki podstawy oznaczono A, B, C. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono 3a. Na krawędzi bocznej wychodzącej z wierzchołka B, zaznaczono punkt D. Miejsce przecięcia przekątnych podstawy oznaczono punktem S. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest trójkątem równoramiennym $ACD$. Z wierzchołka D opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie S. $\angle DSB$ oznaczono alfa.

II. jeżeli $\mathrm{tg}\alpha >3\sqrt{2}$, to $\alpha \in \left(77°,90°\right.⟩$, przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trapez równoramienny.

R145YSlYE9dGG

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Trzy kolejne wierzchołki podstawy oznaczono A, B, C. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono 3a. Na krawędzi podstawy górnej, równoległej do $AB$ zaznaczono punkt E oraz na krawędzi równoległej bo $BC$ zaznaczono punkt F. Miejsce przecięcia przekątnych podstawy graniastosłupa oznaczono punktem S. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest trapezem równoramiennym $ACEF$. Na górnej podstawie $EF$ trapezu zaznaczono punkt D. Z punktu D opuszczono wysokość trapezu, której spodek leży w punkcie S. Z punktu D opuszczono także wysokość graniastosłupa, której spodek leży w punkcie H, na przekątnej $SB$. $\angle DSH$ oznaczono alfa.

III. jeżeli $\alpha =90°$, to przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest prostokąt.

R1dkdlpWSzZsm

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie kwadratu. Trzy kolejne wierzchołki podstawy oznaczono A, B, C. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono 3a. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, natomiast nad wierzchołkiem C wierzchołek F. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem $ACEF$ Miejsce przecięcia przekątnych podstawy graniastosłupa oznaczono punktem S. Na odcinku łączącym wierzchołki E i F, zaznaczono punkt D, który linią przerywaną połączono z punktem S. $\angle DSB$ oznaczono alfa.

Obliczymy pole przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątne przeciwległych ścian bocznych, jeżeli wiadomo, że pole podstawy graniastosłupa jest równe $18$, a ściana boczna ma obwód równy $16\sqrt{2}$.

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, jego przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RuxZz4c5mGHEG

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie prostokąta. Dwie krawędzie przekroju są przekątnymi ścian bocznych graniastosłupa i podpisano je literą x. Jeden bok pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, a drugi pokrywa się z krawędzią górnej podstawy.

Narysowany przekrój graniastosłupa jest prostokątem.

Ponieważ pole podstawy graniastosłupa jest równe $18$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^2=18$

Zatem $a=3\sqrt{2}$.

Jeżeli obwód ściany bocznej graniastosłupa jest równy $16\sqrt{2}$, to do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$16\sqrt{2}=2·3\sqrt{2}+2·h$

$2h=10\sqrt{2}\Rightarrow h=5\sqrt{2}$

Jeżeli $x$ jest długością przekątnej ściany bocznej graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2=a^2+h^2$

$x^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(5\sqrt{2}\right)}^2$

$x^2=18+50=68\Rightarrow x=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$

Ponieważ przekrój graniastosłupa jest prostokątem o bokach długości $3\sqrt{2}$ i $2\sqrt{17}$, zatem jego pole wynosi:

$P=3\sqrt{2}·2\sqrt{17}=6\sqrt{34}$.

Przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przekątną ściany bocznej jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości $14$ i polu równym $84\sqrt{3}$. Obliczymy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RoMXCqtg1yK9S

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą b. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie trójkąta. Dwie krawędzie przekroju są przekątnymi ścian bocznych graniastosłupa i podpisano je literą y, trzecie ramię trójkąta jest przekątną górnej podstawy. W trójkącie zaznaczono jego wysokość h opuszczoną na ramię będące przekątną górnej podstawy.

Jeżeli $h$ jest długością wysokości przekroju graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $h$ wykorzystamy wzór na pole trójkąta:

$84\sqrt{3}=\frac{1}{2}·14·h$

Wobec tego $h=12\sqrt{3}$.

Do wyznaczenia wartości $y$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$y^2={\left(\frac{1}{2}·14\right)}^2+{\left(12\sqrt{3}\right)}^2$

$y^2=49+432=481\Rightarrow y=\sqrt{481}$

Ponieważ podstawa jest kwadratem, zatem $14=a\sqrt{2}$.

Wobec tego $a=7\sqrt{2}$.

Długość krawędzi bocznej $b$ obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$y^2=a^2+b^2$

${\left(\sqrt{481}\right)}^2={\left(7\sqrt{2}\right)}^2+b^2$

$481=98+b^2$

$b^2=383\Rightarrow b=\sqrt{383}$

Długość krawędzi bocznej $b$ można też obliczyć z trójkąta, utworzonego z wysokości przekroju, połowy przekątnej podstawy i krawędzi bocznej.

Zatem pole powierzchni bocznej rozpatrywanego graniastosłupa wynosi:

$P=4·a·b=4·7\sqrt{2}·\sqrt{383}=28\sqrt{766}$.

Obliczymy pole przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przecinającą przeciwległe krawędzie boczne, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $60°$, krawędź boczna ma długość $8$, a objętość graniastosłupa wynosi $224$.

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RhTvUcbbaY8Ja

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie prostokąta. Jedna z krawędzi przekroju pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, a drugi leży w płaszczyźnie naprzeciwległej ściany bocznej. Płaszczyzna przekroju jest pod kątem 60 stopni do krawędzi podstawy. Boki będące pod kątem 60 stopni do płaszczyzny podstawy podpisano literą x.

Przekrój jest prostokątem o bokach $a$ oraz $x$.

Jeżeli $a$ jest długością krawędzi podstawy graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa:

$V=a^2·h$

$224=a^2·8$

$a^2=28\Rightarrow a=2\sqrt{7}$

Do wyznaczenia wartości $x$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

R1DGFZSM0CmK8

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych jest podpisana literą a, jego przyprostokątna jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy ramieniem a i ramieniem x ma miarę 60 stopni.

Zatem $x=2·a=2·2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$.

Wobec tego pole rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P=2\sqrt{7}·4\sqrt{7}=8·7=56$.

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ są środkami krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jak na poniższym rysunku. Krawędź boczna graniastosłupa jest $2$ razy dłuższa od krawędzi podstawy równej $a$. Obliczymy pole otrzymanego przekroju graniastosłupa.

R1YipL99CqDCG

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono sześciokąt o wierzchołkach A B C D E F. Wierzchołki A oraz B leżą na sąsiadujących krawędziach dolnej podstawy, wierzchołki F i C lezą na krawędziach bocznych leżących na przekątnej, wierzchołki D i E lezą na sąsiadujących krawędziach górnej podstawy.

Rozwiązanie

Z zadania wynika, że $h=2a$.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RfzwJmiSUUISp

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono sześciokąt o wierzchołkach A B C D E F. Wierzchołki A oraz B leżą na sąsiadujących krawędziach dolnej podstawy, wierzchołki F i C lezą na krawędziach bocznych leżących na przekątnej, wierzchołki D i E lezą na sąsiadujących krawędziach górnej podstawy. Pomiędzy krawędzią podstawy i krawędzią boczną graniastosłupa zaznaczono kąt prosty. Pomiędzy krawędziami podstawy również zaznaczono kąt prosty. Odcinki AB oraz DE podpisano literą y. Odcinki: AF, FE, DC, BC podpisano literą x.

Przekrojem jest sześciokąt $ABCDEF$.

Zauważmy, że $\left|AB\right|=\left|ED\right|=y$ oraz $\left|AF\right|=\left|BC\right|=\left|CD\right|=\left|FE\right|=x$.

Do wyznaczenia wartości $x$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

RRyNV0H6gDa7M

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna w tym trójkącie jest podpisana literą x, pionowa przyprostokątna jest podpisana literą a, a pozioma jest podpisana $\frac{1}{2}a$.

Zatem:

$x^2={\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+a^2=\frac{1}{4}{a}^2+a^2=\frac{5}{4}{a}^2$

$x=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Do wyznaczenia wartości $y$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

RJPCDh7QW84v8

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna w tym trójkącie jest podpisana literą y, pionowa przyprostokątna jest podpisana $\frac{1}{2}a$, pozioma jest podpisana $\frac{1}{2}a$. Kąt pomiędzy przyprostokątną i przeciwprostokątną ma miarę 45 stopni.

Zatem:

$y^2={\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2=\frac{1}{2}{a}^2$

$y=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Obliczamy pole powierzchni sześciokąta, będącego przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:

R1JEzBxLqSe8t

Ilustracja przedstawia sześciokąt, którego poziome boki podpisane są literą y, a ukośne boki podpisane są literą x. W sześciokącie zaznaczono poziomy odcinek dzielący figurę na dwa trapezy, ma on długość $a\sqrt{2}$. W jednym z powstałych trapezów zaznaczono wysokości, jedną z wysokości podpisano literą h. Odcinek pomiędzy spodkiem wysokości a bliższym ramieniem trapezu podpisano literą c.

Zauważmy, że $c=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2+c^2=x^2$

$h^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2$

$h^2+\frac{a^2}{8}=\frac{5a^2}{4}$

$h^2=\frac{9}{8}{a}^2\Rightarrow h=\frac{3\sqrt{2}}{4}a$

Wobec tego pole sześciokąta jest równe:

$P=2·\frac{a\sqrt{2}+y}{2}·h=\left(a\sqrt{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)·\frac{3\sqrt{2}}{4}a=$

$=\frac{3\sqrt{2}}{2}a·\frac{3\sqrt{2}}{4}a=\frac{9}{4}{a}^2$.

Przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyznąprzekrój bryły płaszczyznąpłaszczyzną przechodzącą przez przekątne jego podstaw jest prostokątem, w którym stosunek długości boku zawartego w podstawie graniastosłupa do drugiego boku wynosi $2:3$, a jego pole jest równe $P$. Wyznaczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

RrNmumboTWjsX

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie prostokąta. Dwa boki prostokąta pokrywają się z krawędziami bocznymi graniastosłupa, a dwa są przekątnymi podstaw graniastosłupa. Przekątną podstawy podpisano literą d.

Z treści zadania wynika, że:

$d=2x$ oraz $h=3x$

Korzystając z tego, że stosunek długości boków otrzymanego prostokąta wynosi $2:3$, a jego pole jest równe $P$, do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$2x·3x=P$

$6x^2=P$

$x^2=\frac{P}{6}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{P}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6P}}{6}$

Korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu, rozwiązujemy równanie:

$2·\frac{\sqrt{6P}}{6}=a\sqrt{2}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3P}}{3}$

Wobec tego:

$h=3·\frac{\sqrt{6P}}{6}=\frac{\sqrt{6P}}{2}$

Zatem pole powierzchni całkowitej rozpatrywanego graniastosłupa jest równe:

$P_c=2·{\left(\frac{\sqrt{3P}}{3}\right)}^2+4·\frac{\sqrt{3P}}{3}·\frac{\sqrt{6P}}{2}=2·\frac{3P}{9}+2\sqrt{2}P=\frac{2}{3}P+2\sqrt{2}P$.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDEFGH$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i odcinek $KL$ łączący środki krawędzi górnej podstawy. Obliczymy pole powierzchni tego przekroju, jeżeli krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $a$, a wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

RD3gZRIk5K5yH

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny o wierzchołkach A B C D E F G H. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano $2a$. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie trapezu. Dłuższa podstawa trapezu AC jest przekątną dolnej podstawy, krótsza podstawa trapezu KL leży w płaszczyźnie górnej podstawy, przy czym punkt K leży na krawędzi EH, a punkt L leży na krawędzi GH. Odcinki: EK, HK, HL i LG mają długość $\frac{1}{2}a$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku jest trapez równoramienny $ACLK$.

Narysujmy ten trapez i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RGtB2e8C9PJVq

Ilustracja przedstawia trapez A C K L. Z wierzchołka K na podstawę AC opuszczono wysokość. Odcinek pomiędzy wysokością a punktem A podpisano literą t. Podstawę AC podpisano literą x. Odcinki AK i CL podpisano literą z. Podstawa Kl ma długość y.

Przyjmując oznaczenia z rysunku graniastosłupa prawidłowego czworokątnego mamy:

$x=a\sqrt{2}$

$y=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$t=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

$z^2={\left(2a\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=4a^2+\frac{1}{4}{a}^2=\frac{17}{4}{a}^2$

Wobec tego, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość wysokości $h$:

$h^2=z^2-t^2$

$h^2=\frac{17}{4}{a}^2-\frac{2}{16}{a}^2=\frac{33}{8}{a}^2$

Zatem $h=\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{8}}a=\frac{\sqrt{66}}{4}a$.

Jeżeli $P$ jest polem powierzchni trapezu, będącego przekrojem rozpatrywanego graniastosłupa, to:

$P=\frac{a\sqrt{2}+{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}}{2}·\frac{\sqrt{66}}{4}a=\frac{3\sqrt{2}}{4}a·\frac{\sqrt{66}}{4}a=\frac{3\sqrt{33}}{8}{a}^2$

Sprawdzimy, w jakim przypadku przekrój przedstawiony na rysunku, jest trójkątem równobocznym.

Rozwiązanie

Oczywiście trójkąt ten jest równoramienny – dwa jego boki są przekątnymi przystających ścian bocznych.

Oznaczmy krawędź podstawy przez $a$ i wysokość przez $H$. Wtedy przekątna ściany bocznej ma długość $\sqrt{a^2+H^2}$ (co wynika z twierdzenia Pitagorasa) a krótsza przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{3}$.

Aby trójkąt był równoboczny, musi zajść równość $\sqrt{a^2+H^2}=a\sqrt{3}$. Podnosząc wyrażenie stronami do kwadratu otrzymujemy $a^2+H^2=3a^2$, a stąd $H^2=2a^2$. Ostatecznie przekrój ten będzie trójkątem równobocznym, gdy między wysokością a krawędzią podstawy będzie zachodzić zależność $H=a\sqrt{2}$.

Przekrój zawierający dwie równoległe krótsze przekątne podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, który nie jest prostopadły do podstawy, ma boki długości $6$ i $12$. Obliczymy objętość graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1dXv8PVtpVuK

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy sześciokątny, wewnątrz którego zaznaczono płaszczyznę przekroju w kształcie prostokąta. Płaszczyzna przekroju zawiera dwie równoległe krótsze przekątne podstawy oraz dwie przekątne równoległych ścian bocznych graniastosłupa. Krawędzie znajdujące się z tyłu bryły zaznaczone są przerywaną linią. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, długość krawędzi bocznej wielką literą H, natomiast krótsza przekątna podstawy ma długość $a\sqrt{3}$.

Rozważmy dwa przypadki.

Przypadek $1$

Przekątna podstawy ma długość $12$, a przekątna ściany bocznej ma długość $6$.

Wówczas $a\sqrt{3}=12$ i stąd $a=4\sqrt{3}>6$. Krawędź podstawy nie może być dłuższa od przekątnej ściany bocznej. Otrzymaliśmy sprzeczność.

Przypadek $2$

Przekątna podstawy ma długość $6$ a przekątna ściany bocznej ma długość $12$.

Otrzymujemy $a\sqrt{3}=6$, zatem $a=2\sqrt{3}$.

Obliczymy wysokość graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa:
$H^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2={12}^2$. Czyli $H=2\sqrt{33}$.

Obliczamy objętość graniastosłupa: $V=6·\frac{12\sqrt{3}}{4}·2\sqrt{33}=36\sqrt{99}=108\sqrt{11}$.

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzi przez przekątną dolnej podstawy i krawędź górnej podstawy. Przekątna przekroju ma długość $6\sqrt{2}$, a ramię przekroju ma długość $2\sqrt{10}$. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przekątna przekroju, o którym mowa w zadaniu, jest krótszą przekątną graniastosłupa. Ramię przekroju jest przekątną ściany bocznej. Zróbmy rysunek pomocniczy:

R14SpFH2BdDo7

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie dolnej A B C D E F oraz górnej G H I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek G, nad wierzchołkiem B wierzchołek H i tak dalej. Zaznaczono dłuższą przekątną C F podstawy graniastosłupa, a następnie wierzchołki C i F połączono z wierzchołkiem E, tworząc trójkąt F C E. Długość boku E F oznaczono literą a, natomiast długość boku E C wynosi $a\sqrt{3}$. Zaznaczono także przekątną F K ściany bocznej o długości $2\sqrt{10}$. Otrzymano wówczas trójkąt E F K. Poprowadzono również odcinek K C, który jest przekątną bryły i tworzy z krótszą przekątną podstawy E C trójkąt prostokątny E C K, z kątem prostym przy wierzchołku E. Odcinek C K ma długość $6\sqrt{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2+H^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2\\ {\left(a\sqrt{3}\right)}^2+H^2={\left(6\sqrt{2}\right)}^2\end{array}\right.$

Wyznaczając z pierwszego równania $H^2$ mamy $H^2=40-a^2$.

Podstawiając zależność do drugiego równania otrzymujemy $3a^2+40-a^2=72$. Czyli $2a^2=32$, a stąd $a=4$.

Podstawiając $a=4$ do pierwszego równania otrzymujemy $H^2=40-16=24$, a stąd $H=2\sqrt{6}$.

Możemy już obliczyć objętość tego graniastosłupa: $V=6·\frac{16\sqrt{3}}{4}·2\sqrt{6}=48\sqrt{18}=144\sqrt{2}$.

Rozważmy przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jak na rysunku powyżej. Wykażemy, że w przekroju tym długość każdego boku, który nie jest krawędzią, jest równa połowie długości dłuższej przekątnej graniastosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez $a$ i długość wysokości graniastosłupa przez $H$.

Zauważmy, że dłuższa przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są dłuższa przekątna podstawy i wysokość graniastosłupa. Oznaczmy długość tej przekątnej przez $p$.

RZGrUB6tJQYGz

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie sześciokąta zawierającą krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych. Cztery z wierzchołków sześciokąta są wierzchołkami graniastosłupa, dwa pozostałe leżą w połowie przeciwległych krawędzi bocznych. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątny poprowadzono dłuższą przekątną podstawy, której długość wynosi $2a$. Krawędź boczna, która ma wspólny wierzchołek z dłuższą przekątną podstawy ma długość H. Poprowadzono również dłuższą przekątną przekroju o długości p. Wówczas powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości H i $2a$ oraz przeciwprostokątnej długości p.

Bok przekroju (niebędący krawędzią graniastosłupa) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $0,5H$ i $a$.

RntMaenFvdF92

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju w kształcie sześciokąta. Płaszczyzna przekroju zawiera krawędzie dwóch różnych podstaw leżących na równoległych ścianach bocznych. Cztery z wierzchołków sześciokąta są wierzchołkami graniastosłupa, dwa pozostałe leżą w połowie przeciwległych krawędzi bocznych. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a. Na jednej ze ścian bocznych zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątne mają długości a oraz $\frac{1}{2}H$, natomiast przeciwprostokątną ma długość x i jest krawędzią przekroju graniastosłupa.

Mamy $\frac{2a}{a}=2$ i $\frac{H}{{}_{0,5H}}=2$, a zatem odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne. Kąt między tymi bokami w obu trójkątach ma miarę $90°$. A zatem trójkąty są podobne (z cechy $BKB$). Czyli $\frac{p}{x}=2$, a stąd $x=0,5 p$. Co kończy dowód.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFGHIJKL$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez punkty leżące na krawędziach wychodzących z wierzchołka $K$ w odległości $2$ od tego wierzchołka. Obliczymy pole otrzymanego przekroju.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1O6eIPwcw8tJ

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny o wierzchołkach A B C D E F  G H I J K L. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina dwie sąsiednie krawędzie górnej podstawy, krawędź KJ i krawędź KL oraz krawędź boczną KE. Powstały przekrój ma kształt trójkąta.

Zauważmy, że dwa boki tego trójkąta są przeciwprostokątnymi równoramiennych trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości $2$. Czyli każdy bok tego trójkąta będzie miał długość $2\sqrt{2}$. Długość trzeciego boku policzymy z twierdzenia cosinusów:

$c^2=2^2+2^2-2·2·2·\cos 120°=12$, więc $c=2\sqrt{3}$.

Aby policzyć pole trójkąta potrzebujemy wyznaczyć jego wysokość: $h^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-{\sqrt{3}}^2=5$, więc $h=\sqrt{5}$.

Zatem $P=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{5}}{2}=\sqrt{15}$

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFGHIJKL$ przecięto płaszczyzną prostopadłą do podstawy przechodzącą przez odcinek $AC$. Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość $6$ i jest nachylona pod kątem $30°$ do podstawy. Obliczymy pole tego przekroju.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RquDh7TmKnK0n

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. W graniastosłupie zaznaczono prostokąt, którego pionowymi krawędziami są krawędzie boczne, a poziomymi krawędziami są krótsze przekątne podstaw. Pionowy bok prostokąta podpisano literą H, poziomy bok prostokąta podpisano literą x, przekątna prostokąta ma długość 6 i jest pod kątem 30 stopni do krawędzi x.

Zauważmy, że krótsza przekątna graniastosłupa jest również przekątną przekroju. Krótsza przekątna podstawy $x$ i wysokość graniastosłupa $H$ będą długościami boków tego prostokąta.

Skorzystajmy z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Mamy $\sin 30°=\frac{H}{6}$. Czyli $\frac{1}{2}=\frac{H}{6}$. A stąd $H=3$. Analogicznie $\cos 30°=\frac{x}{6}$, co daje $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x}{6}$ i ostatecznie $x=3\sqrt{3}$.

A zatem pole otrzymanego przekroju wynosi $P=3·3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wysokość jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy. Rozpatrzmy przekrój przechodzący przez dwie równoległe krótsze przekątne podstaw, który nie jest prostopadły do podstawy graniastosłupa. Pole tego przekroju wynosi $16\sqrt{15}$. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy tego graniastosłupa. Wtedy wysokość ma długość $2a$, a krótsza przekątna podstawy $a\sqrt{3}$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że przekątna ściany bocznej ma długość $\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2}=a\sqrt{5}$.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1e284nfoIXJe

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina dwa wierzchołki górnej i dwa wierzchołki dolnej podstawy. Powstały przekrój ma kształt prostokąta, którego dwa boki stanowią przekątne ścian bocznych, a dwa boki są krótszymi przekątnymi podstawy. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź boczna ma długość $2a$, krótsza przekątna podstawy, a zarazem bok prostokąta ma długość $a\sqrt{3}$, przekątna ściany bocznej ma długość $a\sqrt{5}$.

Pole przekroju wynosi więc $P=a\sqrt{3}·a\sqrt{5}=a^2\sqrt{15}$. Podstawiając dane z zadania mamy $16\sqrt{15}=a^2\sqrt{15}$. Czyli $a=4$. Wysokość graniastosłupa ma więc długość $8$. Obliczmy objętość tego graniastosłupa: $V=6·\frac{4^2\sqrt{3}}{4}·8=192\sqrt{3}$.

Pole przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zawierającego dłuższą przekątną podstawy i równoległą do niej krawędź podstawy wynosi $12$, a wysokość tego przekroju ma długość $4$. Obliczymy pole powierzchni graniastosłupa.

Rozwiązanie

R19al87Ls84sA

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina krawędź górnej podstawy oraz dłuższą przekątną dolnej podstawy, która jest równoległa do tej krawędzi. Przekrój taki ma kształt trapezu, którego krótszą podstawę stanowi krawędź górnej podstawy, dłuższą podstawę stanowi przekątna dolnej podstawy, a ramionami są przekątne ścian bocznych. Krawędź podstawy podpisano literą a, dłuższą przekątną podstawy podpisano $2a$, wysokość trapezu ma długość cztery.

Korzystając ze wzoru na pole trapezu otrzymujemy $12=\frac{3a·4}{2}$, a stąd $a=2$.

Obliczmy teraz długość ramienia trapezu z twierdzenia Pitagorasa:

RV1FNuhJzxSo6

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość 2, wysokość ma długość 4, a ramię podpisano literą x. Wysokość, ramię oraz fragment podstawy stanowią trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątną jest ramię trapezu x, a przyprostokątnymi wysokość o długości 4 i fragment dolnej podstawy, który ma długość jeden.

Mamy więc $1^2+4^2=x^2$. A stąd $x=\sqrt{17}$.

Ramię trapezu jest przekątną ściany bocznej, a więc z twierdzenia Pitagorasa: $2^2+H^2={\left(\sqrt{17}\right)}^2$. A zatem $H=\sqrt{13}$.

Stąd $P_c=2·6·\frac{4\sqrt{3}}{4}+6·2·\sqrt{13}=12\left(\sqrt{3}+\sqrt{13}\right)$.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną zawierającą dwie równoległe krawędzie podstaw nie leżące na jednej ścianie bocznej. Obliczymy pole tego przekroju wiedząc, że krawędź podstawy ma długość $4$, a krawędź boczna ma długość $6$.

Rozwiązanie

Przekrój ma kształt sześciokąta, który można podzielić na dwa przystające trapezy. Jedna z podstaw trapezu jest krawędzią podstawy graniastosłupa, zaś druga jest dwukrotnie dłuższa.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R15JsRnCNTjA7

Ilustracja przedstawia graniastosłup foremny sześciokątny. Przez graniastosłup przechodzi płaszczyzna, która przecina krawędź górnej podstawy oraz równoległą do niej leżącą po przekątnej dolną krawędź podstawy. Przekrój taki ma kształt sześciokąta, którego krawędzie są odpowiednio krawędziami podstawy graniastosłupa lub leżą w płaszczyźnie ścian bocznych. Powstały sześciokąt podzielono na dwa trapezy, za pomocą odcinka łączącego dwie naprzeciwległe krawędzie boczne. W górnym trapezie zaznaczono wysokość h, bok trapezu podpisano literą x. Wysokość w tym trapezie wyznacza trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest ramię trapezu x, a przyprostokątnymi wysokość oraz fragment dłuższej podstawy o długości dwa. Krawędź dolnej podstawy graniastosłupa o długości 4, wraz z fragmentem krawędzi bocznej, który ma długość 3 i ramieniem dolnego trapezu o długości x tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź x jest przeciwprostokątną.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy $3^2+4^2=x^2$. Czyli $x=5$. Obliczymy wysokość trapezu, który powstał z twierdzenia Pitagorasa. Mamy: $2^2+h^2=5^2$, a stąd $h=\sqrt{21}$.

Czyli pole przekroju będzie wynosić $P=2·\frac{\left(4+8\right)\sqrt{21}}{2}=12\sqrt{21}$.

graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a wszystkie jego ściany boczne są prostokątami

figura, będąca częścią wspólną bryły oraz płaszczyzny tnącej

część wspólna graniastosłupa i płaszczyzny, która go przecina