3*. Wiedza z plusem: Wybrane konstrukcje geometryczne - Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie

R1EN7QN64KCEO

3.* Wiedza z plusem: Wybrane konstrukcje geometryczne

Nie będzie nadużyciem stwierdzenie, że geometria starożytna, to geometria cyrkla i linijki. Do dzisiaj stosujemy metody kreślenia symetralnych, dwusiecznych czy stycznych do okręgu, które były zaproponowane blisko trzy tysiące lat temu. Ale tak, jak matematycy próbowali ograniczyć liczbę aksjomatów zaproponowanych przez Euklidesa, tak samo próbowali rozstrzygnąć, czy możliwe jest wyznaczanie określonych obiektów geometrycznych, o zadanych własnościach, dysponując ograniczonym do minimum zestawem narzędzi. Okazało się, o czym mówi twierdzenie Ponceleta-Steinera, że jeśli dana konstrukcja jest wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, to jest ona wykonalna za pomocą samej linijki, o ile dany jest na płaszczyźnie pewien okrąg wraz ze środkiem. Co więcej, jeśli przez konstrukcję będziemy rozumieli tylko wyznaczanie punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii, to każda konstrukcja wykonalna za pomocą cyrkla i linijki, jest wykonalna także za pomocą samego cyrkla (twierdzenie Mohra-Mascheroniego). Te w pewien sposób wyjątkowe konstrukcje zilustrujemy kreśląc styczne do okręgu przez punkt leżący poza okręgiem. Poniżej opisane są kolejne etapy konstrukcji i narysowany jest odpowiedni model.

Z danego punktu kreślimy dwie sieczne wyznaczające na okręgu cięciwy o różnej długości.

Otrzymane punkty wyznaczają czworokąt, w którym prowadzimy przekątne oraz przedłużamy, aż do przecięcia, boki czworokąta.

Przez punkt przecięcia przekątnych i punkt przecięcia prostych zawierających boki (różne od siecznych) prowadzimy prostą – punkty wspólne tej prostej i danego okręgu są punktami styczności dla szukanych stycznych.

Prowadzimy szukane styczne.

R53KLBJFK5H42

Ilustracja przedstawia okrąg oraz narysowane linią przerywaną dwie proste przecinające się w punkcie w górnej części rysunku. Proste te przecinają okrąg, tworząc dwie cięciwy o równej długości. W prawej części rysunku linią przerywaną narysowano dwie kolejne proste przecinające się tak, że przecinają one okrąg i tworzą dwie różnej długości cięciwy. Mamy więc cztery cięciwy i cztery punkty przez nie wyznaczone znajdujące się na okręgu. Cięciwy te wyznaczają czworokąt znajdujący się wewnątrz okręgu. Linią przerywaną poprowadzono przekątne czworokąta. Zaznaczono punkt przecięcia przekątnych. Przez punkt przecięcia prostych biegnących od prawej strony i przez punkt przecięcia przekątnych czworokąta linią przerywaną poprowadzono prostą. Punkty, w których ta prosta przecina okrąg to punkty styczności z dwiema stycznymi do okręgu prostymi, które przecinają się w punkcie przecięcia prostych biegnących z górnej części rysunku.

Twoje cele

Skonstruujesz symetralne boków trójkąta.
Udowodnisz, że symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Określisz własność punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta.
Poznasz twierdzenie o okręgu wpisanym w trójkąt.
Skonstruujesz styczne do okręgu i wspólne styczne do dwóch danych okręgów.
Poznasz zależności, które pozwolą wyznaczyć liczbę wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów, w zależności od wzajemnego położenia tych okręgów.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Symetralna odcinka

symetralna odcinka

Definicja: symetralna odcinka

Symetralną odcinka $A B$ nazywamy taką prostą $k$ , która przechodzi przez środek odcinka $A B$ i jest do niego prostopadła.

R1CQST1V4TTV9

Ilustracja przedstawia odcinek AB, oraz jego symetralną, która jest pod kątem prostym do tego odcinka. Punkt przecięcia się odcinka AB i symetralnej podpisano literą O.

Przypomnimy poniżej bardzo ważne twierdzenie o symetralnej odcinka.

o punktach leżących na symetralnej odcinka

Twierdzenie: o punktach leżących na symetralnej odcinka

Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo oddalonych od jego końców.

R138EV2RF8P47

Ilustracja przedstawia odcinek AB, oraz jego symetralną, która jest pod kątem prostym do tego odcinka. Na symetralnej zaznaczono punkty w następujący sposób: pod odcinkiem punkt D, nad odcinkiem punkt E, wyżej punkt F i jeszcze wyżej punkt C. Z każdego punktu poprowadzono odcinek zarówno do punktu A jak i do punktu B.

Przykład 1

Skonstruujemy trójkąt równoramienny wykorzystując powyższe twierdzenie.

RC9DMKFSN39BX

Ilustracja przedstawia odcinek AB, liniami przerywanymi narysowano okręgi, których środkami są odpowiednio punkty A oraz B. Na obrazku narysowano również symetralną odcinka AB.

Rozwiązanie

Wykorzystując fakt, że punkt leżący na symetralnej odcinkasymetralna odcinkasymetralnej odcinka $A B$ jest równo odległy od końców odcinka, możemy w dowolny sposób skonstruować trójkąt równoramienny wybierając wierzchołek $C$ na symetralnej odcinka $A B$ . Wtedy $|A C| = |B C|$ .

R4LJB2CZAXRTD

Symetralne boków trójkąta

Przykład 2

Skonstruujemy symetralne boków trójkąta ostrokątnego.

Rozwiązanie

Przypomnijmy schemat konstrukcji symetralnej odcinka:

Z obu końców odcinka kreślimy łuki o równych promieniach. Łuki te przecinają się w $2$ punktach.
Przez wyznaczone punkty prowadzimy prostą – jest ona symetralną tego odcinka.

R1HGRNOHXP3XK

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z każdego wierzchołka narysowano łuk o takim samym promieniu. Przez wierzchołki oraz punkty przecięcia się łuków liniami przerywanymi poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostych zaznaczono literą D.

Zauważmy, że symetralne boków trójkąta ostrokątnego przecinają się w punkcie, który leży wewnątrz tego trójkąta.

Przykład 3

Skonstruujemy symetralne boków trójkąta prostokątnego.

Rozwiązanie

R15JLU5E56Q57

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, przy czym kąt ABC jest kątem prostym. Z każdego wierzchołka narysowano łuk o takim samym promieniu. Przez wierzchołki oraz punkty przecięcia się łuków liniami przerywanymi poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostych zaznaczono literą D, punkt ten leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Zauważmy, że symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie, który leży na jego przeciwprostokątnej.

Przykład 4

Udowodnimy, że punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta prostokątnego jest środkiem przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

R1MMRSTJQDFDN

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, przy czym kąt ACB jest kątem prostym. W trójkącie poprowadzono symetralną każdego z boków, która jest pod kątem prostym do tego boku. Punkt przecięcia się symetralnej boku CB z bokiem CB podpisano literą M. Punkt przecięcia się symetralnej BC z przeciwprostokątną AB podpisano literą X. Literą Y zaznaczono punkt przecięcia się symetralnej AC z przeciwprostokątną AB. Punkt przecięcia się wszystkich trzech symetralnych podpisano literą S. Punkt X, Y oraz S pokrywają się ze sobą.

Niech dany będzie trójkąt prostokątny $A B C$ , gdzie kąt prosty znajduje się przy wierzchołku $C$ i niech $S$ będzie punktem przecięcia symetralnych boków. Oznaczmy przez $M$ środek odcinka $B C$ . Oznaczmy również przez $X$ przecięcie symetralnej odcinka $B C$ z przeciwprostokątną $A B$ .

Wiadomo, że $M C ⊥ A C$ i $M X ⊥ M C$ , a zatem proste $A C$ i $M X$ są równoległe, tj. $A C ∥ M X$ . Wynika stąd, z zasady zachowania kątów (cecha KKK), że trójkąty $A B C$ i $X M B$ są podobne.

Zauważmy, że skoro $|C M| = |M B|$ , to trójkąt $A B C$ jest dwa razy większy od trójkąta $X M B$ (skala podobieństwa wynosi $2$ ). Z tego faktu wprost wynika, że $|X B| = \frac{1}{2} |A B| = |X A|$ .

Oznaczając przez $Y$ przecięcie symetralnej odcinka $A C$ z przeciwprostokątną $A B$ analogicznie otrzymamy, że $|Y A| = |Y B|$ .

Ostatecznie skoro $|Y A| = |Y B|$ i $|X A| = |X B|$ oraz z faktu, że punkty $X$ , $Y$ leżą na przeciwprostokątnej $A B$ wynika, że $X = Y = S$ , gdzie $S$ jest środkiem odcinka $A B$ co kończy dowód.

Przykład 5

Skonstruujemy symetralne boków trójkąta rozwartokątnego.

Rozwiązanie

R9K9OER5BSHV6

Ilustracja przedstawia trójkąt rozwartokątny A B C, przy czym kąt ABC jest kątem rozwartym. Z każdego wierzchołka narysowano łuk o takim samym promieniu. Przez wierzchołki oraz punkty przecięcia się łuków liniami przerywanymi poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostych zaznaczono literą D, punkt ten leży na poza obszarem trójkąta.

Zauważmy, że symetralne boków trójkąta rozwartokątnego przecinają się w punkcie, który leży na zewnątrz tego trójkąta.

Przykład 6

Skonstruujemy trójkąt $A B C$ tak, aby narysowane proste były symetralnymi jego boków.

RB6XRKCSJC6DG

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste narysowane linią przerywaną, które przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Zauważmy, że istnieje nieskończenie wiele takich trójkątów. Dla dowolnego punktu na danej symetralnej (poza punktem przecięcia symetralnych) możemy wyznaczyć przykładowy bok jednego z takich trójkątów. Wybieramy dowolny punkt na jednej z symetralnych. Konstruujemy prostą prostopadłą do tej symetralnej i przechodzącą przez ten punkt. Następnie wyznaczamy dowolne punkty leżące na tej prostej równo odległe od wybranego punktu, oznaczamy je przez $A$ i $B$ .

R1MNS8D8JLUKT

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste narysowane linią przerywaną, które przecinają się w jednym punkcie. Prostopadle do jednej z prostych linią ciągłą narysowano prostą, następnie narysowano okrąg, którego środkiem jest punkt przecięcia się tych dwóch prostych. Miejsca przecięcia się prostej narysowanej linią ciągłą z okręgiem podpisano A oraz B. Punkty przecięcia się prostej narysowanej linią przerywaną z okręgiem stały się środkami okręgów, które przechodzą przez punkty A oraz B.

Teraz należy skonstruować prostą prostopadłą do drugiej symetralnej przechodzącą przez jeden z końców odcinka $A B$ , niech to będzie $B$ .

R1RJG5M5ZJN9U

Ostatecznie musimy teraz wyznaczyć punkt $C$ leżący na tej prostej w takiej samej odległości od symetralnej co punkt $B$ .

R1J97J1KBM9S1

Uzasadnienie poprawności konstrukcji

Symetralne boków trójkąta to proste, które dzielą boki trójkąta na dwie równe części i są do tych boków prostopadłe. Rzut prostokątny dowolnego punktu symetralnej na prostą zawierającą bok trójkąta będzie środkiem tego boku. Poprowadzona prosta prostopadła w tym punkcie będzie zawierać bok trójkąta. Jednak ze względu na to, że punkt wybrany na symetralnej jest środkiem tego boku to narysowany okrąg o środku w tym punkcie pozwoli nam wyznaczyć dwa wierzchołki trójkąta.

Dla danej prostej i punktu leżącego poza nią istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do tej prostej i przechodząca przez ten punkt. Odbicie tego punktu względem prostej wyznacza trzeci wierzchołek trójkąta.

Przykład 7

Odległość punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta prostokątnego równoramiennego od wierzchołka kąta prostego jest o $5$ mniejsza od długości przyprostokątnych. Obliczymy pole tego trójkąta.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RRHKH2QZQ6BQV

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, przyprostokątne mają długość a, z kolei przeciwprostokątna ma długość a pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, z wierzchołka przy kącie prostym poprowadzono odcinek na przeciwprostokątną, odcinek ten podpisano literą x.

Zauważmy, że $x = \frac{1}{2} a \sqrt{2}$ .

Zatem:

$a - 5 = \frac{1}{2} a \sqrt{2}$

$2 a - a \sqrt{2} = 10$

$a (2 - \sqrt{2}) = 10$

$a = \frac{10}{2 - \sqrt{2}} = \frac{10 (2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 5 (2 + \sqrt{2})$

$P = \frac{1}{2} \cdot {[5 (2 + \sqrt{2})]}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 25 (6 + 4 \sqrt{2}) = 25 (3 + \sqrt{2})$

Polecenie 1

Otwórz symulację interaktywną i obserwuj położenie punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta w zależności od jego rodzaju.

Zapoznaj się z poniższym opisem symulacji. Zwróć szczególną uwagę na położenie punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta w zależności od jego rodzaju.

R1BZ7OJTHQ1H7

Polecenie 2

Oblicz odległość punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta prostokątnego od wierzchołka kąta prostego, jeśli jedna z przyprostokątnych ma długośc $7$ , a wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość $6, 72$ .

Odległość punktu przecięcia symetralnych boków trójkąta prostokątnego od wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej. Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

ROLNMEDFMLKEO

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, gdzie kąt BAC jest kątem prostym. Bok AC ma długość siedem. Z wierzchołka A na bok BC poprowadzono wysokość, której spodek podpisano literą D, a jej długość wynosi sześć i siedemdziesiąt dwie setne. Z punktu A na bok BC poprowadzono również odcinek o długości d, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, nawias, x, plus, y, zamknięcie nawiasu, który dzieli przeciwprostokątną BC na dwa odcinki, w stronę wierzchołka c odcinek x, a w stronę wierzchołka B odcinek y.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A D C$ mamy:

$x^{2} + {(6, 72)}^{2} = 7^{2}$

Zatem: $x = 1, 96$ .

Z własności wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego mamy:

${(6, 72)}^{2} = 1, 96 \cdot y$

co daje: $y = 23, 04$ .

Stąd: $d = \frac{1}{2} \cdot (1, 96 + 23, 04) = 12, 5$ .

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta

Przeprowadzimy teraz konstrukcję punktu wspólnego dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkątadwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Zauważmy, że wystarczy wyznaczyć punkt przecięcia dwóch spośród trzech dwusiecznych. Rozważmy trójkąt $A C B$ . Skonstruujemy dwusieczne kątów $d_{α}$ i $d_{β}$ kątów odpowiednio $B A C$ i $A B C$ .

Opis konstrukcji:

rysujemy łuki okręgu o środku $A$ i dowolnym promieniu $r > 0$ tak, żeby przecięły ramiona kąta w punktach $K$ i $L$ ;
rysujemy łuki okręgów o środkach $K$ i $L$ i tym samym promieniu $r > 0$ tak, żeby przecięły się w punkcie $M$ różnym od $A$ ;
rysujemy półprostą $A M$ . Jest to dwusieczna $d_{α}$ kąta $α$ .

R1Z55UBH934FC

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Kąt BAC podpisano literą alfa. Z wierzchołka A poprowadzono dwusieczną d indeks dolny, alfa, koniec indeksu dolnego. Z wierzchołka a poprowadzono odcinek, który podpisano literą r. Z wierzchołka A poprowadzono łuk o promieniu r, punkt przecięcia się łuku z bokiem AC podpisano literą K. Punkt przecięcia się łuku z bokiem AB podpisano literą L. Zarówno z punktu K i punktu L również łuk o promieniu r, punkt przecięcia się tych łuków z dwusieczną kąta BAC podpisano literą M.

Analogicznie przebiega konstrukcja dwusiecznej $d_{β}$ kąta $β$ . Punkt wspólny tych dwusiecznych jest szukanym punktem wspólnym wszystkich dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

RDLV5921VSDMS

Przykład 8

Rozważmy trójkąt $A B C$ , którego dwa kąty mają miary $|∢ B A C| = 50 °$ , $|∢ A B C| = 74 °$ . Niech $P$ będzie punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta. Wyznaczymy miary kątów $A P B$ , $B P C$ oraz $A P C$ .

R1GPX3GZDCP3Q

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Kąt BAC ma miarę 50 stopni, kąt ABC ma miarę 74 stopnie. Z wierzchołka A oraz wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Z wierzchołka C poprowadzono odcinek do punktu P.

Rozwiązanie:

W trójkącie $A P B$ mamy $\frac{1}{2} |∢ B A C| + |∢ A P B| + \frac{1}{2} |∢ A B C| = 180 °$ , czyli $\frac{1}{2} \cdot 50 ° + |∢ A P B| + \frac{1}{2} \cdot 74 ° = 180 °$ .

Stąd $|∢ A P B| = 180 ° - 25 ° - 37 ° = 118 °$ .

Ponieważ trzeci kąt w trójkącie $A B C$ ma miarę: $|∢ A C B| = 180 ° - |∢ B A C| - |∢ A B C| = 56 °$ , to w trójkącie $A P C$ mamy $\frac{1}{2} |∢ B A C| + |∢ A P C| + \frac{1}{2} |∢ A C B| = 180 °$ , czyli $\frac{1}{2} \cdot 50 ° + |∢ A P C| + \frac{1}{2} \cdot 56 ° = 180 °$ .

Stąd $|∢ A P C| = 180 ° - 25 ° - 28 ° = 127 °$ .

Zatem miara kąta $B P C$ jest równa $|∢ B P C| = 360 ° - 127 ° - 118 ° = 115 °$ .

Polecenie 3

Uruchom aplet. Obserwuj kolejne etapy konstrukcji dwusiecznych kątów wewnętrznych oraz kątów zewnętrznych trójkąta $A B C$ .

R1G6GP9AKG63G

Aplet przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. W pierwszym kroku wybieramy jakie kąty chcemy konstruować. Rozpocznijmy od dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. W kroku drugim z wierzchołka A prowadzimy łuk o promieniu r i środku w punkcie A. W trzecim kroku zaznaczamy punkty przecięcia się wcześniej narysowanego punktu z bokami trójkąta, na boku AC zaznaczamy literę L, na boku AB zaznaczono punkt K. Z punktu K również prowadzimy łuk o promieniu r. W kolejnym kroku z punktu L prowadzimy łuk o promieniu r. W szóstym kroku literą M zaznaczamy punkt przecięcia się obu łuków. Z punktu A przez punkt M prowadzimy półprostą za pomocą linii przerywanej. W ósmym kroku półprostą zamieniamy na prostą przechodzącą przez punkt A i M, prosta ta również została namalowana linią przerywaną. W trójkącie każdy z kątów, czyli kąty BAC ABC oraz BCA zaznaczamy kolorem czerwonym. Przez każdy z wierzchołków trójkąta linią przerywaną prowadzimy prostą będącą dwusieczną tych kątów. Wszystkie dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Tym razem w pierwszym kroku wybieramy dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta. Następnie przez punkty A oraz B prowadzimy prostą. Z punktu B prowadzimy łuk o promieniu popisanym literą r. Punkt przecięcia się łuku z bokiem BC podpisujemy literą K, natomiast punkt przecięcia się prostej, która przechodzi przez punkty A oraz B, punkt ten podpisujemy literą L. W piątym kroku z punktu L rysujemy łuk o promieniu r. W szóstym kroku z punktu K prowadzimy łuk o promieniu r. W siódmym kroku punkt przecięcia się wcześniej narysowanych łuków podpisujemy literą M. Przez punkt B oraz M linią przerywaną poprowadzono prostą. W dziewiątym kroku przez punkty C oraz B prowdzimy prostą. W kolejnym kroku w taki sam sposób wykonujemy proste przerywane przechodzące przez punkty C oraz A. W jedenastym kroku zaznaczamy punkty przecięcia prostych narysowanych linią przerywaną. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A oraz prostej przechodzącej przez punkt B podpisano literą E. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt B oraz prostej przechodzącej przez punkt C podpisano literą F. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A oraz prostej przechodzącej przez punkt C podpisano literą D. W ostatnim kroku rysujemy liniami przerywanymi trzy proste przechodzące przez punkty: AF, CE oraz BD.

Polecenie 4

Na podstawie obserwacji miar kątów, sformułuj i udowodnij hipotezę o kątach utworzonych między dwusieczną kąta zewnętrznego trójkąta i prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego, poprowadzoną z tego samego wierzchołka.

Polecenie 5

Miary kątów wewnętrznych trójkąta $A B C$ są odpowiednio równe: $α = 40 °$ , $β = 60 °$ i $γ = 80 °$ . Proste zawierające dwusieczne kątów zewnętrznych tego trójkąta przecinają się w punktach $D$ , $E$ , $F$ , jak na rysunku. Wyznacz miary kątów trójkąta $D E F$ .

R1OE34PBS7SH6

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Kąt BAC ma miarę 40 stopni, kąt ABC ma miarę 60 stopni, kąt BCA ma miarę 80 stopni. Przez punkty A, B oraz C poprowadzono proste. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A i prostej przechodzącej przez punkt C zaznaczono literą D. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt A i prostej przechodzącej przez punkt B zaznaczono literą E. Punkt przecięcia się prostej przechodzącej przez punkt B i prostej przechodzącej przez punkt C zaznaczono literą F. Kąty AEB, BFC i CDA zaznaczono kolorem szarym. Wszystkie kąty leżące przy punktach A B oraz C poza leżącymi wewnątrz trójkąta i ich kąta wierzchołkowego zaznaczono kolorem różowym.

Rozważmy najpierw trójkąt $A D C$ .

R4KE5658N5ZSX

Zauważmy, że $|∢ D C A| = 90 ° - \frac{1}{2} \cdot |∢ A C B| = 90 ° - \frac{1}{2} \cdot 80 ° = 50 °$ .

Podobnie $|∢ C A D| = 90 ° - \frac{1}{2} \cdot |∢ B A C| = 90 ° - \frac{1}{2} \cdot 40 ° = 70 °$ .

Stąd $|∢ A D C| = 180 ° - 50 ° - 70 ° = 60 °$ .

Analogicznie dla trójkąta $A E B$ mamy:

$|∢ A E B| = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} \cdot 40 °) - (90 ° - \frac{1}{2} \cdot 60 °) = 50 °$ , a dla trójkąta $B F C$ :

$|∢ B F C| = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} \cdot 60 °) - (90 ° - \frac{1}{2} \cdot 80 °) = 70 °$ .

Styczna do okręgu

Przypomnijmy, że styczna i promień okręgu poprowadzony do punktu styczności są wzajemnie prostopadłe. Fakt ten będzie podstawą naszej konstrukcjikonstrukcje klasycznekonstrukcji.

styczna przez punkt na okręgu

Przykład 9

Styczna przechodząca przez punkt na okręgu

Rozważmy okrąg o środku $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ i punkt $P$ leżący na tym okręgu. Naszym zadaniem będzie wykreślenie stycznej do danego okręgu, dla której punkt $P$ będzie punktem styczności.

Rozwiązanie

Prowadzimy promień $O_{1} P$ . Naszym zadaniem jest wykreślenie prostej prostopadłej do tego promienia przechodzącej przez $P$ . W tym celu prowadzimy prostą $O_{1} P$ . Z punktu $P$ zakreślamy okrąg o promieniu równym $O_{1} P$ i na przecięciu z prostą otrzymujemy punkt $S \neq P$ . Pozostaje skonstruować symetralną odcinka $O_{1} S$ . Z punktów $O_{1}$ i $S$ kreślimy łuki o jednakowym promieniu, aż do ich przecięcia po obu stronach prostej $O_{1} P$ . Przez punkty przecięcia się łuków prowadzimy symetralną odcinka $O_{1} S$ , która jest szukaną styczną.

R1Q8NJZZXBGG1

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O indeks dolny jeden. Na okręgu wyróżniono punkt P. Przez środek okręgu i punkt poprowadzono linią przerywaną prostą, na której poza okręgiem leży również punkt S. Odcinek O indeks dolny 1 koniec indeksu P jest promieniem okręgu. Przez punkt P poprowadzono prostopadłą do promienia prostą, którą wyznaczono konstrukcyjnie. Prosta ta jest styczna do okręgu, a punkt P jest punktem styczności. — Styczna przez punkt na okręgu

Uwaga!

Powyższa, doskonale znana konstrukcja symetralnej odcinka nie będzie każdorazowo opisywana przy rozwiązywaniu kolejnych zadań – będziemy wówczas mówili krótko, że prowadzimy symetralną. Podobnie z prostą równoległą – gdyby naszym zadaniem było wykreślenie równoległej do naszej stycznej i przechodzącej przez punkt $S$ , to moglibyśmy powtórzyć konstrukcję symetralnej dla odcinka leżącego na prostej $O_{1} P$ , którego punkt $S$ byłby środkiem. Tym samym często będziemy mówić o poprowadzeniu równoległej, bez formalnego opisu tej części konstrukcji.

Przykład 10

Styczna przechodząca przez punkt poza okręgiem

Teraz naszym zadaniem będzie wykreślenie stycznej do danego okręgu, przechodzącej przez punkt $P$ leżący poza okręgiem. Rozważmy okrąg o środku $O_{1}$ i promieniu $r_{1}$ i punkt $P$ leżący na zewnątrz okręgu. Rozwiązanie Prowadzimy odcinek $O_{1} P$ i wyznaczamy jego środek – $S$ . Z punktu $S$ kreślimy okrąg o promieniu równym $O_{1} S$ i otrzymujemy punkty $A$ i $B$ . Przez punkty $A$ i $P$ oraz $B$ i $P$ prowadzimy proste, które są szukanymi stycznymi.

R16TLZTM7MOZH

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O indeks dolny jeden. Po prawej stronie okręgu narysowano dwie proste przecinające się w punkcie P. Prosta w górnej części rysunku jest styczna do okręgu w punkcie A, prosta leżąca w dolnej części rysunku jest styczna do okręgu w punkcie B. Poprowadzono dwa promienie okręgu rozpinające kąt rozwarty. Promienie te to: O indeks dolny jeden A oraz O indeks dolny 1 B. Ze środka okręgu linią przerywaną poprowadzono odcinek O indeks dolny 1 P, który jest średnicą okręgu pomocniczego. Na środku tej średnicy zaznaczono punkt S, następnie linią przerywaną wykreślono okrąg pomocniczy. — Styczna przez punkt poza okręgiem

Zauważmy, że poprawność konstrukcji wynika z faktu, że trójkąt wpisany w okrąg i rozpięty na średnicy jest trójkątem prostokątnym.

Styczna do dwóch danych okręgów

Zanim zajmiemy się konstrukcją stycznych do dwóch danych okręgów, zastanówmy się nad następującymi kwestiami:

Czy zawsze jest możliwe poprowadzenie stycznych do dwóch danych okręgów?

Czy liczba stycznych do dwóch danych okręgów zależy od wzajemnego ich położenia?

Przyjrzyjmy się poniższym rysunkom.

Przypadek 1

R7BFN5B37D76E

Ilustracja przedstawia większy okrąg, wewnątrz którego narysowano mniejszy okrąg. Obie figury są rozłączne. Linią przerywaną poprowadzono styczną do mniejszego okręgu, która przecina większy okrąg, zatem jest ona sieczną większego okręgu. — Okrąg leży wewnątrz drugiego

Zauważmy, że w sytuacji, gdy jeden okrąg leży wewnątrz drugiego okręgu, to każda styczna do okręgu wewnętrznego musi być sieczną okręgu leżącego na zewnątrz. Dlatego w takiej sytuacji nie istnieje prosta, która byłaby styczna do obu okręgów jednocześnie.

Przypadek 2

R1ZPJUNL3Q9UA

Ilustracja przedstawia dwa okręgi styczne wewnętrznie o różnej wielkości. W punkcie ich styczności linią przerywaną poprowadzono styczną, która jest styczną obu tych okręgów jednocześnie. — Okręgi styczne wewnętrznie

Zauważmy, że w sytuacji, gdy okręgi są styczne wewnętrznie, to jedynie prosta przechodząca przez punkt styczności obu okręgów może być styczna do obu okręgów jednocześnie. Bezpośrednio z własności stycznej wynika, że jest ona prostopadła do prostej łączącej środki obu okręgów.

Przypadek 3

R1SETT117H26S

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi przecinające się. Linią przerywaną poprowadzono dwie półproste o wspólnym początku rozpinające kąt ostry, będące stycznymi okręgów. Punkty styczności zarówno przy jednej jak i drugiej półprostej są różne, to znaczy punkty przecięcia znajdują się pomiędzy punktem styczności jednego okręgu i drugiego okręgu z daną półprostą.

Jeśli okręgi przecinają się w dwóch różnych punktach, to istnieją dwie proste, które byłyby styczne do obu okręgów jednocześnie. Pozostaje zauważyć, że są one symetryczne względem prostej łączącej środki obu okręgów.

Przypadek 4

RMXVOZK4UNQ1X

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi styczne zewnętrznie. Linią przerywaną narysowano trzy styczne tych okręgów: jedna ze stycznych przebiega przez punkt styczności okręgów, druga przebiega w górnej części okręgów i jest styczna do każdego okręgu w innym punkcie, trzecia przebiega analogicznie jak druga, przy czym biegnie ona w dolnej części rysunku.

Zauważmy, że w sytuacji, gdy okręgi są styczne zewnętrznie, to zarówno prosta przechodząca przez punkt styczności obu okręgów może być styczna do obu okręgów jednocześnie, jak również dwie proste poprowadzone analogicznie, jak w przypadku okręgów przecinających się w dwóch różnych punktach. Istnieją zatem trzy różne proste, które są jednocześnie styczne do obu okręgów, przy czym jedna z nich jest prostopadła do prostej łączącej środki obu okręgów, a dwie pozostałe są symetryczne względem prostej łączącej środki obu okręgów.

Przypadek 5

R892CRO3E8HGD

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi rozłączne zewnętrznie ustawione obok siebie. Linią przerywaną poprowadzono 4 styczne tych okręgów. Pierwsza styczna biegnie w górnej części rysunku, druga w dolnej, trzecia biegnie ukośnie pomiędzy okręgami od lewej do prawej strony, a czwarta styczna biegnie również między okręgami od prawej do lewej strony rysunku.

Zauważmy, że w sytuacji, gdy okręgi są wzajemnie zewnętrzne, to istnieją cztery różne styczne, parami symetryczne względem prostej łączącej środki obu tych okręgów. Dwie z tych stycznych, te których punkt przecięcia leży na odcinku łączącym środki obu okręgów, noszą nazwę stycznych wewnętrznych, a dwie pozostałe to styczne zewnętrzne.

Konstrukcja stycznych do danych, wzajemnie stycznych, okręgów, poprowadzonych w punkcie ich styczności, sprowadza się do wykreślenia odcinków prostopadłych przechodzących przez dany punkt. Dlatego pominiemy ich opis i zaproponujemy ich samodzielne wykonanie w ramach ćwiczeń.

Przykład 11

Styczna zewnętrzna do dwóch okręgów

My w tym miejscu zajmiemy się konstrukcją stycznych zewnętrznych do okręgów, gdy okręgi nie mają punktów wspólnych i są wzajemnie zewnętrzne, a ich promienie są różne.

RBEMOX46ACQXD

Ilustracja przedstawia dwa różnej wielkości okręgi rozłączne zewnętrznie. Okrąg z lewej strony jest większy, ma środek w punkcie O indeks dolny 1 i promień r indeks dolny 1, prawy, mniejszy okrąg ma środek w punkcie O indeks dolny 2 i promień r indeks dolny dwa. Narysowano dwie styczne do obu okręgów jednocześnie: jedną na górze rysunku, drugą na dole. Linią przerywaną wykreślono okrąg przebiegający przez środki obu wyjściowych okręgów. Środek trzeciego okręgu znajduje się w punkcie S leżącym pomiędzy dwoma wyjściowymi okręgami. Następnie linią przerywaną poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku S. Styczne te są styczne do trzeciego okręgu w punkcie O indeks dolny jeden. Pierwsza styczna przecina górną styczną dwóch okręgów w punkcie P, druga styczna przecina dolną styczną dwóch wyjściowych okręgów w punkcie Q. Wewnątrz większego okręgu narysowano mniejszy okrąg współśrodkowy o promieniu r indeks dolny 1 odjąć r indeks dolny dwa. Zaznaczono punkty przecięcia tego okręgu ze stycznymi okręgu o środku S. Punkty te opisano literami A oraz B. Mamy więc styczną do okręgu o środku S przebiegającą przez punkty P A O indeks dolny 1 oraz drugą styczną przebiegającą przez punkty Q B O indeks dolny jeden. Poprowadzono również proste przebiegające przez następujące punkty: pierwsza prosta przebiega przez punkty A oraz O indeks dolny 2, druga przez punkty O indeks dolny 1 oraz S oraz O indeks dolny 2, trzecia prosta przez punkty B oraz O indeks dolny dwa.

Opis konstrukcji:

Przez punkty $O_{1}$ , $O_{2}$ prowadzimy prostą.
Ze środka $O_{1}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $r_{1} - r_{2}$ , gdzie $r_{1} > r_{2}$ .
Wyznaczamy środek odcinka $O_{1} O_{2}$ - oznaczamy go przez $S$ .
Z punktu $S$ kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym połowie odległości $|O_{1} O_{2}|$ – oznaczamy przez $A$ i $B$ punkty wspólne obu dorysowanych pomocniczych okręgów.
Przez punkty odpowiednio $A$ i $O_{2}$ oraz $B$ i $O_{2}$ kreślimy proste – otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu $r_{1} - r_{2}$ .
Prowadzimy odpowiednio proste $O_{1} A$ oraz $O_{1} B$ , które przecinają okrąg o promieniu $r_{1}$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ .
Kreślimy proste równoległe odpowiednio do prostych $A O_{2}$ i $B O_{2}$ oraz przechodzące przez punkty odpowiednio $P$ , $Q$ .

Dla dowodu poprawności konstrukcji należy zauważyć, że trójkąt $O_{1} A O_{2}$ jest wpisany w okrąg, dla którego odcinek $O_{1} O_{2}$ jest średnicą – oznacza to, że kąt $O_{1} A O_{2}$ jest prosty. Prosta równoległa do $A O_{2}$ jest prostopadła do promienia $O_{1} P$ - stąd punkt $P$ jest punktem styczności. Pozostaje teraz skorzystać z faktu, że odległość prostej poprowadzonej przez punkt $P$ , od środka $O_{2}$ jest równa $r_{2}$ , co oznacza, że jest ona styczna do tego okręgu.

Polecenie 6

Uruchom aplet i przeanalizuj konstrukcję wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów.

Zapoznaj się z apletem i przeanalizuj konstrukcję wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów.

R1FVN5KD1O5JR

Aplet przedstawia dwa okręgi pierwszy z nich o środku O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, drugi z nich o środku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Aplet daje nam możliwość ustawienia położenia punktu O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i wartości r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Ustawiając wartość r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego równą dwa i odsuwając okrąg o srodku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego od okręgu pierwszego otrzymujemy dwa okręgi, które nie posiadają żadnych punktów wspólnych. W kroku pierwszym ze środka okręgu O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Okrąg ten jest na tyle duży że przecina się z okręgiem drugim w dwóch punktach. Następnie ze środka odcinka O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym połowie odległości wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej. Na rysunku pojawia się przerywana prosta przechodząca przez punkty O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego oraz O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego oraz okrąg zaznaczony również linią przerywaną, którego środek leży na tej prostej pomiędzy środkami okręgu pierwszego i drugiego. W kolejnym kroku zaznaczamy przez punkty A i B punkty wspólne dorysowanych okręgów. Zatem punkt A leży powyżej okręgu pierwszego i drugiego w miejscu przecięcia dorysowanych okręgów, a punkt B leży poniżej pierwszego i drugiego okręgu w miejscu przecięcia się dorysowanych okręgów. Przez punkty odpowiednio A i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i B i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego kreślimy proste - otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, plus, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Na rysunku zaznaczono je linią ciągłą. Następnie kreślimy półproste O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego A oraz O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego B. Półproste te zaznaczono liniami przerywanymi. Kolejno wyznaczamy punkty przecięcia C i D półprostych O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego A oraz O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego B z okręgiem o środku O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i promieniu r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego. Następnie przez punkt C prowadzimy prostą równoległą do prostej O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego A i przez punkt D prowadzimy prostą równoległą do prostej O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego B. Otrzymane proste są styczne do podanych okręgów. Ustawiając okręgi w taki sposób, że będą się na siebie nachodzić wyświetla się komunikat: Brak stycznych wewnętrznych! I nie na możliwości przeprowadzenia powyższych kroków.

Polecenie 7

Dane są okręgi o promieniach $r_{1} = 2, r_{2} = 4$ , których odległość środków jest równa $9$ . Wykreśl styczne wewnętrzne do tych okręgów.

Opis konstrukcji:

Prowadzimy prostą i zaznaczamy na niej punkty $O_{1}, O_{2}$ odległe o $9$ .

Ze środka $O_{1}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $2$ .

Ze środka $O_{2}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $4$ .

Ze środka $O_{1}$ kreślimy okrąg pomocniczy o promieniu $6$ .

Ze środka odcinka $O_{1} O_{2}$ kreślimy drugi okrąg pomocniczy o promieniu równym $4 \frac{1}{2}$ – oznaczamy przez $A$ i $B$ punkty wspólne dorysowanych okręgów.

Przez punkty odpowiednio $A$ i $O_{2}$ oraz $B$ i $O_{2}$ kreślimy proste – otrzymujemy styczne do okręgu o promieniu $6$ .

Kreślimy proste równoległe odpowiednio do prostych $A O_{2}$ i $B O_{2}$ oraz przechodzące przez punkty odpowiednio $C$ i $D$ .

Polecenie 8

Dane są okręgi o promieniach $r_{1} = 2, r_{2} = 4$ , których odległość środków jest równa $9$ . Wyznacz odległość punktu przecięcia się stycznych wewnętrznych do tych okręgów od punktu $O_{2}$ .

Zauważmy, że promienie poprowadzone do punktów styczności na wspólnej stycznej są równoległe. Z twierdzenia Talesa wynika, że odcinek łączący środki dzieli się w stosunku $2 : 4$ . Zatem odległość punktu wspólnego stycznych od środków okręgów są odpowiednio równe: $3$ oraz $6$ . Szukana odległość jest więc równa $6$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R13QXEZ4AF8ST1

Ćwiczenie 1

RRSZR8T8HPC2H1

Ćwiczenie 2

R1M2SVZUD9PG82

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RCX3KJRP537UM

R12AJSEULQBD7

R15FG5H318MU12

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

W trójkącie równoramiennym $A B C$ kąt przy wierzchołku $C$ jest równy $120 °$ . Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie $S$ . Wiedząc, że $|C S| = 6 cm$ , oblicz obwód trójkąta $A B C$ .

Podany trójkąt jest równoramienny zatem miary kątów przy wierzchołku $A$ oraz $B$ będą takie same. Obliczamy miary tych kątów, czyli

$|∢ A B C| = |∢ C A B| = \frac{180 ° - 120 °}{2} = 30 °$ .

Podany trójkąt $A B C$ jest również rozwartokątny. Zatem punkt przecięcia symetralnych będzie znajdował się poza trójkątem. Oznaczymy $M$ jako punkt przecięcia symetralnej boku $C B$ z bokiem $C B$ , $N$ jako punkt przecięcia symetralnej boku $A C$ z bokiem $A C$ oraz $O$ jako punkt przecięcia symetralnej boku $A B$ z bokiem $A B$ . Rysujemy odpowiedni rysunek.

R8S1KXXO5M3RQ

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, kat BAC ma miarę 30 stopni, kąt ABC ma również miarę 30 stopni.. Na boku AC zaznaczono punkt N. Na boku BC podpisano punkt M. Na boku Ab zaznaczono punkt O. Przez punkt N, M oraz O liniami przerywanymi poprowadzono proste prostopadłe do boków, na których leżą te punkty. Punkt przecięcia się tych prostych podpisano literą S. Kąt ACO ma miarę 60 stopni, kąt BCO ma również miarę 60 stopni. Odcinek CO ma długość 6 centymetrów.

Z własności symetralnych miara kąta $|∢ C S M| = |∢ N S C| = 30 °$ . Zatem, korzystając z własności trójkąta $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ dla trójkąta $C S M$ , długość odcinka $|C M| = 3 cm$ . Wynika stąd, że $|C B| = 6 cm$ .

Postępujemy analogicznie dla trójkąta $N S C$ i dostajemy, że bok $|A C| = 6 cm$ .

Korzystamy ponownie z własności trójkąta $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ dla trójkąta $C O B$ . Wówczas odcinek $|O B| = 3 \sqrt{3} cm$ . Stąd wynika, że bok $|A B| = 6 \sqrt{3} cm$ .

Obwód podanego trójkąta wynosi $12 + 6 \sqrt{3} cm$ .

Ćwiczenie 7

Oblicz odległość punktu $O$ , który jest punktem przecięcia symetralnych boków trójkąta $A B C$ , od jego wierzchołków wiedząc, że punkt $O$ leży na boku $B C$ oraz, że $\frac{|A B|}{|A C|} = \sqrt{5}$ i pole trójkąta $A B C$ wynosi $2 \sqrt{15}$ .

Jeśli punkt $O$ leży na boku $B C$ to trójkąt $A B C$ jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $B C$ . Do obliczenia szukanej odległości $d$ potrzebujemy w takim razie obliczyć długość przeciwprostokątnej, gdyż $d = \frac{|B C|}{2}$ .

RNDGAO9GKGZEJ

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C, gdzie kąt BAC jest kątem prostym. Na przeciwprostokątnej BC zaznaczono punkt O. Przez punkt O linią przerywaną poprowadzono prostą prostopadłą do punktu BC. Odcinek PB podpisano literą d.

Z jednej strony mamy, że

$\frac{|A B|}{|A C|} = \sqrt{5}$ ,

czyli

$|A B| = |A C| \sqrt{5}$

${|A B|}^{2} = 5 {|A C|}^{2}$ .

Z drugiej, możemy wykorzystać wzór na pole trójkąta prostokątnego:

$2 \sqrt{15} = \frac{|A B| \cdot |A C|}{2}$ ,

a dalej

$|A B| \cdot |A C| = 4 \sqrt{15}$ .

Podstawiając $|A B| = |A C| \sqrt{5}$ i dzieląc obustronnie przez $\sqrt{5}$ otrzymujemy

${|A C|}^{2} = 4 \sqrt{3}$ .

Stosując stwierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

$4 \sqrt{3} + 5 \cdot 4 \sqrt{3} = {|B C|}^{2}$ ,

i dalej

$24 \sqrt{3} = {|B C|}^{2}$ ,

i ostatecznie

$d^{2} = {(\frac{|B C|}{2})}^{2} = \frac{{|B C|}^{2}}{4} = 6 \sqrt{3}$ .

Zatem:

$d = \sqrt{6 \sqrt{3}}$ .

Ćwiczenie 8

Kąty wewnętrzne trójkąta $A B C$ mają miary: $α = 40 °$ , $β = 60 °$ i $γ = 80 °$ . Wyznacz kąty między dwusiecznymi kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Oblicz miary kątów trójkątów utworzonych przez dwa dowolne wierzchołki trójkąta $A B C$ i punkt przecięcia się dwusiecznych kątów.

Niech $P$ będzie punktem przecięcia się dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

W trójkącie $A P B$ mamy: $|∢ A P B| = 180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β = 130 °$ .

W trójkącie $B P C$ mamy: $|∢ B P C| = 180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 110 °$ .

Kąt $A P C$ ma miarę: $|∢ A P C| = 360 ° - 130 ° - 110 ° = 120 °$ .

Ćwiczenie 9

Wyznacz miary kątów trójkąta $A B C$ , w którym dwa kąty, jakie tworzą dwusieczne jego kątów wewnętrznych mają miary $124 °$ oraz $140 °$ .

Oznaczmy miary kątów trójkąta $A B C$ przez $α$ , $β$ oraz $γ$ .

Nie zmniejszając ogólności możemy przyjąć, że: $180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} β = 124 °$ , $180 ° - \frac{1}{2} β - \frac{1}{2} γ = 140 °$ oraz $180 ° - \frac{1}{2} α - \frac{1}{2} γ = 96 °$ .

Pozwala to zapisać układ równań:

$\{\begin{cases} α + β = 112 ° \\ β + γ = 80 ° \\ α + γ = 168 ° \end{cases}$

Stąd $α = 100 °$ , $β = 12 °$ oraz $γ = 68 °$ .

R1GSD88LQL8R62

Ćwiczenie 10

Ćwiczenie 11

R1QF5S6NBM2FO

RHEHURDS7C2ZK

R1BCM8SP3XOGD2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

W trójkącie $A B C$ poprowadzono dwusieczne kątów przy jego podstawie $A B$ . Miara kąta rozwartego, jaki utworzyły te dwusieczne jest trzy razy większa od miary kąta wewnętrznego $A C B$ w tym trójkącie. Oblicz miarę kąta $A C B$ .

Wykonaj rysunek pomocniczy. Ułóż równania opisujące zależności między kątami w trójkącie $A B C$ i trójkącie utworzonym przez dwusieczne kątów i podstawę trójkąta $A B C$ .

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1R3VED3T4Z3C

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C. Z wierzchołka A i wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Kąty PAB oraz PAC popisano literą alfa. Kąty PBA i PBC podpisano literą beta. Kąt ACB popisano literą gamma. Kąt APB podpisano literą fi.

Z bilansu kątów w trójkącie mamy $2 α + 2 β + γ = 180 °$ , czyli $α + β = \frac{180 ° - γ}{2}$ .

Ponieważ $φ = 180 ° - (α + β)$ , więc $φ = 180^{\circ} - \frac{180^{\circ} - γ}{2} = 90^{\circ} + \frac{γ}{2}$ .

Z treści zadania wynika, że $φ = 3 γ$ , zatem $90^{\circ} + \frac{γ}{2} = 3 γ$ .

Stąd $γ = 36 °$ .

Ćwiczenie 14

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ . Skonstruuj dwusieczne kątów ostrych tego trójkąta i wykaż, że kąt rozwarty, jaki tworzą te dwusieczne ma miarę $135 °$ .

Wykorzystaj fakt, że suma kątów ostrych trójkąta prostokątnego wynosi $90 °$ .

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1MR2AGMN1TDC

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o wierzchołkach A B C. Z wierzchołka C i wierzchołka B poprowadzono dwusieczne, przecinają się one w punkcie P. Kąt BAC jest kątem prostym. Kąty PBA i PBC podpisano literą alfa. Kąty PCB i PCA popisano literą beta.

Zauważmy, że $2 α + 2 β = 90 °$ , stąd $α + β = 45 °$ .

Ale $|∢ B P C| = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° = 135 °$ .

Ćwiczenie 15

Skonstruuj styczne zewnętrzne do dwóch okręgów o równych promieniach, gdy okręgi nie mają punktów wspólnych i są wzajemnie zewnętrzne.

Zaproponuj opis konstrukcji stycznych zewnętrznych do dwóch okręgów o równych promieniach, gdy okręgi nie mają punktów wspólnych i są wzajemnie zewnętrzne.

Ćwiczenie 16

Dane są dwa okręgi o promieniach odpowiednio $r_{1} = 7$ , $r_{2} = 2$ , których środki są odległe o $13$ . Wyznacz długości odcinka stycznej zewnętrznej do tych okręgów, którego końcami są punkty styczności.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1N143PBCRVJC

Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Po lewej stronie znajduje się większy okrąg o środku A, po prawej stronie znajduje się mniejszy okrąg o środku B, odcinek AB ma długość trzynaście. Na krawędzi większego okręgu o środku w punkcie A znajduje się punkt C, a na krawędzi mniejszego okręgu znajduje się punkt D. Punkty te połączone są prostą, która jest styczna do obu tych okręgów. Z punktu B równolegle do tej prostej biegnie linia przerwana, która kończy się w miejscu przecięcia się jej z promieniem AC. Punkt przecięcia podpisano literą E. Odcinek AE ma długość pięć.

Odcinki $A C$ i $B D$ są promieniami poprowadzonymi odpowiednio ze środków okręgów. Odcinek $B E$ jest równoległy do stycznej. Wtedy $|A E| = 7 - 2 = 5$ . Trójkąt $A B E$ jest prostokątny, zatem $|D C| = |B E| = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ .

Ćwiczenie 17

Dana jest prosta $l$ i punkty: $P$ położony na tej prostej oraz punkt $Q$ leżący poza tą prostą. Przeprowadź konstrukcję okręgu stycznego do prostej $l$ w punkcie $P$ i przechodzącego przez punkt $Q$ .

Dana jest prosta $l$ i punkty: $P$ położony na tej prostej oraz punkt $Q$ leżący poza tą prostą. Zaproponuj opis konstrukcji okręgu stycznego do prostej $l$ w punkcie $P$ i przechodzącego przez punkt $Q$ .

Zauważ, że środek okręgu leży na prostej prostopadłej do prostej $l$ i przechodzącej przez punkt styczności oraz na symetralnej cięciwy $Q P$ .

Opis konstrukcji:

Prowadzimy prostą prostopadłą do $l$ i przechodzącą przez punkt $P$ .
Prowadzimy symetralną odcinka $P Q$ – punkt wspólny tej symetralnej i prostopadłej do $l$ oznaczamy jako $S$ .
Z punktu $S$ kreślimy okrąg przechodzący przez punkt $P$ – otrzymujemy szukany okrąg.

Ćwiczenie 18

RVXSUTOAZUOA9

Ćwiczenie 19

RKE8472LBCNLG

RH8795KD8C31F2

Ćwiczenie 20

Zbadaj liczbę wspólnych stycznych do dwóch danych okręgów, mając dane: odległość wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej ich środków i ich promienie r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Dopasuj, łącząc w pary. brak stycznych Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, czternaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery jedna styczna Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, czternaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery dwie styczne Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, czternaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery trzy styczne Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, czternaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery cztery styczne Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, sześć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, czternaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dziesięć, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery

Słownik

konstrukcje klasyczne

konstrukcje klasyczne lub platońskie, to wyznaczanie pewnych obiektów (figur) geometrycznych na płaszczyźnie przy użyciu cyrkla i liniału, czyli linijki bez podziałki

symetralna odcinka

prosta, która przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła

dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta

dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy półprostą, której początkiem jest wierzchołek trójkąta i która dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na dwa równe kąty. Niekiedy dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy odcinek tej dwusiecznej, którego jednym końcem jest wierzchołek trójkąta, a drugi koniec leży na przeciwległym boku tego trójkąta

wielokąt opisany na okręgu

wielokątem opisanym na okręgu nazywamy wielokąt wypukły, którego każdy bok jest styczny do tego samego okręgu, czyli wielokąt wypukły, którego każdy bok ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny niebędący wierzchołkiem tego wielokąta

2. Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie