• Przeanalizujesz przykłady dotyczące przekształcania wykresu funkcji w symetrii względem osi $X$ oraz $Y$.

• Określisz własności funkcji po przekształceniu jej wykresu względem osi odciętych i rzędnych układu współrzędnych.

• Naszkicujesz wykres funkcji po przekształceniu w symetrii względem osi odciętych i rzędnych układu współrzędnych.

• Przeanalizujesz sposoby rozwiązywania zadań w zakresie dotyczącym przekształcenia wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ przez symetrię względem osi $X$ oraz $Y$.

Wykres funkcji $y=-f\left(x\right)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $f$ względem osi $X$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=x^2$.

R1PuVteCOksfT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionowa od minus 1 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz ramionami skierowanymi w górę.

Narysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

Rozwiązanie

Aby na podstawie wykresu funkcji $f$ narysować wykres funkcji $-f\left(x\right)$, musimy wykres funkcji $f\left(x\right)$ odbić symetrycznie względem osi $X$. Odbicie wykresu funkcji przedstawiono na poniższym rysunku.

RyDGpjxvatgzL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionowa od minus 1 do pięciu. Zaznaczono na nim parabole o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz ramionami skierowanymi w górę. Druga jest symetrycznym odbiciem pierwszej względem osi X. Więc posiada wierzchołek w tym samym punkcie, a ramiona ma skierowane w dół.

Otrzymujemy wtedy nową funkcję określoną wzorem $g\left(x\right)=-x^2$.

Wiadomo, że do wykresu funkcji $f$ należą punkty o współrzędnych:

$A=\left(-1,3\right)$,

$B=\left(0,-2\right)$,

$C=\left(2,2\right)$.

Niech $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$. Wyznaczymy współrzędne punktów, które należą do wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie

Jeżeli $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$, to do wykresu funkcji $g$ należą punkty o współrzędnych:

$A\text{'}=\left(-1,-3\right)$,

$B\text{'}=\left(0,2\right)$,

$C\text{'}=\left(2,-2\right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Naszkicujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

R1dkpxQXL6p47

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono funkcję w obszarze pierwszej trzeciej oraz czwartej ćwiartki. Funkcja maleje od nieskończoności do punktu minus dwa, następnie rośnie do nieskończoności przechodząc przez oś X w punkcie pomiędzy 1, a dwa.

Rozwiązanie

Po odbiciu symetrycznym względem osi odciętych otrzymujemy wykres funkcji $g$.

R1cMCh2oy0zuT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono funkcję w obszarze pierwszej drugiej oraz czwartej ćwiartki. Funkcja rośnie od nieskończoności do punktu dwa, następnie maleje do nieskończoności przechodząc przez oś X w punkcie pomiędzy 1, a dwa.

Poniżej podano zbiór wartości funkcji $f$. Wyznaczymy zbiór wartości funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

a) $\left(-5,3\right.⟩$,

b) $\left\{-2,-1,0,1,3,5\right\}$.

Rozwiązanie

a) Zbiorem wartości funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$ jest przedział $\left.⟨-3,5\right)$.

b) Zbiorem wartości funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$ jest zbiór $\left\{-5,-3,-1,0,1,2\right\}$.

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji $f$. Niech $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

RhNN218qYjSmo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono wykres funkcji malejący od nieskończoności przechodzący przez oś Y w punkcie jeden oraz mający miejsce zerowe równe jeden. W miejscu zerowym funkcja zaczyna rosnąć.

Naszkicujemy wykres funkcji $g$, a następnie wyznaczymy:

a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji $g$,

b) przedziały monotoniczności funkcji $g$.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$ otrzymamy, przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $X$.

R14qQe60Pzino

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 1 do czterech. Zaznaczono wykres dwóch funkcji. Pierwszy malejący od nieskończoności przechodzący przez oś Y w punkcie jeden oraz mający miejsce zerowe równe jeden. W miejscu zerowym funkcja zaczyna rosnąć. Drugi będący symetrycznym odbiciem względem osi Y, więc rośnie od nieskończoności przechodząc przez punkt minus 1 do miejsca zerowego równego jeden, następnie maleje.

Określimy własności funkcji $g$:

a) dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości jest przedział $\left(-\infty ,0\right.⟩$.

b) funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,1\right.⟩$ i malejąca w przedziale $\left.⟨1,\infty \right)$.

Wyznaczymy wzór funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$, jeżeli funkcja $f$ jest określona wzorem:

a) $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2+2$,

b) $f\left(x\right)=\frac{x+2}{2-x}$.

Rozwiązanie

a) $g\left(x\right)=-f\left(x\right)=-\left({\left(x-1\right)}^2+2\right)=-{\left(x-1\right)}^2-2$,

b) $g\left(x\right)=-f\left(x\right)=-\frac{x+2}{2-x}=\frac{x+2}{x-2}$.

Zauważmy, że poprzez symetryczne odbicie wykresu funkcji $f$ względem osi $X$ nie zmieniła się dziedzina omawianej funkcji.

Mamy daną funkcję $f\left(x\right)=x^2$.

R1PuVteCOksfT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionowa od minus 1 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz ramionami skierowanymi w górę.

Aby na jej podstawie narysować wykres funkcji $y=-f\left(x\right)$ musimy wykres funkcji $f\left(x\right)$ odbić symetrycznie względem osi $X$.

RyDGpjxvatgzL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionowa od minus 1 do pięciu. Zaznaczono na nim parabole o wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz ramionami skierowanymi w górę. Druga jest symetrycznym odbiciem pierwszej względem osi X. Więc posiada wierzchołek w tym samym punkcie, a ramiona ma skierowane w dół.

Otrzymujemy wtedy nową funkcję $g\left(x\right)=-x^2$.

Do wykresu funkcji $f$ należą punkty:

$A=\left(-1, 3\right)$

$B=\left(0, -2\right)$

$C=\left(2, 2\right)$

Jeżeli funkcja $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$, to do wykresu funkcji $g$ należą odpowiednio punkty:

$A\text{'}=\left(-1, -3\right)$

$B\text{'}=\left(0, 2\right)$

$C\text{'}=\left(2, -2\right)$

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Naszkicujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

R1dkpxQXL6p47

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono funkcję w obszarze pierwszej trzeciej oraz czwartej ćwiartki. Funkcja maleje od nieskończoności do punktu minus dwa, następnie rośnie do nieskończoności przechodząc przez oś X w punkcie pomiędzy 1, a dwa.

Po odbiciu symetrycznym względem osi $X$ otrzymujemy wykres funkcji $g$.

R1cMCh2oy0zuT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą od minus 5 do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono funkcję w obszarze pierwszej drugiej oraz czwartej ćwiartki. Funkcja rośnie od nieskończoności do punktu dwa, następnie maleje do nieskończoności przechodząc przez oś X w punkcie pomiędzy 1, a dwa.

Określmy zbiór wartości funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$, gdy zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-5, 3\right.⟩$.

Po symetrycznym odbiciu funkcji $y=f\left(x\right)$ względem osi $X$, widzimy, że zbiorem wartości funkcji $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$ jest przedział $\left.⟨-3, 5\right)$.

Wykres funkcji $y=f\left(-x\right)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ względem osi $Y$.

Obrazem punktu $P=\left(x,y\right)$ w symetrii względem osi $Y$ układu współrzędnych jest punkt $P^{\text{'}}=\left(-x, y\right)$.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $\left\{-3,-1,2,4,5\right\}$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$ jest zbiór $\left\{-5,-4,-2,1,3\right\}$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

RzrWKpjdt4tGr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 2 do sześciu oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono parabolę f z ramionami skierowanymi w dół oraz wierzchołkiem w pierwszej ćwiartce.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$, a następnie dla funkcji $g$ określimy:

a) dziedzinę i zbiór wartości,

b) miejsca zerowe,

c) przedziały monotoniczności.

Rozwiązanie:

Przekształcając wykres funkcji $f$ w symetrii względem osi $Y$, otrzymamy wykres funkcji taki, jak na poniższym rysunku:

R1EGlHy2RcUgp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 2 do sześciu oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono parabolę f z ramionami skierowanymi w dół oraz wierzchołkiem w pierwszej ćwiartce. W drugiej zaznaczono taka samą parabolę g. jest ona odbiciem symetrycznym względem osi Y.

Dla funkcji $g$ określamy:

a) dziedzinę: $x\in \mathrm{ℝ}$ oraz zbiór wartości: $\left(-\infty ,4\right.⟩$,

b) miejsca zerowe: $\left(-3\right)$ oraz $1$,

c) przedziały monotoniczności: funkcja jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,-1\right.⟩$ oraz malejąca w przedziale $\left.⟨-1,\infty \right)$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla liczb nie mniejszych  od  $-5$.

R14OQIQ1HB5wy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 2 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono funkcję zaczynającą się w punkcie $\left(-5;-2\right)$. Rosnącą i przechodzącą przez trzecią, drugą oraz pierwszą ćwiartkę.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$, a następnie określimy miejsca zerowe i przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

R16OSMxHogJh8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 2 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono funkcję f zaczynającą się w punkcie $\left(-5;-2\right)$. Rosnącą i przechodzącą przez trzecią, drugą oraz pierwszą ćwiartkę. Oraz funkcję malejącą g kończącą się w punkcie $\left(5;-2\right)$ .

Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe: $1$.

Funkcja jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,5\right.⟩$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

RDaebBByo6CFR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 1 do sześciu oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono wykres funkcji f malejący od drugiej ćwiartki w formie hiperboli, potem w punkcie $\left(2;0\right)$ zaczyna gwałtownie rosnąć.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$, a następnie wyznaczymy:

a) $g\left(x\right)>4$,

b) $g\left(-2\right)+g\left(0\right)$.

Rozwiązanie:

Wykres funkcji $g$ przedstawia się następująco:

R1bgXyK4NLesg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową Y od minus 1 do sześciu oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono wykres funkcji f malejący od drugiej ćwiartki w formie hiperboli, potem w punkcie $\left(2;0\right)$ zaczyna gwałtownie rosnąć. Wykres funkcji g  gwałtownie rosnący do punktu $\left(-2;0\right)$, od tego momentu funkcja powoli rośnie na kształt hiperboli.

a) $g\left(x\right)>4$ dla $\left(-\infty ,-3\right)$,

b) $g\left(-2\right)+g\left(0\right)=0+3=3$.

Dana jest funkcja $f$. Wyznaczymy wzór funkcji $g\left(x\right)=f\left(-x\right)$, jeżeli:

a) $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}+1$,

b) $f\left(x\right)=\frac{2x}{1-x}$.

Rozwiązanie:

a) $g\left(x\right)=f\left(-x\right)=\sqrt{-x+1}+1$,

b) $g\left(x\right)=f\left(-x\right)=\frac{-2x}{x+1}$.

symetryczne odbicie wykresu funkcji $f$ względem osi $X$

symetryczne odbicie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ względem osi $X$

przekształcenie wykresu funkcji $f$ względem osi $Y$ - otrzymanie wykresu funkcji  $g\left(x\right)=f(-x)$