2. Pierwiastek stopnia parzystego i nieparzystego

RtEsY2muvqKkG

Znamy już definicje pierwiastka kwadratowego i pierwiastka sześciennego. Okazuje się, że pojęcie pierwiastka można uogólnić i zdefiniować pierwiastek dowolnego stopnia będącego liczbą naturalną nie mniejszą niż $2$ . W tej lekcji omówimy własności pierwiastków z liczb nieujemnych.

Twoje cele

Zastosujesz definicję pierwiastka z liczby nieujemnej.
Zastosujesz definicję pierwiastka stopnia nieparzystego.
Zastosujesz własności pierwiastkowania.
Usuniesz niewymierność z mianownika ułamka.

Pierwiastek z liczby nieujemnej

Przypomnijmy, że pierwiastkiem drugiego stopnia (kwadratowym) z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której kwadrat jest równy $a$ , czyli:

$\sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^{2} = a$ , gdzie $a \geq 0$ , $b \geq 0$

Analogicznie pierwiastkiem stopnia $n$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $2$ , z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której potęga o wykładniku $n$ jest równa $a$ , czyli:

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a$ , gdzie $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$ , $a \geq 0$ , $b \geq 0$

Przykład 1

$\sqrt[4]{16} = 2$ , bo $2 \geq 0$ i $2^{4} = 16$

$\sqrt[4]{81} = 3$ , bo $3 \geq 0$ i $3^{4} = 81$

$\sqrt[4]{0, 0625} = 0, 5$ , bo $0, 5 \geq 0$ i $0, 5^{4} = 0, 0625$

$\sqrt[5]{32} = 2$ , bo $2 \geq 0$ i $2^{5} = 32$

$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$ , bo $\frac{2}{3} \geq 0$ i ${(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{32}{243}$

Zauważmy, że wyrażenia $\sqrt[4]{x}$ , $\sqrt[6]{x}$ , $\sqrt[8]{x}$ , $...$ (i ogólnie pierwiastki parzystych stopni) mają sens liczbowy tylko i wyłącznie dla liczb nieujemnych $x$ , zatem dziedzinądziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziną pierwiastka parzystego stopnia jest zbiór liczb nieujemnych, czyli $x \geq 0$ .

Przykład 2

Wyrażenie $\sqrt[4]{x}$ ma sens dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \geq 0$ .

Wyrażenie $\sqrt[6]{x - 7}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 7 \geq 0$ , czyli dla $x \geq 7$ .

Wyrażenie $\sqrt[8]{x + 13}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 13 \geq 0$ , czyli dla $x \geq - 13$ .

Wyrażenie $\sqrt[10]{15 - x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $15 - x \geq 0$ , czyli dla $x \leq 15$ .

Wyrażenie $\sqrt[12]{- x - 17}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $- x - 17 \geq 0$ , czyli dla $x \leq - 17$ .

Przykład 3

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ ma sens dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x > 0$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[6]{x - 4}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 4 > 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru), czyli dla $x > 4$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[8]{x + 6}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 6 > 0$ , czyli dla $x > - 6$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[10]{5 - x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $5 - x > 0$ , czyli dla $x < 5$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[12]{- 10 - x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $- 10 - x > 0$ , czyli dla $x < - 10$ .

Przykład 4

$\sqrt[4]{5^{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$

$\sqrt[4]{{(- 5)}^{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$

$\sqrt[6]{2^{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$

$\sqrt[6]{{(- 2)}^{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$

Przykład 5

Zwróć uwagę, że liczby $\sqrt{3} - 3$ i $3 - \sqrt{3}$ są liczbami przeciwnymi:

$\sqrt{3} - 3 = - (- \sqrt{3} + 3) = - (3 - \sqrt{3})$ . Zatem

$\sqrt[4]{{(3 - \sqrt{3})}^{4}} = 3 - \sqrt{3}$ , bo $3 - \sqrt{3} > 0$

Zauważmy, że liczba $\sqrt{3} - 3$ jest ujemna, więc, aby obliczyć $\sqrt[4]{{(\sqrt{3} - 3)}^{4}}$ , wykonamy przekształcenia:

$\sqrt[4]{{(\sqrt{3} - 3)}^{4}} = \sqrt[4]{{[- (- \sqrt{3} + 3)]}^{4}} = \sqrt[4]{{[- (3 - \sqrt{3})]}^{4}} = \sqrt[4]{{(3 - \sqrt{3})}^{4}} = 3 - \sqrt{3}$

Ważne!

Uważaj na wyrażenia postaci $\sqrt[2 n]{x^{2 n}}$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną dodatnią. Często popełnianym błędem jest uznawanie, że pierwiastekpierwiastek i potęga wzajemnie się znoszą (redukują) i rozważane wyrażenie jest równe $x$ . Powyższe przykłady pokazują, że to nieprawda. W rzeczywistości rozważane wyrażenie jest równe wartości bezwzględnej z $x$ , czyli $\sqrt[2 n]{x^{2 n}} = |x|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Natomiast ${(\sqrt[2 n]{x})}^{2 n} = x$ , ale ta równość zachodzi tylko i wyłącznie dla $x \geq 0$ .

Własności pierwiastkowania

Własność: Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ oraz liczby naturalnej $n$ większej od $1$ zachodzą równości:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ , o ile $b \neq 0$

Przykład 6

$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{625} = 5$

$\frac{\sqrt[5]{729}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{729}{3}} = \sqrt[5]{243} = 3$

$\sqrt[6]{192} = \sqrt[6]{2^{6} \cdot 3} = \sqrt[6]{2^{6}} \cdot \sqrt[6]{3} = 2 \sqrt[6]{3}$

Przykład 7

Korzystając z własności pierwiastkowania, usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{8}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2 \cdot 8}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{9}} = \frac{1}{\sqrt[5]{9}} \cdot \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{27}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9} \cdot \sqrt[5]{27}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{9 \cdot 27}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{243}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{3^{5}}} = \frac{\sqrt[5]{27}}{3}$

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu $\sqrt[n]{a^{n} + b^{n}}$ .

Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu $\sqrt[n]{a^{n}} + \sqrt[n]{b^{n}}$ .

Rozważmy $\sqrt[4]{2^{4} + 3^{4}}$ .

Poprawne obliczenie wygląda następująco $\sqrt[4]{2^{4} + 3^{4}} = \sqrt[4]{16 + 81} = \sqrt[4]{97}$ .

Ponadto $\sqrt[4]{2^{4}} + \sqrt[4]{3^{4}} = 2 + 3 = 5$ , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości, czyli liczbie $\sqrt[4]{97}$ .

Przykład 8

Aby dodać pierwiastki $\sqrt[4]{48} + \sqrt[4]{243}$ , możemy postąpić następująco:

$\sqrt[4]{48} + \sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} + \sqrt[4]{81 \cdot 3} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{3} = 2 \sqrt[4]{3} + 3 \sqrt[4]{3} = 5 \sqrt[4]{3}$ .

Przypomnijmy jeszcze, że dla $a \geq 0$ i liczb naturalnych $n$ większych od $1$ zachodzi równość:

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Polecenie 1

Ułóż domino łącząc w pary wyrażenia o równych wartościach.

R7cWgF7K2xLbD

Połącz w pary wyrażenia o takiej samej wartości. pierwiastek stopnia pięć z początek ułamka, jeden, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka pierwiastek stopnia osiem z nawias, minus, dwa zamknięcie nawiasu indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka pierwiastek stopnia cztery z osiemdziesiąt jeden, razy, szesnaście koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka <dziesięć Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z sześćdziesiąt cztery koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka pierwiastek stopnia cztery z dwieście czterdzieści trzy koniec pierwiastka, minus, pierwiastek stopnia cztery z czterdzieści osiem koniec pierwiastka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. pierwiastek stopnia cztery z trzy koniec pierwiastka, 2. dwa, 3. dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, 4. sześć, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. pierwiastek stopnia cztery z sześćset dwadzieścia pięć, razy, szesnaście koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z sto dwadzieścia pięć koniec pierwiastka, koniec ułamka

RH192l1NZcWrL1

Polecenie 2

Zaplanuj i wykonaj domino złożone z sześciu kostek, na których znajdą się wyrażenia zawierające pierwiastki z liczb nieujemnych. Stworzone domino daj do ułożenia koledze lub koleżance z klasy.

Na podstawie poprzedniego ćwiczenia spróbuj wykonać grę domino, na której kostkach znajdą się wyrażenia zawierające pierwiastki liczb nieujemnych. Stworzone domino daj do ułożenia koledze lub koleżance z klasy.

Pierwiastek arytmetyczny stopnia nieparzystego

Omawiając pierwiastek sześcienny zwróciliśmy szczególną uwagę na fakt, że tym, co najbardziej odróżnia go od pierwiastka kwadratowego, jest jego dziedzina. Wiemy już, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie ma sensu w zbiorze liczb rzeczywistych, ale pierwiastek sześcienny nie ma takich ograniczeń – może się pod nim znaleźć dowolna liczba. Podobnie rzecz ma się w przypadku pierwiastków dowolnego stopnia nieparzystego.

Zacznijmy od przypomnienia definicji pierwiastka sześciennego:

$\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{3}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$

Innymi słowy pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z dowolnej liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do sześcianu daje liczbę $a$ .

Analogicznie sytuacja wygląda dla pierwiastków dowolnego stopnia będącego liczbą nieparzystą większą od $1$ :

$\sqrt[2 n + 1]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{2 n + 1}$ , dla $a \in ℝ$ , $b \in ℝ$ , $n \in ℕ_{+}$ .

Czyli pierwiastkiem nieparzystego stopniapierwiastek nieparzystego stopniapierwiastkiem nieparzystego stopnia $2 n + 1$ z dowolnej liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do potęgi $2 n + 1$ daje liczbę $a$ .

Przykład 9

$\sqrt[3]{- 125} = - 5$ , bo ${(- 5)}^{3} = - 125$

$\sqrt[3]{125} = 5$ , bo $5^{3} = 125$

$\sqrt[5]{- 32} = - 2$ , bo ${(- 2)}^{5} = - 32$

$\sqrt[5]{32} = 2$ , bo $2^{5} = 32$

$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$ , bo ${(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{32}{243}$

$\sqrt[5]{- \frac{32}{243}} = - \frac{2}{3}$ , bo ${(- \frac{2}{3})}^{5} = - \frac{32}{243}$

$\sqrt[7]{- 0, 0000128} = - 0, 2$ , bo ${(- 0, 2)}^{7} = - 0, 0000128$

$\sqrt[7]{0, 0000128} = 0, 2$ , bo $0, 2^{7} = 0, 0000128$

$\sqrt[9]{- 1} = - 1$ , bo ${(- 1)}^{9} = - 1$

$\sqrt[9]{1} = 1$ , bo $1^{9} = 1$

$\sqrt[9]{0} = 0$ , bo $0^{9} = 0$

Przykład 10

Wyrażenie $\sqrt[5]{x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \in ℝ$ .

Ważne!

Przypomnijmy, że zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną $x$ ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia $\sqrt[5]{x}$ (analogicznie dla każdego pierwiastka stopnia nieparzystego) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Przykład 11

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera.

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[7]{x - 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 1 \neq 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru, zaś pierwiastek sześcienny jest zerem tylko wówczas, gdy zerem jest liczba podpierwiastkowa), czyli dla $x \neq 1$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[9]{x + 2}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 2 \neq 0$ , czyli dla $x \neq - 2$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[11]{x^{2} - 4}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x^{2} - 4 \neq 0$ , czyli dla $x^{2} \neq 4$ . Oznacza to, że $x$ nie może być równe ani $2$ , ani $- 2$ , co możemy zapisać jako $x \in ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ .

Przykład 12

$\sqrt[7]{2^{7}} = \sqrt[7]{128} = 2$

$\sqrt[7]{{(- 2)}^{7}} = \sqrt[7]{- 128} = - 2$

$\sqrt[5]{3^{5}} = \sqrt[5]{243} = 3$

$\sqrt[5]{{(- 3)}^{5}} = \sqrt[5]{- 243} = - 3$

Zwróć uwagę, że niezależnie od tego, jaką liczbą jest $x$ , prawdziwe są równości $\sqrt[2 n + 1]{x^{2 n + 1}} = x$ oraz ${(\sqrt[2 n + 1]{x})}^{2 n + 1} = x$ , dla liczb naturalnych dodatnich $n$ . Przypomnijmy również, że równość, która jest prawdziwa dla każdego elementu dziedziny, nazywamy tożsamościątożsamośćtożsamością.

Własności pierwiastkowania

Własność: Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ i dowolnej liczby naturalnej dodatniej $n$ zachodzą równości:

$\sqrt[2 n + 1]{a} \cdot \sqrt[2 n + 1]{b} = \sqrt[2 n + 1]{a \cdot b}$

$\frac{\sqrt[2 n + 1]{a}}{\sqrt[2 n + 1]{b}} = \sqrt[2 n + 1]{\frac{a}{b}}$ , o ile $b \neq 0$

$\sqrt[2 n + 1]{- a} = - \sqrt[2 n + 1]{a}$

Przykład 13

$\sqrt[5]{- 2} \cdot \sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{- 2 \cdot 16} = \sqrt[5]{- 32} = - 2$

$\frac{\sqrt[5]{729}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{729}{3}} = \sqrt[5]{243} = 3$

$\sqrt[5]{- 96} = \sqrt[5]{- 32 \cdot 3} = \sqrt[5]{- 32} \cdot \sqrt[5]{3} = - 2 \sqrt[5]{3}$

Przykład 14

Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{1}{\sqrt[5]{- 3}} = \frac{1}{- \sqrt[5]{3}} \cdot \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{\sqrt[5]{3^{4}}} = \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{- \sqrt[5]{3 {\cdot 3}^{4}}} = \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{- \sqrt[5]{3^{5}}} = - \frac{\sqrt[5]{81}}{3}$

b) $\frac{1}{\sqrt[7]{- 8}} = \frac{1}{\sqrt[7]{- 2^{3}}} = \frac{1}{- \sqrt[7]{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt[7]{2^{4}}}{\sqrt[7]{2^{4}}} = \frac{\sqrt[7]{2^{4}}}{- \sqrt[7]{2^{7}}} = - \frac{\sqrt[7]{16}}{2}$

Przykład 15

Aby dodać pierwiastki $\sqrt[5]{- 160} + \sqrt[5]{- 1215}$ , możemy postąpić następująco:

$\sqrt[5]{- 160} + \sqrt[5]{- 1215} = \sqrt[5]{- 32 \cdot 5} + \sqrt[5]{- 243 \cdot 5} =$

$= \sqrt[5]{- 32} \cdot \sqrt[5]{5} + \sqrt[5]{- 243} \cdot \sqrt[5]{5} = - 2 \sqrt[5]{5} - 3 \sqrt[5]{5} = - 5 \sqrt[5]{5}$

Przypomnijmy jeszcze, że dla dowolnej liczby $a$ i dla liczby naturalnej dodatniej $n$ zachodzi równość $a^{\frac{1}{2 n + 1}} = \sqrt[2 n + 1]{a}$ .

Polecenie 3

Przeanalizuj informacje i przykłady zawarte w poniższej galerii zdjęć interaktywnych.

R1LaVd2kVmXqX

RBaZAgHba2uH9

RAsiW0EphrxJD

RJaO5sxwiLvmY

Rt8148FtHoPLC

Polecenie 4

RBKF0wtlulCrm

R1Zu4CqtbCF9m1

Ćwiczenie 1

Rg3sur2tiHRMw1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary równe liczby. pierwiastek stopnia cztery z dziesięć początek ułamka, trzysta jedenaście, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia cztery z sześć początek ułamka, trzysta czterdzieści sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia cztery z trzy początek ułamka, pięćset dwadzieścia sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia cztery z dwa początek ułamka, czterdzieści sześć, mianownik, sześćset dwadzieścia pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia cztery z dziewięć początek ułamka, dziewięćdziesiąt siedem, mianownik, dwieście pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z trzy początek ułamka, pięćdziesiąt trzy, mianownik, tysiąc dwadzieścia cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z dwanaście początek ułamka, dwieście dziewięć, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia sześć z pięć początek ułamka, czterysta pięćdziesiąt jeden, mianownik, siedemset dwadzieścia dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pierwiastek stopnia sześć z jedenaście początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka

Ćwiczenie 3

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

RTcTn09KbVUpE

RWKPsrT5ywtd4

Rk1XvdZLlOx91

RXvDAUlUh9nMg

RpyrALPgIYJsT

R1CnLNnTYvYug2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek stopnia cztery z czterdzieści osiem Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia cztery z sto sześćdziesiąt dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia cztery z dwieście czterdzieści trzy Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia cztery z trzydzieści dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia pięć z siedemset dwadzieścia dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia pięć z czterysta osiemdziesiąt sześć Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia pięć z dziewięćdziesiąt sześć Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia pięć z sześćdziesiąt cztery Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia sześć z tysiąc czterysta pięćdziesiąt osiem Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia sześć z sto dziewięćdziesiąt dwa Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa pierwiastek stopnia sześć z sto dwadzieścia osiem Możliwe odpowiedzi: 1. dwa pierwiastek stopnia sześć z dwa, 2. trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 3. dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 4. dwa pierwiastek stopnia sześć z trzy, 5. trzy pierwiastek stopnia cztery z dwa, 6. trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 7. dwa pierwiastek stopnia cztery z trzy, 8. dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy, 9. trzy pierwiastek stopnia cztery z trzy, 10. dwa pierwiastek stopnia cztery z dwa, 11. trzy pierwiastek stopnia sześć z dwa

R1BAeMdRDJqqd2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Sprowadź do najprostszej postaci:

a) $\frac{\sqrt[4]{32} + \sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{1250}}$ ,

b) $\frac{\sqrt[4]{0, 0016} + \sqrt[6]{1}}{\sqrt[4]{0, 0625} - \sqrt[3]{0, 027}}$ .

a) $\frac{\sqrt[4]{32} + \sqrt[4]{162}}{\sqrt[4]{1250}} = \frac{\sqrt[4]{16 \cdot 2} + \sqrt[4]{81 \cdot 2}}{\sqrt[4]{625 \cdot 2}} = \frac{\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{2}} =$

$= \frac{2 \sqrt[4]{2} + 3 \sqrt[4]{2}}{5 \sqrt[4]{2}} = \frac{5 \sqrt[4]{2}}{5 \sqrt[4]{2}} = 1$ ,

b) $\frac{\sqrt[4]{0, 0016} + \sqrt[6]{1}}{\sqrt[4]{0, 0625} - \sqrt[3]{0, 027}} = \frac{0, 2 + 1}{0, 5 - 0, 3} = \frac{1, 2}{0, 2} = 6$ .

RrNqrix7fWHBS3

Ćwiczenie 7

Usuń niewymierność z mianownika ułamka. Połącz w pary liczby równe. początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia cztery z osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z cztery, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z osiem, 5. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia cztery z osiem, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. pierwiastek stopnia pięć z cztery, 9. pierwiastek stopnia cztery z dwa, 10. pierwiastek stopnia cztery z osiem

Ćwiczenie 8

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R17KeWk92kQX4

R1QWwyEAgDDL5

RPBhEMNMLqXGE

RE5X8noM5pJUI

R36Z30BiPR3hl3

Ćwiczenie 9

RuB7tjXHKBYkN1

Ćwiczenie 10

R1cH2uLhFFHSP1

Ćwiczenie 11

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek stopnia pięć z minus, siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z cztery początek ułamka, pięćdziesiąt dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z dwanaście początek ułamka, dwieście dziewięć, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z minus, trzy początek ułamka, pięćdziesiąt trzy, mianownik, tysiąc dwadzieścia cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka pierwiastek stopnia pięć z minus, dziewięćdziesiąt siedem początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka pierwiastek stopnia siedem z siedemnaście początek ułamka, jedenaście, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka

RFOicJVcqsNGi1

Ćwiczenie 12

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź. Zbiór wszystkich liczb x, dla których wyrażenie pierwiastek stopnia pięć z minus, x koniec pierwiastka ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
x, należy do, liczby rzeczywiste x, nie równa się, zero x, mniejszy równy, zero

Zbiór wszystkich liczb x, dla których wyrażenie początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z minus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
x, należy do, liczby rzeczywiste x, nie równa się, zero {x, mniejszy niż, zero

Zbiór wszystkich liczb x, dla których wyrażenie początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia dziewięć z szesnaście, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
x, należy do, liczby rzeczywiste x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, cztery, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, cztery, zamknięcie nawiasu

Zbiór wszystkich liczb x, dla których wyrażenie początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia jedenaście z sześćdziesiąt cztery, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, osiem, zamknięcie nawiasu x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, cztery, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, cztery, zamknięcie nawiasu

Zbiór wszystkich liczb x, dla których wyrażenie początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia trzynaście z osiemdziesiąt jeden, minus, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, koniec ułamka ma sens w liczbach rzeczywistych, można opisać jako:
x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, dziewięć, przecinek, dziewięć, zamknięcie nawiasu x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, trzy, przecinek, trzy, zamknięcie nawiasu x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu

R1Kczs6Dvf2fj2

Ćwiczenie 13

R1Xw2hrX79DeO2

Ćwiczenie 14

Połącz w pary liczby równe. pierwiastek stopnia pięć z minus, sześćdziesiąt cztery Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia pięć z minus, dziewięćdziesiąt sześć Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia pięć z minus, siedemset dwadzieścia dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia pięć z minus, czterysta osiemdziesiąt sześć Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia pięć z minus, sześć tysięcy dwieście pięćdziesiąt Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia pięć z minus, sto sześćdziesiąt Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia siedem z dwieście pięćdziesiąt sześć Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy pierwiastek stopnia siedem z trzysta osiemdziesiąt cztery Możliwe odpowiedzi: 1. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z trzy, 2. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z pięć, 3. dwa pierwiastek stopnia siedem z trzy, 4. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z dwa, 5. minus, pięć pierwiastek stopnia pięć z dwa, 6. dwa pierwiastek stopnia siedem z dwa, 7. minus, trzy pierwiastek stopnia pięć z dwa, 8. minus, dwa pierwiastek stopnia pięć z trzy

R1edfvqkDPXSR2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Sprowadź do najprostszej postaci:

a) $\frac{\sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[5]{- 32}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt[3]{64}}$ ,

b) $\sqrt[7]{{- a}^{7} - a^{7} - a^{7} - a^{7}}$ ,

c) $\sqrt[9]{a^{18} - a^{18} - a^{18} - a^{18}}$ ,

d) $\sqrt[6]{x^{6} + x^{6} + x^{6}}$ .

a) $\frac{\sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[5]{- 32}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt[3]{64}} = \frac{2 \cdot (- 2)}{9 \cdot 4} = \frac{- 4}{9 \cdot 4} = - \frac{1}{9}$ ,

b) $\sqrt[7]{{- a}^{7} - a^{7} - a^{7} - a^{7}} = \sqrt[7]{- 4 a^{7}} = a \sqrt[7]{- 4} = - a \sqrt[7]{4}$ ,

c) $\sqrt[9]{a^{18} - a^{18} - a^{18} - a^{18}} = \sqrt[9]{- 2 a^{18}} = a^{2} \cdot \sqrt[9]{- 2} = {- a}^{2} \cdot \sqrt[9]{2}$ ,

d) $\sqrt[6]{{x^{6} + x^{6} + x^{6}}^{}} = \sqrt[6]{{3 x}^{6}^{}} = \sqrt[6]{x^{6}} \cdot \sqrt[6]{3} = |x| \cdot \sqrt[6]{3}$ .

RjyPgvLUezZYq3

Ćwiczenie 17

Usuń niewymierność z mianownika ułamka. Połącz w pary liczby równe. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z minus, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z minus, dwadzieścia siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z minus, dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z minus, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z minus, trzydzieści dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. minus, pierwiastek stopnia siedem z cztery, 2. pierwiastek stopnia siedem z osiem, 3. początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, 5. pierwiastek stopnia siedem z trzydzieści dwa, 6. początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dwadzieścia siedem, mianownik, trzy, koniec ułamka, 7. minus, pierwiastek stopnia pięć z osiemdziesiąt jeden, 8. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia siedem z szesnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. minus, pierwiastek stopnia siedem z sześćdziesiąt cztery, 10. minus, początek ułamka, pierwiastek stopnia pięć z dziewięć, mianownik, trzy, koniec ułamka

Ćwiczenie 18

Wyłącz możliwie największy czynnik przed znak pierwiastka.

a) $\sqrt[5]{a^{5} b^{6} x^{7}}$ ,

b) $\sqrt[3]{a^{3} x^{6} y^{8}}$ ,

c) $\sqrt[4]{a^{4} x^{5} y^{6} z^{7}}$ , dla $x \geq 0$ , $z \geq 0$ ,

d) $\sqrt[3]{a^{3} + a^{4} + a^{5}}$ ,

e) $\sqrt[5]{a^{6} + a^{7} + a^{10}}$ .

a) $\sqrt[5]{a^{5} b^{6} x^{7}} = \sqrt[5]{a^{5}} \cdot \sqrt[5]{b^{5} \cdot b} \cdot \sqrt[5]{x^{5} \cdot x^{2}} = a \cdot b \sqrt[5]{b} \cdot x \sqrt[5]{x^{2}} = a b x \sqrt[5]{b x^{2}}$ ,

b) $\sqrt[3]{a^{3} x^{6} y^{8}} = \sqrt[3]{a^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{6}} \cdot \sqrt[3]{y^{6} \cdot y^{2}} = a {\cdot x}^{2} \cdot y^{2} \sqrt[3]{y^{2}} = a x^{2} y^{2} \sqrt[3]{y^{2}}$ ,

c) $\sqrt[4]{a^{4} x^{5} y^{6} z^{7}} = \sqrt[4]{a^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{4} \cdot x} \cdot \sqrt[4]{y^{4} \cdot y^{2}} \cdot \sqrt[4]{z^{4} \cdot z^{3}} =$

$= |a| \cdot |x| \cdot \sqrt[4]{x} \cdot |y| \cdot \sqrt[4]{y^{2}} \cdot |z| \cdot \sqrt[4]{z^{3}} = |a x y z| \cdot \sqrt[4]{x y^{2} z^{3}} = |a x y z| \cdot \sqrt{y} \cdot \sqrt[4]{x z^{3}}$ ,

d) $\sqrt[3]{a^{3} + a^{4} + a^{5}} = \sqrt[3]{a^{3} (1 + a + a^{2})} = a \sqrt[3]{1 + a + a^{2}}$ ,

e) $\sqrt[5]{a^{6} + a^{7} + a^{10}} = \sqrt[5]{a^{5} (a + a^{2} + a^{5})} = a \sqrt[5]{a + a^{2} + a^{5}}$ .

RoHk0BRhYo5Yv3

Ćwiczenie 19

Słownik

pierwiastek stopnia

n

z liczby nieujemnej

pierwiastek stopnia

n

z liczby nieujemnej

pierwiastkiem stopnia $n$ $(n \in ℕ ∖ \{0, 1\})$ z nieujemnej liczby $a$ nazywamy taką nieujemną liczbę $b$ , której potęga o wykładniku $n$ jest równa $a$ , czyli:

$\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow a = b^{n}$ , dla $a \geq 0$ , $b \geq 0$ , $n \in ℕ ∖ \{0, 1\}$

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens

pierwiastek nieparzystego stopnia

pierwiastkiem nieparzystego stopnia $2 n + 1$ z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , której potęga o wykładniku $2 n + 1$ jest równa $a$ , czyli $\sqrt[2 n + 1]{a} = b \Leftrightarrow a = b^{2 n + 1}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ oraz $n \in ℕ_{+}$

tożsamość

równość prawdziwa dla każdego elementu dziedziny

1. Pierwiastek arytmetyczny stopnia drugiego i trzeciego

3. Działania na pierwiastkach