5. Granica funkcji w nieskończoności

R1UfFa3HSh78I

Granice funkcji w nieskończoności są użytecznym narzędziem w matematyce, służą między innymi do badania przebiegu zmienności funkcji. W praktyce pozwalają również na odpowiedzi na interesujące pytania natury pozamatematycznej, na przykład czy Ziemi grozi przeludnienie.

Paradoks Maltuzjańskiego modelu wzrostu

Pod koniec osiemnastego wieku angielski naukowiec, Thomas Robert Malthus, rozważył problem przewidywania dalszego rozwoju ludzkości uwzględniając wiele czynników, w tym wielkość populacji. Zauważył, że wzrost populacji jest proporcjonalny do wielkości populacji, czyli jeżeli w miasteczku z tysiącem mieszkańców przez dekadę urodzi się średnio dwieście dzieci, to w mieście z dziesięcioma tysiącami mieszkańców powinno się w tym samym czasie urodzić dwa tysiące dzieci. Na tej podstawie stworzył model matematyczny, używający równania różniczkowego, po czym rozwiązał to równanie i otrzymał wykres wzrostu liczby ludzi na świecie, podobny do poniższego.

R57Bl8dUbgqUR

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od 0 do pięciu oraz poziomą osią od 0 do dwudziestu. zaznaczono na nim wykres funkcji mający swój początek w punkcie jeden na osi Y. jest to kawałek hiperboli znajdujący się w pierwszej ćwiartce układu.

Pod koniec $XVIII$ wieku na świecie żyło około $1$ miliarda ludzi i według tych obliczeń $10$ lat później powinno ich być prawie $2$ miliardy, a $20$ lat później już prawie $5$ miliardów! Liczby te wystraszyły uczonego, który początkowo opublikował swoje wyniki pod pseudonimem. Jak to się jednak stało, że światowa populacja przekroczyła $7$ miliardów dopiero w $2010$ roku, nie w połowie $XIX$ wieku? Do odpowiedzi na to pytanie będziemy potrzebowali użyć granic funkcji w nieskończoności.

Twoje cele

Zdefiniujesz skończoną granicę funkcji w nieskończoności.
Zdefiniujesz nieskończoną granicę funkcji w nieskończoności.
Na podstawie definicji sprawdzisz, czy funkcja ma granicę w nieskończoności.
Na podstawie wykresu określisz istnienie granicy funkcji w nieskończoności.
Utrwalisz umiejętność obliczania granic funkcji w nieskończoności.

W różny sposób definiujemy skończone i nieskończone granice funkcji w nieskończoności. Przypomnijmy na początek dwie równoważne definicje skończonych granic funkcji w nieskończoności: według Heinego i Cauchy’ego.

granicy skończonej w nieskończoności według Heinego

Definicja: granicy skończonej w nieskończoności według Heinego

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+ \infty$ granicę skończoną równą $L$ , gdy dla dowolnego ciągu argumentów $x_{n}$ dążących do $+ \infty$ , wartości funkcji $f (x_{n})$ dążą do $L$ .

granicy skończonej w nieskończoności według Cauchy’ego

Definicja: granicy skończonej w nieskończoności według Cauchy’ego

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+ \infty$ granicę skończoną równą $L$ , gdy dla dowolnie małej dodatniej liczby $ε$ istnieje taka liczba dodatnia $M$ , że dla wszystkich argumentów $x$ większych od $M$ wartości funkcji $f (x)$ są pomiędzy $L - ε$ i $L + ε$ .

Symbolicznie zapisujemy to jako

lim_{x \to + \infty} f (x) = L

Podobnie definiujemy granicę skończoną w $(- \infty)$ .

Przykład 1

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ , ma w $+ \infty$ granicę skończonągranica skończona w nieskończonościgranicę skończoną równą $0$ .

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_{n}$ dążący $+ \infty$ .

Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_{n}^{2}$ , również dąży do $+ \infty$ . Zatem ciąg odwrotności kwadratów, $\frac{1}{x_{n}^{2}}$ , dąży do $0$ , czyli granicą funkcji $f$ w $+ \infty$ jest $0$ ,

$lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Przykład 2

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ , ma w $+ \infty$ granicę skończonągranica skończona w nieskończonościgranicę skończoną równą $0$ .

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią $ε$ . Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $M$ jako odwrotność pierwiastka z $ε$ , czyli $M = \frac{1}{\sqrt{ε}}$ , to wówczas dla wszystkich argumentów $x$ większych od $M$ wartości funkcji $f$ są nie mniejsze od $0 - ε = - \frac{1}{M^{2}}$ i nie większe od $0 + ε = \frac{1}{M^{2}}$ , i tym samym granicą funkcji $f$ w $+ \infty$ jest $0$ .

Możemy sprawdzić empirycznie, jak wygląda znajdowanie wartości $M$ w zależności od wartości $ε$ na przykładzie funkcji $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $x \neq 0$ .

RG7Mbsch8fDqH

Jak widać, im mniejsza wartość $ε$ , tym większa jest wartość $M$ – w dalszym miejscu leżą argumenty, dla których wartości funkcji są pomiędzy zadanymi liniami – ale za każdym razem można taką wartość znaleźć.

Przypomnijmy teraz dwie równoważne definicje nieskończonych granic funkcji w nieskończoności: według Heinego i Cauchy’ego.

granicy nieskończonej w nieskończoności według Heinego

Definicja: granicy nieskończonej w nieskończoności według Heinego

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+ \infty$ granicę nieskończoną równą $+ \infty$ , gdy dla dowolnego ciągu argumentów $x_{n}$ , dążących do $+ \infty$ , wartości $f (x_{n})$ dążą do $+ \infty$ .

granicy nieskończonej w nieskończoności według Cauchy’ego

Definicja: granicy nieskończonej w nieskończoności według Cauchy’ego

Mówimy, że funkcja $f$ ma w $+ \infty$ granicę nieskończoną równą $+ \infty$ , gdy dla dowolnie dużej dodatniej liczby $M$ istnieje taka liczba dodatnia $D$ , że dla wszystkich argumentów $x$ większych od $D$ wartości funkcji $f (x)$ są większe od $M$ .

Symbolicznie zapisujemy to jako

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

Podobnie definiujemy granicę nieskończoną równą $- \infty$ , oraz obie granice nieskończone w $(- \infty)$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, używając definicji Heinego, czy funkcja $f (x) = x^{2} - 1$ ma w $+ \infty$ granicę nieskończonągranicę nieskończoną równą $+ \infty$ .

Rozwiązanie

Weźmy dowolny ciąg argumentów $x_{n}$ dążący do $+ \infty$ . Wówczas wiemy, że ciąg kwadratów tych argumentów, $x_{n}^{2}$ , również dąży do $+ \infty$ . Zatem ciąg kwadratów pomniejszonych o jeden, $x_{n}^{2} - 1$ , również dąży do $+ \infty$ , czyli granicą funkcji $f$ w $+ \infty$ jest $+ \infty$ ,

$lim_{x \to + \infty} (x^{2} - 1) = + \infty$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, używając definicji Cauchy’ego, czy funkcja $f (x) = x^{2} - 1$ ma w $+ \infty$ granicę nieskończonągranicę nieskończoną równą $+ \infty$ .

Rozwiązanie

Weźmy dowolnie dużą liczbę dodatnią $M$ . Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $D$ jako pierwiastek z liczby $M$ powiększonej o jeden, czyli $D = \sqrt{M + 1}$ , to wówczas dla wszystkich argumentów $x$ większych od $D$ wartości funkcji $f$ są nie mniejsze od $D^{2} - 1 = M$ , i tym samym granicą funkcji $f$ w $+ \infty$ jest $+ \infty$ .

Nie zawsze funkcja musi mieć granicę w nieskończoności, przykładami mogą być podstawowe funkcje trygonometryczne.

RGttwWiOdx0Ne

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od zero do 90 oraz z osią pionową od minus 1 do jeden. Zaznaczono na nim sinusoidę z szesnastoma okresami.

Funkcja sinus nie ma granicy w nieskończoności. Rozważmy dwa dowolne ciągi argumentów dążące do $+ \infty$ :

$x_{n_{1}} = n π$

$x_{n_{2}} = \frac{π}{2} + 2 n π$

Zauważmy, że dla $n$ dążącego do $+ \infty$ ciąg $f (x_{n_{1}})$ dąży do $0$ , zaś ciąg $f (x_{n_{2}})$ dąży do $1$ .

To wystarczy, żeby udowodnić, że $\lim_{x \to + \infty} (\sin x)$ nie istnieje.

Wyjaśnienie paradoksu wzrostu

Jak pamiętamy, T. Malthus próbował szacować wzrost populacji ludzi na świecie i otrzymany wynik wydawał się rosnąć w sposób niekontrolowany. Prawdopodobnie w czasach Malthusa nie zdawano sobie sprawy, że funkcja może być jednocześnie rosnąca i ograniczona z góry (przyjąć ten fakt pomogły nam dopiero rozważania dotyczące granic funkcji, które prowadzili niezależnie Augustin Cauchy i Heindrich Heine). Formułując rozważania dotyczące nieskończoności, błędem jest oglądanie tylko najbliższego otoczenia aktualnego momentu czasu na wykresie, gdyż przy względnie małych wartościach argumentów wartości funkcji wydawały się rosnąć nieograniczenie. Dopiero wyznaczenie granicy w nieskończoności pokazało nam długoterminowe zachowanie wartości naszej funkcji.

RNWtyeteHwqMS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionowa osią od zera do 20 oraz z osią poziomą od zera do osiemdziesięciu. Zaznaczono na nim funkcję rosnącą niekontrolowanie. Rozpoczyna się w wartości 1, następnie charakterystycznym punktem jest 30;10. Funkcja stale rośnie do punktu około 17;50 po nim przyjmuję stałą wartość.

Polecenie 1

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną, a następnie wykonaj Polecenie 2.

Rn7DzgNiygh6y

Polecenie 2

Używając definicji Cauchy’ego sprawdź, czy funkcja $f (x) = \frac{4}{x^{4} + 3}$ ma granicę w $+ \infty$ równą $0$ .

Weźmy dowolnie małą liczbę dodatnią $M$ . Jeżeli zdefiniujemy liczbę dodatnią $D = \sqrt[4]{\frac{4 - 3 M}{M}}$ , to wówczas dla wszystkich wartości $x$ większych od $D$ wartości funkcji $f$ są nie mniejsze od $0 - M = - \frac{4}{D^{4} + 3}$ oraz nie większe od $0 + M = \frac{4}{D^{4} + 3}$ i tym samym granicą funkcji w $+ \infty$ jest $0$ .

Podstawowe własności granic, symbole nieoznaczone

Zanim Przejdziemy do obliczania kolejnych granic w nieskończoności, przypomnimy sobie podstawowe własności granic.

własności arytmetyczne granic

Twierdzenie: własności arytmetyczne granic

Dla dowolnych funkcji $f$ i $g$ , mających właściwe (skończone) granice w $+ \infty$ : $\lim_{x \to + \infty} f (x) = F$ i $\lim_{x \to + \infty} g (x) = G$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ , prawdziwe są następujące własności arytmetyczne granic:

$\lim_{x \to + \infty} (a \cdot f (x) + b \cdot g (x)) = a \cdot F + b \cdot G$
$\lim_{x \to + \infty} (f (x) \cdot g (x)) = F \cdot G$
$\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{F}{G}$ , o ile $G \neq 0$

Analogiczne własności zachodzą dla granic przy $x \to - \infty$ .

Założenie o skończoności granic funkcjigranica skończona w nieskończonościskończoności granic funkcji $f$ i $g$ było istotne. Jeżeli tylko jedna z granic będzie niewłaściwa, na przykład $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ , to niektóre z powyższych wzorów pozostaną prawdziwe – oczywiście pamiętając o odpowiednich działaniach na nieskończonościach – na przykład:

$\lim_{x \to + \infty} (f (x) + g (x)) = F + \infty = + \infty$ ,

albo

$\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{F}{+ \infty} = 0$ ,

ale niektóre nie będą już prawdziwe, na przykład nie możemy napisać, że

$\lim_{x \to + \infty} (f (x) \cdot g (x)) = F \cdot + \infty$ ,

chyba, że założymy dodatkowo, że $F \neq 0$ .

Dla zobrazowania tego rozważmy trzy różne funkcje $f$ , które mają w $+ \infty$ granicę równą zero: $f_{1} (x) = \frac{1}{x}$ , $f_{2} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ i $f_{3} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ oraz szczególną funkcję $g (x) = x^{2}$ o niewłaściwej granicy w $+ \infty$ . Zauważmy, że w każdym z tych przypadków otrzymamy inny wynik granicy iloczynu:

$\lim_{x \to + \infty} (f_{1} (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ ,

$\lim_{x \to + \infty} (f_{2} (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \to + \infty} 1 = 1$ ,

$\lim_{x \to + \infty} (f_{3} (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

W niektórych przypadkach mamy sytuacje nieprzewidywalne, czyli tak zwane symbole nieoznaczonesymbol nieoznaczonysymbole nieoznaczone. Najczęstsze z nich to: $0 \cdot \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ .

Jeżeli w zadaniu napotkamy granicę, sprowadzającą się do symbolu nieoznaczonego, nie wystarczy użycie przedstawionych powyżej własności arytmetycznych granic, trzeba znaleźć sposób na takie przekształcenie postaci funkcji, żeby symbol nieoznaczonysymbol nieoznaczonysymbol nieoznaczony wyeliminować.

Granice wielomianów w nieskończonościachGranice wielomianów w nieskończonościach są w miarę proste do wyznaczania, bo są zawsze niewłaściwe (czyli nieskończone), a znak nieskończoności zależy od parzystości stopnia wielomianu i znaku współczynnika przy najwyższej potędze. Granice funkcji wymiernych są za to o wiele trudniejsze, gdyż są zawsze postaci $\frac{\infty}{\infty}$ , czyli w postaci symbolu nieoznaczonego. Czasami wystarczy dokonać odpowiedniego uproszczenia.

Przykład 5

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{4} + 4 x^{2} + 4}{x^{2} + 2}$ dla $x$ dążącego do $- \infty$ .

Rozwiązanie

Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, możemy zapisać:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} + 4 x^{2} + 4}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{{(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to - \infty} (x^{2} + 2) = + \infty$ .

Bardzo rzadko jednak możemy tak mocno uprościć naszą funkcję, zazwyczaj wyłączamy odpowiednie wyrażenia przed nawias w liczniku i mianowniku, a po ich skróceniu wyznaczamy wynik końcowy.

Przykład 6

Wyznaczmy granicę $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x}{x^{2} + 2}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy przed nawias czynnik w najwyższej potędze, czyli w liczniku $x^{4}$ a w mianowniku $x^{2}$ . Po skróceniu otrzymujemy:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} (3 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}})}{x^{2} (1 + \frac{2}{x^{2}})} =$

$= \lim_{x \to - \infty} (x^{2} \cdot \frac{3 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}}) = + \infty \cdot \frac{3}{1} = + \infty$ .

Przykład 7

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{2} + 3 x + 5}{3 x^{3} + 1}$ .

Rozwiązanie

Postępując podobnie, jak powyżej, otrzymujemy:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{2} + 3 x + 5}{3 x^{3} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (- 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}})}{x^{3} (3 + \frac{1}{x^{3}})} =$

$= \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x^{3}}}) = 0 \cdot \frac{- 2}{3} = 0$ .

Przykład 8

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x - 7}{3 x^{2} + 1}$ .

Rozwiązanie

Ponownie, postępując podobnie, jak wcześniej, otrzymujemy:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x - 7}{3 x^{2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (2 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^{2}})}{x^{2} (3 + \frac{1}{x^{2}})} =$

$= \lim_{x \to + \infty} (1 \cdot \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x^{2}}}) = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .

W podobny sposób, co powyżej, możemy potraktować funkcje będące wyrażeniami algebraicznymi związanymi z funkcjami wykładniczymi. Wiemy, że dla $a > 1$ :

$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ , $\lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} a^{- x} = + \infty$ , $\lim_{x \to + \infty} a^{- x} = 0$ .

Czasami, jak poprzednio, wystarczy uprościć postać funkcji.

Przykład 9

Obliczymy granicę $\lim_{x \to - \infty} \frac{2^{2 x} - 2^{- 2 x}}{2^{x} - 2^{- x}}$ .

Rozwiązanie

Używając odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2^{2 x} - 2^{- 2 x}}{2^{x} - 2^{- x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{(2^{x} - 2^{- x}) (2^{x} + 2^{- x})}{2^{x} - 2^{- x}} =$

$= \lim_{x \to - \infty} (2^{x} + 2^{- x}) = 0 + \infty = + \infty$ .

W niektórych przypadkach pomaga, jak w przypadku funkcji wymiernych, wyłączenie z licznika i mianownika wyrazu „najszybciej” dążącego do nieskończoności i, po niezbędnym uproszczeniu, wyznaczenie wyniku końcowego.

Przykład 10

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 \cdot 5^{2 x} + 5^{- x}}{3 \cdot 5^{x} - 5^{- 4 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy przed nawias w liczniku $5^{2 x}$ , a w mianowniku $5^{x}$ :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 \cdot 5^{2 x} + 5^{- x}}{3 \cdot 5^{x} - 5^{- 4 x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{5^{2 x} (- 2 + \frac{5^{- x}}{5^{2 x}})}{5^{x} (3 - \frac{5^{- 4 x}}{5^{x}})} = a^{x} = + \infty$

$= \lim_{x \to + \infty} (5^{x} \cdot \frac{- 2 + 5^{- 3 x}}{3 - 5^{- 5 x}}) = + \infty \cdot \frac{- 2 + 0}{3 - 0} = - \infty$ .

Przykład 11

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 \cdot 4^{4 x} + 1}{2 - 4^{4 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy, zarówno w liczniku, jak i w mianowniku, czynnik: $4^{4 x}$ .

$\lim_{x \to + \infty} \frac{3 \cdot 4^{4 x} + 1}{2 - 4^{4 x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{4^{4 x} (3 + 4^{- 4 x})}{4^{4 x} (2 \cdot 4^{- 4 x} - 1)} =$

$= \lim_{x \to + \infty} (1 \cdot \frac{3 + 4^{- 4 x}}{2 \cdot 4^{- 4 x} - 1}) = 1 \cdot \frac{3 + 0}{0 - 1} = - 3$

Jeżeli liczymy granicę przy $x$ dążącym do $- \infty$ , to musimy pamiętać, że zachowanie funkcji wykładniczej się zmienia i wówczas, dla $a > 1$ , funkcja $f (x) = a^{x}$ maleje do zera, a funkcja $f (x) = a^{- x}$ rośnie do plus nieskończoności.

Przykład 12

Obliczymy granicę $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 \cdot 7^{2 x} + 7^{- x}}{3 \cdot 7^{x} - 7^{- 4 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy w liczniku $7^{- x}$ , a w mianowniku $7^{- 4 x}$ .

$\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 \cdot 7^{2 x} + 7^{- x}}{3 \cdot 7^{x} - 7^{- 4 x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{7^{- x} (- 2 \cdot \frac{7^{2 x}}{7^{- x}} + 1)}{7^{- 4 x} (3 \cdot \frac{7^{x}}{7^{- 4 x}} - 1)} =$

$= \lim_{x \to - \infty} (7^{3 x} \cdot \frac{- 2 \cdot 7^{3 x} + 1}{3 \cdot 7^{5 x} - 1}) = 0 \cdot \frac{0 + 1}{0 - 1} = 0$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z prezentacją multimedialną przedstawiającą algorytm wyznaczania granic różnych funkcji.

R1QmcmGCUBCsu

Polecenie 4

Oblicz $\lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}$ .

$\lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}} =$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{6 (\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})}{(x - 1) - (x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 (\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})}{- 2} = [\frac{\infty}{- 2}] = - \infty$

Ćwiczenie 1

Na podstawie wykresu wybierz zdanie prawdziwe.

R1tfSzgR3218T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 1 do pięciu oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę z ramionami w górę odbitą względem osi X. Miejsce odbicia jest równe miejscom zerowym paraboli czyli minus półtorej oraz półtorej. Wierzchołek odbitej paraboli ma współrzędne równe 0;4

RcqZRthT7Ppfa

Ćwiczenie 2

Na podstawie wykresu wybierz zdanie prawdziwe.

R1UkHlVRbk5e7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 3 do dwóch oraz z osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim dwie hiperbole mające asymptotę o prostych o równaniach x=0 oraz y=1. Hiperbole mają miejsca zerowe w punkcie minus jeden oraz jeden.

R1RZcpAYGQ8Tw

Ćwiczenie 3

Zaznacz wszystkie zdania pasujące do funkcji, którą widzisz na wykresie.

RyFJg8tPbHe8B

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus 10 do szesnastu oraz z osią poziomą od minus 14 do szesnastu. Zaznaczono na nim wykres funkcji. Jest ona stała do punktu około -13;0 następnie rośnie do punktu około -11;0,5 ponownie maleje do punktu około -8;-0,5, ponownie rośnie do punktu około -6;1, ponownie maleje do punktu około -2;-1 rośnie do punktu w okolicach 2;1,5, ponownie maleje do punktu w okolicach 5;-2,5, rośnie do punktu w okolicach 8;5, ponownie maleje do punktu w okolicach 11;-9, rośnie do punktu powyżej 15;16 oraz maleje do nieskończoności.

R3Wtdn9kNJRnj

Ćwiczenie 4

Zaznacz wszystkie zdania pasujące do funkcji, którą widzisz na wykresie.

R8lRJOo0vFiYX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią pionową od minus półtorej do półtorej oraz osią poziomą od minus 10 do piętnastu. Zaznaczono na nim wykres funkcji. Jest on stały do punktu w okolicach -10;0 następnie powoli rośnie do x w okolicach minus 3 po czym gwałtownie rośnie do punktu -1;0,5 funkcja gwałtownie maleje do nieskończoności, kilkukrotnie rośnie do plus oraz minus nieskończoności. Od minus nieskończoności rośnie do punktu -1;0,5 i delikatnie maleje aż do punktu 15;0

R7c4TZPACTytu

Ćwiczenie 5

RUBgqya0ZxNAf

RGZBqceyL2f3X

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z pionową osią od minus 3 do trzech oraz osią poziomą od minus 5 do pięciu. Zaznaczono na nim parabolę z ramionami skierowanymi do dołu mającą wierzchołek w punkcie 0;2, posiadającą miejsca zerowe o wartości minus jeden oraz jeden.

Ćwiczenie 6

R2j19yNOOerk6

Ćwiczenie 7

R458xahlUfdXP

R1YOnJqOvSeGf

RMm37uHGcCuG23

Ćwiczenie 8

Rre6H85BjdCuG1

Ćwiczenie 9

R1FmUSSR4xxJD1

Ćwiczenie 10

ROYA7tfJUWY4M1

Ćwiczenie 11

RQNGMZbnDyBDA2

Ćwiczenie 12

RD6kwbRO0EhlL2

Ćwiczenie 13

RK9wywVzHiRKJ2

Ćwiczenie 14

R1MiWwpDMFqDg3

Ćwiczenie 15

Połącz w pary wzory funkcji i informacje o ich granicach. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, minus, dziewięć indeks górny, dwa x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę skończoną, a w plus, nieskończoność nieskończoną., 2. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę nieskończoną., 3. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę skończoną., 4. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę nieskończoną, a w plus, nieskończoność granicę skończoną. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę skończoną, a w plus, nieskończoność nieskończoną., 2. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę nieskończoną., 3. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę skończoną., 4. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę nieskończoną, a w plus, nieskończoność granicę skończoną. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa, plus, trzy, razy, jedenaście indeks górny, minus, pięć x, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę skończoną, a w plus, nieskończoność nieskończoną., 2. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę nieskończoną., 3. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę skończoną., 4. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę nieskończoną, a w plus, nieskończoność granicę skończoną. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, trzy, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, trzy, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę skończoną, a w plus, nieskończoność nieskończoną., 2. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę nieskończoną., 3. Funkcja ma w minus, nieskończoność i w plus, nieskończoność granicę skończoną., 4. Funkcja ma w minus, nieskończoność granicę nieskończoną, a w plus, nieskończoność granicę skończoną.

R2rot1orjAB9z3

Ćwiczenie 16

Słownik

granica skończona w nieskończoności

granica funkcji w nieskończoności ( $- \infty$ lub $+ \infty$ ), która jest liczbą rzeczywistą

granica nieskończona w nieskończoności

granica funkcji w nieskończoności ( $- \infty$ lub $+ \infty$ ), która jest nieskończona ( $- \infty$ lub $+ \infty$ )

symbol nieoznaczony

wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji: $\frac{0}{0}$ ; $\frac{\infty}{\infty}$ ; $\infty - \infty$ ; $0 \cdot \infty$ ; $0^{0}$ ; $1^{\infty}$ ; $\infty^{0}$

4. Granica niewłaściwa funkcji

6.* Asymptoty funkcji (DODATEK)