1. Równania trygonometryczne - wprowadzenie - M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne

RZ6toGDBsVR82

1. Równania trygonometryczne - wprowadzenie

Poznałeś już wykres funkcji trygonometrycznej $y = \sin x$ , $y = \cos x$ , $y = tg x$

Znasz już także podstawowe własności tych wykresów: środki symetrii i osie symetrii. Zapoznałeś się również z charakterystycznymi własnościami tych funkcji. Wiesz, że funkcje sinus i cosinus są funkcjami okresowymi a ich zbiorem wartości jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ . Wykorzystamy opisane powyżej fakty do rozwiązywania równań postaci: $sin x = a$ , $cos x = a$ , $tg x = a$ .

Twoje cele

Rozwiążesz równanie postaci: $sin x = a$ , $cos x = a$ , $tg x = a$ w zadanym przedziale lub w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiążesz równanie postaci: $\sin (c x + d) = a$ , $\cos (c x + d) = a$ , $tg (c x + d) = a$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie równania $sin x = a$

Rozwiązywanie równań: $\sin x = 1, \sin x = - 1$

Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązywanie równań postaci $\sin x = a$ od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji $y = \sin x$ jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ , zatem dla liczb $a \notin ⟨ - 1, 1 ⟩$ równanie $\sin x = a$ nie ma rozwiązańrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na początek rozwiążemy równanie $\sin x = 1$ .

R1daNZ9LoEIE0

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X opisaną od -2π;4π oraz z pionową osią Y opisaną -2;2 . Na płaszczyźnie narysowany jest wykres sinus X oraz zaznaczona jest pozioma prosta o równaniu Y równa się jeden.

Zauważmy, że w przedziale $⟨ 0, 2 π)$ funkcja $y = \sin x$ przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu $x = \frac{π}{2}$ . Funkcja $y = \sin x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π$ , zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Postępując analogicznie rozwiązujemy równanierównanie $\sin x = - 1$ .

RTBb1QkMAQ14K

RozwiązaniemRozwiązaniem równania $\sin x = - 1$ jest każda liczba postaci $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązywanie równań: $\sin x = a$

Aby rozwiązać równanie $\sin x = a$ wykorzystamy wykresy funkcji $y = \sin x$ i $y = a$ . Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta $y = a$ przecina wykres w dwóch typach punktów; jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w stałych odległościach równych $2 π$ . Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.

R45Jga3thKwUm

Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.

Wykorzystajmy poniższy aplet.

R1J2VanPVRMZD

Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu $x = \frac{π}{2}$ . Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów, co oznacza, że spełniają zależność: $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{π}{2}$ . Stąd dostajemy, że $x_{1} = π - x_{2}$ .

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego

Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania $\sin x = a$ .

Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_{0}$ takie, że $\sin x_{0} = a$ .
Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: $x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Znajdujemy drugie rozwiązanie $π - x_{0}$ .
Zapisujemy drugą serię rozwiązań: $π - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwaga: W przypadku równań $\sin x = 1, \sin x = - 1$ jest tylko jedna seria rozwiązań.

Przykład 1

Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: $\sin x = - \frac{1}{2}$ .

Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania $\sin x = - \frac{1}{2}$ . Ponieważ $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , korzystając z nieparzystości funkcji sinus, otrzymujemy: $\sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ . Zatem poszukiwanym $x_{0}$ jest liczba $- \frac{π}{6}$ . Wobec tego rozwiązaniami równania $\sin x = - \frac{1}{2}$ są: $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $x = π - (- \frac{π}{6}) + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie: $\sin x = - \frac{1}{2}$ w przedziale $⟨ - π, 3 π ⟩$ .

Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale $⟨ - π, 3 π ⟩$ . Są to: $- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6} .$

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $2 sin 3 x = \sqrt{3}$ w przedziale $(- π, π)$ . Przekształcamy równanie do postaci: $sin 3 x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Podstawiamy $z = 3 x$ , czyli otrzymujemy równanie $\sin z = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Znajdujemy jedno rozwiązanie: $z_{0} = \frac{π}{3}$ . Zatem rozwiązaniami równania $\sin z = \frac{\sqrt{3}}{2}$ są: $z = \frac{π}{3} + 2 k π$ lub $z = π - \frac{π}{3} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Ponieważ $z = 3 x$ , wówczas rozwiązaniami równania $2 sin 3 x = \sqrt{3}$ są $x = \frac{π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ lub $x = \frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ . Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału $(- π, π)$ : $- \frac{5 π}{9}, - \frac{4 π}{9}, \frac{π}{9}, \frac{2 π}{9}, \frac{7 π}{9}, \frac{8 π}{9}$ .

A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.

Przykład 4

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie $\sin (2 x - 1) = | a - 1 | - 3$ ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Ponieważ zbiorem wartości funkcji $y = \sin (2 x - 1)$ jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ , zatem muszą być spełnione dwie nierówności: $- 1 \leq | a - 1 | - 3$ i $| a - 1 | - 3 \leq 1$ . Wówczas $2 \leq | a - 1 |$ i $| a - 1 | \leq 4$ . Wobec tego otrzymujemy $a \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup ⟨ 3, + \infty)$ i $a \in ⟨ - 3, 5 ⟩$ , skąd otrzymujemy odpowiedź: $a \in ⟨ - 3, - 1 ⟩ \cup ⟨ 3, 5 ⟩$ .

Zapoznaj się z poniższym filmem. Następnie spróbuj rozwiązać zadania pod nim zamieszczone.

RakWueFGghs32

Polecenie 1

Rozwiąż równanie $\sin (4 x) = \sin (3 x)$

$4 x = 3 x + 2 k π$ lub $4 x = π - 3 x + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

$x = 2 k π$ lub $x = \frac{π}{7} + \frac{2 k π}{7}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 2

RdXkcsypmnvnP

Rozwiązanie równania $cos x = a$

Rozwiązywanie równań: $\sin x = 1, \cos x = - 1$

Rozpocznijmy rozwiązywanie równańrozwiązywanie równań postaci $\cos x = a$ od następującej obserwacji: ponieważ zbiorem wartości funkcji $y = \cos x$ jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ , zatem dla liczb $a \notin ⟨ - 1, 1 ⟩$ równanie $\cos x = a$ nie ma rozwiązańrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na początek rozwiążemy równanie $\cos x = 1$ .

RdMutiiDJlxbB

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pi do trzech pi oraz pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowana jest kosinusoida oraz pozioma prosta o równaniu y równa się jeden.

Zauważmy, że w przedziale $⟨ 0, 2 π)$ funkcja $y = \cos x$ przyjmuje wartość 1 tylko dla argumentu $x = 0$ . Funkcja $y = \cos x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π$ , zatem wszystkie rozwiązania równania mają postać: $x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Postępując analogicznie rozwiązujemy równanie $\cos x = - 1$ .

RKnJEppys4nhM

Rozwiązaniem równania $\cos x = - 1$ jest każda liczba postaci $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązywanie równań: $\cos x = a$ .

Aby rozwiązać równanie $\cos x = a$ , wykorzystamy wykresy funkcji $y = \cos x$ i $y = a$ . Na aplecie możemy poruszać suwakiem. Zwróćmy uwagę, że prosta $y = a$ przecina wykres w dwóch typach punktów: jedne z nich są pokolorowane na czerwono, pozostałe na pomarańczowo. Zauważmy, że punkty pokolorowane na czerwono są w równych odległościach równych $2 π$ . Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku punktów pokolorowanych na pomarańczowo. Zatem będą istnieć dwie serie rozwiązań.

R5yc6bX74MVai

Pozostaje ustalić, jakie są zależności między punktami czerwonymi i pomarańczowymi.

Wykorzystajmy poniższy aplet.

RN6kGs5z5cL4y

Poruszajmy suwakiem. Zauważmy, że punkt czerwony w czasie przesuwania suwaka jest położony symetrycznie do punktu pomarańczowego względem prostej o równaniu $x = 0$ . Podobnie zachowują się pierwsze współrzędne tych punktów. Zatem ich współrzędne spełniają zależność: $x_{2} = - x_{1}$ .

Aby rozwiązać równanie $\cos x = a$ , wykorzystamy wykresy funkcji $y = \cos x$ i $y = a$ , przy czym $a$ należy do określonego wcześniej przedziału $⟨ - 1, 1 ⟩$ . Rysując w układzie współrzędnych wykresy $y = \cos x$ oraz na przykład $y = a$ , otrzymamy kosinusoidę oraz poziomą prostą, które przecinają się w określonych punktach. Na przykład dla $a = 1$ będą to wszystkie maksima funkcji cosinus. Wiemy, że przedział dla $a$ jest ściśle określony, możemy więc obrać wszystkie poziome proste leżące poniżej naszej prostej aż do prostej zadanej równaniem $y = - 1$ włącznie. Funkcja cosinus jest okresowa, więc punkty przecięcia z poziomą prostą będą pojawiać się na wykresie cyklicznie i regularnie.

Weźmy na przykład prostą $y = 0$ i cztery kolejne punkty przecięcia prostej z wykresem funkcji $y = \cos x$ . Wybierzmy punkty o współrzędnych $(- \frac{3 π}{2}, 0)$ , $(- \frac{π}{2}, 0)$ , $(\frac{π}{2}, 0)$ oraz $(\frac{3 π}{2}, 0)$ . Możemy zauważyć tu pewien porządek w przypadku pierwszych współrzędnych obranych przez nas punktów. Z uwagi na budowę kosinusoidy oraz na fakt, że okres tej funkcji wynosi $2 π$ , mamy tu dwie grupy rozwiązań, mianowicie wszystkie punkty oddalone na przykład od punktu $(- \frac{3 π}{2}, 0)$ o całkowitą wielokrotność $2 π$ wraz z tym punktem, a także wszystkie punkty oddalone od punktu $(- \frac{π}{2}, 0)$ o całkowitą wielokrotność $2 π$ wraz z tym punktem. Jedną grupę rozwiązań mamy tylko dla prostych przechodzących przez ekstrema funkcji cosinus, czyli dla $y = - 1$ oraz $y = 1$ .

Weźmy teraz dwa punkty przecięcia wykresu funkcji $y = \cos x$ z wykresem funkcji $y = a$ , gdzie $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ położone symetrycznie względem osi $Y$ i należące do dwóch różnych grup rozwiązań równania $\cos x = a$ . Punkty te mają współrzędne $(x_{1}, a)$ oraz $(x_{2}, a)$ . Zauważmy, że funkcja cosinus jest symetryczna względem osi $Y$ . Zmieniając wartość parametru $a$ , będziemy zmieniać również położenie tych punktów. Jednak z uwagi na symetrię względem osi $Y$ , przy określonych wyżej warunkach, zawsze zachodzić będzie, że $x_{1} = - x_{2}$ .

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego.

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego.

Możemy zatem zapisać algorytm szukania rozwiązań równania $\cos x = a$ . Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_{0}$ takie, że $\cos x_{0} = a$ . Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: $x = x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Znajdujemy drugie rozwiązanie $- x_{0}$ . Zapisujemy drugą serię rozwiązań: $x = - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Uwaga: W przypadku równań $\cos x = 1, \cos x = - 1$ jest tylko jedna seria rozwiązań.

Teraz pokażemy kilka zastosowań podanego algorytmu.

Przykład 5

Rozwiążemy w zbiorze liczb rzeczywistych równanie: $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Najpierw znajdziemy rozwiązanie równania $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ w przedziale $<0, π>$ .

Ponieważ $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , korzystając ze wzoru redukcyjnego $\cos (π - x) = - \cos x$ otrzymujemy $\cos (π - \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Zatem poszukiwanym $x$ jest liczba $\frac{5 π}{6}$ .

Z parzystości funkcji cosinus otrzymujemy, że $\cos (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wobec tego rozwiązaniami równania $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ są: $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ lub $x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 6

Rozwiążemy równanie: $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ w przedziale $⟨ - 2 π, 5 π ⟩$ .

Korzystając z rozwiązania przykładu 1 poszukamy rozwiązań, które znajdują się w przedziale $⟨ - 2 π, 5 π ⟩$ . Są to: $- \frac{7 π}{6}, - \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{19 π}{6}, \frac{29 π}{6}$ .

Przykład 7

Rozwiążemy równanie $2 \cos (3 x - 1) = - \sqrt{2}$ w przedziale $⟨ - π, π ⟩$ .

Przekształcamy równanie do postaci: $\cos (3 x - 1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Podstawmy $z = 3 x - 1$ , czyli otrzymujemy równanie $\cos z = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Znajdujemy jedno rozwiązanie: $z_{0} = \frac{3 π}{4}$ . Zatem rozwiązaniami równania $\cos z = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ są: $z = \frac{3 π}{4} + 2 k π$ lub $z = - \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ponieważ $z = 3 x - 1$ , wówczas rozwiązaniami równania $2 \cos (3 x - 1) = - \sqrt{2}$ są: $x = \frac{1}{3} + \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ lub $x = \frac{1}{3} - \frac{π}{4} + \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Pozostaje wybrać rozwiązania z przedziału $⟨ - π, π ⟩$ : $\frac{1}{3} - \frac{13 π}{12}, \frac{1}{3} - \frac{5 π}{12}, \frac{1}{3} + \frac{π}{4}, \frac{1}{3} - \frac{π}{4}, \frac{1}{3} - \frac{11 π}{12}, \frac{1}{3} + \frac{5 π}{12}$ .

A teraz pokażemy, jak można rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem.

Przykład 8

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie $\cos (3 x + 7) = a^{2} + 3 a + 1$ ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Ponieważ zbiorem wartości funkcji $y = \cos (3 x + 7)$ jest przedział $⟨ - 1, 1 ⟩$ , zatem muszą być spełnione dwie nierówności: $- 1 \leq a^{2} + 3 a + 1$ i $a^{2} + 3 a + 1 \leq 1$ .

Wówczas $0 \leq a^{2} + 3 a + 2$ i $a^{2} + 3 a \leq 0$ . Wobec tego otrzymujemy $0 \leq (a + 1) (a + 2)$ i $a (a + 3) \leq 0$ . Stąd otrzymujemy odpowiedź: $a \in ⟨ - 3, - 2 ⟩$ lub $a \in ⟨ - 1, 0 ⟩$ .

Polecenie 3

Zapozna się z filmem, a następnie wykonaj polecenia.

R1Qphn5xgAzIk

Polecenie 4

Rozwiąż równanie: $\cos 2 x = \cos 4 x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.

$2 x = 4 x + 2 k π$ lub $2 x = - 4 x + 2 k π$ ,

$- 2 x = 2 k π$ lub $6 x = 2 k π$ .

$x = k π$ lub $x = \frac{k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Polecenie 5

RIfyvbaYSUgpE

Rozwiązanie równania $tg x = a$

Przypomnijmy własności funkcji tangens, z których będziemy korzystać przy rozwiązywaniu równań.

o własnościach funkcji tangens

Twierdzenie: o własnościach funkcji tangens

Opiszmy własności funkcji $y = tg x$ , gdy $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja tangens jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .
Funkcja tangens jest funkcją nieparzystą.
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja tangens nie ma wartości największej. Funkcja tangens nie ma wartości najmniejszej.
Środkiem symetrii wykresu funkcji tangens jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{k π}{2}, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Liczba rozwiązań równania $tg x = a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Narysujmy wykres funkcji $y = tg x$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . Narysujmy także prostą o równaniu $y = a$ , gdzie $a$ jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

Poruszajmy suwakiem na poniższym aplecie.

RpoCkQaLQb5qh

Zauważmy, że w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ funkcja $y = tg x$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą dokładnie jeden raz. Zatem równanie $tg x = a$ ma w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ dokładnie jedno rozwiązaniejedno rozwiązanie. Na aplecie zostało oznaczone jako $x_{0}$ , czyli $tg x_{0} = a$ .

Rozwiązania równania $tg x = a$ w dziedzinie

Funkcja $y = tg x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = π$ .

Zobaczmy w aplecie, jak zachowują się punkty wspólne wykresu funkcji $y = tg x$ i prostej o równaniu $y = a$ .

R1DFr8myI8qUr

Zauważmy zatem, że jeżeli $x_{0}$ jest rozwiązaniem równania $tg x = a$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , to wszystkie rozwiązaniawszystkie rozwiązania tego równania mają postać: $x = x_{0} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

o rozwiązywaniu równania

tg x = a

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania

tg x = a

Algorytm szukania rozwiązań równania $tg x = a$ :

Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_{0}$ takie, że $tg x_{0} = a$ .
Zapisujemy wszystkie rozwiązania równania $tg x = a$ :

x = x_{0} + k π

, gdzie

k \in ℤ

Przykład 9

Rozwiążemy w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ równanie: $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczymy jedno rozwiązanie równania $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Ponieważ $tg \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , to korzystając z zależności $tg (- x) = - tg x$ otrzymujemy:
$tg (- \frac{π}{6}) = - tg \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zatem rozwiązaniem równania $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ jest $x = - \frac{π}{6}$ .

Przykład 10

Rozwiążemy równanie: $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w całej dziedzinie.

Rozwiązanie

Skorzystamy z rozwiązania poprzedniego przykładu.

Rozwiązaniem równania $tg x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ jest $x_{0} = - \frac{π}{6}$ .

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania $tg x = a$ , otrzymujemy odpowiedź:
$x = - \frac{π}{6} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 11

Rozwiążemy równanie $\sqrt{3} tg (2 x + 1) = - 3$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy równanie do postaci: $tg (2 x + 1) = - \sqrt{3}$ .

Podstawmy $z = 2 x + 1$ , otrzymujemy wówczas równanie $tg z = - \sqrt{3}$ .

Znajdujemy jedno rozwiązanie: $z_{0} = - \frac{π}{3}$ .

Zatem rozwiązaniami równania $tg z = - \sqrt{3}$ są: $z = - \frac{π}{3} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Ponieważ $z = 2 x + 1$ , wówczas rozwiązaniami równania są $x = - \frac{1}{2} - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 12

Dla jakich wartości parametru $m \in ℝ$ równanie $| tg x | = m^{2} - 3 m$ ma dwa rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji $y = | tg x |$ jest jest przedział $⟨ 0, + \infty)$ .

Funkcja $y = | tg x |$ wartość $0$ przyjmuje tylko dla argumentu $0$ , natomiast każdą wartość dodatnią przyjmuje dla dwóch argumentów o przeciwnych znakach.

Zatem równanie $| tg x | = m^{2} - 3 m$ ma dwa rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m^{2} - 3 m > 0$ .

Rozwiązujemy nierówność kwadratową: $m (m - 3) > 0$ ,
otrzymujemy odpowiedź: $m \in (- \infty, 0) \cup (3, + \infty)$ .

Polecenie 6

Zapoznaj się z poniższą animacją, a następnie wykorzystaj przedstawioną metodę do wykonania kolejnych poleceń.

RGMBZUDoMHUJE

Polecenie 7

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RqsgDCDgRFVkh

Polecenie 8

Rozwiąż równanie: $tg 5 x + tg 7 x = 0$ .

Zapiszmy założenia: $\cos 5 x \neq 0, \cos 7 x \neq 0$ .

Zapiszmy równanie w postaci:

$tg 5 x = - tg 7 x$ ,

oraz korzystając z nieparzystości funkcji tangens przekształćmy do postaci:

$tg 5 x = tg (- 7 x)$ .

Korzystamy z metody porównywania:

$5 x = - 7 x + k π$ .

Po sprawdzeniu z założeniami otrzymujemy odpowiedź:

$x = \frac{k π}{12}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

RzO2WGdJx5Ccz1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RXI9IT3tBFOs8

Ćwiczenie 3

RgloTN9t2isM0

Ćwiczenie 4

R1W270z2QT5M92

Ćwiczenie 5

RZoB8i7K4S7YS

Ćwiczenie 6

R1BX8soZ3Hqat2

Ćwiczenie 7

R6k05DVM994nU

Ćwiczenie 8

R7Fm6szleEe2S3

R1EBOeoZUn8ml1

Ćwiczenie 9

R8zEz5gNdifww1

Ćwiczenie 10

RsC5s1WuabDEm2

Ćwiczenie 11

R1eJCFJiHLFTq2

Ćwiczenie 12

Liczba x spełnia równanie 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, 4. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, 5. cztery kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, trzy, równa się, zero, 6. cztery kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, jeden, równa się, zero wtedy i tylko wtedy, gdy 1. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, k PI, 2. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, dwa k PI, 3. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, k PI, 4. x, równa się, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI lub x, równa się, minus, początek ułamka, PI, mianownik, sześć, koniec ułamka, plus, dwa k PI, 5. cztery kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, trzy, równa się, zero, 6. cztery kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x, minus, jeden, równa się, zero, gdzie k, należy do, liczby całkowite.

R1QCIyvtk4VrU2

Ćwiczenie 13

R4dtU5GiViA6n2

Ćwiczenie 14

R1LfmxQBS0AJb3

Ćwiczenie 15

R1RhXh2R7mwEg3

Ćwiczenie 16

RroG5VxIp4FhZ1

Ćwiczenie 17

RgTQwx4PkBLzf1

Ćwiczenie 18

RwONhO5zwfxTZ2

Ćwiczenie 19

RFoNcpUUyDcDS2

Ćwiczenie 20

RXwigUlx0cGia2

Ćwiczenie 21

R1dDv4f3dORkK2

Ćwiczenie 22

RSW3nt48YzPFN3

Ćwiczenie 23

RjouILYQ37wIr3

Ćwiczenie 24

Słownik

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

zbiór liczb spełniających równanie

rozwiązanie równania z jedną niewiadomą

liczba spełniająca równanie, czyli liczba, która po podstawieniu za zmienną daje równość liczb po prawej i lewej stronie równania.

2. Równania trygonometryczne, cz. 1

M_R_W20_M2 Równania i nierówności trygonometryczne